CC BY
23
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 192-203
Механика
УДК 538.324
Задача о вязкопластическом и сверхпластическом деформировании сферической мембраны
С. А. Фурсаев
Аннотация. Рассматривается конечное деформирование цилиндрической в начальном состоянии мембраны под действием равномерно распределенного по внутренней поверхности давления. Задача решается в рамках модели несжимаемого, жесткопластического материала, деформируемого при условии полной пластичности. Получены точные аналитические зависимости давления и кинематических характеристик от угла поворота нормали на краю мембраны. Установлены законы изменения удлинений и перемещений от радиальной координаты. Получено приближенное аналитическое решение для напряжений и распределения толщины мембраны с учетом вязкого деформирования.
Ключевые слова: мембрана, полная пластичность, конечные деформации, вязкость.
1. Постановка задачи
Рассмотрим мембрану, которая до деформации имеет вид цилиндрической пластинки и закреплена по боковой поверхности. Движение мембраны рассматривается в цилиндрической системе координат. При этом принимаются следующие обозначения: г — радиальные координаты
материальной точки в начальном состоянии; р — радиальные координаты материальной точки в текущем состоянии; £ — координата вдоль нормали к срединной поверхности в начальном состоянии. Так как начальная толщина оболочки много меньше её радиуса, то используем обобщенную гипотезу Кирхгоффа-Лява:
К (г, £, Ь) = Кср (г, Ь) + £Х3и = р (г, Ь) ёг + г (г, Ь) ёг + £Азп, (1)
где Кср (г, Ь) = р (г, Ь)ёг + г (г, Ь) ёг — радиус-вектор точек срединной поверхности; Аз (г) — утонение оболочки в направлении нормали,
Н (г) = А3 (г) Н0 (г) — текущая толщина оболочки; Но (г) — начальная
л с _
толщина, А1 = ЛгИ — относительное удлинение срединной поверхности в
меридиональном направлении; А2 = р — относительное удлинение срединной поверхности в окружном направлении.
Исходя из закона движения (1), получим следующие кинематические соотношения:
Л2 = — +1,
Г
Лі — —
д
1
диг
дг 8Іп 7
дГ (Л2г)— Л1 СШ
(2)
(3)
(4)
где иг — перемещение начальной срединной плоскости по радиальной координате; и,х — перемещение начальной срединной плоскости вдоль оси
О г; 7 — угол поворота нормали к срединной поверхности.
Рассматриваемое тело деформируется под действием нагрузки постоянной интенсивности р, распределенной по внутренней поверхности и направленный по нормали к внутренней поверхности мембраны (рис. 1). Распределение напряжений и деформаций по толщине оболочки считаем однородным, то есть рассматриваем задачу в мембранном приближении.
Запишем условие равновесия мембраны с помощью вариационного принципа Журдена. С учетом условия несжимаемости получим
Jр ■ брйБ — J (а --бУ)йУ,
5 У
где У — объем пространства, занимаемого оболочкой в произвольный момент времени; 5 — площадь действия поверхностных усилий р; а — девиатор тензора напряжений; бУ — вариация поля скоростей, IV — девиатор тензора деформации скорости. Исходя из закона движения (1) и принципа Журдена, представим систему уравнений равновесия оболочки в дифференциальном виде:
оцНо . р 2 вт 7 — ^ Л2Г
< д7 стцЛ-о 022Л.0 .
т;-----г—г - РЛ1Л2Г +-----------— 8ІП 7
дг Лі Л2
сзз — о,
(5)
0
где 7 — угол поворота подвижного базиса; р — приложенное давление; и11, и22, И33 — компоненты тензора напряжений.
2. Постановка задачи и построение аналитического решения
Рассмотрим деформирование оболочки при условии полной пластичности: 041 = &22 = = const [1].
В этом случае система (5) принимает вид
' a0ho . p \2 sin j = - \2r,
Л
1
dj v0ho Л Л + a0ho . 0
— —r - p\\\2T +-------- — sin j = 0.
dr X\ Л2
(6)
Система (6) дополняется кинематическими соотношениями (2)—(4) и граничными условиями
иг\г=Я — 0; иг\т=Я — 0
Представим систему (6) в безразмерном виде, отнеся все величины с размерностью длины к начальной радиусу оболочки Я, а величины с
размерностью напряжения к пределу текучести а
о
sin Y Ai
Pb аг
O
A¿r 2hb 2
(7)
3y rbh0. b. . b ho sin y
Wb A0 - vxix2r
0.
Далее индексы «b» над безразмерными давлением, начальной толщиной и радиальной координатой опустим. В результате несложных преобразований из системы (7) и уравнения (4) получим
f 2h0 sin y
1 pX^r ’
Ü = 2h0 (8)
9X2 + X X
~^—r + X2 = Xi cos Y-dr
Добавим сюда граничные условия
Y\r=0 = 0; X2,\r=R = 1-
(9)
Система (8) представляет собой систему нелинейных уравнений относительно неизвестных удлинений А1, Л2 и угла поворота 7.
Угол поворота нормали в полюсе оболочки (г = 0) равен нулю, так как вектор внешней нормали будет параллелен вертикальной оси Ог; удлинение А2 в окружном направлении на границе (г = Я) будет отсутствовать в силу условия закрепления.
Исключим из системы (8) меридиональную деформацию А1. Вводя новую переменную / = А2Г, получим
p dY ho dr
P df 1
hO Tr = r Sln2Y ■ f2 ■
(10)
Следствием системы (10) является связь между производными Y и / следующего вида:
dY 1 df
ctg YTr = far.
(11)
Из дифференциальной связи (11) следует связь между неизвестными, определяемая с точностью до параметра С1 в виде
sin Y = Cif. (12)
В результате подстановки связи (12) в первое уравнение системы (10)
получим дифференциальное уравнение относительно угла поворота
p &y 2rC\
h0 dr sin y '
Общее решение данного уравнения имеет вид
Р cos y = -Cfr2 + C2. (13)
h0
Параметры Ci и C2 находим из краевых условий для угла поворота
Y\r=0 = 0; Y\r=R=i = Yk - (14)
Удовлетворяя условиям (14), из решения (13) получим
C = hpo (1 - cos Yk); C2 = hpo - (15)
В результате закон изменения угла поворота из выражений (13), (15)
принимает вид
cos y = 1 — (1 — cos Yk )r2 - (16)
Функция f с учетом значения величины Ci из (15) и связи (12) выражается по формуле
f = sin Y - (17)
3 (1 — cos Yk)
Подставляя в формулу (17) выражение
f \r=R=i = 1
следующее из граничного условия (9), определяем связь между давлением и углом поворота нормали Yk на краю мембраны:
ho sin3 Yk ,10ч
Р =1----------- (18)
1 — cos Yk
3. Распределение кинематических характеристик вдоль
радиуса мембраны
Из формулы (17) и зависимости (18) найдем закон изменения окружного удлинения
л2 = -^. (19)
r sin Yk
Из выражений (8), (18) и (19) находим закон изменения меридионального удлинения
= 2(1 -cos Yk) . _j_. (20)
sin Yk sin y
Используя законы (19), (20), из уравнений (2) и (3) находим компоненты перемещений точек срединной плоскости:
= ь-noSYk . (i - ,,2). Ur = ™1 - r. (21)
sin Yk sin Yk
Из условия несжимаемости Л1Л2Л3 = 1 определяем утонение оболочки
. 2
sin2 Yk , s
3 = 2(1 - cos Yk) ■ (22)
Из формулы (22) следует, что при полной пластичности утонение постоянно вдоль радиуса.
Таким образом, получены точные аналитические зависимости (19)—(22) удлинений и перемещений срединной поверхности мембраны от радиальной координаты и монотонно возрастающего параметра Yk. При этом закон изменения sin y от радиальной координаты определяется из выражения (16).
4. Напряженное состояние мембраны с учетом вязкого
деформирования
Рассмотрим процесс деформирования мембраны в вязкопластической области. Введем допущение о равномерности распределения характеристик напряженно-деформированного состояния по толщине оболочки.
Запишем определяющее соотношение для вязкопластического и сверхпластического материала [2]:
а = + ар, = ть(в,Т) • У , ти = Тоехр ^2шо агС^ ^, (23)
где а = сг + а0 • Е, ср — равновесная составляющая девиатора тензора напряжений; — вязкая составляющая девиатора тензора напряжений; ть
— интенсивность вязкой составляющей нагружения; ЛУ — девиатор тензора деформации скорости; в — величина формоизменения кольца; т0 — модуль скоростного упрочнения; — скорость сверхпластичности.
При предположении об идеально-жесткопластическом поведении материала равновесные нагружения тр считаем равными пределу упругости: тр = то, то есть деформационное упрочнение отсутствует.
В ортонормированном подвижном базисе выражение тензора деформации скорости примет вид
„х А і ^ М -> -> . аз ->->
^ = — ГіТі + — Т2Т2 + — пп.
Аі А2 Аз
(24)
Так как в силу гипотезы несжимаемости тензор деформации скорости совпадает со своим девиатором, то запишем выражение для скорости формоизменения в нормальном сечении оболочки в виде
<„)»=w..w==( *)’ +( |)2 +( аз '2
(25)
Характеристики напряженно-деформированного состояния вязкопластической среды рассматриваются как функции времени. Зададим закон изменения по времени для угла поворота базиса на правой границе: ^к = 1к<і).
В таком случае производная по времени будет иметь следующий вид:
д
д
ді д^к
7к.
(26)
Используя соотношения (23)—(26), получим выражение для производной длины дуги формоизменения по времени
д 1п А
дъ
+
д 1п А2
д^к
+
д 1п АіА2
д^к
(27)
или
« = Ік •А і,
(28)
где
А-і=
дъ
' д 1п Аі ^ 2 + / д 1п А2 \ 2 + ( д 1п Аі А2
д1к )
дік
Запишем компоненты тензора напряжений (23) с учетом соотношений (25) и (26)
д 1п Аі
Оіі = —----------гг------
« д^к
д 1п А2
О 22 = —
ік + О0, ік + О0,
(29)
2
2
2
2
ть д 1п Аз .
033 = ГГ------+ &0-
в* дYk
Полагаем, что оболочка находится в плосконапряженном состоянии. Тогда а33 = 0 и из (29) следует, что
ти д 1п А3 . ти д 1п А1А2 .
оо = - — -т:-----• ^к ^ °о = -------^----• ~1к -
в дYk в дYk
Тогда компоненты тензора деформации (29) с учетом (28) предстанут в виде
Ад 1п А2 А2 Ад 1п АіА2 0
оц = тV А——-----, о 22 = т-и А——---, о зз = 0.
д^к
д^к
(30)
Если в использовать в виде (27), то получим следующий вид для компонент тензора напряжений, где все деформации определены как (19), (20), (22):
8(1п Л1 )\2 , ( 8(1п 2 + 8(1п Л1Л9^2
т0 ехр I 2т0 arctg
в^к
+
в^к
+
в^к
Оіі
V д7к
д(1п Л1Л2)
д~ік
д <1п А2 А2)
д^к
т0 ехр I 2т0 arctg
' д(1п Л1 ) ' в^к
V і / д(1п Л2Л 2 + ( д(1п Л1 Л2 ) Л ) + 1 в'к ) + 1 )
О 22 =
( д(1п Л1Л2 + ( д(1п Л2^2
\ д1к
V д1к )
+
д(1п Л1Л2)^ 2 д1к )
д <1п Аі А2)
д^к
033 = 0.
Запишем выражения для напряжений в безразмерном виде, так чтобы все величины, имеющие размерность напряжений, были отнесены к пределу пластичности тр = то, а величины, имеющие размерность скорости, — к скорости сверхпластичности у3:
Оіі
ехр (2ап^ ({(^)2 + ()2 + (^У
д <1п А2А2)
( д(1п Л1) )2 + ( д(1п Л2 ) )2 +
V дік ) М д1к ) +
д(1п Л1Л2)
дік
дік
V
в
2
2
V
в
2
022 =
ехр (2^ (/(^)2 + (д^)2 + (
) )) д (1п А1А2)
/ ( д(1п А1) ^2 . ( д(1п А2) ^ 2 , ( д(1п Л1Л2)
\j\dlk) М д~<к ) М д~<к
дYk
033 = 0.
Таким образом, мы получили распределение напряжений, зависящих от радиальной координаты и времени:
011 (А1(г^к(г)); А2(г, Yk(г)); Yk(г)) ^ оц(г; г), 022 (А^г^^(г)); А2(г,Yk(г)); Yk(г)) ^ 022(г; г),
033 (Аl(г,Yk(г)); А2(г,Yk(г)); Yk(г)) ^ 033(г; г).
Если в соотношения скорости деформации (27) и соотношения напряжений (31) подставить соотношения для деформаций (19), (20), (22), то получим приближённое решение задачи о распределении напряжений и скорости деформации в сферической мембране при вязком деформировании.
Найдём распределение скорости деформации по радиусу оболочки, используя формулу (27). На рис. 2 изображено распределение скорости деформации при различных скоростях изменения угла Yk на краю мембраны.
Рис. 2. Распределение скорости деформации
2
На основании рис. 2 можно сделать вывод, что наиболее полное вхождение всей мембраны в режим сверхпластичности происходит при соотношении скорости изменения углового параметра и скорости сверхпластичности для данного материала ~ 1-4. При этом наиболее существенные отклонения от сверхпластичного режима будут наблюдаться на краю мембраны.
Далее по формуле (18) определим зависимость давления от изменения углового параметра . На рис. 3 показано изменение давления в зависимости от величины углового параметра. Видно, что после достижения некоторого значения рост давления сменяется быстрым спадом.
Р
* Yk
I
Рис. 3. Зависимость давления от y к
Зная законы распределения компонент тензора напряжений (31) и условие несжимаемости Л1Л2Л3 = 1, можно получить закон распределения толщины мембраны вдоль радиуса. После решения системы (5) без условия полной пластичности (то есть и 11 = 022 = const) запишем выражение для толщины:
h0 2011 — 022 2g-1:L-2g-22
h(r,Yk) = ^Лз = -т—^ = ho—2-----------(1+cos Yk) (sin7) 2-n--22 , (32)
Л1Л2 2o11
где угол поворота подвижного базиса выражен как
7 = arccos (i — (1 — cos Yk)r2) .
На рис. 4 изображено изменение во времени £ распределения толщины Н(г) для сферической мембраны.
И
0,14----------------------------------------------------
0,12----------------------------------------------------
0,10----------------------------------------------------1=0
0,08 0,06 0,04
0,02
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Г
Г
Рис. 4. Изменение распределения толщины мембраны
Заметно, что со временем изначально равномерное распределение толщины становится неравномерным. Но при приближении к режиму сверхпластичности толщина снова стремиться к равномерности распределения.
Список литературы
1. Аннин Б.Д. Двумерные подмодели идеальной пластичности при условии
полной пластичности // Проблемы механики: сб. статей к 90-летию
А.Ю.Ишлинского. М.: Физматлит, 2003. С. 94-100.
2. Маркин А.А. Термомеханика процессов упругопластического и сверхпластического деформирования металлов // ПМТФ. 1999. Т. 40, № 5. С. 164-172.
Фурсаев Сергей Александрович (fursaev@mail.ru), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Problem about viscous-plastic and superplastic deformation of a
spherical membrane
S. A. Fursaev
Abstract. Final deformation of a cylindrical membrane in an initial condition under action of pressure in regular intervals distributed on an internal surface is
considered. The problem is solved with use of model of the incompressible, is rigid-plastic material deformable under condition of full plasticity. Exact analytical dependences of pressure and kinematic characteristics from of a corner of turn of a normal on edge of an membrane are received. Laws of change of lengthenings and movings from radial coordinate are established. The approached analytical decision Is made for pressure and distribution of thickness of a membrane in view of viscous deformation.
Keywords: membrane, full plasticity, final deformations, viscosity.
Fursaev Sergey (fursaev@mail.ru), postgraduate student, department of mathematical modeling, Tula State University.
Поступила 31.05.2011
