CC BY
11
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 10 (19), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
25
ЗАДАЧА РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ С ТОНКИМ
УПРУГИМ ВКЛЮЧЕНИЕМ
Зорин Сергей Анатольевич
Канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры инженерной математики НГТУ, г. Новосибирск
АННОТАЦИЯ
Предлагается подход к исследованию влияния тонкого упругого включения, расположенного вдоль гладкой кривой, на напряженное состояние неограниченной анизотропной пластины. Упругое включение рассматривается как анизотропная пластина с конечными размерами. Предполагается, что на границе контакта упругого включения и пластины осуществляется идеальное механическое сцепление. Задача сводится к системе двух сингулярных интегральных уравнений, которая решается численно. Приводятся некоторые численные результаты анализа коэффициентов интенсивности напряжений в пластине.
ABSTRACT
An approach is proposed to study the effect of a thin elastic curvilinear inclusion on stresses in infinite anisotropic plate. The elastic inclusion is considered as an anisotropic plate of finite dimensions. The inclusion is assumed to be perfectly bonded to the plate. The problem is reduced to a system of two singular integral equations. The system of equations is solved by a numerical method. Calculation results on stress intensity factors in the plate are given.
Ключевые слова: анизотропная пластина, упругое включение, сингулярное интегральное уравнение, коэффициент интенсивности напряжений.
Key words: anisotropic plate, elastic inclusion, singular integral equation, stress intensity factor.
Пусть неограниченная прямолинейно-анизотропная пластина толщины h имеет криволинейное тонкое упругое включение. Упругое включение рассматриваем как прямолинейно-анизотропную пластину толщины h, срединная плоскость которой совпадает со срединной плоскостью бесконечной пластины. Обозначим через L гладкую разомкнутую кривую с началом в точке а и с концом в точке b , расположенную в срединной плоскости упругого включения. Величинам, характеризующим упругое включение, будем приписывать индекс ноль. При положительном направлении обхода вдоль L от а к b область, расположенную слева, обозначим знаком плюс, а область справа - знаком минус (рис. 1). Криволинейную границу упругого включения, лежащую слева (справа) при положительном обхода
вдоль L, обозначим L+ (L). Аффиксы точек, принадлежа-
( du 0 (t ±) dv° (t ±) ^
+ i
v
ds
ds
f du ± (t) dv± (t) ^
+ i
\
ds
ds
im
(2)
у
где m - поворот упругого включения как жесткого целого;
s ,т - нормальное и касательное напряжения в площадке, повернутой на угол 3 относительно оси Ox.
Будем рассматривать упругое включение как ортотропную пластину с главными осями анизотропии вдоль осей Ox,
Oy. Компоненты напряжений и перемещений в упругом включении можно выразить через потенциалы Лехницкого
Фуо(V (Zv = x + Яоу) [1, с. 38]:
щих L+ , L вычисляются по формулам: t± = t ± doelS, где t = x + iy (t e L), 3 - угол между касательной и осью Ox в
точке t. Величина d0 намного меньше, чем sL (sL - длина дуги кривой L ). Пластина загружена внешними усилиями
■» со со на бесконечности. Считаем, что бесконечная пластина и упругое включение находятся в обобщенном
плоском напряженном состоянии, а на линиях L+, L осуществляется идеальный механический контакт.
Условия контакта включений и пластины можно представить в виде:
(S0 (t 1) -т0 (t 1) = (s±(t) - т±(t)), (1)
Рисунок 1. Анизотропная пластина с упругим включением
26
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 10 (19), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
(а0 а0 Т0 )-2Re
\и Х’и У’ Lxy'
2 (p0,1, р0)фг0 (zv) v-1
(3)
Ф(V = ^ 0Т) + Р(Т т+ф
(9) 2ni L Tv- z
du0 dv0 dz dz
- 2Re
2 (Pv0,V)фг0(Zv)
v-1
+ (0, o0 ),(4)
где
где комплексные постоянные ф* определяются через известные напряжения, приложенные к пластине на бесконечности; ®v (т), p (т) - неизвестные комплексные функции на линии L .
0 2
pv0 - a11p0
' a16p0 + a12 , qv0 = a12p0
0 -1 0 . ' a22p0 a26 ;
Имеют место следующие соотношения [3, с. 83]:
(a°ik - коэффициенты деформаций ортотропного материала упругого включения).
Напряжения сгп ,Тп формуле [2, с. 33]:
можно выразить через а а т по
x ’ у ’ xy
1 e~2iy
ап + Тп = 2 (sx + ау )---Y~ (ах -аУ + 2iTxy ) . (5)
Используя формулы (3) и (5) можно выразить напряжения S0 ,Т0 через потенциалы Лехницкого:
A(t )p(t) + B(t )p1(t) + p2 (t )= 0, (10)
a(t )o1(t) + b(t )o1(t) + о2 (t )= 0, (11)
A(t) - A
Mi (t), * M 2 (t);
B(t)=E„Mi (t) ■ a=— q- p q~ ■ в,=Ei qi ~pi q±
*M2(tУ —2 q2- —2 q/ * —2 q2-p2 q2
a(t) - a*
Mi (t) M 2 (t)
b(t) - b*
Mi (t) M 2 (t)
P -P ■ b - P - P2 P -^2’ * p -p
Mv (t) - (p sin «9(t) + cos S(t)), t e I.
S0 -iz0~ Re(! + '“v0)®v0(zv)У e-liSRe^ |(1 -p)<p0P)) +
Напряжения и производные от смещений в пластине имеют вид [1, с. 38]:
+2i Re I
2p0p0(zv)
(6)
Учитывая, что d0 намного меньше, чем р , воспользуемся разложением комплексных потенциалов ф^ (t1) в ряд Тейлора по степеням d0 в окрестности точки t e L, получим:
(ах,ау,Тху)=2Re^2 (Р,1,-p)Фv(Zv) j ,
(12)
Е,У]- 2Ref 2 (Ev,*Ж(Р + <°,»* >, <13>
ds ds ) vv-1
где о* - угол поворота пластины как жесткого целого.
Потенциалы ф (zv) должны удовлетворять краевым условиям [3, с. 82]:
a(t )ф± (t) + b(t )ф± (t) + ф ±- F ± (t),
+P2iil Re
2 (1 -Р0)^±0(tv) v-1
A(t)ф± (t) + B(t)ф± (t) + ф± (t) - W± (t), t e L, (14)
du0 (t±) dv0 (t1)
A
ds
ds
- 2Re
2 (Ev0,qv0Pv0(tv) v-1
(8)
± — ± ydv (t) - — du± (t)
F± (t) - Tn (t) + p2an (t) , w± (t) -_ds_ds
(P - p )M2 (t) (Piqi - —2 q2 )M2 (t)
Вычитая в уравнениях (14) функции с индексом “-“
где Q±0 (tv) = фг0 (tv) ± d0 (p0 cosd-sin &)&v 0 (tv), t e L. от функций с индексом “+” и исп°льзуя (10), (11) и формул^1
Сохоцкого-Племеля, получим:
Комплексные потенциал^1 ф^(zv), описывающие напряженно-деформированное состояние бесконечной анизотропной пластины будем разыскивать в виде:
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 10 (19), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
27
a*(t)W) + b(t)w(t) = F+ (t)-F (t),
a* (t )©j (t) + b* (t )^l(t) = -(W+ (t) - W - (t)), (15)
Введем обозначения:
Pi (t) = Re©!(t), Pi(t) = Rew(t), 4(0 = Re Ф; о (t),
P2 (t) = Im®i (t), ^2 (t) = Im Wi(t), Bv(t) = Im Ф; о (t),
(v = 1,2).
Из уравнений (15), используя (1), (2), (5), (6), получим:
i cvAv(t) + ck ,v+ 2 Bv (t) = RkPi(t) + (-1)k H3_k?2 (t^ v=i
i Ck + 2vA(t) + Ck + 2,v+2Bv(t) = Rk^i(t) + (-1)kH3-k^2(t)
,(k = 1,2). (16)
Разрешая систему уравнений (16), получим:
2
Ak (t) = i Ckv<Pv (t) + C*k,v+2Vv (t) , v=i
Bk (t) = i Ck + 2,vPv (t) + C* + 2,v+2^v(t ),(k = 1,2). (17)
v=i
Складывая в краевых условиях (14) функции с индексом “-“ с функциями с индексом “+” и используя (10), (11) и формулы Сохоцкого-Племеля, получим основную систему сингулярных интегральных уравнений (СИУ) задачи:
J [Ku(t,T)ml(T) + Kn (t ,т)т1(т) + Kn (t , т )w (т) + Ku (t,T)w(T)]ds = fx(t)
L
J [ K2l(t,T)w(T) + K22 (t,T)w(T) + K23(t,T)^(T) + K24 (t,v)^(v)]ds = f2 (t)
L
Коэффициенты C.., C*. и ядра Kvi (t,т) ввиду громоздкости не приводим.
Из условий равновесия включения и однозначности смещений при обходе вокруг включения, следуют дополнительные условия:
J /Ui(r)ds = 0 , J^(r)ds = 0,
L L
Re(j (т1 - т2А(т) - Т2B(t))W(T)dsj = 0 , t G L .
Искомые функции са^т), (т) будем разыскивать в виде:
ЮТ) = ^0(в)(1 - в2)-1/ 2, Wi(T) = м0 (в)(1 - в2)-1/2,
где (в), /л° (в) - ограниченные, непрерывные по Гель-деру на отрезке [-1,1] функции. Система СИУ условиями сводится к системе линейных алгебраических уравнений относительно приближенных значений искомых функций
ю0(в), w0(в) в чебышевских узлах а = cos (2i - 1)п, (
---- ч 1 2N
i = 1,N ).
После решения СЛАУ и определения а°(в), /Л° (в) могут
быть вычислены значения потенциалов ф^ (zv) и напряжения в пластине по формуле (12). В вершинах упругого включения вычисляются коэффициенты интенсивности напряжений (КИН) отрыва и сдвига:
Ki(c) = lim sn42nr K2(c) = lim rn-J2nr
t ——C t —C
Здесь t - точка, лежащая на продолжении линии L за вершиной c по касательной, r = |t - C|.
Ниже представлены результаты расчетов для пластины из стеклопластика (Ei = 53,84 ГПа, Ei /E2 =3, Gi2 = 8,63 ГПа, v =0,25; Ei; E2 - модули Юнга материала пластины в направлении осей Ox, Oy соответственно). В пластине имеется криволинейное упругое включение, расположенное вдоль дуги окружности,
L = {т(в) = R(srn(a/?) + icos(a/?)) | -1 <в< 1}. На бесконечности пластина подвержена одноосному растяжению
усилиями p вдоль оси Oy (рис. 2). Материал упругого
включения - изотропный с параметрами упругости E°, v°.
На рис. 2 показана зависимость коэффициента интенсивности напряжений (КИН) Ki(b)/ pVnR в вершине упругого включения b от величины а. Графики построены при
следующих значениях параметров: d° /R = 2 -10 ; E° / Ei
= 10-i,10-2,10-3,10-4,0 (кривые 1-5 соответственно), v° = 0,33.’
Рисунок 2. Зависимость КИН от параметров упругого
включения
28
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 10 (19), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Значение E0 / E1 = 0 соответствует случаю разреза вдоль дуги окружности. Как видно из рис. 2, жесткостные параметры криволинейного упругого включения существенно влияют на величину КИН в вершинах включения в анизотропной пластине.
Список литературы:
1. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. - М.: Гок стехтеоретиздат, 1957. - 464 с.
2. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука, 1966. - 707 с.
3. Максименко В.Н., Зорин С.А. Расчет напряженно-деформированного состояния анизотропной пластины с эллиптическим отверстием и тонкими упругими включениями // Механика твердого тела. Известия РАН. № 2. - 2008. - С. 79-89.
ПРОБЛЕМЫ ФОРМИРОВАНИЯ НЕКОТОРЫХ ПОНЯТИИ КУРСА «ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» НА ОСНОВЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЗИКИ
Ильясов Низзан
Канд. пед. наук, и.о.профессора кафедры физики, г. Алматы
Есенова Мария Ибрашевна
Канд. пед. наук, и.о.профессора кафедры математики, г. Алматы
АННОТАЦИЯ
Нелинейность - это основное свойство любого физического (природного) явления. Следовательно, идея нелинейности в процессе изучения физики должна занимать особое место.
Статья посвящена изучению этого вопроса. В частности, явление дисперсии электромагнитной волны в материальной среде позволяет введение понятия «солитон». Оно тесно связано с широко применяемым в современной физике понятием квазичастица и является её аналогом в нелинейной среде.
Рассмотрение фотона как квазичастицу, движущуюся со скоростью света в физическом вакууме, позволяет снять многие трудности научно-методического характера.
ABSTRACT
Nonlinearity is the main property of any physical (natural) phenomenon. Therefore, the idea of nonlinearity in the course of studying of physics has to take a special place.
Article is devoted to studying of this question. In particular, the phenomenon of dispersion of an electromagnetic wave in the material environment allows introduction of the concept “soliton”. It is closely connected with the concept which is widely applied in modern physics a quasiparticle and is its analog in the nonlinear environment.
Consideration of a photon as the quasiparticle moving with velocity of light in physical vacuum allows to remove many difficulties of scientific and methodical character.
Ключевые слова: электрон, заряд, нелинейность, дисперсия, солитон, квазичастица.
Keywords: electron, charge, nonlinearity, dispersion, soliton, quasiparticle.
Электрический заряд неотъемлемое свойство элементарной частицы - электрона. С точки зрения современной физики элементарной частицей называются частицы, которые не могут состоят из более простых частей. Электрон имеет отрицательный заряд, численное значение которого равно положительному заряду протона - 1,6*10-19 Кл.
По мнению ученых-физиков, электрон является самой важной элементарной частицей. Он ответствен за все перемещения электрического заряда, которые мы наблюдаем в быту и технике. Кроме того, вся обычная химия с ее обширным многообразием химических реакций и соединений целиком обязана электрону.
В науке существует методика, где свойства, методы измерения объектов неизвестной внутренней структуры исполь-
зуются для установления закономерностей протекания тех или иных явлений. Одним из таких примеров является использование электрического заряда для объяснения явлений происходящих в природе [1].
В настоящее время существуют многочисленные методы измерения электрического заряда, большинство которых основаны на взвимодействий заряженных частиц с электрическим и магнитным полями, например: элетростатический (опыт Милликена); электромагнитный (определение удельного заряда на основе измерения силы Лоренца); методы основанные на явлений электролиза и т.д. Величина электрического заряда можно измерить и с помощью закона Кулона. Во всех взаимодействиях заряженных тел и частиц, во всех исследованных до настоящего времени электриче-
