Аппроксимация задачи о седловой точке и сходимость смешанного метода конечных элементов в задаче об изгибе пластинки Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том XIX

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

1 9 8 8 ~№~4

УДК 624.073

519.63 : 512.643

АППРОКСИМАЦИЯ ЗАДАЧИ О СЕДЛОВОЙ ТОЧКЕ И СХОДИМОСТЬ СМЕШАННОГО МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ЗАДАЧЕ ОБ ИЗГИБЕ ПЛАСТИНКИ

Г. А. Косушкин

Рассмотрена задача о седловой точке более общего вида, чем в работе [1]. Сформулирована приближенная задача о седловой точке. Доказаны соответствующие теоремы о разрешимости основной и приближенной задач и оценки скорости сходимости приближенных методов. В качестве приложения исследована схема Германа — Джонсона смешанного метода конечных элементов в задаче об изгибе анизотропной выпуклой полигональной пластинки при общих условиях нагружения и закрепления. Получена оценка скорости сходимости метода. Результаты в предельном случае совпадают с известными [1].

Смешанные методы конечных элементов для эллиптических уравнений четвертого порядка исследованы в ряде работ. Брецци и Равьяр [1] разработали единый подход к разным вариантам смешанного метода, рассматривая эквивалентные задачи о седловой точке. В качестве приложения исследована сходимость смешанного метода конечных элементов в задаче об изгибе изотропной жестко защемленной пластинки. Этот подход позволил получить новые оценки скорости сходимости.

Представляет интерес дальнейшее развитие методики [1]. С этой целью в предлагаемой статье рассмотрена задача о седловой точке в более общих предположениях. Получены оценки скорости сходимости метода конечных элементов, которые в предельном случае совпадают с известными оценками [1]. В качестве приложения исследована сходимость схемы Германа—Джонсона в задаче об изгибе выпуклой полигональной пластинки при общих условиях нагружения и закрепления.

1. Задача о седловой точке. Пусть X — банахово пространство, X' — сопряженное пространство. Будем через <х', х> или х'(х) обозначать значение функционала /еГ на элементе хеХ Если X — гильбертово пространство, то (-,-)х или (•,•) означают скалярное произведение. Используем общепринятые символы: у — квантор общности, 3—квантор существования.

6- «Ученые записки» № 4

81

Будем говорить, что оператор Т: Х^У' соответствует билинейной форме о{х, у), непрерывной на ХхУ, если

<Тх,у> — а(х, у), у(х, У)6*Х У-

Введем обозначение

|| а Ц = зир {о (л:, у) || * II-1 .у Ц-11|: (х, у)£Х X У}.

Здесь и в аналогичных выражениях двоеточие следует трактовать как «причем».

Теорема 1. Пусть X и У— вещественные банаховы пространства, Т — оператор, соответствующий билинейной форме а(х, у), непрерывной на ХХУ. Тогда для всех постоянных к>0 следующие утверждения эквивалентны:

1) Бир{з(.х, у)\\х\\-':хеХ}>1г\\у\\у уу£У\

2) \\Т'у\\х>>к\\у\\у уубУ;

3) ЕЯ : V' - X : Г5 = /, ||5|| < где I — тождественный оператор.

Следствие. Пусть выполнены условия теоремы. Тогда для всех &>О следующие утверждения эквивалентны:

1) зир{о(х, у)\х\-'\х£Х)>Цу\\у уу€У;

и зир{а(л, у)||уЦрг1 '.уЬУ)>Цх\х ух£Х-,

2) \ Т’у\х’>к\у1у ууеУ и \ Тх\У’>к\х\х ух^Л';

3) Т—изоморфизм X на У, причем ||Т_1|<;й-1, |(Т')_1|<;А-1.

Эта теорема в случае гильбертовых пространств доказана в [2]. Доказательство в случае банаховых пространств проводится по аналогичной схеме.

Пусть теперь ии и2 — вещественные гильбертовы пространства, а (и,, ■&]), Ь{юи г»2). с(и2, г>2)—билинейные формы, непрерывные на и^хии и^У.и2, 9 соответственно, А, В, С — линей-

ные операторы, соответствующие этим формам.

Рассмотрим абстрактную задачу (Р) о седловой точке: для заданного /=(/1, /2) £ иг = 0[ Х^2 найти элемент и = (ии и2), и £ и = С/1 X и2, удовлетворяющий уравнениям:

а(аи <01) + Ь(ч>и и2)=^^1) у®,€£/„ (1)

Ь(и 1, щ)-с(и2, .г»г)=/а(®2) и* (2)

Если ввести оператор А, Аи = (Аи1 + В' и2, Ви1 — Си2), то уравнения (1), (2) в операторной форме имеют вид

Ли = /.

Теорема 2. Пусть оператор Л задачи (Р) симметричен. Для того чтобы оператор Л представлял собой изоморфизм пространства и на и', необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие неравенства:

ИМ!+ 11 £«!!>£КII '¥«1^1»

II В'а2 II4-1| Си21 > А: Щ\ уи2 6 и2.

Для доказательства достаточно воспользоваться следствием из теоремы 1 и симметрией оператора Л.

Следствие. Пусть выполнены условия:

да>0:а('и„ г»,)> £/,; (3)

ар>0:ат^г + т(4) с{®2, ^г)> 0 уг»2^^2. (5)

Тогда задача (Р) однозначно и корректно разрешима.

При использовании метода конечных элементов большой интерес представляет другая формулировка задачи. Введем гильбертово пространство иь банахово пространство И2 и гильбертово пространство Н. Предположим, что и1<=.ии и2а 1/2а Н. Кроме того, предположим, что Ои иг плотны в ии иг, соответственно, а 112 плотно в Н. Предположим, ЧТО существуют билинейные формы Ь{у 1, v2) и

с (и2, v2), непрерывные на С/х X и на (Т2 X соответственно и удовлетворяющие условиям:

~Ь{ръ ю2) = Ь{у1 v2)Y(vl, v.2)^DiX^2, (6

с (и2, v2) = c(u2, v2) у («2, и2Х^г. (7

Теперь можно рассмотреть следующую задачу (Р): для заданных /2£#2 найти элемент иС 11= X удовлетворяю-

щий уравнениям:

а (и„ ю^ + Ь(рх, и2) = /1{юх) у(8)

Ь{ии ъ2)-с(иъ ъ2)=Ъ&2) у®» (9)

Для задачи (Р) нельзя доказать, теорему, аналогичную теореме 2. Тем не менее справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Пусть выполнены условия (3) — (5), справедливо неравенство

вир^^, тега) [1 п^1: *£>а € ^} + вир {с(ю2, «МЦ^гИй1 ’• ^02}>р||да21».

(10)

для всех ■Шъ^Ьг и, кроме того, решение (щ, и2) задачи (Р) таково,

что 1*1 е&1. Тогда задача (Р) имеет единственное решение {ии и2).

Доказательство. Так как ^1, и2^и2, то вследствие (6) и (7)

и плотности и2 в и2 получим, что («1, ыг) удовлетворяет (8) и (9).

Для доказательства единственности решения рассмотрим однородную систему

а- (®|, + ®»,) = 0у®1 £ <Л> (Н)

ф,, ®2)-ф2, (12)

Очевидно, что из (5), (7) и непрерывности формы с следует, что

с (г/2, г'г) > О V ^2 £ #2- (13)

83

Это означает, что билинейная форма с(и2, и2) симметрична.

Если положить в (11) у1 = гю1, в (12) положить у2=а>2, то получим что а(о>1, Ш1) +с (гш2, да2)=0. Отсюда согласно (5) и (13) следует, что №! = (). Подставив щ)1 = 0 в (11) и (12) и воспользовавшись неравенством (10) получим, что ш2 = 0. Теорема доказана.

Во многих случаях задачу (Р) легче аппроксимировать численно, чем задачу (Р). Введем в связи с этим конечномерные пространства

ич, и% такие, что И\(=.ии Рассмотрим приближенную за-

дачу (РЛ): для 6 и[, /2 6 О’г найти и^ = (и?, и2), «* € ин= (Л X ^2

Теорема 4. Пусть выполнены условия (3), (5) и, кроме того,

Доказательство можно опустить, так как согласно первой альтернативе Фредгольма вопрос сводится к доказательству травиальности решения однородной системы (14), (15). А это доказывается почте так же, как для системы (11), (12).

В дальнейшем нам понадобятся следующие неравенства:

Неравенства (17), (18) есть следствие того, что в конечномерном пространстве все нормы эквивалентны, а неравенства (19) и (20) следуют из теорем вложения. Здесь константа ^(й) зависит от (У*,, а константа

(к) от С/

Введем множества

-2Г (^) = {^ 6 I/:^ (ти г2) —~с (щ, г2) =/2 (г2) уг2 €

£Л(/) = {®'£^Й:МИ' 1. г2)—~с(102, г2)=/2(г2)чг2£

и обозначение [

удовлетворяющий уравнениям:

«« v1) + b{vl о£) =/,(«?) у*?€У?.

ь(ини vh2)-~c(ul ®5)=/2(®5) чКси\.

(14>

(15)

34 >0: шах

Тогда задача (Рл) однозначно и корректно разрешима.

КІЬіС^КІк ¥^1 £ Щг уг>2 є £/*;

ИіЦу, у®і є ^

(19)

(20>

(17)

(18)

€ ^2-

| [с] і = зир {с(у2, г2)||у2) Ия11] 22!н :у2, «2 £ £/*}•

Лемма 1. Пусть и — решение задачи (Р), — произвольный

элемент, и предположим, что справедливо неравенство (16). Тогда найдется такой элемент у'1е2?1(/), что

Доказательство. Очевидно, что ®і1 = ю'1-1-л,і(2'г(/), если хн

— решение уравнения

Ь{хи г\) — с(х2, г*) = 6(и,—да* г£) — с(«2 — да*, г£) уг*^*. (22)

Нетрудно показать, что правая часть уравнения (22) не больше по абсолютной величине правой части неравенства (21). Учитывая это и неравенства (23), (24), можно применить к уравнению (22) теорему 1. При этом в случае |М|<у можно положить в (22) ЛГ2 = 0. В результате получится оценка (21). Лемма доказана.

Введем константу 8С:8<,= 1 при | [с] | > 7, 8С = 0 при | [с] | < 7. Воспользуемся леммой 1, неравенством треугольника и (18). Тогда

Теорема 5. Пусть и — решение задачи (Р), ик — решение задачи

VI — да? Ий +1 Ця < 7_1 Ь'2 (ІЬІ (I— да? 11^ +||с || || и2 — то* к). (21)

При этом в случае |[с]|<у можно положить г>* = да*.

Отсюда в случае |[с]|<у следует, что

эир {Ь{Ух, 22)|| УіІІ^1 :ул 6 Щ)>іЩн

(24)

(25)

(26)

где

Л'1=1 + т-1||&||52, /С2 = 7-ЧкП|52, К3 = 8С 7-11| Ь\ 5І К, = 1 + 8, 7-1 ЦсII

{Рк). Далее, пусть выполнены условия теоремы 3 и справедливо неравенство (16). Тогда имеют место оценки:

Циі-«?Ік<*5р(«і, г/‘) + *-вр(и2, и% ЦЯа —£/*) Ч- /С8 Р («2» У*)-

(27)

(28)

Здесь

р(и,, £7*) = 1пГ{)и, -да^да? € Щ), 1=\, 2, к5=(1 +в-‘ II а II) С, К, + а-Ч 5 II Кз К6 = (1 + || «А )С, К2 + а->|| Ь \\К, ^

Кп = Г1 II «II ^1 Кь + (С2 + т-1 II'Ъ\\) кз + 8С Т-М|& II52 к9,

К& = т-1 II а || Ке С, + (С2 + т-1 IIЬII) К, + 8е т1 II * II $2 ^о-

Доказательство. Очевидно следующее соотношение: а (г»* — и\, V* — и'*) = а(г>*— Вц и?— и%)-\-а{и1 — и\, V* — и*).

Из него для vh^Zh(f) можно вывести, используя (8), (14) и (15), что а {VI —иг, VI — и?) = а(г/?—аи VI— и?) — Ь (■»? — и?, и2 — г»*) —

— с (1)2 — м*, 1*2 — м*).

Отсюда, воспользовавшись (3) и (13), выводим, что

К - «I* |к < а-11|«|||| И, - к + «-1 II ь I 5, II и2 - Ц^. (29)

А затем с помощью неравенства треугольника .получаем:

|| И, - и?|к < (1 + а-1 II а II) II и, - v\ У, + а-15, IIЪIIII и2 - VI . (30)

Из неравенства (29) с помощью (25), (26) выводим:

1 ® 1 — К ||и. < *9 II «1 - ®1 11^ + II «2 — 1*7,- (31)

Здесь

К3 -а~ЦаIIС, Кг + «-1 II» ||К, /Г,о = а-1 IIоIIС, К2 + И*II ^ 5,.

Соответственно из (30) выводим (27).

Докажем неравенство (28). Из (8), (14) и (15) имеем:

Ь (г?, и* — г>*) = а («1 — и?, г?) + й (г?, и2 — г>*) уг? £ £/?,

?(и2Л - г»*, 22й) = й (и? - VI г\) у22л £ VI

Воспользовавшись этими соотношениями и неравенством

п к <,ц 6(г?, а\ — и?) , « с (гг£, ы,—и»)

т|«2 —г,2 1|я< 5иР ------------------ + 8с 5иР й-------------— >

2 I

которое следует из (23), (24) и (27) и симметрии формы с, получим:

|| и* — ^2т-1 [ ||а || С, || и1 — иг!(/, + || Ь || [I и2 — Ну, +

+ 8е II* II $2 !«?-«*!$]• (32)

Отсюда с помощью неравенства треугольника, (27), (26), (31) выводим неравенство (28). Теорема доказана.

Отметим, что оценки (27), (28) в случае бс = 0 хорошо согласуются

с оценками, полученными в [1], а при [|с|] = 0 и ||-|1зг =|Ы1я просто совпадают с ними.

Оценки типа (27), (28), как отмечалось в [1] не являются оптимальными по двум следующим причинам. Во-первых, в правую часть

(27), (28) входит величина р^, и\) вместо более уместной величины

— Во-вторых, величина 51 (к) растет при увеличении раз-

мерности подпространства и\, причем 51(/г)->-оо. Но оказывается, что полученные результаты можно улучшить.

Введем множества Z = Z(0), Zh*=Zh{0) и

/»(Я={®*€г*(Л:с(г£-4, к2-ы2й)>0}.

Подпространства с ин можно рассматривать как конечномерную аппроксимацию подпространства I с= и, но оно, вообще говоря, не содержится в Е.

Теорема 6. Пусть выполнены условия теоремы 5 и

с= г. (33)

Тогда имеют место оценки:

|1и1-иПк<КиР(«ь'РЛ(/)). (34)

II ^2 — ^2 Ин ^12 И ^1 ЧУ‘ ^1# Р (Ц1г У)) "Ь Кц Р (М2, £/*)» (35)

где

р>1. Р’1(/)) = кЦ\щ-ъ,1Ли/.'0^

Кп «= <*-» Iа 1, Кп = Т11 а II Си К13 - (С2 + т1 № \\)К3 + 8Ст> ||Ъ152 К9 5„

Ки = (С2 + т-‘ 161) К, + 8 л-111Ъ || Я, АГю 5,.

Доказательство. Для vh^Zh(f) нетрудно, учитывая (8), (14) и

(33), вывести равенство

а(«! — и\, и, — и\) = а(и1 — и?, щ — -о?) — с (г>й — «2, «2 — «а)-

Отсюда, воспользовавшись (3), легко вывести (34). .

Из (32) с помощью неравенства треугольника получим:

II «2 — и2 ||я < Т-М1 а I ^1 |1И1-1к + (^2 + Т-1 II Ь | ) | и2 — ЦР' -Ь

+ 8л-11^»52||«?-®?1к.

Воспользовавшись (26), (31), получаем (35). Теорема доказана.

Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 3 и условие (33). Предположим, что существуют операторы П* : Ц1 £/?, /=1, 2, и константы С3, С4 такие, что

— пЛ , 2*) = О V гн2 С £/?, (36)

ЦП'^Ц^^СзП^Це; у®1 €'£/ь (37)

с (г/2 — Пй г»2, г*) = 0 уг2Л £ £4» (38)

I ПА ®2 |1я < Ci [I ^2 |„ У®2 € ^2 ■ (39)

Тогда задача (Рь.) имеет единственное решение и справедливы неравенства

II и1 — и11к < Ки II «1 - пй «1 1к» (4°)

| а, — и* ||я < Кп II и, — П» щ 1^ + к13 Р («„ Щ) + Ки р (и„ и*). (41)

Доказательство. Воспользовавшись свойством (38) и симметрией формы с можно доказать, что

с(Пн и2 - и*, «2 - «2) = с (П* и2 — и\, Пл«2 - и*) > 0. (42)

Используя (10), (36) — (39), можно доказать, что неравенство (16) выполяется. При этом х = шш (сГ1, сГ1) р.

Для элемента (П* ии имеет место следующее:

ЬО&щ, г\)-~с(Ъ\иг, гн2)=~Ь{ии г%) — с(и2, г%)=А(г$).

Это вместе с (42) означает, что (П^й], и2) С Теперь можно

воспользоваться (34), (35) и получить в результате (40), (41).

Пусть Л — гильбертово пространство со скалярным произведением (•, -)л и нормой ||*||а, причем 02 непрерывно вложено в Л.

Будем считать, что задача (Р) регулярна в том смысле, что если задан элемент гр е Л и (уи у2)<^1) — решение задачи:

а(®1» У1) + &(®ь ^г) = 0у®1 ^ ии (43)

Ь (Уи *»2) ~ с (у2, V.}) = (ф, ®2)Л у®2 € и*, (44)

то у 1 принадлежит пространству О^.

Обозначим через 2/г(г|з) множество всех решений уравнения (44). Теорема 7. Предположим, что задача (Р) регулярна, и — решение задачи (Р), ик — решение задачи (Рн). Тогда справедливо неравенство

||и2 —и2Л||Л< вир {К ф Вх1 ШЙтит [ II а III «1 — и? Не/. 1У1 — УЧЬ +

?€Л

►Я А - .ГЙ

«2 ’ 1*2 €

—{- 1 Уа — ^21ц; (|| Ь11|«1 — М?Ну, +|| с31 «2 — И*!#,) + ||И2 — {4 1у3 X

х (\\ЦIIУ1 -у?о о; +1 *11 ^ - у2Ь.) +1~сIIЧу2 - у* к II“* - “гЬ,1)•

Доказательство. Пусть (4*)- К уравнению (44) с

щ — И2 — прибавим (9) с — щ—и\, прибавим (15) с ^ = ^ и

прибавим очевидное соотношение

(Ф, и2 — и*)л = а(«! — иї, уі— у1)+ 6(ах — ии у2 — £?) —

---с(и2 — «2, _У2 — £2) ~Ь Ь (у! —_Уь й2 — {4) — С (У2 ~~ У2, «2 — Н^) +

можно прийти к утверждению теоремы.

2. Приложение полученных результатов к задаче об изгибе пластинки.

Рассмотрим тонкую пластинку, занимающую в прямоугольных декартовых координатах ха (а=1,2) выпуклую полигональную область £2. Напряженно-деформированное состояние пластинки в рамках теории Кирхгофа — Лява характеризуется прогибом хш и тензором моментов М*?, а также статическими факторами Т, Мп, О*, Яп, Уп, Н. Необходимые пояснения к используемым обозначениям и постановке задачи можно найти в [3]. Напомним лишь, что ниже используются тензорные обозначения, при этом греческие индексы принимают значения 1,2, а знак суммирования по повторяющимся индексам опускается.

Предположим, что условия да|5, = 0, да, „|52 = 0 и условия упругого опирания исключают перемещения пластинки как жесткого целого. Этого всегда можно добиться. Введем пространства и нормы:

с (да, V) = ] к.ійю<1х 4- 3 &3 да,п®,п йэ + &4 даг'йз + ^ (&4даг;) (а1).

Ь{Уі — У и «2— ^2)— С (У 2 У 2 і М2 ^г) = 0.

В результате получим:

+ с(у2—у2, и2 — и*).

Теперь, воспользовавшись тем, что

II «2 — «2 На = Бир (Ф, и2 — я*) II ф II;

ІҐ-

иу = {М\Ма^ Ь2{&), Мп = М*), М=[М*?}2р=1, и2 = {да 6 ^2) (й): да |$, = 0, да, „ |5г = 0},

2

1/2

Введем билинейные формы:

а (М, Ы) = | А^хг б/х, Ь (М, да) = | да, «р йх,

Я

а. £

Здесь йг — угловые точки, п4 — число прямолинейных участков ломаной 54; &3, &4>0— коэффициенты упругости основания.

Далее определим функционалы:

/1(Л0 = О,/2(г>) = ] (Ж2? г».ар- чъ + § ЛГ^.п(18 —

а Яз

-2 1 У>аз-

/ = 15.. А. 6^4

Теперь уравнения (1), (2) определяют уравнения смешанного принципа Рейсснера для пластинки.

Пусть Тн — регулярная триангуляция области Й[1], Д £ Тк— произвольный треугольник, А = тах (сИат Д : Д £ Тк).

Введем пространство

их = {М 6 ^,:уД ^ Тл М“Р|Д 6 ^(Д), а, р = 1, 2,

—непрерывен на межэлементных границах}.

На множестве и2 рассмотрим нормы

IIф \и, = II ® 1^0)(й) + к (®, ®)]1,а. /> > 2>

II ® Ия = [ | (®*! + ® а2) йх + С (г», V) ]1/2.

2

Замыкания множества £/2 по нормам || • и || • |н обозначим через

и2 и Н соответственно.

Введем билинейные формы:

Ь(М, V) = 2 [— | <3“ ч,а йх + § Т ъ>!: с1з +

Д Д ЙД

+ | Млг>)п^] ’у М £0и ~с (да, v) = c( да, V) уда, ®££/2.

2Дп5я

Билинейные формы Ь(Л1, г») и с (да, г>) доопределяются на ихХ,и2 и и2Х^2 соответственно по непрерывности.

Введенные выше пространства и билинейные формы позволяют сформулировать задачи (Р) и (Р) для пластинки. Можно доказать, что при некоторых ограничениях на выполняются условия теорем 2 и 3. Далее можно доказать, что выполняются условия теоремы 4.

Определим множество 53с = 53£/ эирр 1г3. Обозначим через Р* — пространство всех полиномов степени не выше t. Положим для любого целого £>0

1А = {М а, р= 1, 2, уД £7„},

иН2 = Ы£С«(®)пи2:-®1£Р, уД £ТН\,

где 5 = £-(- 1, если ДП^Зс¥=0, И 8 = { в противном случае.

Лемма 2. Пусть выполнены следующие условия: 1) разбиения 7* регулярны и являются разбиениями для подобластей эирр к, эирр кг, вирр &4; 2) коэффициенты к3, постоянны на каждом треугольнике каждого разбиения Гй; 3) сИз1 [д2, 8ирр&]>2Л, (здесь сИэ! — расстояние).

Тогда справедлива гипотеза (33).

Доказательство леммы опускается.

Используя следствие из теоремы 6 можно доказать теорему.

Теорема 8. Предположим, что решение га задачи о прогибе пластинки принадлежит 1^2+2(2)П£Л’ триангуляция области регулярна и выполнены условия леммы 2. Тогда соответствующая задача (Рь) имеет единственное решение (Ми, такое, что

|| М — Мн || 01<СКи А*|®1<+2.9 ,

И и, _ да* || 1>а ^ с [/С12 А* I ™ |<+2, а + Кп 11!) |<+2. в + Ки1г(\‘м |/+1, р, 2]

где С — некоторая константа, а | • |*+1. р, а. I • |<+2, а — полунормы.

В случае 8С = 0 имеем:

К'п = «-1 11 я II . /С1а = т-1 II а II Си Кг8 = 0, Ки =С2 + У1 || * II •

При некоторых дополнительных ограничениях на триангуляцию можно воспользоваться оценкой [4]

тем более верной для 52, здесь Л>0 — некоторая константа.

На основе полученных теорем можно также рассмотреть более сложный случай пластинки произвольной формы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Brezzi F., Ravi art P. A. Mixed element methods for 4-th order elliptic equations. Topics in numerical analysis. — III. London—New York— San Francisco,/J. H. Miller, editor, 1977.

2. В r e z z i F. On the existence, uniqueness and approximation of saddle-point problems arising from Lagrangian multipliers. —R.A.I.R.O Anal. Numer., 1974, vol. 8, N 2.

3. К о с у ш к и н Г. А. Задача об изгибе анизотропной пластинки и метод конечных элементов смешанного типа. — Ученые записки ЦАГИ, 1981, т. 12, № 5.

4. С i а г 1 е t P. G., R a v i а г t P. A. A mixed finite element method for the biharmonic equation. — Sumposium in mathematical aspects of finite element in partial differential equations. — Acad. Press, (New York,/C. de Boor, editor, 1974.

Рукопись поступила 31J III 1986 г. Переработанный вариант поступил 30/111 1988 г.