Сходимость метода конечных элементов для краевой задачи с вырождением на всей границе области Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.632

DOI: 10.14529/cmsel90301

СХОДИМОСТЬ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С ВЫРОЖДЕНИЕМ НА ВСЕЙ ГРАНИЦЕ ОБЛАСТИ

© 2019 Е.И. Рукавишникова

Вычислительный центр ДВО РАН (680000 Хабаровск, ул. Ким Ю Чена, д. 65) E-mail: rukavishnikova-55@mail.ru Поступила в редакцию: 04.09.2018

В статье рассматривается задача Дирихле с однородным граничным условием для эллиптического уравнения второго порядка с вырождением на всей дважды непрерывно дифференцируемой границе двумерной области П. Определяется обобщенное решение этой задачи, которое существует и единственно в весовом пространстве ТГгДИ). Для решения сформулированной задачи разработан метод конечных элементов, схема которого построена на основе определения обобщенного решения исходной дифференциальной задачи в пространстве ЙЦД!!). С этой целью двумерная выпуклая область разбивается на треугольники со специальным сгущением к границе. Далее, введено пространство конечных элементов Vh С ЙДЦО), которое содержит непрерывные функции, линейные на каждом треугольном элементе сеточной области Qh и равные нулю на множестве 12 \ ГУ, показана однозначная разрешимость схемы метода конечных элементов. Для обобщенного решения и из подпространства Wia-i(4) пространства W2aKk)i используя значения в узлах триангулированной области Sih, строится интерполянт uj £ Vh, устанавливается факт его сходимости по норме ИЦДП). Главным результатом работы является доказательство сходимости приближенного решения предложенного метода к точному решению в весовом пространстве Соболева.

Ключевые слова: краевая задача с вырождением, весовое пространство Соболева, обобщенное решение, метод конечных элементов.

ОБРАЗЕЦ ЦИТИРОВАНИЯ

Рукавишникова Е.И. Сходимость метода конечных элементов для краевой задачи с вырождением на всей границе области // Вестник ЮУрГУ. Серия: Вычислительная

математика и информатика. 2019. Т. 8, № 3. С. 5-26. DOI: 10.14529/cmsel90301.

Введение

Сингулярность решения краевых задач может быть вызвана особенностью исходных данных (коэффициентов, правых частей уравнения и граничных условий), геометрией границы области, внутренними свойствами решения. Краевая задача называется задачей с сильной сингулярностью, если ее решение и ^ Н1 {W)) или интеграл Дирихле от функции и расходится. Для таких задач, когда решение имеет сингулярность на конечном множестве точек на границе области, были разработаны различные методы конечных элементов, позволяющие находить приближенное решение (см. [1-10]). В том случае, когда и £ Н1 и и Н2 краевую задачу называют задачей со слабой сингулярностью решения. В работе [11] была сформулирована краевая задача с вырождением решения на всей границе области, исследовано его существование и единственность в весовом пространстве С.Л. Соболева. В [12-14] изучены коэрцитивные и дифференциальные свойства решения.

Целью данной работы является построение метода конечных элементов (МКЭ) для первой краевой задачи для эллиптического уравнения второго порядка с вырождением на всей дважды непрерывно дифференцируемой границе двумерной области 12 и

исследование сходимости приближенного решения МКЭ к точному решению в норме весового пространства И^ДП).

В разделе 1 приведена постановка исходной дифференциальной задачи, сформулированы вспомогательные сведения и результаты, из которых следует существование и единственность ее обобщенного решения. В разделе 2 описано построение схемы МКЭ, первым шагом в осуществлении которого является триангуляция двумерной выпуклой области со специальным сгущением треугольных элементов к границе. Далее, введено пространство конечных элементов и показана единственность приближенного решения МКЭ в нем. В разделе 3 устанавливается сходимость приближенного решения построенного метода к точному обобщенному решению задачи по норме весового пространства W\a. В заключении сформулированы основные результаты исследования аппроксимации решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с вырождением на границе, указаны области их применения и определено направление дальнейшей работы.

1. Постановка задачи

Пусть R2 — двумерное евклидово пространство с произвольной точкой ж = (жцЖг) в нем и dx = dx\dx2; П С R2 — ограниченная область с достаточно гладкой границей сК2, П — замыкание области, т.е. П = Пи 9П.

Определим весовую функцию р{ж) как расстояние любой точки ж £ П до границы 9П.

Далее положим, что s £ {1; 2}, 7 — действительное число, удовлетворяющее условию 1/2 — s < 7 < 1/2. Через ИДДП) обозначим весовое пространство Соболева функций /, заданных на П, с конечной нормой

Н/1|щ|ДО) - II/IIl2(Q) + 1/|щД(П)

(1)

эквивалентной [15] норме

(2)

где

(АдДг), > 0, к2 > 0 — целые числа,

|fc|=s

\к\ = к\ +к2- При 7 = 0 пространства 1К|0(П) и 1К|(П) совпадают. Введем пространство функций /

Ж|17(П) = {/:/£1К2уП), /Ы = 0}

и пространство L2,-i-7 функций F{ж), ж £ П, с конечной нормой

Отметим [15], что верно вложение пространств

Wl,m С Wi-Цп) (3)

при тi < 1/2, 7г < 7 + I, 0 < I < s, д£1 £ С^\ в частности, ll/2j7o(^) = £2)7о(П), если s = I. Также имеют место неравенства [11]

II/IIl2(Q) < IIP-S-7/IIl2(Q) < C2\f\w£n(Q), (4)

справедливые для функций / из 1T|7(H), если сЮ £ sq — наименьшее натуральное

число такое, что s + 7— 1/2 < so < s + 7 + 1/2, s < 2so, с константами C1, C2, не зависящими от /.

В области П рассмотрим дифференциальное уравнение

- X] +а^и = х G (5)

с краевым условием

и\дп = 0, д£1 £ С(2). (6)

Правая часть уравнения (5) удовлетворяет включению

F £ L2,_i_Q(fi), (7)

т.е. p1+aF £ L2(H), -1/2 < а < 1/2.

Коэффициенты уравнения аы(ж) = ац,(ж) (/г,/ = 1,2) — дифференцируемые на П функции, удовлетворяют неравенствам

\aki{x)\ < С3р~2а{х), (8)

функция а(х)

даы{ х) даы{х)

дх\ дх2

< САр-2а-\х),

положительная и подчинена неравенству а(х) < С5р-2а~2{х).

(9)

(10)

Предполагается выполненным условие ультраэллиптичности 2 2

У] aki(x)CkCi > С6р 2a(x)J2(ki хеП, С6 > 0,

к,1=1

(П)

к=1

где ф, ф — любые действительные параметры, — константы, не зависящие от х.

Введем соответственно билинейную и линейную формы

(г 2

Е(и, v)= ^2 т

к,1=1

ди dv дхк дхi

+ auv

dx, (F,v) = / Fvdx.

Наряду с задачей (5), (6) сформулируем следующую вариационную задачу: найти функцию и £ ИффП), для которой равенство

Е(и, v) = (F, у)

(12)

справедливо для всех v £ ТгфП).

Функцию и £ ^2а(^)> обладающую свойством (12), назовем обобщенным решением уравнения (5) в пространстве И^фП).

Заметим, что в силу соотношений (4), (7), (8), (10), (11) при s = 1, 7 = а (см. [11]) билинейная форма E(u,v) является непрерывной на пространстве ИффП) и W\ фИфэллиптичной, а линейная форма (F,v) непрерывна на этом же пространстве. На основании теоремы Лакса—Мильграма [16], существует единственное решение вариационной задачи (12).

Кроме этого, из работы [13] следует, что если выполнено условие (7), то обобщенное решение и £ П^фП) задачи (5), (6) принадлежит пространству H/2Q,_1(H). Ввиду соотношения (3) при s = 2, 7 = а — 1, I = 1, 7/ = а, имеет место вложение пространств

На-т С

Для решения вариационной задачи (12) применим метод конечных элементов.

2. Построение схемы метода конечных элементов

Полагая, что область определения решения П выпуклая, произведем ее триангуляцию Т/ (рис. 1). Для этого через точки, находящиеся от границы д£1 на расстояниях, равных Ь(^)г, j = 0,..., та, г > 1 (Ь < fe/2, Sq — диаметр вписанной в О окружности, г — параметр сжатия, характеризующий степень сгущения точек), проводятся кривые Гу, j = 0,..., та, разделяющие область О на слои Qj, j = 1,..., та. Линия Гп при этом делит О на две подобласти: внешнюю Hi (приграничную полосу) и внутреннюю П2. На каждой кривой Гф j = 0,..., та (Гд = 9П, Гп = 9Hi) фиксируются Mj равноотстоящих

У <(!)'-(¥)')

+1)

узлов. Число Mj, j = 1,..., та, определяется функцией 'ip(j) =

где lj — длина кривой Гф Mq = 2М\. Соединением сначала последовательно всех точек на кривых Гу ломаными линиями, а затем каждого из узлов на ф-i с ближайшей из узловых точек, принадлежащих кривой Гу, j = 1,...,та, подобласть Hi разбивается на элементы треугольного типа со сгущением к границе д£1. Объединение всех треугольников, вершины которых являются узловыми точками только кривых Гу_1 и Гу, j = 1,...,та, обозначим через <3^.

Во внутренней подобласти П2 проводится квазиравномерная триангуляция, в результате которой имеем конечное число регулярных треугольников с наибольшей стороной порядка 1/та. При этом точки разбиения (вершины треугольников) на границе сИД должны входить в число вершин треугольников на П2. (На рис. 1 подобласть Hi разделена на слои Qi,..., (ф и Г4 = 9Hi).

Проведенная триангуляция области П удовлетворяет следующим свойствам:

N

1. п = nh U П', где nh = U Km, {К} = {Kb...,KN}

множество замкнутых

m=1

треугольников, называемых конечными элементами, ГГ — объединение сегментов, отсекаемых треугольниками Кт, хотя бы одна вершина которых принадлежит границе дП.

2. Общими для треугольников К могут быть только стороны или вершины.

3. Наибольшая сторона h в треугольниках Кт имеет порядок 1/та , где та — число слоев в приграничной полосе Hi.

4. sup < О7, где постоянная С7 не зависит от h.

КёТк min( ’

Рис. 1. Построение сеточной области Q1'

Отметим также, что вершины Pi,..., треугольников К являются узлами

триангуляции.

Обозначим через Vh С Й^ДП) пространство непрерывных функций, линейных на

каждом Кт из триангуляции Тh и равных нулю на П \ Q!1. Для функции и из пространства

Nh

H/|Q,_i(n) определим интерполянт ui(x) = ^ ДР)</Дж), где </Дж) — базисная функция,

i=1

которая в точке Pi равна единице, в остальных узлах — нулю и линейна на каждом треугольнике из множества {К}.

Построенному конечномерному пространству Vh С сопоставим следующую

дискретную задачу: найти функцию иh £ Vh, удовлетворяющую равенству

E(uh,vh) = (F,vh) (13)

ДЛЯ любой функции Vh из Vh.

Здесь E(uh,Vh) и (F,Vh) — билинейная и линейная формы из задачи (12). Согласно теореме Лакса—Мильграма [16], задача (13) имеет единственное решение Uh, которое будем называть приближенным решением по методу конечных элементов.

3. Сходимость метода конечных элементов в весовом пространстве

Рассмотрим семейство (Vh) подпространств пространства W\а(П), где параметр h (h — наибольшая из длин сторон треугольников К в триангуляциях ТД в пределе равен нулю. Каждому пространству конечных элементов Vh поставим в соответствие приближенное решение Uh, удовлетворяющее условию (13).

Установим сходимость метода по норме И/21а(^):

lim \\u-uh\\wi (n) = 0, (14)

/,_vn 1

где и — решение задачи (12), Uh — решение задачи (13).

Лемма 1. Пусть и — решение задачи (12), иh — решение задачи (13). Тогда существует такая положительная постоянная Cg, не зависящая от подпространства Vh, что

11“ — uh\\w}a(n) < Cg inf \\и - VhWwi а(П)-

В силу непрерывности на пространстве ИД^ДИ) и Й/21а,(П)-эллиптичности билинейной

формы E{u,v) последнее неравенство доказывается по аналогии с [17].

Так как inf \\и — (m < \\и — (m, то Для того, чтобы установить

Vhevh 2>“v ’ 2|“V '

соотношение (14), покажем, что интерполянт ui сходится к точному решению и задачи (12).

Введем следующие обозначения:

Nl

Q4 = U Кт , где Кт — треугольники, вершины которых принадлежат слою Q\ из Oi

т=1

п

(Q1 — первый слой деления подобласти Hi , Hi = (J Qj, п — число слоев), а АД — число

з=1

этих треугольников;

n2

= (J Dm, где N2 — число сегментов Dm, ограниченных хордами, соединяющими

т= 1

рядом лежащие узлы кривой Го, и дугами, которыми эти хорды стягиваются;

N3

= U Кт, где Кт — треугольники из \ Q±, = (П \ П') N3 — число

m=N1+1

N

треугольников во всей подобласти П)1, а = и Кт, где Кт £ Th П П2, N — общее

m=Nz+1

число треугольников в сеточной области £lh.

Ввиду того, что ui\qi = 0, имеем

1“ - иА\щДП) - (ll“ - ul\\wla(n%) + IIй “ Ul\\

+ 11“ - Ul\\wlct(Q>i) + 1М1иЧа(П')) ^ ■ (15)

Теорема 1. Пусть и £ Й/|а,_1(П) , щ £ Vh — ее интерполянт, построенный по проведенной триангуляции Тh области П. Тогда

lim |\и - Щ\\щ jq) = 0.

h—>0 ’

(16)

Для доказательства теоремы 1 нам понадобятся следующие вспомогательные утверждения.

Лемма 2. Если выполняются условия теоремы 1, то

Дт || и - щ ||щД(о£) = 0.

/г—> о

(17)

Доказательство. Используя неравенства

\и

— ul\w%a{Q%) — ( SUP Р а(х) ) 1“ — ul\w£(n%)i

ЧжбОо /

N

- inf pi-ДхУ

xGfltl

оценки [17]

\и — ui\w}(n%) — C$h\u\\и — ui\l2(q£) — C'lo/^MwKnj)

и полагая, что sup р~а(х) < Сц , inf р1~а(х) < Сщ, где Сц, Сц ~~ постоянные величины, получаем

Iй _ UAwia{n%) < Ci2,h\u\wi^(Qhp (18)

11“ — ui\\l2{0,%) < C,14^2|'w|w2%_1(Q5)- (19)

(Здесь и далее постоянные множители, стоящие перед нормами и полунормами функции и в пространствах Соболева, не зависят от нее и h — наибольшей из длин сторон треугольников в сеточной области).

Из неравенств (18), (19) следует оценка

11“ - uiWwi^Qh) < Ci5h\u\W2a_^Qhy

Перейдя к пределу при h —> 0, в результате будем иметь равенство (17). Лемма доказана. □ Лемма 3. Если выполняются условия теоремы 1, то

lim \\и - =°- (2°)

Доказательство. Так как для всех треугольников К из Q,\,h верны неравенства

\и

~ui\wia(K) < I supp "(ж) \ \u-ui\wi(K), \хе к J

(21)

\W2{K) jnf pi a

(22)

хек

и справедливы оценки [17] при р = q = 2, т = 0,1 для невесовых норм пространств Соболева и Лебега

1“ - ui\w${K) < Ci6Iik\u\wZ(k)i (23)

11“ — ui\\l2(k) < C'i7^|-|“lw22(K') (24)

(fix — наибольшая длина стороны треугольника К), то из соотношений (21)-(24) следует

sup р~а(х)

\и ~ ui\w2\JK) < Сгфк pi-a^\u\wi^pK),

хек

И И ^ Г, 12

\\и-и,\\ык)<с17нк ы

хек

Учитывая, что для предложенной триангуляции области Q,\,h

inf р1-“(ж) > C18(^)K1 а), hk < С19(Ц

сб К \ П / \П/

хек

Д-11-, г>1,

vR/ П

/1 \ —га \

supp "(ж) < С2о(-) , —- < а < О,

хек VnJ 2

sup р

хек

/ 7 — 1 \ -га 1

\х) < C2i(^-) , 0<а<~,

где j = 2,... ,п (п — число слоев разбиения подобласти Oi), получаем оценки

Iй “ ul\Ща(К) ^

°22{т=т)

j ^ 2г(1—а) 1

aG( 2’°)’

/ j \ 2т* " 1 \

Iй “ UA Wla(K) — ^23 f. _ J J ^2 IIUIIvK22q_1(A')’ aG °’2/’

i м2 „ / j \2r(l-«) / j \2r(l+«) 1 2 / 11

Iu-u/IIl2(*o < C^{~X) (“J 74 ll^llWla-,{K)' ae{~2;2

(25)

В силу того, что ||u||^2 (q) < С25, для любого е > 0 найдется такое 5 > 0, что

е2

IM|w2 /Г6-, < , где Tq = {ж G П: р(х) < 5} есть 5-окрестность границы Го в области

УУ2,а:-1\ О) 4026

О (полоса ширины 5).

Обозначим через п£ число слоев Qj, j = 1,... ,п£, содержащихся в Гд. (Ясно, что п£ —> оо при е —> 0). Таким образом,

\и\

W? г

-(Д0')

<

4С*26

(26)

Задав £, определим 5, а следовательно, и п£ так, чтобы выполнялось неравенство (26). Покажем, что в этом случае имеет место оценка

\и — Uj\

Wi

'("у>)

£2

(27)

П£— 1

U <

3=2 ' 7=1

где (J Qj Т (J Qj-

п£ —1

Просуммировав неравенства (25) по всем треугольникам К из (J по слоям <5^,

будем иметь

7=2

П,-1

ке U Qj

j ^ 2г(1—a) 1 ^ ||2 ^

IWIJK) ^ ^22 2_^ VTTTy ~j2"u"wia-i(Q$) -

3=2 J J

X] i“ - ui\«’UK) < C22 Y

<C22 (22T-.»>I||„||2

и и, ( 1 \ 2r(l—a) 1

+ ■ ■ ■ + (1+ > “ ~"U"Tira '"ь ч1<

n£ — 2/ (n£ — l)2 U wlc-i(Qne-i) J

< C2222r<-1-^-2(Ml

+ ... + |M

wi^AQL_n) -

1

< OdMI2 ч при - 4 < a < 0, (28)

wi,a_x U 2

п£ — 1

\U~ ul\Ща(К) ^ ^23 ^

Л'е U Qj

з=2

j \2r 1 „..м2

<

< Сгз2

2r—2

wi'.-dQZ)

+ ...+

1 wi^AQL^)) -

<C2s\\u\\2 (ne_^ \ при 0 < a <

wl„-\ U Qj

n£—1

2 \\u-ui\\lz(K)<c^Y^

Ke и1 Qf

3=2

<

M*0 - ^ v 7 — 1

7=2 J

j ^2r(l-a) ^ j ^2r(l+a) 1 ^ ^

4 "“IlWa%_1(Qj) -

Gm2x-m(2£^)^>(ii<,ii^iM) + ...+

< C29|M|2

■Су»

1

при — - < Q <

Принимая во внимание, что

\\u-Ui\\2 N < 2 ||и-И7||2 ,n,_1 ч+|и-И7|2

Ua v L4MQV w^UQ?

и используя неравенства (26), (28)-(30), устанавливаем оценку (27) \\и-ит\\2

Wo1

C^g2 / _ 1 1

(”U4h) 2С26 2 ’ а V 2 ’ 2

1 /l *

Аналогично просуммируем неравенства (25) по треугольникам К из \ (J

з='

слоям Qj, j = пе,...,п, в результате будем иметь

Y \и~ Ul\wlJK) ^ °22 Y

j \ 2г(1—а) 1

3=2

3=Пе

j ~ 1

2 "“"wic-AQi) -

<

^30(14-----1 )2^(1 “> 1

V Пег --- 1 /

1

2 ll-и / „с-1 N , если - - < а <

пе wa%_1(ni,h\ U Qj' 2

кеп;Л\ и Qj

ща(к) <C21,Y ( J 1) ?-2 IIuIIw22,0,_i(q$) -

3=Пе

У~! IU Uj\Ща(К) — ^23 ^

<

<

сЦ

i +

1 \2r 1

ne-lJ п2£

ifni-Vt/

V J=2

Q5

, если 0 < а <

, (29)

(30)

Qj по

, (31)

, (32)

j ^2r(l-a)^j^2r(l+a) I ^

ягефЛ\Т11 Qh

3=2

<

J=ne

1 \2r(l-Q)/nE\2r(l+«) 1 2

<^32 1 + ----r -

V nF — 1 / \ n /

■u

и?,..! n!'h\ U Qj

1 1 , .

j \ , если — - < a < (33)

Так как при n —> oo и ne —> oo, a h —)• 0, то из оценок (31)—(33) получаем

lim ||и — ui\\2

/i-s>0 wi

,(*Ф'

\ U QJ

3=2

= 0.

Значит, для любого £ > 0 существует такое ho(e), что неравенство

\и — щ\

ш

Л U Qj

£2

(34)

справедливо для всех h < ho(e), —1/2 < a < 1/2. Ввиду того, что

1^ ^/lliin \\и Uj ||

> к

/ пе-1 \ + _ Ul\\

• (у ,h\ м Q0 wl

U Q'

из (27), (34) следует предельное равенство (20). Лемма доказана. Лемма 4. Пусть выполняются условия теоремы 1. Тогда

lim =0.

□

(35)

Доказательство. Чтобы установить справедливость равенства (35), воспользуемся неравенством

~ иДляч) -Сз^и~иДлян,) -2Сзз^и~и1^М) + \и~иДля^- (36)

Сначала оценим второе слагаеммое, стоящее в правой части (36). Имеем

\и ~ UAWla{Q>t) ^ 2(МWla(Qi) + lU/lw'21iCt(Qj))- (37)

Умножим полунорму |rt|^yi (х)) гДе К — произвольный треугольник из Q±, на

= max р(х). Выполнив преобразование переноса начала координат О и поворота xeKcQb

осей ОХ 1 и ОХ2 исходной системы координат таким образом, чтобы ось 0'Х[ прошла через два узла треугольника К, принадлежащие кривой Го, а ось О'Х'2 — через тот узел К на Го, который лежит левее (в том случае, когда основанием треугольника К является звено ломаной Го), или так, чтобы начало координат О' совпало с единственным узлом треугольника К на кривой Го, а ось 0'Х'1 прошла через то звено ломаной Го, левой узловой точкой которого этот узел является (в том случае, когда основанием К является одно из звеньев ломаной ГД получим новую, локальную систему координат О'Х^Х^ (рис. 2). (Заметим, что в результате проведенных преобразований координат рассматриваемые нами полунормы и нормы остаются неизменными).

Оценим h^\ui\y^i (к) в системе координат 0'Х\Х'2

h^\ui\

Wla(K)

= h{1)

i=1

<

w2X(K)

1/2

< C3A\u{x1,x2)\ [ Jp a{x)dx1dx2j < C35\u{x1,x2)\p a{x1,x2), (38)

где (xi,x2) — координаты узла в К, в котором функции и{х') и р{х') принимают наибольшие значения среди узлов треугольника К. В точке х' = (х^х^) Е К из Q\ имеем

%

Рис. 2. Локальная система координат для треугольника К

Цжфж^р1 а{х'ъх2)\ =

п(ж'1,0)р1 "(ж'1,0) +

<9(1^, ж^р1 “(ж^ж'з))^ ,

дх' dX2

Получим оценки для слагаемых, стоящих в правой части равенства (39):

? д{и{х[, жУр1"0^!, ж'2))_

дх'г,

ди(х'ъх'2) i_a, , ,ч , , , gJ Р a(x,1,x,2)dx,2+

+ /(1 - а)г1(ж,1,ж'2)р а(ж/1,ж/2)Эр^а;2^/2

<

<

(39)

д^дж' Ж2'>р1 а(ж/1’ж2) йж2+ С,36 /Цжфж^р "(ж'мЖг)!^^ (40)

|п(ж'1,0)р1 “(жф 0) | =

«(0, 0)р1_“(0, 0) + J d(u(x^)py(x^))dx[

<

<

а“«'0)у-“И,о)

дх'х

dx[ +

(1-а)и(х/1,0)р “(ж^.О)^1,’0^

dxi <

<

ди(х[, 0) ,_а ,

дх'х

-р1_"(ж'1,0)

dx3 + O37 у |и(ж/1,0)р "(жф 0) (с^жф (41) о

Оценим модули подынтегральных функций интегралов (40), (41), получим

ди( Х'ЪХ'2) /ч

HV а{х'ъх'2)

дхп

<

ди(Х'ЪХ'2) 1-а, ! /ч Т^Р а(х,ъх,2)

дх'п

+

dt, (42)

Цжфж'^р а{х'1,х2) \ < |и(ж^, ж2)р а{х'1,х2) \ + если 0 < х'х < ж'15

J^(u(t,x2)p a(t,x2))

dt, (43)

9ж'х

<

ди(х'ъх'2) i-а/ I / ч У “(жфж'а)

9ж'х

+

dt, (44)

д(ж'1,0)р “(жф0)| < |и(ж^,ж2)р а{х'ъх2)\ +

§}(и(хi,t)p “(жi,i))

dt,

если 0 < ж2 < ж2.

(45)

Проинтегрируем неравенства (42), (43) по ж^ £ (0, ж^), а неравенства (44), (45) по ж2 £ (0,ж2), будем иметь

ди(х[,х2) 1 _а , ,

у У УУ2)

9ж(

dxi <

ди(х'ъх'2) х_а. , ,

, У УУ2)

дх'о

+ Ж-т

(У +

9 fduix^x^) 1_а. , ,.\

9^\мГ<’ {Х^)

dx[, (46)

х 1

J |д(ж,1,ж,2)р""(ж,1,ж'2)|сгж,1 <

< J ^(жфж^р "(ж/1,ж2)|с?ж/1 4-ж^ J о о

^-(^(жфж^р а(х'ъх2))

dx[, (47)

9и(4_У ^-“(жфО)

9ж(

dx2 <

<

дх[ и

'1,о)р"“(ж'1,о)|сгж2 <

dx2 + ж2

д (ди(ж'ьж)) , ,Л

94 V 9ж; р (Ж1’жу

с?ж2, (48)

< / |д(ж^, ж2)р "(ж'1,ж2)|сгж2+ж2

9

^(^(жфж^р “(жфж'а))

dx2. (49)

Вычислив интегралы в левых частях неравенств (46)—(49) и разделив обе части неравенств (46), (47) на ж^, а неравенств (48), (49) на х2, используем неравенство Коши—Буняковского для интегралов, стоящих в правых частях полученных неравенств, и в результате имеем

ди{х'ъх'2) 1—а ,-/ /ч Т^Р а{х'ъх'2)

дх'п

Л/

Х>ПХ2)\ 2(1—а) ( I

Ж ) Р (Ж1’

1/2

+

1/2

1/2

ди{хЩр'-%х>ъЪ)

дх[

+

ц / (—I(/ ^)

о 7 чо 7

(/ {9д^дх'?) H’-Vi, ( / *2)

1/2

+

J \ \ 2

+

-1 /г\ Л*'

1/2

da7 ) , (52)

о

\и(х'ъ0)р “(жф 0)| < — / и2{х'ъх2)р 2а{х'ъх'2

+ l i<-£

■ о

1/2

(53)

Учитывая ограниченность частных производных функции р(ж/), запишем оценки (50)-(53) в следующем виде:

ди{ х\,х'2) 1 _а/_, /ч Р {х'ъх'2)

дх'г,

< (^

JU -у

1/2

J Л \ \ 2

1/2

1 +

+(''i)1/2(/(^|Lf) +

V 0 7

+ Cm(x'1)ll2{j Р^^Ж^сЬ7^ > (54)

1/2

1/2

\и(х'ъх'2)р а(х'1,х'2)\ < ( j u2(¥x'2)p ^{x^x'^dx^J +

1 ^ о 7

2 \ 1/2

J (9ц^;Ж2'>) j +

1/2

+ С39(ж,1)1/2^у ^(ж'^ж^р 2("+1)(ж,1,ж'2)сгж^ , (55)

<ii

' ж?

1/2

1/2

+

+

1/2

^2 I +

<^»1/2/(^)

О

+ CA0(x2)1/2(^j Р_2"(ж,1,ж,2)сгж2^ , (56)

1/2 / ^ \ V2

/ (ж^,ж2)р ^(ж^, ж2)с?ж2 ] +

|п(ж'1,0)р “(Ж1,0)| <

+ (4)1/2 J (Эц^/’Ж2'>) P~2a{x'i,x2)dx2

1/2

2 I +

v о

1/2

2 | • (57)

Проинтегрируем неравенства (54), (55) по ж2 £ (0,ж2), а неравенства (56), (57) по ж^ £ (0,ж() и, применив неравенство Коши—Буняковского для интегралов в правых частях полученных неравенств, с учетом того, что С42Ж2 < х\ < х2 < , будем иметь следующие

оценки:

ди{х'ъх2)

дх'о

Р1 аЙ>4)

, , /Г,

dx 2 < -?■

t/y ^

/ \ 1/2

О О

p2il-aHx[,x,2)^dU^1x]X'2)^j dx'.dx:

1/2

/^(ж'^ж^4 2 дх'2дх'х

Р 2а{х'ъх'2) (^U^,Ж2^

\ 1/2

О+

1/2

<

< С43 ( max р V a:'sA

р-2а{х')

+

£(жП *

^'"Г*

+ Сз8Л(1) ^ J Р~2а(х') Y, (^р) dx'^J > (58)

^2 1//2 / Ж2 \ 1/2 J\и{х'ъх'2)р~а{х'ъх'2)^х'2 < {^j [J J P~2a{x'1^2)b2{x'1,x'2)dx'1dx'2 j +

О ^00 '

Хп х,

■ О О

^2 ®i

1 2а(ж1,Ж2)^Ц^’Ж2^ dx1^dx2

1/2

р 2(а+1)(-ж^ж/2)г!2(ж/1,x2)dx\dx2

\ 1/2

1/2

+ (ж'1Ж2)1/21 / 1р

+ c,39(44)1/2I

< С,44^тахр2(ж/)^ ^ J p~2^1+°‘\x')u2{x')dx'^ +

+ Л<1> ( / (^Й) dx'J + СзйЛ(1) ^ J p~2^1+a>(x')u2{x')dx'J , (59)

8”W’°V-“«,o)

< I

р/ \ 1/2

О о

92(1 а)(ж/1, ж2) Ж2^ dx'idx2^ +

+ (х[х'2)1/2 J J р2(1 "}(*1,4)(0^2))

о о

+ Ст{ х[х2)1/2

1/2

2 I +

Ж1 2 \ 1/2

р~2а(ж/1,ж2)^Ц^1;Ж2^ сгж'^ж'з ) <

о о

дх'х

<

(maxpV))1/2^ J р 2“(Ж0Е(

/ ди(х')

дх'

2 \ V2

dx' I +

+ *“> (/>-“V) Е

\л Si+S2 = 2 ^дх1 дх

\ 2

Sldx'2S2

1/2 dx' +

(2 2 \ 1/2

J р~2а{х') (^г^) dxj > (6°)

|и(ж/1,0)р a(a/l50)1^1 < ( 37

/ \ 1/2

о о

\ 1/2

P~2a(x'1,X2)u2(x'1,x'2)dx'1dX2 +

1/2

+ K4)1/2( / / Р 2aiXVX2)(dU^ | +

о о

/ ®'l ®2

1/2

+ cil{^y j <

v 0 0 7

<

1/2

1/2

^тахр2(ж')) [jp 2d+a\x')u2(x')dx' ] +

+h"\Jp

чд

-2a

2 2 \ 1/2 / \ 1/2

(ж') ^ ^ cfa/J + Cnh^ ^ J p-2^)(x')u2(x')dx'j , (61)

где A — прямоугольник из Q\ (рис. 2).

Принимая во внимание, что ( max р2(х')) = h^\ из оценок (38)—(41) и (58)—(61)

Чж'еД /

устанавливаем

/!(1>|tl/|n3.(A') < Л<1) |С45( J р *>(1')Ё(^) *') +

-2<1+“V)«V)<k,'l 7 +с„( [ р-^-'Чх') Е ( y>)V

/ \д Sl+S2=2 <9ж2 / ,

1/2N

+ С46 I J Р

Перейдя к системе координат OXiX2, возведем обе части полученного неравенства в квадрат, будем иметь

2 / <~i / \ \ 2

Ыща(К) - 3 / (С45Р 2“(ж)Е (^7) +

Л 8=1

+ с!ерг^(Х)^(х) + о!7р-^-»(Х) Е (щЩ,

S1+S2—2

dx.

Просуммировав неравенства по всем К и А из QJ, запишем

12 ^ ^y 11 „. 112 1 .о 11 „. 112

\Ul\Wl^Q’l) — ^*48 ll^ll W|>q_1(Qi) + ^^\\и\\ь2Л+a(Qi) + ^50 INI Wla(Q^)- (62)

Тогда из неравенств (37), (62) следует оценка

ul\ЩХЯг) — 2(C,48II'uII Wl^iQi) + + (-;,5l||'W'|lvr2iQ(Qb)). (63)

\U — ■

\U\

\U\

Wla(Q)

П) — ^25, IMIl2,q(Q) — ^52, 1Ы1ь2,1+а(П) — ^53,

< 654, то для произвольного e > 0 найдутся такие положительные числа

как и 12 1 wi

< с'54, ТО

что и 12 L2,o

Е2

£2 .. ,,2 £2 .. ,,2 I6633 ’ 11 "ит.с-тг?) ^ 24(748 ’ "^.нЖ3)

<

246*49 ’

iwl (б4) < 24(751 ’ ГДе Го = (ж G р(х) <5i,i = 1,... ,4} есть ^-окрестность границы Го в области Г2. Задав е, определим 5 = min5* и п£ — число слоев Qj, j = 1,...,пе,

г

п£

содержащихся в Tj) (Tq = [^J Qj) так, чтобы выполнились неравенства

з=1

U Qj

з=1

<

16 6

\и

33

2 ( гг

wi,a_ i( U Qj <3=1

«||2 , / „е

И?,- ( U Qj ^3=1

Е2 112 £2

24648’ ь2,1+„^и<зЛ 24649

<

246.

51

(64)

Вследствие того, что Q\ С (J Qj, имеем

1=1

12

\и\

L2AQ1) < I6633

(65)

<

24648

Тогда из неравенств (63), (66) следует

и\\L2,1+a(Qt) <

24649

\и\

Wla(Qi)

<

24651

(66)

U — Щ

2

<

46зз

(67)

Теперь перейдем к оценке первого слагаемого правой части неравенства (36). Воспользуемся тем, что

и — щ

112

И -^2,

(Qi)

<2{\\U

2

PAQ1)

2

PAQP

(68)

Оценим ||u/||^2 (gh). Для любого К из Q\ в локальной системе координат OfX[X2 (рис. 2) имеем

ЛЮ

^2и(Рг)(рг

i=1

Ь2,а{К)

< С55\и(х'

-2 а

\ 1/2

{x')dx'\ < С^\и{х')\р1~а{х').

(Здесь и{х') = maxit(Pj), р(х') = maxp(Pj), Pi — узлы треугольника К, i = 1,2,3).

г i

Используя неравенства (39)-(41) и (58)—(61), получаем

\Ыь2АК) < h{1) ^57^ J Р 2а{х') Y dx^j +

+С58( [ p~2(-1+a\x,)u2(x,)dx'\ + С59 ( [ р_2(“_1)(ж') ( д,^Х?*2) dx')

\д / \д Sl+S2 = 2 дх2 J J

Перейдем к системе координат ОХ 1X2 и, возведя обе части неравенства в квадрат, запишем оценку

L(/oS3(ft«‘»)2/(c5v-wx:(^)2+

A S — 1

+ C$sP 2(1+a){x)u2{x)+Cl9p 2(“ 1}(ж) ^ (я^яХ) )dx-

' о \dxsPdxs2 ) )

S1+S2—2

Просуммировав неравенства по всем К и А из QJ, с учетом того, что < h, будем иметь

HU/llL,c(Qi) — d2 {С6о\\и\\ща(д^ +С61\\и\\щa_1(Qf) + Сб2|М|22д+а(дЬ))-

Отсюда

Следовательно, для любого е > 0 существует такое ho(e), что неравенство

J2

2 < ^

н\

1 L^Q4) ~ 16С33

верно для всех h < /loO- Из неравенств (65), (68), (69) получим

J2

(69)

1П L2,o(Qi)

<

4Сзз

(70)

Теперь, используя неравенство (36) и оценки (67), (70), установим предельное равенство (35). Лемма доказана. □

Замечание 1. Так как справедливо неравенство (64), то приняв во внимание, что

пе

П' С и Qj, будем иметь i=i

II И 2 . 2

IpIIhtjq') < е •

Доказательство теоремы 1. Перейдем к пределу при h —> 0 в равенстве (15). Учитывая соотношения (17), (20), (35) и последнюю оценку, получаем требуемое утверждение (16). Теорема 1 доказана. □

Теперь установим основной результат работы.

Теорема 2. Пусть коэффициенты аДх) = щДх), (k,l = 1,2) и а(ж) > 0 удовлетворяют неравенствам (8)—(11), выполнено условие (7). Тогда приближенное решение Uh задачи (13) сходится при h —> 0 в пространстве W2a{Q) к решению и задачи (12).

Доказательство. Чтобы установить справедливость соотношения (14), совершим предельный переход при h —> 0 в неравенствах

\\и - uh\\wia(n) < inf_h ||u — VhWwl^n.) < Cs\\u — Ul\\wla(n) и применим к ним (16). Теорема 2 доказана. □

Заключение

В настоящей работе построен метод конечных элементов для решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с вырождением на всей дважды непрерывно дифференцируемой границе двумерной области Н. Доказано, что решение МКЭ сходится в весовом пространстве И/2а(^) к обобщенному решению из пространства ll/|Q,_i(H) С Й^2а(^)- Разработанные и исследованные схемы метода конечных элементов с сетками, сгущающимися к границе области, могут быть использованы для решения задач гидродинамики, электромагнетизма, диффузии, теории пластичности и др., приводящих к краевым задачам для эллиптических уравнений с вырождением на границе. В дальнейшем, благодаря сужению пространства ll/2a-i(^)> которому принадлежит обобщенное решение поставленной задачи (см. [14]), планируется установить скорость сходимости приближенного решения к точному по норме весового пространства Соболева.

Литература

1. Рукавишников В.А., Рукавишникова Е.И. Метод конечных элементов для первой краевой задачи с согласованным вырождением исходных данных / / Доклады Академии Наук. 1994. Т. 338, № 6. С. 731-733.

2. Assous F., Ciarlet Р. Jr., Segre J. Numerical Solution of the Time-Dependent Maxwell Equations in Two-Dimensional Singular Domain: The Singular Complement Method // Journal of Computational Physics. 2000. Vol. 161. P. 218-249. DOI: 10.1006/jcph.2000.6499.

3. Costabel M., Dauge M., Schwab C. Exponential Convergence of hp-FEM for Maxwell’s Equations with Weighted Regularization in Polygonal Domains / / Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. 2005. Vol. 15, No. 4. P. 575-622. DOI: 10.1142/S0218202505000480.

4. Arroyo D., Bespalov A., Heuer N. On the Finite Element Method for Elliptic Problems with Degenerate and Singular Coefficients // Mathematics of Computation. 2007. Vol. 76, No. 258. P. 509-537. DOI: 10.1090/S0025-5718-06-01910-7.

5. Li H., Nistor V. Analysis of a Modified Schrodinger Operator in 2D: Regularity, Index, and FEM // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2009. Vol. 224, No. 1. P. 320-338. DOI: 10.1016/j.cam.2008.05.009.

6. Рукавишников В.А., Кузнецова E.B. Схема метода конечных элементов для краевой задачи с несогласованным вырождением исходных данных / / Сибирский журнал вычислительной математики. 2009. Т. 12, № 3. С. 313-324.

7. Rukavishnikov V.A., Rukavishnikova H.I. The Finite Element Method for a Boundary Value Problem with Strong Singularity // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2010. Vol. 234, No. 9. P. 2870-2882. DOI: 10.1016/j.cam.2010.01.020.

8. Rukavishnikov V.A., Mosolapov А.О. New Numerical Method for Solving Time-Harmonic Maxwell Equations with Strong Singularity // Journal of Computational Physics. 2012. Vol. 231, No. 6. P. 2438-2448. DOI: 10.1016/j.jcp.2011.11.031.

9. Rukavishnikov V.A., Rukavishnikova H.I. On the Error Estimation of the Finite Element Method for the Boundary Value Problems with Singularity in the Lebesgue Weighted Space // Numerical Functional Analysis and Optimization. 2013. Vol. 34, No. 12. P. 1328-1347. DOI: 10.1080/01630563.2013.809582.

10. Rukavishnikov V.A., Rukavishnikova E.I. The Finite Element Method for Boundary Value Problems with Strong Singularity and Double Singularity // Lecture Notes in Computer Science. 2013. Vol. 8236. P. 110-121. DOI: 10.1007/978-3-642-41515-9_10.

11. Никольский C.M. Вариационная проблема для уравнения эллиптического типа с вырождением на границе // Труды Математического института имени В.А. Стеклова.

1979. Т. 150. С. 212-238.

12. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Эллиптическое уравнение с вырождением.

Вариационный метод // Доклады Академии Наук СССР. 1981. Т. 257, № 1. С. 42-45.

13. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Эллиптические уравнения с вырождением.

Дифференциальные свойства решений // Доклады Академии Наук СССР. 1981. Т. 257, № 2. С. 278-282.

14. Рукавишников В.А., Рукавишникова Е.И. Об изоморфном отображении

весовых пространств эллиптическим оператором с вырождением на границе области // Дифференциальные уравнения. 2014. Т. 50, № 3. С. 349-355.

DOI: 10.1134/S037406411403008X.

15. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977. 456 с.

16. Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач, пер. с англ. М.: Мир, 1977. 383 с.

17. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач, пер. с англ. М.: Мир,

1980. 512 с.

Рукавишникова Елена Ивановна, к.ф.-м.н., доцент, с.и.с., лаборатория математического моделирования в физике и технике, Вычислительный центр ДВО РАН (Хабаровск, Российская Федерация)

DOI: 10.14529/cmsel90301

CONVERGENCE OF THE FINITE ELEMENT METHOD FOR BOUNDARY VALUE PROBLEM WITH DEGENERATION ON THE WHOLE BOUNDARY OF DOMAIN

© 2019 E.I. Rukavishnikova

Computing center FEB RAS (str. Kim Yu Chena 65, Khabarovsk, 680000 Russia)

E-mail: rukavishnikova-55@mail.ru Received: 04.09.2018

In this paper we consider the Dirichlet problem with homogeneous boundary condition for a second-order elliptic equation with degeneration on the entire twice continuously differentiable boundary of two-dimensional domain Q. We define a generalized solution of this problem, which exists and is unique in the weighted Sobolev space WfaUX)- T° s°lve the formulated problem a finite element method is developed, the scheme of which is constructed on the basis of the definition of a generalized solution of the original differential problem in the space Wfa(Q). For this purpose a two-dimensional convex domain is divided into triangles with special condensation to the boundary. Next we introduce a finite element space Vh C Wfa (12) that contains continuous functions liner on each triangular element of grid region Slh and equal to zero on the set €l\Q,h, and show unique solvability of the scheme of the finite element method. For the generalized solution и from the subspace of the space

W2,a(12), using its values in the nodes of the triangulated domain, an interpolant ui £ Vh is constructed, and the fact of its convergence with respect to the norm Wfa (12) is established. The main result of the work for the proposed method for solving the first boundary value problem with degeneration is the proof of the convergence of the approximate solution to the exact solution in the weighted Sobolev space.

Keywords: boundary value problem with degeneration, Sobolev weighted space, generalized solution, finite element method.

FOR CITATION

Rukavishnikova E.I. Convergence of the Finite Element Method for Boundary Value Problem with Degeneration on Whole Boundary of the Domain. Bulletin of the South Ural State University. Series: Computational Mathematics and Software Engineering. 2019. vol. 8, no. 3. pp. 5-26. (in Russian) DOI: 10.14529/cmsel90301.

This paper is distributed under the terms of the Creative Commons Attribution-Non Commercial 3.0 License which permits non-commercial use, reproduction and distribution of the work without further permission provided the original work is properly cited.

References

1. Rukavishnikov V.A., Rukavishnikova E.I. The Finite Element Method for the First Boundary Value Problem with Coordinated Degeneration of the Initial Data. Russian Academy of Sciences. Doklady. Mathematics. 1995. vol. 50, no. 2. pp. 335-339.

2. Assous F., Ciarlet P. Jr., Segre J. Numerical Solution of the Time-Dependent Maxwell Equations in Two-Dimensional Singular Domain: The Singular Complement Method. Journal of Computational Physics. 2000. vol. 161. pp. 218-249. DOI: 10.1006/jcph.2000.6499.

3. Costabel M., Dauge M., Schwab C. Exponential Convergence of hp-FEM for Maxwell’s Equations with Weighted Regularization in Polygonal Domains. Mathematical

Models and Methods in Applied Sciences. 2005. vol. 15, no. 4. pp. 575-622. DOI: 10.1142/S0218202505000480.

4. Arroyo D., Bespalov A., Heuer N. On the Finite Element Method for Elliptic Problems with Degenerate and Singular Coefficients. Mathematics of Computation. 2007. vol. 76, no. 258. pp. 509-537. DOI: 10.1090/S0025-5718-06-01910-7.

5. Li H., Nistor V. Analysis of a Modified Schrodinger Operator in 2D: Regularity, Index, and FEM. Journal of Computational and Applied Mathematics. 2009. vol. 224, no. 1. pp. 320-338. DOI: 10.1016/j.cam.2008.05.009.

6. Rukavishnikov V.A., Kuznetsova E.V. A Scheme of a Finite Element Method for Boundary Value Problems with Non-Coordinated Degeneration of Input Data. Numerical Analysis and Applications. 2009. vol. 2, no. 3. pp. 250-259. DOI: 10.1134/S1995423909030069

7. Rukavishnikov V.A., Rukavishnikova H.I. The Finite Element Method for a Boundary Value Problem with Strong Singularity. Journal of Computational and Applied Mathematics. 2010. vol. 234, no. 9. pp. 2870-2882. DOI: 10.1016/j.cam.2010.01.020.

8. Rukavishnikov V.A., Mosolapov A.O. New Numerical Method for Solving Time-Harmonic Maxwell Equations with Strong Singularity. Journal of Computational Physics. 2012. vol. 231, no. 6. pp. 2438-2448. DOI: 10.1016/j.jcp.2011.11.031.

9. Rukavishnikov V.A., Rukavishnikova H.I. On the Error Estimation of the Finite Element Method for the Boundary Value Problems with Singularity in the Lebesgue Weighted Space. Numerical Functional Analysis and Optimization. 2013. vol. 34, no. 12. pp. 1328-1347. DOI: 10.1080/01630563.2013.809582.

10. Rukavishnikov V.A., Rukavishnikova E.I. The Finite Element Method for Boundary Value Problems with Strong Singularity and Double Singularity. Lecture Notes in Computer Science.

2013. vol. 8236. pp. 110-121. DOI: 10.1007/978-3-642-41515-9_10.

11. Nikol’skij S.M. A Variational Problem for an Equation of Elliptic Type with Degeneration on the Boundary. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 1981. vol. 150. pp. 227-254.

12. Lizorkin P.I., Nikol’skij S.M. An Elliptic Equation with Degeneracy. A Variational Method. Soviet Mathematics. Doklady. 1981. vol. 23. pp. 237-240.

13. Lizorkin P.I., Nikol’skij S.M. Elliptic Equations with Degeneracy. Differential Properties of Solutions. Soviet Mathematics. Doklady. 1981. vol. 23. pp. 268-271.

14. Rukavishnikov V.A., Rukavishnikova E.I. On the Isomorphic Mapping of Weighted Spaces by an Elliptic Operator with Degeneration on the Domain Boundary. Differential Equations.

2014. vol. 50, no. 3. pp. 345-351. DOI: 10.1134/S0012266114030082

15. Nikol’skii S.M. Approximation of Functions of Several Variables and Imbedding Theorems. Springer-Verlag, New York. 1975. 420 p.

16. Aubin J.P. Approximation of Elliptic Boundary-Value Problems. Wiley-Interscience Inc., New York, London, Sydney, Toronto. 1972. 360 p.

17. Ciarlet P.G. The Finite Element Method for Elliptic Problems. North Holland Publishing Company, Amsterdam, New York, Oxford, 1978. 529 p.