CC BY
61
1. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ КОМПЛЕКСЫ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
1.1. АВТОМАТИЗИРОВАННЫЙ ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС ДЛЯ ПОИСКА ОПТИМАЛЬНОГО НАБОРА ПАРАМЕТРОВ ВЕСОВОГО МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ НА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМ КЛАСТЕРЕ
Рукавишников Виктор Анатольевич, заведующий лабораторией, проф., д-р физ.-мат. наук, ВЦ ДВО РАН. E-mail: vark0102@mail.ru
Маслов Олег Владимирович, студент, ДВГУПС. E-mail: nucleoleg@mail.ru
Мосолапов Андрей Олегович, науч. сотр., ВЦ ДВО РАН. E-mail: msandrew@rambler.ru
Николаев Сергей Георгиевич, науч. сотр., ВЦ ДВО РАН. E-mail: snik-post@ya.ru
Аннотация: В работе представлен автоматизированный программный комплекс, предназначенный для поиска оптимальных значений параметров весового метода конечных элементов для расчета математических моделей с сингулярностью. Описана работа всего комплекса в целом и составляющих его компонент. В заключение приведены результаты работы комплекса при проведении численного эксперимента для задачи теории упругости с сингулярностью, обусловленной наличием входящего угла на границе области.
Ключевые слова: автоматизированный программный комплекс, высокопроизводительные вычисления, краевые задачи с сингулярностью, Rv-обобщенное решение, весовой метод конечных элементов
1.1. AUTOMATED SOFTWARE COMPLEX FOR DETERMINATION OF THE OPTIMAL PARAMETERS SET FOR THE WEIGHTED FINITE ELEMENT METHOD ON COMPUTER CLUSTERS
Rukavishnikov Viktor A., head of laboratory, professor, PhD in Physics and Mathematics, CC FEB RAS. E-mail: vark0102@mail.ru
Maslov Oleg V., student, FESTU. E-mail: nucleoleg@mail.ru
Mosolapov Andrey O., research associate, CC FEB RAS. E-mail: msandrew@rambler.ru
Nikolaev Sergey G., research associate, CC FEB RAS. E-mail: snik-post@ya.ru
Abstract: In the paper we present the automated software complex designed to search the optimal parameters values for weighted FEM for the mathematical models with singularity. The operation of the entire complex and its constituent components are described. In conclusion, we present the results delivered by the complex during numerical experiment for elasticity theory problem with singularity caused by the reentrant corner on the domain boundary
Index terms: automated software complex, high performance computing, boundary value problems with singularity, Rv-generalized solution, weighted finite element method
1. Введение. Краевые задачи с сильной сингулярностью, вызванной особенностями исходных данных или внутренними свойствами решения, возникают в физике плазмы и газового разряда, электродинамике, ядерной физике, нелинейной оптике и других областях физики. В частных случаях для
задач электродинамики и квантовой механики с сильной сингулярностью строились численные методы на основе выделения сингулярной и регулярной составляющих, сгущения сеток к точкам особенностей, мультипликативного выделения особенностей (см., напр., [1-4]).
В [5] для краевых задач с сильной сингулярностью, у которых интеграл Дирихле от решения и(х) расходится, и для задач со
1 2
слабой сингулярностью (и и и )
было предложено определять решение как Яу -обобщённое в весовом пространстве Соболева. Для нахождения приближенного Яу-обобщённого решения были построены и обоснованы ^ р и ^р версии весового метода конечных элементов, которые позволяют находить решение с высокой точностью, не зависящей от величины (размеров) сингулярности (см. [6-13]).
Весовой МКЭ имеет несколько управляющих параметров: радиус ^-окрестности, где весовая функция задается как расстояние до точки сингулярности, степень V весовой
функции в определении Яу-обобщенного
*
решения и степень V весовой функции в базисе пространства конечных элементов. Оптимальные значения управляющих параметров, а также границы диапазона параметра V, в пределах которого скорость сходимости приближенного -обобщенного
решения к точному близка к теоретической, зависят от исходных данных задачи (регулярности коэффициентов, правых частей уравнения и граничных условий и геометрии границы области). Теоретически установить такую зависимость до настоящего времени не удалось, поэтому предлагается на практике определять ее экспериментально. Для этого необходимо осуществлять массовый запуск тестовых задач на высокопроизводительном кластере и обрабатывать массив полученных результатов с их визуализацией. При этом в распоряжении вычислителя на кластере имеется лишь интерфейс командной строки, а какие-либо встроенные средства автоматизации процесса подготовки, запуска тестовых задач и анализа результатов отсутствуют.
Данное обстоятельство побудило нас разработать программный комплекс, который позволяет автоматизировать поиск оптималь-
с *
ных значении параметров о ,V, v , для различных краевых задач экспериментально устанавливать границы шкалы для показателя
степени параметра v в определении v -обобщенного решения, при которых сохраняется скорость сходимости метода, близкая к теоретической, а также автоматически визуализировать результаты численных экспериментов. В качестве тестового примера работы программного комплекса в этой статье приводятся результаты численных экспериментов для задачи теории упругости со слабой сингулярностью. Предлагаемый подход продемонстрировал высокую эффективность, удобство и простоту применения.
2. Общий алгоритм работы программного комплекса. Программный комплекс для расчета и анализа результатов исследуемой задачи состоит из следующих компонентов:
- analyzer.exe - программа анализа, объединяющая весь программный комплекс в единое целое (далее Анализатор);
- starter и script - написанные на Bash исполняемые скрипты, осуществляющие постановку задач на счет (далее Запускатель);
- bash2d.sh и plot2d.sh - Bash-скрипты, использующие gnuplot для построения двумерных графиков убывания весовой нормы разности между точным и приближенным решением при измельчении сетки;
- bash3d.sh и plot3d.sh - Bash-скрипты, использующие gnuplot для построения трехмерных графиков, изображающих абсолютную погрешность между точным и приближенным решением в узлах конечноэлемент-ной сетки;
- copy.sh - вспомогательный скрипт, используемый Анализатором для результирующего сбора информации.
Взаимосвязь компонентов программного комплекса показана на диаграмме (рисунок 1):
Рисунок 1. Топология программного комплекса.
Рассматриваемый программный комплекс рассчитан на совместную работу с приложением исследователя (на рисунке 1 - task.exe), которое должно быть предварительно подготовлено для ввода и вывода данных в определенном формате, а также способно запускаться с параметрами командной строки. Комплекс предоставляет конечному пользователю возможности проведения расчета и анализа с использованием аппаратных ресурсов вычислительного кластера.
Доступ к кластеру осуществляется по протоколу SSH при помощи любого подходящего клиента, например PuTTY. Файловый обмен между кластером и машиной пользователя осуществляется при помощи какого-либо клиента протокола SCP, например программы WinSCP. Создание и редактирование текстовых конфигурационных файлов можно осуществлять как на кластере, так и на машине пользователя с последующим их копированием в рабочую директорию.
Программный комплекс может работать как в автоматическом, так и в ручном режиме. Автоматический режим является режи-
мом работы по умолчанию и предусматривает два этапа исследования наборов параметров. Каждому этапу работы предшествует автоматическая подготовка входных данных (генерация файла с наборами параметров). Начальные приблизительные диапазоны параметров, в пределах которых осуществляется поиск оптимальных значений, задаются исследователем исходя из свойств исходных данных задачи.
На первом этапе определяется несколько лучших наборов (их количество задается исследователем в конфигурационном файле analyze.txt) и устанавливается предварительная шкала для параметра V .
На втором этапе осуществляется анализ управляющих параметров в некоторой окрестности наилучших наборов, которые были получены на первом этапе работы Анализатора, и уточняется шкала для параметра V .
На каждом этапе работы Анализатор создает промежуточные файлы с необходимыми выходными данными для визуализа-
ции и повторного анализа. Этим достигается сохранность результатов в случае, если по какой-то причине второй этап завершится с ошибкой.
Ручной режим является дополнительным и позволяет проанализировать готовый файл
результатов, применяя к нему различные комбинации настроек и параметров.
Последовательность поэтапной работы программного комплекса показана на рисунке 2:
Рисунок 2. Последовательность работы программного комплекса.
Все полученные результаты копируются в одну папку для удобства доступа к ним с машины пользователя.
3. Особенности реализации компонентов комплекса. Разработка проводилась с ориентацией на высокопроизводительный кластер ВЦ ДВО РАН, представляющий собой гетерогенный кластер с одним управляющим и семнадцатью вычислительными узлами [http://hpc.febras.net]. Рассмотрим подробнее компоненты разработанного нами комплекса.
3.1. Анализатор. Анализатор представляет собой консольное приложение, управляемое с помощью конфигурационных файлов started.txt, analyze.txt, а также с помощью параметров командной строки prepare и analyze.
При запуске с ключом prepare Анализатор на основе входных данных, содержащихся в файле started.txt, подготавливает файл pars.inp. В этом файле содержатся готовые
наборы параметров для запуска программы расчета task.exe. После формирования файла ратпр Анализатор передает управление Запускателю и переходит в режим ожидания, в котором находится до тех пор, пока не закончат работу все задания счета. После этого Анализатор автоматически переходит к первому этапу анализа полученных результатов счета, настройки для которого находятся в конфигурационном файле analyze.txt.
Основой анализа результатов расчетов являются два критерия. Первый критерий заключается в сравнении фактически наблюдаемой скорости сходимости метода на определяемом исследователем множестве сеток с уменьшающимся параметром к с теоретической скоростью сходимости. Для этого на каждом наборе параметров у вычисляется вели-
чина с. = max
£
V £-1
, где £ и £-1 - весо-
/
вые нормы разности между точным и при-
t
i=m..n
ближенным Яу -обобщенным решением на соседних сетках, ? - теоретическое значение отношения норм, [т,п] - определяемый исследователем диапазон сеток, участвующих в анализе. Таким образом, для тех наборов, для которых величина Sj не положительна,
наблюдаемая скорость сходимости метода на рассматриваемой последовательности сеток не хуже теоретической.
Для наборов параметров, удовлетворяющих первому критерию, сравниваются числовые величины, опосредованно характеризующие количества узлов конечноэлемент-ной сетки, в которых абсолютная погрешность приближенного решения лежит в заданных пользователем диапазонах. Набор параметров, для которого эта величина наименьшая, признается оптимальным. Этот набор, а также несколько следующих за ним наилучших наборов, записываются в файл output.txt.
Далее, используя полученные наилучшие
наборы, анализатор при фиксированных зна-
*
чениях параметров о и V производит предварительный поиск различных диапазонов значений параметра V, в пределах которых сохраняется скорость сходимости метода.
По окончании первого этапа анализатор формирует файлы, необходимые для построения 2D графиков убывания весовой нормы разности между точным и приближенным решением, найденным на множестве сеток с уменьшающимся параметром к, и осуществляет повторный запуск на счет выявленных наилучших наборов параметров на самой мелкой сетке с дополнительным ключом командной строки, чтобы получить полную информацию о распределении по области узлов сетки, в которых абсолютная погрешность приближенного решения находится в пределах диапазонов, указанных пользователем. Необходимость повторного запуска связана с тем, что полные данные об абсолютной погрешности в каждом узле сетки занимают
большой объем дискового пространства, и хранить их для большого количества выполненных расчетов невозможно.
Полученные на первом этапе анализа результаты записываются в файл output.txt, а информация о значении погрешностей в каждом узле сетки используется для автоматического построения 3D графика в gnuplot. После этого анализатор переходит к следующему этапу.
Целью второго этапа анализа является изучение окрестности наилучшего набора параметров, выявленного на первом этапе, и уточнение шкалы для параметра V. Вся последовательность операций первого этапа повторяется. Отличием второго этапа работы является анализ нескольких файлов с начальными данными в порядке очереди в случае, если был найден не один диапазон для параметра V .
3.2. Запускатель. Запускатель представляет собой два скрипта, написанные на языке командной оболочки Bash. Работа Запус-кателя основана на взаимодействии с системой диспетчеризации и заключается в определении свободных узлов кластера, автоматической постановке задач в свободные очереди и обеспечении проведения расчетов задачи пользователя на каждом из наборов, созданных Анализатором. Более подробно работа Запускателя описана в [14].
3.3. Компоненты визуализации. Скрипты bash2d.sh, bash3d.sh и plot2D.sh, plot3d.sh представляют собой команды на Bash и программные настройки для gnuplot. Из Анализатора вызываются основные скрипты bash2d.sh, bash3d.sh, которые передают скриптам plot2d.sh, plot3d.sh необходимые для визуализации файлы. В скриптах plot2d, plot3d.sh происходит непосредственное обращение к gnuplot с определением всех необходимых настроек. Схема работы скриптов bash2d.sh, plot2d.sh изображена на рисунке 3. Схема работы скриптов bash3d.sh, plot3d.sh аналогична.
Рисунок 3. Схема работы скриптов bash2d.sh (слева), plot2d.sh (справа).
Построение двумерных и трехмерных графиков происходит с выводом в файлы формата ерэ. Трехмерные графики создаются с разрешением 100х100 полигонов. Возможно использование градиентной заливки полигонов, а также заливки с фиксированной палитрой цветов. Получаемые трехмерные графики позволяют наглядно показать распределение в расчетной области узлов ко-нечноэлементной сетки, в которых абсолютная погрешность компонент приближенного решения лежит в заданных исследователем диапазонах.
4. Применение программного комплекса при расчете. Разработанный комплекс был апробирован при исследовании двумерной задач теории упругости с сингулярностью, вызванной наличием на границе области входящего угла.
В многоугольной невыпуклой области Пе Я2 была рассмотрена краевая задача с неоднородными граничными условиями первого рода относительно поля перемещений и для системы Ламе с постоянными коэффициентами X и ¡1
-(2а1у(^(и)) + У(Муи)) = ?, х еП,
u = q, х е дП.
(1) (2)
Здесь предполагается, что граница дП содержит один входящий угол с вершиной в начале координат, а правые части (1), (2) удовлетворяют условиям (см. [12])
f е Ь2,в(П,8), qе ^ДОП), в>0. (3)
Для поставленной задачи нами было введено понятие Яу -обобщенного решения.
Определение 1. К -обобщенным решением задачи (1)-(3) будем называть такую вектор-функцию и"е (П,8), которая почти всюду на дП удовлетворяет краевому условию (2) и для любой вектор-
функции V е обращает
(и,, V) = V (V)
(4)
в верное равенство при любом, но фиксированном V > в.
Здесь
ау (и, V) = | (21£(и): ер2''V) + Х&уи дiv(p2vv)) йх,
П
V (V) = ]р2'? ■ vdх + ]р2"р ■ vds
П г
соответственно билинейная и линейная формы. Весовая функция р(х) совпадает с расстоянием до особой точки в области П' = {хеП:(х2 + х22)1/2 <8<1} и равна 8 для х е П \ П'.
Для численного решения краевой задачи (1)—(3) была построена следующая схема весового метода конечных элементов:
1. Область п разбивается на конечное число треугольников К с вершинами Р
(к = 0 ,п — 1) так, чтобы конечно-элементная сетка удовлетворяла следующим
стандартным требованиям:
1) два различных элемента либо не пересекаются, либо имеют общими только сторону или вершину;
2) площади всех элементов одного порядка;
3) наименьший из углов триангуляции строго положительный и не зависит от нее. Через Н обозначается максимальная из длин сторон элементов.
2. Каждому узлу Рк в соответствие ставится функция
n—1 n—1
<1 = Y (x), <2 = &k+i¥k (x),
k=0
k=0
функции vh(x)e Vh и v >в удовлетворяет интегральному тождеству
a(u h, vh ) = l (vh),
(5)
где u hv = (u hi, u *2).
¥к (х) = р "( х)фк (х), к = 0, п — 1,
где фк(х) линейна на каждом конечном
элементе, фк(Р.) = 8Ц (к, ] = 0,п — 1), -
*
символ Кронекера, V - вещественное число.
3. Через уН обозначается линейная оболочка, построенная на системе базисных
функций }п=0, а через уН - подмножество у Н , содержащее функции, обращающиеся в 0 в узлах, попадающих на границу. Для соответствующих множеств вектор-функций вводятся обозначения уН =[уН ]2 и у Н=[УН]2.
4. Конечно-элементная аппроксимация, связанная с построенной триангуляцией, имеет вид
где = р-" (рр2])с., с. =сотг, ] = 0,2п — 1
Определение 2. Приближенным Я1/ -обобщенным решением задачи(1)-(3) по весовому методу конечных элементов будем называть такую вектор-функцию и Н(х) е УН, которая почти всюду в узлах, попадающих на до, удовлетворяет краевому условию (2) и для любой вектор-
Для проведения серии численных экспериментов мы использовали программу «Проба-IV» [15] и разработанный нами комплекс. Значения параметров, близкие к оптимальным, шкала для параметра V , а также графики и рисунки были получены комплексом автоматически.
Численный эксперимент проводился для L-образной области Q, полученной из квадрата с длиной стороны 2 с центром в начале координат вырезанием четверти, лежащей в четвертом квадранте. В качестве решения модельной задачи выступала вектор-функция u = (u1, u2) с компонентами:
/ 2 2 \ 0.305094 u1(x) = ( x1 + x2) + sin x1cos x2,
,(x) = ( x2 + x22)
0.305094
+ sin x2cos x1.
Параметры Ламе X и ¡1 задавались равными 2.2 и 4.2 соответственно.
С помощью разработанного комплекса был осуществлен поиск наборов значений пара-с *
метров о, V , V , при которых скорость сходимости приближенного Яу -обобщенного решения рассмотренной задачи к точному решению близка к теоретической О(Н).
Расчеты проводились на шести сетках с различным шагом Н = Нк, где Нк =Л/2к, к = 4,...,9. Далее, где это потребуется, вместо соответствующего Н будем указывать значение к , называемое кратностью измельчения.
Для найденного приближенного Яу -обобщенного решения в каждом узле сетки вычислялась ошибка
е V = (е V,1, ev,2 ) = (иV,1 — ^ иV,2 — иН,2 )
u
и проводился анализ по следующей схеме :
1. вычислялась погрешность в норме весового пространства llel I. ^, определялась
скорость убывания при измельчении сетки;
2. определялось количество узлов в процентном отношении к общему числу узлов сетки, в которых абсолютные величины разности между значениями компонент точного и приближённого решений (i = 1,2) не превосходили заданной предельной погрешности А;
3. формировались двумерное и трехмерное изображения распределения
0.0845886 Аг
абсолютных значений погрешностей в узлах сетки нахождения обоих компонент решения.
В результате проведенного анализа было установлено, что при 8 = 0.01 и у* = 0.15 для любого уе [0.85,1.35] имеет место сходимость с первым порядком по к в норме пространства w21v(Q). В качестве примера на
рисунке 4 в логарифмическом масштабе представлен график зависимости w21 -нормы
погрешности приближенного я -
обобщенного решения от величины шага сетки для набора 8 = 0.01, у = 1.105, V* = 0.15.
Рисунок 4. Зависимость нормы IIеw21,v(а) погрешности приближенного Яу -обобщенного решения задачи от кратности измельчения.
Следует заметить, что скорость сходимости о(к) наблюдается для сеток с шагом к меньшем 8.
Распределение узлов, в которых абсолютная погрешность приближенного Ку -обобщенного решения лежит в определённых диапазонах, наглядно представлено в
виде трехмерных (рисунок 5) и двумерных (рисунок 6) графиков. В таблице 1 приведены данные о количестве узлов в процентах от их общего числа, в которых абсолютная погрешность лежит в заданных диапазонах. Аналогичные результаты имеют место для всех значений параметра V из шкалы [0.85,1.35].
Рисунок 5. Трехмерный график распределения по области погрешности \ву ^ (слева) и \ву 2,
(справа) приближенного Я -обобщенного решения (8 = 0.01, V = 1.105 , V* = 0.15, к ~ 0.0028 ).
Рисунок 6. Двумерный график распределения по области погрешности ^ (слева) и 2 (справа) приближенного Я -обобщенного решения (8 = 0.01, V = 1.105, V* = 0.15, к ~ 0.0028).
Таблица 1.
Количество узлов (в процентах от общего числа), в которых ошибки |е„д| и лежат в заданных диапазонах (8 = 0.01, v = 1.105, V* = 0.15, к ~0.0028).
Диапазоны [0,10-5) [10-5,4 -10"5) [4 • 10-5,7-10"5) [7 •10"5,10"4) [10-4,3 -10"4) [3 •10-4,2-10"3)
кол-во узлов для k,i 93.685 6.109 0.166 0.027 0.009 0.003
К.2 84.412 14.358 0.937 0.183 0.106 0.004
5. Заключение. В работе представлен программный комплекс, который позволяет на вычислительном кластере решить задачи экспериментального поиска управляющих параметров для математических моделей с сильной и угловой сингулярностью при минимальном участии оператора. Разработанный комплекс пришел апробацию на кластере ВЦ ДВО РАН. Полученные с помощью комплекса результаты могут быть использованы для дальнейших прикладных и теоретических исследований краевых задач с сильной и слабой сингулярностью.
Список литературы:
1. Arroyo D., Bespalov A., Heuer N. On the finite element method for elliptic problems with degenerate and singular coefficients // Mathematics of Computation. 2007. Vol. 76. P. 509-537.
2. Assous F., Ciarlet, P. Jr., Segre J. Numerical Solution of the Time-Dependent Maxwell Equations in Two-Dimensional Singular Domain: The Singular Complement Method // J. Comp. Physics. 2000. Vol. 161. P. 218-249.
3. Costabel M., Dauge M., Schwab C. Exponential convergence of hp-FEM for Maxwell equations with weighted regularization in polygonal domains // Math. Models and Meth. in Appl. Sci. 2005. Vol. 15. P. 575622.
4. Li H., Nistor V. Analysis of a modified Schrodinger operator in 2D: Regularity, index, and FEM // J. Comp. Appl. Math. 2009. Vol. 224. P. 320-338.
5. Рукавишников В. А. О весовой оценке сходимости разностных схем // Докл. АН СССР. 1986. Т. 288. № 5. С. 1058-1062.
6. Рукавишников В. А. Задача Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных // ДАН. 1994. Т. 337. №4. С. 447-449.
7. Рукавишников В. А. О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с несо-
гласованным вырождением исходных данных // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. №3. С. 402-408.
8. Рукавишников В. А. О единственности Rv -обобщенного решения для краевых задач с несогласованным вырождением исходных данных // ДАН. 2001. Т. 376. №4. С. 451-453.
9. Рукавишников В. А., Беспалов А. Ю. Экспоненциальная скорость сходимости метода конечных элементов для задачи Дирихле с сингулярностью решения // ДАН. 2000. Т. 374. №6. С. 727-731
10. Rukavishnikov V. A., Rukavishnikova H. I. The Finite Element Method For Boundary Value Problem With Strong Singularity // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2010. Vol. 234. №9. P. 2870-2882.
11. Rukavishnikov V. A., Mosolapov A. O. New numerical method for solving time-harmonic Maxwell equations with strong singularity // Journal of Computational Physics. 2012. Vol. 231. P. 2438-2448.
12. Рукавишников В. А., Николаев С.Г. Весовой метод конечных элементов для задачи теории упругости с сингулярностью // ДАН. 2013. Т. 453. №4. С. 378-382.
13. Rukavishnikov V. A., Rukavishnikova H. I. On the Error Estimation of the Finite Element Method for the Boundary Value Problems with Singularity in the Lebesgue Weighted Space // Numerical Functional Analysis and Optimization. 2013. Vol. 34. №12. P.1328-1347.
14. Рукавишников В. А., Николаев С. Г., Сарыков А. С. Программа для пакетного моделирования сингулярных задач на высокопроизводительном кластере // Информатика и системы управления. 2013. № 1(35). С. 99-107.
15. Рукавишников В. А., Николаев С. Г. Проба IV -программа для численного решения двумерных задач теории упругости с сингулярностью // Св. 2013616248 Российская Федерация, Программы для ЭВМ. Базы данных. Топологии интегральных микросхем. 2013. Бюл. №3(84).
ОТЗЫВ
на статью В.А. Рукавишникова, О.В. Маслова, А.О. Мосолапова, С.Г. Николаева «Автоматизированный программный комплекс для поиска оптимального набора параметров весового метода конечных элементов на вычислительном кластере» Статья посвящена созданному авторами автоматизированному комплексу программных средств, позволяющему проводить массовые численные эксперименты математических моделей с сингулярностью на вычислительном кластере. Целью работы являлось определение оптимального набора регулирующих параметров: радиуса 6-окрестности, степени v весовой функции в определении Rv-обобщенного решения и степени v весовой функции базиса, позволяющего использовать весовой метод конечных элементов для расчета математической модели со скоростью сходимости не хуже теоретической. В итоге авторами был разработан алгоритм, реализованный в программный комплекс для поиска шкал оптимальных управляющих параметров для расчета различных моделей математической физики с угловой сингулярностью, и настроена программа, позволяющая графически интерпретировать результаты численного анализа погрешностей решений этих задач.
Предлагаемый программный продукт может быть использован как основа для анализа с высокой степенью точности математических моделей со слабой сингулярностью, вызванной наличием у границы входящих углов, а так же для задач с сильной сингулярностью, встречающихся в электродинамике, теории магнетизма, связанных с решением уравнений Максвелла в невыпуклых областях.
Актуальность разработанного авторами комплекса не вызывает сомнений. Следует также отметить, что описанный в статье программный комплекс полезен не только при осуществлении численных экспериментов, но и при проведении теоретических исследований.
В целом профиль статьи соответствует тематике журнала. Статья ранее не публиковалась и может быть рекомендована к публикации в журнале «Computational nanotechnology».
Профессор кафедры вычислительной техники и компьютерной графики ДВГУПС
О.П. Ткаченко
