Влияние роста зерен на режимы деформирования протяженной прямоугольной мембраны в состоянии сверхпластичности Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 004.94: 539.55: 621.7-5

Влияние роста зерен на режимы деформирования протяженной прямоугольной мембраны в состоянии сверхпластичности

И. Ф. Аюпов, Т. М. Загиров, Ф. У. Еникеев

Ключевые слова: деформационное упрочнение, идентификация, реологические свойства, сверхпластическая формовка, технологические параметры.

Введение

Сверхпластическая формовка является одним из перспективных методов обработки давлением листовых промышленных сплавов на основе титана, алюминия, магния, железа, никеля и других современных конструкционных материалов [1]. В последние годы данная технология привлекает повышенное внимание специалистов в связи с появлением эффективных методов получения объемных нанострук-турных материалов, обладающих уникальными свойствами [2, 3]. В связи с этим представляет большой интерес практическое применение новых материалов в соответствии с технологиями обработки металлов давлением в состоянии сверхпластичности [4]. Однако, как отмечают авторы работы [4], в данном случае одной из серьезных проблем является интенсивный рост зерен, который заметно влияет на реологическое поведение и, следовательно, на выбор оптимальных режимов нагружения при изготовлении деталей различного назначения из ультрамелкозернистых материалов.

Деформирование длинной узкой прямоугольной мембраны относится к числу часто рассматриваемых технологических схем, его анализ позволяет рассчитывать основные технологические параметры процессов получения многослойных ячеистых и гофровых конструкций с сильно вытянутыми ячейками. В работе [5] предложена методика расчета режимов сверхпластической формовки протяженной прямоугольной мембраны, которая может быть использована при изоструктурном деформировании микрокристаллических материалов в оптимальных условиях проявления эффекта сверхпластичности. Применимость этой методики доказана путем сопоставления расчетных и экспериментальных данных на примере промышленного титанового сплава ВТ6, а обоснованность инженерной модели процесса [5] позже подтверждена путем постановки и решения соответствующей краевой задачи механики деформируемого твердого тела [6].

Целью настоящей работы является обобщение методики расчета режимов сверхпластической формовки протяженной прямоугольной

[22

№ 4 (58)/2010

ОБРАБОТКА МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ

мембраны, предложенной в статье [5], для тех случаев, когда необходимо принимать во внимание возможный рост зерен при сверхпластическом деформировании тонколистовых материалов. Для описания реологического поведения микрокристаллических материалов, деформируемых в состоянии сверхпластичности, предложено множество самых разнообразных моделей (см. их обзор: [7]). Наиболее значимым реологическим параметром принято считать повышенную чувствительность напряжения течения с к скорости деформации которую обычно характеризуют величиной параметра скоростной чувствительности т, входящего в стандартное степенное соотношение сверхпластичности

а = K*n,

(1)

где К — параметр материала, зависящий от среднего размера зерен и других структурных характеристик. Соотношение (1) довольно широко используется в практических расчетах при моделировании различных технологических процессов обработки металлов давлением в состоянии сверхпластичности. В тех случаях, когда необходимо принять во внимание возможное влияние роста зерен, на практике довольно часто используют следующее обобщение реологического закона (1):

а = K'*nsn,

(2)

правленную вдоль радиуса кривизны оболочки. Поскольку продольная деформация отсутствует, третья компонента тензора скоростей деформаций (обозначим ее через равна нулю. В силу несжимаемости материала след тензора скоростей деформаций равен нулю: + Ъ1П + + Е,г = 0. Отсюда следует, что E,n = -^t. С учетом сказанного выше находим, что

Çt = (1/Ry)d(Ry)/dt = dy/dt(1/y - ctg у),

где d(...)/dt — дифференцирование по времени t. Тогда интенсивность скоростей деформаций E,e и накопленная деформация se (effective) равны [1, 7]

, ^ 2 dуf1 ^

* e =* 'З4 ^ * ^ =V3 dt [у- Ctg у

= J* edt = * ln-^-, 0 V3 sin у

(3)

где в — степень деформации, а n — показатель деформационного упрочнения материала, учитывающий влияние роста зерен на реологическое поведение микрокристаллических материалов, деформируемых в режиме сверхпластичности. Параметры K и m' имеют тот же самый смысл, что K и m в выражении (1); очевидно, что при n = 0 K = K и m' = m.

Пусть sq, s — исходная и текущая толщина листа соответственно; W, D — полуширина и глубина матрицы соответственно; Н — текущая высота купола; В — текущий радиус оболочки; у — угол между лучами, проведенными из центра кривизны к полюсу купола и границе оболочки. Тогда с учетом несжимаемости Ву = SqW и В = W/ sin у можно вывести: s = Sq sin у/у. Каждое волокно листа, имевшее в начальный момент времени полуширину матрицы W, растянуто в текущий момент времени в то количество раз, которое описывается формулой Ву/W = у/ sin у. Тензор скоростей деформаций имеет две отличные от нуля компоненты: тангенциальную ^ (tangential), направленную по касательной к образующей, и нормальную (normal), на-

где E,ij — компоненты тензора скоростей деформаций, подразумевается суммирование по повторяющимся индексам i, j = 1, 2, 3.

Для анализа напряженного состояния в деформируемом листе используем основные уравнения безмоментной теории оболочек, в соответствии с которой отличными от нуля являются только две компоненты тензора напряжений Коши: тангенциальная и продольная сг. Два уравнения равновесия могут быть записаны в виде

°г/Рг + CTt/Pt = P/s; = PPt/s[1 - pí/(2pz)], (4)

где pz, pt — главные радиусы кривизны оболочки; p — давление газа. Учитывая, что в данном случае pt = В = W/ sin у, pz = да, из выражений (4) находим

ct = pB/s = pW/(s sin у);

аг = pR/(2s) = pW/(2s sin у).

(5)

Тогда интенсивность напряжений ae по определению составляет

а = J ñSijSij =

л/3 pR = yf3 pW 2 s " 2 s0

у

sin2 у

(6)

где Sij — компоненты девиатора напряжений. Подставляя выражения (3) и (6) в определяющее соотношение (2), находим

s

e

МП^ППООБ^^Ш

ОБРАБОТКА МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ

S pw

f

= 2 .. _s_2.

So sin у

= K

2 df(1 X --ctg f

-v/3 dt

(Ajn.

V3 sin f

V

y

• (7)

Выражение (7) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции у(£), которое может быть проинтегрировано численными методами для заданного закона подачи давления р = р(£).

Деформирование при постоянном давлении

Для режима деформирования при постоянном давлении газа решение (7) может быть представлено в квадратурах

(

33 Pw

2 K'sx

\1/m'

= I^ffn', П) =

= Й(Хт"**

( . 2 /1/m' sin x

X

33 sin x

n/m

d x, (8)

t = t

Уэ pw

2 KS0

\1/m'

= If(m', n);

и H * V

h = — = tg —• w2

(9)

а) h 1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0

12

0,1

0,2

б)

Tf 0,80,60,20

~02 0,4 0,6 0,8 1,0

Рис. 1. Зависимости относительной высоты купола h от безразмерного времени т (а) и продолжительности формовки Tf от величины параметра деформационного упрочнения n (б), вычисленные по формулам (10) при p = const:

а: m = 0,5; 1 — n = 0,5; 2 — n = 0,3; 3 — n = 0,1; 4 — n = 0; б: 1 — m = 1,0; 2 — m = 0,7; 3 — m = 0,5; 4 — m = 0,3

Продолжительность, c, тестовых формовок листов из сплава ВТ6 с исходной толщиной 1 мм в матрицу из сплава ЖС6у размерами 120 х 30 мм при температуре 900 °C

где x — немая переменная (переменная интегрирования). Для краткости записи введено обозначение Iy(m', n). Если ввести в рассмотрение безразмерные величины — относительное время т и высоту купола h = H/W, то выражение (8) может быть представлено в нормализованном виде

Глубина матрицы D, мм Давление газа p, МПа

0,6 0,8 1,0 1,2 1,4

10 15 935 2550 524 1290 313 940 215 594 171 400

формовки при постоянном давлении газа, например по тем, которые приведены в работе [5] (см. таблицу).

Введем следующую целевую функцию

1 N

Nit(V Тэ PiW

¥(K m', n) =

[IVi(m ' , n)]n

^ min, (10)

Обозначим продолжительность формовки Tf (forming), то есть примем, что Tf = т(п/2). Результаты расчетов по формулам (9) приведены на рис. 1. С увеличением показателя n продолжительность формовки при постоянном давлении уменьшается, причем эта закономерность сохраняется при всех исследованных значениях величины показателя скоростной чувствительности m. Поскольку изменение значений параметров m' и n существенным образом влияет на временные характеристики рассматриваемого процесса, можно попробовать идентифицировать их по известным экспериментальным значениям продолжительности

где N — общее количество экспериментальных точек.

Необходимые условия минимума функции трех переменных т', п) имеют вид: ду/дЮ¥ = 0, ду/дтЯ = 0, д¥/дп = 0. Первое из этих условий приводит к следующему выражению для постоянной К':

к = 4з

Nr-

Z tm [If, (m, n)]

2 So

N

Z[If,(m', n)]

-22m' I 2

'Pi

(11)

i=1

Если подставить (11) в (10), получим выражение, представляющее собой функцию двух переменных, т' и п, обозначим ее через 0.(т\ п).

3

4

m

I

d

2

m

ОБРАБОТКА МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ

МЕТ^^БРД^К)!

При обработке данных одноосных экспериментов величину показателя т часто определяют для конкретного значения деформации, например при относительном удлинении 40 %. Если провести аналогичные действия при обработке экспериментальных данных тестовых формовок, то для определения величины показателя т' можно выбрать набор времен формовок, соответствующих одной и той же высоте купола. В этом случае минимальное значение функции 0.(т', п) уже не зависит от величины показателя п и определяется некоторым значением т', которое может быть найдено путем минимизации 0.(т\ п) при произвольном значении показателя п, например при п = 0.

После того как значение постоянной т' зафиксировано, необходимо дополнить использованный для ее определения набор данных еще хотя бы одной точкой, соответствующей другой высоте купола. Допустим, ^ и t2 — продолжительность формовки купола при одном и том же давлении газа до разных высот купола (отличающихся значений у). В этом случае из выражения (9) следует:

Т1Л2 = tl/t2 = 1у1(т', п)/1у2 (т', п), (12)

где Т1, Т2 — значения безразмерного времени, вычисленные согласно формуле (10); t2 — продолжительность формовки куполов высотой Н1, Н2 соответственно; у1, У2 — значения у, соответствующие моменту окончания формовки (касанию дна матрицы), у1 = = 2 аге1® (Ф^), у2 = 2 агСв ф2^); Dl, D2 — глубина матрицы в случае формовки купола высотой Н1, Н2 соответственно. Уравнение (12) может быть решено численными методами относительно неизвестной п, если величину т' мы знаем. Наконец, значение постоянной К может быть вычислено по формуле (11) при известных т' и п.

Если применить описанную выше процедуру к экспериментальным данным, приведенным в таблице, то можно найти следующие значения параметра скоростной чувствительности: т' = 0,479 при ф = 10 мм и т' = 0,460 при ф = 15 мм. Значения других постоянных зависят от выбора промежуточной точки. Так, например, если в качестве промежуточной точки выбрать значение, соответствующее р = 0,8 МПа, то в результате применения описанной выше процедуры идентификации можно найти, что т' = 0,460, п = 0,1456 и К' = = 724 МПатс-1. Если использовать более узкий интервал, например выбрать только первые два столбца в таблице, то в результате идентификации модели (2) получим: т' = 0,422; п = 0,13 и К' = 510,6 МПатс-1.

Расчет закона подачи давления

Для того чтобы обеспечить оптимальные условия сверхпластичности в течение всего процесса деформирования, давление газа изменяют по специальному, заранее рассчитанному закону [1, 5, 7]. Обычно под оптимальным режимом нагружения понимается такой режим изменения давления газа от времени, при котором скорость деформации поддерживается постоянной по величине:

2

2 dу

: ,/3 ^ dt

\

у )

(13)

где Ъ1ц — компоненты тензора скоростей деформации; — оптимальная скорость деформации, соответствующая точке перегиба сиг-моидальной кривой сверхпластичности [1, 7]. Интегрируя (13), находим:

Тэ

у

Sln у

= ^ор^.

(14)

Выражение (14) задает функцию у = у^), соответствующую оптимальному режиму на-гружения. При этом зависимость высоты купола Н от времени можно определить из условия Н = W tg (у/2), а зависимость давления от времени (см. формулу (7)) имеет вид:

р = 2 30 sln у к:т' Лп

(15)

При п = 0 выражение (15) совпадает с аналогичным выражением, приведенным в работе [5]. Для того чтобы проанализировать влияние роста зерен на закон подачи давления, введем в рассмотрение безразмерные параметры — относительное давление р', связанное с р и время т'.

Р =

ЦЩ у п

-т ;

у

л/3 W Р

2 ^^ к>т

т' = ^ = \Ь-т^

л/3 цт у

(16)

На рис. 2 приведены результаты расчетов в соответствии с выражениями (16). Судя по нему, с ростом показателя деформационного упрочнения оптимальные значения давления снижаются по величине, при этом максимум на кривых давления постепенно исчезает.

ОБРАБОТКА МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ

0,70,60,50,40,30,20,10

б)

p 1,01

0,84 0,60,20

выражениям для относительного давления p'' и времени т '':

а) Р

0,80,60,40,20

б)

Р 1,0

0,6-

0,2-

0

0,2 0,4 0,6 0,8

1,0 h

Рис. 3. Зависимости относительного давления газа p' ' от относительного времени т' ' при m' = 0,5 (а) и относительной высоты купола h (б), обеспечивающие деформирование мембраны с постоянной интенсивностью напряжений, при сте = aopt = const: 1 — n = 0,3; 2 — n = 0,1; 3 — n = 0

„ = S w p

2 so ct,

opt

sin2 у V '

í* \1/m' CTopt I

1

(

= t^OPL I =-1- in . (17)

ч K J 1 + n / m 3 sin уJ

Результаты вычислений по формулам (17) представлены на рис. 3.

У

1+n/m

0,5 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 т' h

Рис. 2. Зависимости относительного давления газа p от относительного времени т (а) и относительной высоты купола h (б), обеспечивающие деформирование мембраны с постоянной скоростью деформации = |opt = const: 1 — n = 0; 2 — n = = 0,1; 3 — n = 0,3; 4 — n = 0,5

Заметим, что в том случае, когда напряжение течения явным образом зависит от степени деформации, возможно введение альтернативного понятия об оптимальном режиме на-гружения. В самом деле, под оптимальным режимом нагружения можно понимать такой закон подачи давления, при котором деформирование мембраны происходит с постоянной интенсивностью напряжений ce = copt = const, где copt — напряжение течения, соответствующее оптимальной скорости деформации ^opt (точке перегиба сигмоидальной кривой сверхпластичности). Для материалов, напряжение течения которых не зависит от степени деформации, оба рассмотренных выше определения оптимального режима эквивалентны, поскольку для них из условия = ^opt = const безусловно можно вывести ce = ao„t = const, и наоборот.

Из выражений (6) и (7) следует, что условие ce = copt = const приводит к следующим

Выводы

Анализ показывает, что рост зерен может серьезным образом влиять на поведение листового материала при его деформировании в матрицу прямоугольной формы. По мере роста показателя деформационного упрочнения материала п, входящего в определяющее соотношение с= К вп, снижаются характерные значения продолжительности формовки и давления газа. Постоянные К', т' и п в определяющем соотношении с = К%т гп могут быть найдены по результатам тестовых формовок материала при постоянном давлении. Если рост зерен оказывает влияние на реологическое поведение конструкционного материала, необходимо проводить различие между режимами деформирования при постоянной интенсивности скоростей деформаций и постоянной интенсивности напряжений. В первом случае характерный вид кривых давления качественно меняется с ростом показателя п — исчезает локальный максимум (см. рис. 2). Однако для режима деформирования при постоянной интенсивности напряжений кривые давления сохраняют локальный максимум при любом значении показателя п, причем характерное время формовки заметно снижается (см. рис. 3, а). Зависимость давления газа от относительной высоты купола, при котором деформирование мембраны происходит с постоянной интенсивностью напряжений, не зависит от реологических параметров материала и является непосредственным следствием уравнений равновесия (см. рис. 3, б).

Литература

1. Смирнов О. М. Обработка металлов давлением в состоянии сверхпластичности. М.: Машиностроение, 1979. 184 с.

2. Валиев Р. З., Александров И. В. Объемные на-ноструктурные материалы: получение, структура и свойства. М.: Наука, 2007. 272 с.