Задача об изгибе анизотропной пластинки и метод конечных элементов смешанного типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И Том XII 1981

№ 5

УДК 517.9:539.3

ЗАДАЧА ОБ ИЗГИБЕ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНКИ И МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ СМЕШАННОГО ТИПА

Г. А. Косушкин

Рассмотрена задача об изгибе анизотррпной пластинки при общих граничных условиях и условиях нагружения. Исследованы условия разрешимости задачи и выведена априорная оценка решения в весовых нормах. Для случая пластинки полигональной формы и треугольных элементов получены оценки скорости сходимости метода конечных элементов смешанного типа.

Целесообразность разработки смешанных конечноэлементных моделей для решения задач строительной механики достаточно^ аргументирована в технической литературе [1]. Доводы в пользу смешанного метода основаны на физических соображениях о высокой точности метода по напряжениям при удовлетворительной точности по перемещениям и на том факте, что на современных вычислительных машинах не' проявляются его традиционные недостатки.

Отметим еще два довода. Во-первых, как известно, конечноэлементная система уравнений в методе перемещений для расчета пластинки имеет показатель обусловленности порядка О (А-4), где к — шаг сетки, а в смешанном методе — порядка О (/г-2). Это имеет принципиальное значение.

Во-вторых, практическое сопоставление [2] расчетов прямоугольной пластинки методом перемещений и смешанным методом показало, что в методе перемещений (в смешанном методе) объем матрицы и правых частей —81 591 (34818), число уравнений — 1073(309), время счета — 60 мин (37 мин). При этом в смешанном методе напряжения получались точнее.

Теоретические оценки скорости сходимости и обусловленности схем метода конечных элементов (МКЭ), несмотря на их известную ограниченность, представляют собой те критерии, которые можно положить в основу рационального конструирования схем МКЭ.

Джонсон [3] получил оценку скорости сходимости смешанного метода конечных элементов применительно к задаче об изгибе однородной жестко защемленной пластинки полигональной формы.

В предлагаемой работе учтены практически важные обстоятельства: анизотропия и неоднородность, пластинки, более общие граничные условия, температурные факторы, сосредоточенные воздействия, разрывы жесткостей. В связи с этим пришлось не только усовершенствовать схему исследования Джонсона, но и получить новые априорные оценки решений задачи с особеностями (п.п. 3 и 4). В результате выведены необходимые оценки скорости сходимости.

1. В рамках гипотез Кирхгофа —Лява рассмотрим задачу об изгибе упругой пластинки, занимающей в декартовых координатах х“ область 2 с границей 5. (В тензорных обозначениях греческие индексы принимают значения 1, 2; и,а = ди/дха). Область Q разбита кривыми х,- на подобласти не имеющие нулевых углов (г = 1, ... , у' = 1, ... , АГ2), Кривые 5, ^ — кусочно-гладкие.

Напряженно-деформированное состояние пластинки характеризуется прогибом чш, моментами , перерезывающими силами <За

—»-

и на площадке с единичными векторами касательной $ и внешней

нормали п крутящим моментом Т, нормальным изгибающим моментом Мп, перерезывающей силой и кирхгофовой перерезывающей силой Уп. В угловых точках контура вводятся внутренние сосредоточенные силы Н.

Т — ЛИ3 Па 5р, Мп = Ма? Па щ, С? = М% ,

<гя=ОЧ. Уа=Яп + дТ1д&, Я=-Г|,+0 - Г|,_о.

Краевая задача для прогиба пластинки имеет вид:

М% + д + а, (Рк) = 0 в 2' ,

Ма? = — Ва(Ш -яо, ха — в 2',

= 0, дт[дп\8, = О,

мпк = м:, уя\а. = у:+^н: (р\

1Ю+ = ^о(дге)1дп)+ — — (дгт/дп)~ на

Мп = V? + 8, (Рк) на Т/,

^ И'к — Н*к в углах д2', /(&) = . (8)

/ (*)

Здесь <7 — распределенная нагрузка; — температурные моменты; Мп— внешний изгибающий момент; У*п— перерезывающая сила, заданная на 54; Н'к — сосредоточенные силы, приложенные в конечном числе точек Рк е ОН БI, 62 (Рк) — двумерная дельта-функция, сосредоточенная в Рк\ 8 3{Рк)—одномерная дельта-функция, определенная на кривой; значками „ + “ и „—“ обозначены предельные значения величин на тг при подходе слева и справа

(2)

(3)

(4)

(5)

(6) (7)

\

соответственно. Через Ва1?хъ обозначен тензор жесткости, обладающий известной симметрией. При этом существуют такие положительные константы с0 и си что

‘•о ЧУ*? = У*б2. (9)

Тензор податливости Лархо(Л=5~1) обладает аналогичными свойствами.

2. Введем обычные пространства Ьр{Щ, С* (О) и пространства Соболева-Слободецкого [4] (&) и И^-1'2^), в том числе с не-

гативной нормой. Далее введем вектор М — {М11, М22, М12) и билинейные формы

(и, ъ)в, в = | и, а? V, хЕ Й2, (М, М)л, 0 = [ Ары Ма? АГХЗ (02 .

2 2

Пусть 1/0 — подпространство функций иб1И|2)(й), удовлетворяющих (4) и уравнению (и, и)в, 2 —0. Введем множество 1/ функций из №з2)(2), удовлетворяющих (4) и ортогональных У0. В V можно ввести эквивалентную норму ЦиЦ^ — (и, й)в!а с помощью функционалов [5], построенных почти так же, как в [6].

Введем функционалы 1(и/), Ь{(п'У.

I (те») = | | М*п йз + ] У*п чюйл + У±Н*К тк,

2 53 54

'1,(10) = I (<а>) — / т, ор аЯ:

' 2

Необходимое условие разрешимости задачи о равновесии пластинки, выражающее условия равновесия пластинки в целом, имеет вид:

1(®) = 0 у^бЦ,. (Ю)

Назовем обобщенным решением задачи (2) — (8) в перемещениях такую функцию т£У, которая удовлетворяет уравнению:

(®, г>)в, а — (V) — 0 уveV. (Г1)

Лемма 1. Пусть выполнены условия (10) и, кроме того,

Я«Р**€ С (£}/), ^6ГР(2), мТы2(0,),

М*п£1.р{8ъ), р> 1, 1^6 ^~3/2)(54), 8ир|я;|<оо.

&

Тогда существует единственное обобщенное решение те/б V задачи (2)—(8) в перемещениях.

Введем пространство М = Ь2 (й)Х^-г (^)Х^г(^)- Назовем обобщенным решением смешанного типа для задачи (2)—(8) такую функцию (ж>, М)£УХМ, которая удовлетворяет условиям стационарности функционала Рейсснера на У\М:

, [ Ж”р V, а? ДО + I (V) = 0, (М + Мь А)л, 2 +

2

+ |®;,Х5Л/Х^2 у (-у, ]</)Ц УХМ. (12)

2

Обозначим через М (-да) вектор М, определяемый по *№ уравнением (3).

Лемма 2. Пусть выполнены условия леммы 1. Тогда существует единственное обобщенное решение смешанного типа [т, М (та)], где то — решение уравнения (11).

Введем множество #£ функций М£М, удовлетворяющих (12).

3. Пусть К— бесконечный плоский сектор раствора ш, ограниченный лучами Г2, Г2, и пусть область К разбита на п подобластей /Сг(г'=1, ...,«) лучами Гг, исходящими из вершины сектора. При этом Г( = Г,, Г„+1 = Г2 и угол между Гг- и Г/+1 равен <вг.

Рассмотрим абстрактную вспомогательную задачу:

1ги=/ в К1(1= 1, . . . , п)\ (13,)

£<и|Г. = <!>/(* = 1, 2, / = 1т)-, (13,)

С?1 и+ = СУ‘ и~ на Г, (г = 2, . . . , п, у = 0, . . . , 2п — 1). (133)

Здесь £г, В), С*‘ — однородные многочлены от оператора д!дх

степени 2т, т(}\ у, соответственно, с постоянными коэффициентами, причем операторы согласования д'и/дп1. Операторы В), С^‘ удовлетворяют условиям эллиптичности и условиям Шапиро—Лопатинского. В случае ш = 2тс условие (132) заменяется на Г! условием согласования.

С помощью преобразования Меллина, краевую задачу (13) в секторах можно свести к задаче на отрезках. После замены неизвестных получим „га-кратную“ задачу вида (г, <р — полярные координаты):

ГА?, а/с1?, о<?о0, /== 1

(^)"^11^=0 — Ф/» В] (£А) |Уп|<Р=ш0= 4*/> У — !»•••) т\ (^)

С7*г»г+1|9=0 = С/'/г1»г|?=Шо, у' = 0, .., , 2т— 1, 6=1,... , п—1. ,

Если «и = 2тс, то следует ввести условие согласования.

Резольвента /? (X) задачи (14) является мероморфной функцией.

Следуя [7], введем весовое пространство (К) с нормой

ми от "(2 1 г'-П'-Ш,1С?«\гЧх)'*-

а !Э1 =1К

Введем также пространство Ф'(а1~112) (Г,) с нормой * ■^1-1®(г.) = 1“*И#У)(^,. о|г. = ф, 9 = 0 при ср > СО),

где с—некоторая константа 0<с<1.

Аналогично определяется (Г2).

Введем вектор /=(/, ']41), ..., 4*(1), ..., фт}) И прОСТрЭНСТВО

н1 (К) = (К)ХП(П №*+3т-т? - 1/2) (Г,))',

/=1 1=1

2

Методами работ [7—9] удается доказать следующие теоремы.

Теорема 1. Если функция /?(Х) задачи (14) не имеет полюсов на прямой 1тX = -^-(-—а — 2 + 2&-|“ 4/га), то при любых функциях

-*°ь \

/£На(К) существует единственное решение задачи (13), принадлежащее причем

Ми?*+2-С С В/У* (/Г) •

Теорема 2. Если «6 №к+2т(К), и, кроме того,

= -д- (— 2 — а1 + 2^! + 4/га) /г = -у (— 2 — ос —]— 2А —|— 4/га), А;, &

и на прямой 1т X = /г4 нет полюсов функции /? (X) задачи (14), то

*/

“ ” 2 2 ау*Г ,Л/'1п*(?) + ® (*)»

/ 5 =0

где —бесконечно дифференцируемые функции, не зависящие от и(х); Х; —полюса кратности функции Р(Х), такие, что <С 1ш X /г„ и, кроме того,

[М1#-*!+2т(ю — с (|Д?*; (Я) "Ь 1И#*+2т (ю) •

4. Важную роль играет следующая лемма.

Лемма 3. Если выполнены условия леммы 1, В^и б С<4) (2^), / = 1,... , Л^,. границы, являются кусочно-гладкими класса С<4), правые части вспомогательной задачи типа (13) для краевой задачи (2)—(8) принадлежат (К) с а<4, то решение задачи (13),

соответствующей (2)—(8), обладает свойством и 6 щ4) (К), 0<! Р<4.

Краевая задача (2)—(8) имеет конечное число особых точек Р* (А= 1, ..., Л/) следующего рода: угловые точки границ д2', точки стыка разных граничных условий на 5, точки приложения сосредоточенных нагрузок, комбинированные особенности. Эллиптичность задачи следует из условия (9).

Можно показать, что решение задачи типа (13) для задачи (2)—(8) удовлетворяет однородному условию согласования Н=0 в угловой точке. Учитывая лемму 3 и легко проверяемый факт,

что решение от сосредоточенной силы принадлежит Щ+е(К) (г— малое положительное число), можно утверждать, что решение любой вспомогательной задачи для пластинки принадлежит (К),

0 < а < 4.

Введем весовое пространство (2) с нормой 1М*Г«.В — X / Рти|2<«Ш, а(х) = пип {[сИз^Р*, лг)]“, лг)]а},

|Т|СВ

кад

где а — характерный весовой показатель для вспомогательных задач.

Для гладкого контура ? с; 5 определим весовое пространство граничных функций и^71/2) ("() с нормой

|ф||г-1/2, о, т = 1Ша, V б \^2?а (2), ,®|т = '■!>, V = 0 вблизи 5/?.

Для контура Г = и состоящего из гладких дуг, пересекаю-

1=1

и-

щихся под ненулевыми углами, определим (Г) = №2,1112) (тЛ

г=1

с соответствующей нормой.

Применяя метод вспомогательных задач, разбиение единицы и интерполяционные неравенства и учитывая, что выполнены условия разрешимости и условия однозначности решения, можно доказать следующую теорему.

Теорема 3. Пусть выполнены условия леммы 1, 6 С(4> (2-0,

сосредоточенные силы ограничены и границы дЯ' — кусочно гладкие класса С(4). Тогда существует единственное решение задачи (2)—(8) о равновесии пластинки ®6^, такое, что Ч!) б Причем О <!а<4, и, кроме того,

о, 2 -«С С {[|#[|о, а, 2 —1УлЦ^г, я, 5, + ||-/Ига||з/2, », 5а +

+ эир \н:\ + вир \\м?\\2 а> „/} . (15)

к а, р, I

5. Пусть {7’;-}/=1 — разбиение 2 на треугольники, {Рг}г=1 — множество вершин. При этом предполагается, что границы состоят

из замкнутых ломаных и £/7, = 2, {Т}: Т] П 2У ф®} = 2У, {Р*}с{Р;}.

/

Лемма 4. Предположим, что функция V является гладкой на 2 или непрерывной на 2 и равной полиному на каждом Т-г Предположим, что компонент вектора М является или гладким на 2, или равным полиному на каждом Т]. Тогда справедливо равенство

£ | лг? *, = 21 м% «а2 + 2 | мп ^

7=1 Т. 1-1 Т. /=1 0Т]

— V»®* —(16)

/=1 6Г;. » = 1

Здесь Н(Р() = X ЯИЯ), У(0={У:^6 7}}, Р{Л = Р4.

76у (О

Введем й = шах (Наш 7^ и множество 1'гА=1/'1т) непрерывных

1

функций на 2, равных многочлену степени от на каждом треугольнике Тудовлетворяющих условию г/|51 = 0 и ортогональных — множеству Уо ■= {V: (V, ю)в. 2 = 0, 1>|5=0}. Простоты ради будем считать, что на контуре 5 введены дополнительные статически определимые точечные опоры, так что множество 1/0 = 0.

Через МЛ = Лйт) обозначим множество вектор-функций М на 2, равных многочлену степени от на каждом 7^, имеющих равные значения Мп на общей стороне двух любых смежных треугольников и интерполирующих М*п = 0 на 53 в смысле леммы 5.

Введем функционал

I, (М, [ Л4Я / У„ гкй - £ Н\ (Р,) V (Рг).

5з 1 дТ] г

\м**ъ^(1& = 1х(м, ъ) у(®, М)£УХМ[т)(т = 0,1). (17)

<2 - 1 ’

С помощью (17) можно преобразовать (12) и определять конечно-элементное решение (то, М) из уравнений

1:(М, т>^) +1(мЧ) = 0, (М + М(, М^)л,9 + , да) = 0 (18)

у (®у, аіу)Є у£т+1)хМ'п)

при условии, что Ж интерполирует Мп на 53 в смысле леммы 5.

Пусть П/ — вектор нормали к к-й стороне 5* (& = 1, 2, 3) треугольника Гу. Введем вектор нормальных моментов уИл = [ж і г

уИ 2, ЛЇ з) . При этом Мп = РМ, где Р — невырожденная матрица. "і "і1 ■

В Мй0) можно ввести базис {Ж1, °}/^=о . Здесь М1'0 такая функция, для которой УИ„=1 на стороне і и = О на остальных сторонах.

' . ~ 3 -^

В случае Мй* на 7} выполнено соотношение .М=Р~1 V !г/И„(Ру).

г=і

Здесь ?,•— линейная на Гу функция, 1г(/3/)=§*, где Р/ —вершина Гу-.

Введем базис {М1’х)\'=\, гдеМ1,1— вектор-функция, для которой параметр М и\р1,\ равен 1, а остальные равны нулю.

/ "і

Любая функция из і/*”1* однозначно определяется набором ее значений на некотором подмножестве вершин и середин сторон разбиения области 2. Будем считать эти значения параметрами. Тогда соответствующий базис {Vі’ т)^1 представляет собой набор

таких функций из ]/1Г\ каждая из которых доставляет параметру с номером у значение 1, а остальным — нулевые значения. Уравнения (18) в матричной форме имеют вид

АО то

Q А' М

Здесь то и М — координаты векторов то и М в выбранных базисах. Очевидно, что Г) —положительно определенная матрица.

6. Пусть Г — произвольный треугольник со сторонами 5*, А=1, 2, 3, а р(л:) = (Н81(д:, Р), где Р — одна из вершин треугольника Г. Введем весовое пространство с весом а(х) = р^

и нормой Ц-И^г •

Лемма 5. Пусть ^(Г), где ^<4. Тогда существует един-

ственная функция М, которая интерполирует /И(и) на Г в том смысле, что если т = О, то

|ЖяА(Ж)^ = |МпА(«)^, к = 1, 2, 3;

5* S/г

если /га — 1, то выпблнены следующие условия:

| Мпк (М) | Мпи (и) юйв

5к 5*

для любой линейной функции V, к= 1, 2, 3 и МйО, = | М{и)й&.

Т Т

Здесь через М(и) обозначена вектор-функция, определяемая по и с помощью соотношений упругости, а Мп(М) — нормальный

момент, определяемый по М.

При доказательстве этой и следующих лемм используются схемы доказательств из [3].

Лемма 6. Для любой точки Р° £0, найдется вектор УИбМйт) (/га — 0,1) такой, что

2 Я(ЛГ* РД®(Р/) + 2 / Уп(М)ъйз = -ъ(Р°) уъеУ1т+1).

г / дТ/

Здесь при доказательстве так же, как ,и в [3], используется функция Грина, однако детали доказательства существенно отличаются.

Следствие. Столбцы матрицы А линейно независимы. Лемма 7. Уравнения (18) или (19) имеют единственное решение. Введем множество Ни /г вектор-функций М на 9, равных многочлену степени /га + 1 на каждом Т^ имеющих равные значения Мп на общей стороне двух любых смежных треугольников, интерполирующих Мп на £3 в смысле леммы 5 и удовлетворяющих уравнению (18).

Множество HL.it обладает согласно нижеследующей лемме

тем свойством, что вектор М, полученный по методу конечных элементов смешанного типа, является проекцией на Нц п вектора

М (даД где ш — решение краевой задачи (2)—(8).

Лемма 8. Если £ = 0, то Н^ьС-Нь-

Лемма 9. Пусть (да", Мя) — решение уравнения (18), и пусть

V — произвольный элемент из V. Тогда

|| М (V) - АЦа. а < Й(г») - М\\А, я у М^Н^п.

Следствие. Пусть (да", Мг)—решение уравнения (18), а да— решение краевой задачи (2)—(8). Тогда

1М (да) — МТ\\А, а < \\М (да) — М\\А, в У-/И б Н£, й.

Это следствие означает, что скорость сходимости конечноэлементного решения к точному по норме ||• ||л д зависит только от аппроксимационных свойств пространства Нь. п при к 0.

7. Для случая канонического треугольника Т\ с вершинами (0,0), (0,1), (1,0) справедливы следующие леммы.

Лемма 10 [10]. Для любого ^>0 и целого га существует такая постоянная сг, что

Ия, С1 (|а\п, (И1, Г[ 211 ^ |

|а|=л Г,

где

|«|=П г,

Лемма 7/[11]. Пусть Р — ограниченный линейный функционал, определенный на т. е.

1^ («)| < с2 !«!„, рР-, г, у «б (г.о,

и пусть Р(д) = 0 для любого полинома <7 степени меньше п. Тогда

1 \Р (и)| < с, с2 pH. Г\ V и б (гV).

где сх— константа из леммы 10.

Докажем основную лемму об интерполяции на треугольнике. Лемма 12. Пусть 0 — наименьший угол треугольника Т, 0^-^ = (Нат Т, точка (0,0) — вершина треугольника Т. Далее пусть и 6 УЩ1”}(Т), /те = 0,1, где рт = \х\^+2(т~1'). Кроме того, пусть

Ми — функция, интерполирующая Ж (и) в смысле леммы 5. Тогда для любого [л, 2(1 — от)<^-<4 найдется такая константа ст, зависящая ТОЛЬКО ОТ 0О, |А и что

|\М{и) — МиЦА, т-КС^-^Ци^+т, рт, Т + |М|1+т, рт, г).

Доказательство. Пусть треугольник Т задан вершинами (0,0), (аи а2), (Ьи Ь2). Отображение 7\ на Т имеет вид х = X (I) = {ах ^ +

-1а2 ^ -Ьй2?2). Можно показать, что < 2 (с? зт б)^1, г, / = 1,2.

дХ]

Определим функции М0 и ut следующими соотношениями: М1“Ш

= (и) + М^а (ut) = - £apxs и. щ М$а (и,) =s = - £а{Щ и*, ха.

Функцию уИ“, интерполирующую М(и) в смысле леммы 5,

можно представить в виде М“=/И2— М“, где УИо интерполирует

УИ0(м), a УИ“ интерполирует ЛГДы,). Далее пусть 5*, k = \, 2, 3 — стороны треугольника Ти nk — направления нормали к сторонам

треугольника Г. Положим Alo(u)(t) = M0(u) (A"(S)), Mo =Mo[X{i)). Предположим, что задана некоторая функция и б (Tt).

Положим и(х) = и{Х~х (л:)), и пусть УИо интерполирует УИ0(и)на Т.

Рассмотрим линейный! функционал Р0(и) на (Тх), опре-

деляемый формулой Р0 (и) = (Мо (и) — Mo, М)^ т где М — произвольный вектор, \М\ 6Z.2(^i). Здесь введено скалярное произведение (М, N)a. г, = j ЛаРх5 М°р Л/8Х-

Г,

Используя соотношения леммы 5, можно доказать неравенство

Ййk п<с max !1°а Mli■+». рт. «» (20)

11 |а|=2 ш

где D^u=D% Dllu{X$)) .

Тогда, воспользовавшись неравенством Коши—Буняковского, получим:

Го («)|| < С \\М\]Х Ti d-2 (Sin 0)-2 Из+m, pm; Г, -

Л ■ V ■ Л ■

Если и полином степени меньшей, чем т+3, то функция и также является полиномом степени меньше т-\-3. В таком случае

М(и) — полином степени меньше т-\~ 1. Так как интерполяционный полином Ми степени меньше т+ 1 однозначно соответствует

М0(и), то М0 = М0(и) и, следовательно, F0(«)== 0.

Применим лемму 11. Тогда

|F0 (и)| <c|A%t fi d~°- (sin 6)-2 |й|з+т. Рт, г,.

■—— V )> А

Выбрав М = Мо{и) — Мо, получим оценку

||МоЛ (и) - м!\\л Ti < Cd~* (sin в)-» |и|з+т, Гт. г, •

Выполним обратную замену переменных. В результате

||М0 (и) - УЙоЦл. 7- < cd?-»v 1и\з+т, ря, г. (21)

Очевидно, что если в процессе доказательства этой оценки заменить и на ut, а значок 0 на £, то получим оценку

][Я (»i) - л5“1к г < «*2-^2 \и(\з+т, Рт, Г < с, flf2"^ | | Д | |1 + т, Рт, г. (22)

Теперь на основе оценок (21), (22) можно доказать утверждение леммы \\М(и) — Ж“|]л, г<|Д)(и) — Л$||л, r-{-\\Mt(ut) — М?\ \а, т

< cd*-^ (|«|3+m, Pm. r + I \Щ |1+m, Pm, r) .

8. Прежде чем доказать основную теорему, введем два параметра, связанные с разбиением области 2 на треугольники. Пусть Р\ ... , PN — особые точки задачи. Введем

bj — min [dist (Т,, \Pk, j(})/diam T Л, 8 = min (o:8;. > 0}.

i, k ' j

Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 3 и существуют такие положительные константы 0О, о0, что 9^0О, 8^60 ПРИ достаточно малых h. Пусть (wK, Л/*) — конечноэлементное решение* a w — точное решение задачи об изгибе пластинки. Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Существуют константа с(0о, 80, Xk, %.), где ~кк, х» — весовые показатели, характерные для Pk, [2(1 —/и)4$ Xft, /г<4], и постоян-

ная h0, такие, что для Л-</г0

2—1 Л

IIМ (W) — УИх|л, 2 < ch 2 max (|да|з+т, 2 + \^(\з+т, s).

Здесь

Лтах= шах (X*, Xi), am (X) = ШШ l(dist(x, P*))Xft+2 l<£<yV г',*

(dist(x, T^+2(m-1)}.

2. Для любой компактной подобласти 2' с 2 существует постоянная с', зависящая только от 2' и Ларх5, такая, что

. шах |то(Рг) — #(Р,)|<с'Ш(вд)- М^л,а у/г<Л0-

р1 €В'

Здесь Р1 — вершина треугольников.

Доказательство. Согласно теореме 3 существует решение задачи (2)—(8), причем то 6 1^<4>а(2), где

а(х) = тт {(сИвЦ*, Рк))\ (<Из1 (л:, ъ))7'}» 2(1 — /и)<Х*<4,

2(1 — от)<хг<4,

и, кроме ТОГО,

то € (2Й), а, = = ((1151 (х, Р*))1* ;

здесь 2Й с: 2 —угловая область, содержащая угол с вершиной Рк-

9к={х:хе иТ» Р*бТу}.

Пусть ®>0—малая константа и 2йе — окрестность точки Рк диаметра а, полученная из 2А преобразованием подобия с центром в точке Рк.

Исключая сначала из рассмотрения области 0,кг и затем переходя к пределу при е -> 0, получим

21 лг«р(то)»,«р<га= 21 —

/ Т. у l)Tj А

+ Х|лСРр(то)^2 у®е^т+1>-

Если учесть, что то удовлетворяет дифференциальному уравнению и граничным условиям (2)—(8), то можно записать это равенство в виде

ЖяР(то)Ха^2 = 2и (23)

/ / 07\ • 53

у^еКГ+1).

Пусть Ж 6 Ж(й"г> — единственный элемент, интерполирующий ./И(то) на каждом треугольнике Т} в смысле леммы 5. Для него справедливо равенство (16). Сопоставляя (16) и (23) и учитывая, что М интерполирует Ж (то), получим

^5-2^>(^) = -ЗД ¥®е^т+1).

53 / д7\ /

Таким образом, доказано, что и можно воспользовать-

ся леммой 9.

Оценим М (то)—М на каждом треугольнике с помощью леммы 12. Если 8у^80, то можно положить ^ = 2(1 — т) в лемме 12. Т огда

||М(то) - М\\А, т. < сй)+т (Нз+т, т} + К|з+т, гу), где й,- — (Пат Т}.

Для dj^. 1 можно получить неравенство Из+rn, r.<(max(ljoj £ f \Daw\iomdQ\^cd~xmx-2(m-1)\w\l+m,am, т .

!a)=3+m T. ' -

Таким образом,

V IIM (w) — M^A, Tj^cdj Xmax (|то|з +m, om, Tj + l®f|l+m, °m, T.) • (24)

*

В противном случае, если §/<§0, то вершина PkJ• треугольника Tj является особой точкой. Из леммы 12 для X = Xft получим, что при dj-*Ch0 имеет место неравенство

IМ (w) — MfA, т. ^cd1 Xft (|да|з+т, а^, Tj + |то^з+т, <*т, 7\). (25)

Аналогичное неравенство справедливо, если дГ,. f| ^/0. Просуммировав по всем / неравенства (24), (25) и воспользовавшись леммой 9, получим утверждение первой части теоремы. Из (17), если воспользуемся (3) и (182), получим

— (М (w) — Мк, М) = Lx (М, w — w%) у М £ . (26)

Пусть Рк с= 2 — какая-нибудь вершина триангуляции 2 и пусть Gph— функция Грина с полюсом в Рк. Пусть Мрь интерполирует Gpt на каждом треугольнике Т, в смысле леммы 5. Естественно, что

где L(v) = v(Pk). Можно показать, что Уп(Мрь) принимает на общей стороне смежных треугольников значения, равные

по модулю, но противоположные по знаку, кроме того, Н (М*** ,

P;) = 8f, а Mn(MP/l) = 0 Hi S3 из условия интерполяции. Вследствие этого из (26) получим

\w (Pk) - (Р„)I < IIМ%, а ||М (да) - М\\А, п .

Теперь для доказательства теоремы достаточно доказать существование такой константы с (2'), что ||ЖР*|| -< с для Р*^2 и й-<А0.

При этом для оценки ||Мр*(|л, а можно воспользоваться неравенством

г < с шах ||Л>“ GpJ1+m, ?m, т,

которое цолучается так же, как (20).

Согласно теореме 3 получим

шах Ш“ GP ||i+m, d , г < Юр К г. s < const.

jaj=2 m

Теорема доказана.

Замечание. Если решение да достаточно гладкое, то скорость сходимости Мг. к M(w) оптимальна, т. е. при h ^ 0

\\М (w) —М4а, 2 = 0 .

Следствие. Пусть 2 — выпуклая область, пластинка имеет изотропную гладкую жесткость. Далее пусть Р— вершина триангуляции, вР — функция Грина с полюсом в точке Р. Тогда

| 0Р(Р) —то" (Р)|<с/г2-2% где £> 0 —малое число.

ЛИТЕРАТУРА

1. Tabarrok В., Simpson A. An equilibrium finite element model for buckling analysis of plates. „Int. J. Numer. Meth. Eng.“, vol. 11, N 11, 1977.

2. T p а й и и н Л. А. Сопоставление численной реализации на ЭВМ метода конечных элементов на основе применения вариационных принципов Лагранжа и Рейсснера .Численные методы решения задач строительной механики". Киев, КИСИ, 1978.

3. J о h n s о п С. On the convergence of a mixed finite element method for plate bending problems. „Numerische Mathematik", vol. 21, N 1, 1973.

4. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы. М., Изд. иностр. лит-ры, 1962.

5. С о б о л е в С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л„ Изд. ЛГУ, 1950.

6. Михлин С. Г. Проблема минимума квадратичного функционала. М.—Л., ГИТТЛ, 1952.

7. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками. „Труды Московского математического общества", т. 16, 1967. -

8. А г р а н о в и ч М. А., В и ш и к М. И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида. „Успехи математических наук“, т. 19, вып. 3, 1964.

9. С о в и н Я. А. Эллиптические граничные задачи для плоских областей с углами и разрывами, выходящими на границу. „ДАН СССР”, т. 187, № 5, 1969.

10. Necas J. Les methodes directes en theorie des equations ellip-tiques. Prague, Academia, 1967.

11. Bramble J., HilbertS. R. Estimation of linear functionals on Sobolev spaces with application to Fourier transforms and spline interpolation. .SIAM Journal on Numerical Analysis', vol. 7, N 1, 1970.

Рукопись поступила I2\ VII 1978 г. Переработанный вариант поступил 3\П 1981 г.