Моделирование распространения тепла в областях со сложной геометрией границы Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Жорник, А. И. Численное решение задачи индукционного нагрева полого цилиндра / А. И. Жорник, Ю. А. Прокопенко, А. Е. Чистяков // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2011. - № 8 (121). - С. 175-182.

3. Сухинов, А. И. Численная реализация трехмерной модели гидродинамики для мелководных водоемов на супервычислительной системе / А. И. Сухинов, А. Е. Чистяков, Е. В. Алексеенко // Математическое моделирование. - 2011. - Т. 23. - № 3. - С. 3-21.

4. Сухинов, А. И. Адаптивный модифицированный попеременно-треугольный итерационный метод для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором / А. И. Сухинов, А. Е. Чистяков // Математическое моделирование. - 2012. - Т. 24. - № 1. - С. 3-20.

5. Сухинов, А. И. Параллельная реализация трехмерной модели гидродинамики мелководных водоемов на супервычислительной системе / А. И. Сухинов, А. Е. Чистяков // Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. - 2012. - Т. 13. - С. 290-297.

6. Сухинов, А. И. Моделирование сценария биологической реабилитации Азовского моря / А. И. Сухинов, А. В. Никитина, А. Е. Чистяков // Математическое моделирование. - 2012. - Т. 24. - № 9. - С. 3-21.

7. Сухинов, А. И. Оценка погрешности решения уравнения диффузии на основе схем с весами / А. И. Сухинов, А. Е. Чистяков, Ю. С. Бондаренко // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2011. - № 8 (121). - С. 6-13.

8. Математическая модель расчета прибрежных волновых процессов / А. И. Сухинов и др. // Математическое моделирование. - 2012. - Т. 24. - № 8. - С. 32-44.

9. Сухинов, А. И. Построение и исследование дискретной математической модели расчета прибрежных волновых процессов / А. И. Сухинов, Е. Ф. Тимофеева, А. Е. Чистяков // Известия ЮФУ. Технические науки. -2011. - № 8 (121). - С. 22-32.

10. Чистяков, А. Е. Теоретические оценки ускорения и эффективности параллельной реализации ПТМ скорейшего спуска // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2010. - № 6 (107). - С. 237-249.

11. Чистяков, А. Е. Об аппроксимации граничных условий трехмерной модели движения водной среды // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2010. - № 6 (107). - С. 66-77.

УДК 532.5.031 ББК 22.3

Ю. А. Прокопенко, А. И. Жорник

МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА В ОБЛАСТЯХ СО СЛОЖНОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ ГРАНИЦЫ

Аннотация. При моделировании физических процессов часто приходится решать задачу диффузии. Для построения разностных схем, как правило, используется интегро -интерполяционный метод. В работе для построения математической модели распространения тепла использован вариант данного метода, в котором учитывается степень заполненности (заполненность) контрольных ячеек [3; 4]. Приведены результаты расчета построенного программного комплекса.

Ключевые слова: уравнение теплопроводности, метод баланса, заполненность, дискретная модель.

Yu. A. Prokopenko, A. I. Zhornik

MODELLING OF DISTRIBUTION OF HEAT IN AREAS WITH DIFFICULT GEOMETRY OF BORDER

Abstract. When modeling physical processes often it is necessary to solve a diffusion problem. For creation of differential schemes the integro-interpolation method is, as a rule, used. In work for creation of mathematical model of distribution of heat the option of this method in which fullness degree (fullness) of control cells [3; 4] is considered is used. Results of calculation of the constructed program complex are given.

Key words: heat conductivity equation, balance method, fullness, discrete model.

Задача транспорта тепла может быть представлена уравнением диффузии [2]:

<= К > К \+f (1)

с граничными условиями:

C,n(X>y>t) = <XnC + Рп> (2)

где ^ - коэффициент температура проводности, f - функция, описывающая интенсивность и распределение источников.

Построение дискретной модели. Расчетная область вписана в прямоугольник. Для численной реализации дискретной математической модели поставленной задачи вводится равномерная сетка:

ц,ь = ? = пт,хг = И1.у: = Д : п = О..Ып1 = =

Мт = Т N к =1 N к =1

1У 1 х'.х 1х'1У у'у 'у ■

где Т - шаг по времени, Нх, И - шаги по пространству, N/ - верхняя граница по времени,

Nх , N - границы по пространству.

Для аппроксимации уравнения (1) по временной координате используем схемы с весами [1]

£- С

I '

= + & +/• (3)

х Л ^ У

где С = <т£+ \ — <7 С, сг £ ОД -вес схемы.

Ячейки представляют собой прямоугольники, они могут быть заполненными, частично заполненными или пустыми. Центры ячеек и узлы разнесены на Их /2 и Ну /2 по координатам

X и у соответственно. Обозначим через О ] заполненность ячейки (/, у) . Поле концентрации веществ рассчитываются в вершинах ячейки, как представлено на рисунке 1. Вершинами ячейки (/, У) являются узлы (/, У) . (/ - 1, У) . (/, У - 1). (/ - 1, У - 1) .

Рис. 1. Расположение ячейки относительно прилегающих к ней узлов

В окрестности узла (/,_/) лежат ячейки (/,_/). (/ + 1,у), (/,7+1), (/ + 1,_/+1). как показано на рис. 2.

(г, И)

а-И)

а.и

0+1,])

Рис. 2. Расположение узлов относительно ячеек

Вводятся коэффициенты , ^, , ^з, ^, описывающие заполненность контрольных областей, находящихся в окрестности ячейки. Значение характеризует заполненность области

: хе -^¿-1/2'Хг+1/2 ' .У6 У}-\!2~>У}+\!2 ' ~ Х е Хг'Л:г+1/2 '

•У6 У^1/2>У^1/2 . " А: *7-1/2^7 > Л-1/2^7+1/2 > " Хг-1/2' -^-г+Х/г '.У6 У)->У)+\12 Х_1/2, Х+1/2 У}-\!2?У} '

Заполненные части областей будем называть О , где /77 — 0.. 4. В соответствии с этим

т ^ т ^ ^

коэффициенты можно вычислить по формулам [3, 4]:

О + О ,, . + О ^ + О

а а _ '+1.7 '+1,7+1 г,7+1

Ч™ и] £ ' УО и] ^ '

О ^ . + О ^ . | О. +0. ■ |-1

7+1, / 7+1, /+1 I, 1 г, /+1

=---—, я 2 . = —-—,

г,7 2 2

О м м + о. . м О . + О. м .

г+1, /+1 7, 7+1 7, 7 7+1, 7

Чъ = —--—, Ча = —-— •

2 1,3 2

Проинтегрируем по области Г20 уравнение (3) и воспользуемся свойством линейности ин-

теграла, в результате чего получим:

Л-с1хс1у= Л ¿ис[. с/хс/у + Л /лс'у с/хс/у + ^/с1хс1у.

(4)

^ Л ' у

£2д £2д Пд

Вычислим отдельно каждый из полученных интегралов.

Ц^^с/хс/у Ц{) . . = Чо С': Му (5)

о ^ Г) ^ ^

о о

Вьиислим интеграл, стоящий в правой части выражения (3)

В последнем выражении для определенности положим, что > , вьщелим из области фрагмент 2 . смежный с областью П2 • причем = 2 (рис. 3).

С1д ЦЮ[ 2 2и02

а ^ иГ ^ и} к2 и

А А

Вычислим интеграл по области

У^т хмп 1/2

ДОСи?х)'х(*Х(1у= | Ф | (/.1с[)'Ах= |

.хУхах - I ислх"

А 1/2 х7-1/2 У^-1/2

Введем замену Ж — //<? И ВЫЧИСЛИМ Ж

7+1/2

X. , Гх V1

Ж, с —, „, „"г ¿/х

[-ск= [ с^йбс ИЛИ Ж1+у2 □ [ —

: и : 1 * и

Х1 л Vх- У

В результате получим

к

А

^ '•''' •' - С,,

г+1/2.7

к.

Иг

7-1/2.7

с. . - с , Л К

К

Вычислим интеграл от функции ()'т по области /-)|

>'7+1/2 .Т,Ч1/2 >'7+1/2

д

>7-1/2 -т/

И

>'7-1/2

с. — с. .

г+1-7 '-7

7+1/2.7

к.

V ■ -.т

Интеграл, стоящий в правой части выражения (3), равен

V

/

¿.у /"^'+1/2,7

г , Нг-У2,

С . — С. , ■

г-7

Л, " ' К

и ас + В к .

12 ¿, / "г,7 .т г.7 ^ >'

(6)

Рис. 3. Схема заполненности областей

В случае, если > , результат будет аналогичным.

Подставим в уравнение (4) выражения (5) - (6), в результате чего получим:

£ ,. - с,. ^

3

-к.К =

с , - с

'+1,7 '-./

С!\ ,.7^+1/2.7 Я 2

С -с ,

к,.

к.

ц а с + В к +

Гг.) .т г.7 / г .у

+

¿ у 7+1/2

к.

си , , Д

с. -с. . ,

г.7 А •• • 1 " /?

- ч4

- 7. / 4 7.

и а с + В к + ап к к .

>' '-./ О" ^ -«О ¡ у J и] х у

(7)

Разделим полученное выражение (7) на площадь ячейки , в результате чего получим

дискретный аналог уравнения диффузии (1) с граничными условиями третьего рода (2):

Ч о

', 3

'-7

', 3

С,.

Я2 и} Иг

'-1/2,7

Чх , , И

'.7 "'+1/2,7

'-7

■с

'-1-7

К

Чх

к

'-7

'-7

'-7

+д

к.

+

с

+ 4з , ,

'-7+1

'-7

С

г.7 "',7+1/2

/7

'-7

■ С

'■7-1

'-7

'¿,7-1/2

/72

у

д3

'-7

Ч 4

'-7

'-7

к.

+ , ./

'-7

(8)

Данные конечно-разностные аналоги обладают вторым порядком погрешности аппроксимации по пространственной координате [5-11]. Для того чтобы показать, что аппроксимации (8) обладают вторым порядком погрешности, нужно доопределить задачу путем расширения расчетной области (вводятся фиктивные узлы).

Результаты численных экспериментов. На рис. 4, 5 приведены результаты численных расчетов по моделированию транспорта тепла от точечного источника при отсутствии конвективного переноса при этом расчетная область представляет собой прямоугольник с вырезанной из него тонкой пластиной (рис 4) и вырезанными двумя пластинами (рис. 5).

Моделирование производилось на сетке размерностью 50x50 расчетных узлов, при этом параметры задавались следующим образом: шаги по пространственным координатам кх=1, ку=1 и по времени Ы=0.001; временной интервал Н=1,3,5,7,10,20; коэффициенты, стоящие в граничных условиях а1рИах=0, а!рИау=0, Ье1ах=0, Ье1ау=0: вес схемы sigma=0.5.

Рис. 4. Распространения веществ от точечного источника в прямоугольной области, содержащей тонкую непроницаемую пластину

Рис. 5. Распространения веществ от точечного источника в прямоугольной области, содержащей две тонкие непроницаемые пластины

При использовании подобной методики получаются достаточно гладкие решения даже на

грубых сетках. Использованный в работе метод позволяет проводить аппроксимацию на структурированных сетках, для которых расчетные узлы расположены в центрах контрольного объема,

что позволяет получить более точную аппроксимацию.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Сравнительный анализ классических и неклассичнских моделей гидродинамики водоемов с турбулентным обменом / Е. В. Алексеенко и др. // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2009. - № 8 (97). - С. 6-18.

2. Жорник, А. И. Численное решение задачи индукционного нагрева полого цилиндра / А. И. Жорник, Ю. А. Прокопенко, А. Е. Чистяков // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2011. - № 8 (121). - С. 175-182.

3. Сухинов, А. И. Оценка погрешности решения уравнения диффузии на основе схем с весами / А. И. Сухинов, А. Е. Чистяков, Ю. С. Бондаренко // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2011. - № 8 (121). - С. 6-13.

4. Математическая модель расчета прибрежных волновых процессов / А. И. Сухинов и др. // Математическое моделирование. - 2012. - Т. 24. - № 8. - С. 32-44.

5. Сухинов, А. И. Построение и исследование дискретной математической модели расчета прибрежных волновых процессов / А. И. Сухинов, Е. Ф. Тимофеева, А. Е. Чистяков // Известия ЮФУ. Технические науки. -2011. - № 8 (121). - С. 22-32.

6. Сухинов, А. И. Численная реализация трехмерной модели гидродинамики для мелководных водоемов на супервычислительной системе / А. И. Сухинов, А. Е. Чистяков, Е. В. Алексеенко // Математическое моделирование. - 2011. - Т. 23. - № 3. - С. 3-21.

7. Сухинов, А. И. Адаптивный модифицированный попеременно-треугольный итерационный метод для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором / А. И. Сухинов, А. Е. Чистяков // Математическое моделирование. - 2012. - Т. 24. - № 1. - С. 3-20.

8. Сухинов, А. И. Параллельная реализация трехмерной модели гидродинамики мелководных водоемов на супервычислительной системе / А. И. Сухинов, А. Е. Чистяков // Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. - 2012. - Т. 13. - С. 290-297.

9. Сухинов, А. И. Моделирование сценария биологической реабилитации Азовского моря / А. И. Сухинов, А. В. Никитина, А. Е. Чистяков // Математическое моделирование. - 2012. - Т. 24. - № 9. - С. 3-21.

10. Чистяков, А. Е. Теоретические оценки ускорения и эффективности параллельной реализации ПТМ скорейшего спуска // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2010. - № 6 (107). - С. 237-249.

11. Чистяков, А. Е. Об аппроксимации граничных условий трехмерной модели движения водной среды // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2010. - № 6 (107). - С. 66-77.

УДК 537.591 ББК 26.233

В. Ф. Сокуров

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОТОКА РЕЛЯТИВИСТСКИХ ОБЪЕКТОВ В АТМОСФЕРЕ РАДИОЛОКАЦИОННЫМ МЕТОДОМ

Аннотация. Проведен расчет амплитуды отраженного сигнала от релятивистского диска вторичных частиц от первичной с Е0> 1019 эВ. Показано, что по радиолокационному зондированию можно измерять первичный энергетический спектр ШАЛ. Дана оценка интенсивности потока первичных частиц, ожидаемой по данной методике.

Ключевые слова: расчет амплитуды, отраженный сигнал, релятивистский диск, вторичные частицы, радиолокационное зондирование, первичный энергетический спектр, интенсивность потока.

V. F. Sokurov

RESEARCH OF A STREAM OF RELATIVISTIC OBJECTS IN AN ATMOSPHERE A RADAR-TRACKING METHOD

Abstract. Calculation of amplitude of the reflected signal from a relativistic disk of secondary particles from primary with Е0> 10193Bis lead. It is shown, that on radar-tracking sounding it is possible to measure primary power spectrum ШАЛ. The estimation of intensity of a stream of the primary particles, expected on the given technique is given.

Key words: calculation of the amplitude, the reflected signal, relativistic disk, secondary particles, radar-tracking sounding, primary power spectrum, intensity of a stream

Попадая в атмосферу Земли, космические лучи порождают поток вторичного излучения, исследуя который, можно получить объективную информацию о спектре первичного излучения.