Задача Коши для уравнения нейтрального типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929

Неволина Ольга Анатольевна

старший преподаватель кафедры высшей математики

ФГБОУ ВПО «Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет», Пермь, Россия 614990, Пермь, Сибирская, 24, (342) 238-63-44, e-mail: [email protected]

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА Nevolina Olga A.

teacher of the Chair of supreme mathematics

Federal State Budget Educational Institution of Higher Professional Education «Perm State Humanitarian Pedagogical University»

24, Sibirskaja, 614990, Perm, Russia, e-mail: [email protected]

CAUCHY PROBLEM FOR EQUATION OF NEUTRAL TYPE

Аннотация: рассматривается дифференциальное уравнение

нейтрального типа вида a(t)x'(t)+ b(t)x'(Д (t))+ c(t)x'(h2 (t)) = f (t, (Tx)(t)), гДе h1 (-), h2 () - кусочно-дифференцируемые функции. В работе используется теорема существования решения квазилинейного операторного уравнения без предположения обратимости линейного оператора. На основе этой теоремы доказывается достаточное условие разрешимости задачи Коши для рассматриваемого уравнения.

Ключевые слова: уравнение нейтрального типа, задача Коши, теорема существования, квазилинейное операторное уравнение.

Abstract: we consider the differential equation of neutral type of the form a(t)x'(t)+ b(t)x'(h (t))+ c(t)x'(h2 (t)) = f (t, (Tx)(t)), where hx (•), h2 (•) are partially differentiable functions. The existence theorem for quasilinear operator equation without the assumption of invertibility of a linear operator is contained. Using this theorem, we prove sufficient condition for solvability of the Cauchy problem for the equation.

Key words: equation of neutral type, Cauchy problem, existence theorem, quasilinear operator equation.

В предлагаемой работе рассматривается теорема существования решения задачи Коши для уравнения с двумя отклонениями аргумента в старшей производной.

© Неволина О.А., 2014

В теории функционально-дифференциальных уравнений уравнения нейтрального типа занимают «отдельную нишу». Обусловлено это особое положение специальными методами исследования и свойствами решений данных уравнений, не характерными для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

Теоретические исследования таких свойств будут способствовать более широкому применению дифференциальных уравнений нейтрального типа в математических моделях реальных процессов.

Интенсивное изучение уравнений нейтрального типа начиналось с работ

Н.В. Азбелева, А.Д. Мышкиса, Л.Ф. Рахматуллиной, Р.Р. Ахмерова, А.Е. Родкиной, М. Е. Драхлина, М.И. Каменского, А.Р. Абдуллаева.

Рассмотрим задачу Коши

кусочно-дифференцируемыми, необязательно непрерывными функциями,

линейный оператор.

Разрешимость задачи (1), (2) мы доказываем на основе утверждения

0 сюръективности оператора внутренней суперпозиции, являющегося суммой двух слагаемых - одночленных операторов суперпозиции. При этом оператор L : Lp ^ Lp, L = Л + S, соответствующий левой части уравнения,

оказывается сюръективным, но необязательно обратимым. Отметим, что в теории функционально-дифференциальных уравнений данный случай рассматривается впервые. Обычно [2] предполагается обратимость оператора

1 + S, где S - одно или несколько слагаемых.

Кроме того, коэффициент при х'(^) может обращаться в нуль. Для обыкновенных дифференциальных уравнений это бы означало сингулярность уравнения.

Введем основные обозначения. Положим Е = [0,1] С Я = (_^, ГС>) . Через Ьр, 1 < р < +да, обозначим банахово пространство функций у : Е ^ Я1 суммируемых (здесь и далее - по Лебегу) в р -й степени, с нормой

где

являются

удовлетворяет условиям Каратеодори, T

LrXl - пространство функций, измеримых

и ограниченных в существенном функций у: Е ^ Я1 с нормой

измеримых

у|| = vrai sup y (t ); Dp - пространство таких абсолютно непрерывных

teE

функций x : E ^ R1, что x' e Lp, с нормой x D = x(a)| +

DP

x

Для измеримого множества е С Я1 через т(е) будем обозначать его меру Лебега. Далее предполагаем, что функции / : Е ^ Я1, i = 1;2 таковы,

что функции множества ^1(е) = т(/ *(е)), ^2(е) = т(/2 1(е)) -

абсолютно непрерывны относительно меры Лебега. И существуют почти всюду функции / 1 : /1(Е) ^ Е, Д1 : h2(E) ^ Е, / 1 (h1 (*))= *, h21 (h2(*)).

Определим следующие операторы. Оператор V : Lp ^ Lp - равенством

*

(V* X*) = а + | у(з. Пусть N: Lp ^ Lp, (АМ)(*) = /(*, и(*)) - оператор

о

Немыцкого. Оператор F : Lp ^ Lp определим равенством Fy = N(Т(Уу)). Введем в рассмотрение одночленные операторы внутренней суперпозиции

( S1У )(*) = К*) У (/1(* ^ ( S 2 У )(*) = Ф) у (/2^ ))

и положим S = S1 + S2. Пусть Л : Lp ^ Lp - оператор умножения (Лу)(*) = а(*)у(*) и оператор L : Lp ^ Lp, где L = Л + S.

Решением задачи (1),(2) будем называть такую функцию х = х(*), * е Е, которая является элементом пространства Dp, почти всюду на Е

удовлетворяет уравнению (1), а также начальному условию (2).

Метод, применяемый в данной работе, основан на переходе от задачи (1),(2) к квазилинейному операторному уравнению в пространстве Lp .

Рассмотрим квазилинейное операторное уравнение

Ly = Fy. (3)

При произвольно фиксированном ае Я1 положим х '(* )= у (*). Действительно, если у0 е Lp является решением (з), то функция

*

хо (*) = а +{у0 (з )dз, принадлежащая пространству Dp, удовлетворяет

о

уравнению (1) и начальному условию (2). Таким образом, для доказательства существования решения задачи (1), (2) достаточно доказать существование хотя бы одного решения операторного уравнения (3). Для этого воспользуемся следующим утверждением.

Пусть X, У - банаховы пространства, X *, У * - сопряженные с X, У пространства, L : X ^ У - линейный ограниченный необратимый оператор,

I* : у * ^ X * - сопряженный с I оператор, ^ : X ^ У - непрерывный, необязательно линейный оператор.

Теорема 1. [і]Пусть выполнены условия:

1) существует константа ^ > 0 такая, что неравенство <^\\ю

<

Т*

I ю

7*

;

2) оператор F : X ^ У вполне непрерывен и существуют константы с > 0, d > 0 такие, что Fy < с + d у для всех у е X;

3) d < £.

Тогда уравнение Ly = Fy имеет хотя бы одно решение.

Приведем вспомогательные конструкции и утверждения, которые потребуются для доказательства теоремы существования.

Лемма 1. Пусть выполнено условие:

угаї sup

tєE

Ы} № ))'Л

< , угаї sup

}єЕ

С

(і У& (і ))Я

< .

Тогда операторы 5 : Ір ^ Ір, ї = 1;2, 1 < р < +да,

(5, у)(}) = ЬЦ) у (Ну(і)),

ограниченными.

( 5 2 у )(} ) = С(} ) у (Н2(ї )) являются

Причем 5,

= угаї sup

ієЕ

5

Доказательство. Рассмотрим выражение

Г

= угаї sup

ієЕ

\

с

(і )(й2 (/ ))'Д

II5,у\\„ = 1Ь(})у)) &

\Е У

Произведем замену переменной в данном интеграле.

|5і у|1

І Ь(^1_1 (г))у(г) р (^1_1 (г))

\Ь(Е)

<

< угаї sup

тек1 (Е)

^Г1 (г)/^1 (г))

у

Аналогично доказывается существование оценки для оператора

V—1/

S2: Lp ^ Lp: ||S2y\\ < vraisup

ієЕ

с

(t Xh2,(t)).

y

Отсюда следует утверждение об ограниченности операторов 5ї : Ір ^ Ір, ї = 1;2 , и значения их норм. Лемма доказана.

I р р

Введем в рассмотрение пространство, сопряженное с Ір: Ір = (Iq) ,

І +1 = 1.

Р Ч

Не составляет труда показать, что операторы 51* : Iq ^ І(^, 52* : Iq ^ І(1, сопряженные с операторами 5ї : Ір ^ Ір, ї = 1;2, 1 < р < +да,

(51 у )(і) = Ь(і) у (к1(і)), (5 2 у )(і) = с(і) у (к2(і)) имеют представление

(S ш)(т) =

( s ;®)(т) =

b(h1—1 (т))ет(/г1—1 (r))(h1—1 (т))

0,

т є h1 (Е) т £ h (Е),

c

0,

(h2—1 (r))®(h2'1 WXh"1 т)) , т є h2'(E)

т £ h2 (E).

Далее докажем утверждение, позволяющее оценить снизу норму сопряженного оператора к оператору внутренней суперпозиции.

Лемма 2. Пусть выполнены условия:

1) m(h1 (Е )n h2 (E)) = 0;

2) 0 < Р < vrai inf (b(t)q (h1(t))1—q + |c(t)q (h2 (t))1—q Yq.

їєЕ

Тогда оператор S : Lp ^ Lp, S = S1 + S2 является сюръективным

и выполняется неравенство

q

q

Доказательство. Рассмотрим

и с учетом условия 1) леммы

представим в виде суммы двух интегралов

q

q

S ш

= j

q *1 (Е)

b(h1—1 (т ))«(h1—1 (т ))(h1—1 (т ))'

dт +

+ I

h2 (Е)

c(h—2(r))®(h2-1(r))(h2-1(r))'

dт.

В каждом из интегралов произведем замену переменной, соответственно полагая т = /г(*) и т = /2(*). Получим

I (I b(t )| qh;(t)+ c(t) qh2 (t)) • «(t )| qdt.

Следовательно,

= j (|b(t )* (h1'(t ))1—q + |c(t )* (h2 (t ))1—q )«(t )* dt

qE

Из этого равенства в силу условия 2) леммы получим требуемое неравенство. Лемма доказана.

Для оператора умножения A : Lp ^ Lp,(Ay)(t) = a(t)y(t), справедлива

= vrai sup a(t)|, отсюда следует и ограниченность

оценка нормы

A

<

a

ієЕ

данного оператора.

Для оценки снизу нормы сопряженного оператора, соответствующего левой части операторного уравнения (3), докажем следующее утверждение.

Лемма 3. Пусть выполнены условия:

1) ш(к1 (Е )п к2 (Е)) = 0;

2) 0 < р < ушы(ь(і)9 (Ц(і))1-9 + \с(і)9 (Н2 (і))1-9 У9

3) а <р.

у го

Тогда оператор I: Ір ^ Ір, I = А + 5, где (Ау )(і) = а (і) у (і),

( 5у )(і) = ( 51 у )(і) + ( 5 2 у )(і), является сюръективным и справедливо

неравенство (р — ||a||да)|«|| <

т*

L ш

Доказательство. Для доказательства справедливости данной оценки достаточно воспользоваться следующим неравенством

q

q

q

q

ю

>

А*ю

> РІЮ

А

ю

>

(р -|\а\\го)

ю

Лемма доказана.

Следующее утверждение позволяет оценить норму оператора Fу при известной оценке на порождающую функцию /.

Лемма 4. [3] Пусть существуют 8 > 0, у > 0, такие, что неравенство

(і, и) < 8 + у и выполнено при всех и є Я1 и почти всюду і є Е . Тогда для оператора F : Ір ^ Ір справедлива оценка

^||р <(8 + \а\у\\Т\\ )+ у\Т

у

В следующей теореме предполагается, что 1 < р < да.

Теорема 2. Пусть выполнены условия:

1) ш(к1 (Е)п к2 (Е)) = 0;

2) существуют константы 8 > 0, у > 0 такие, что функция

f : Е х Я1 ^ Я1 удовлетворяет неравенству ^ (;, и) < 8 + у и е Я1 и почти всех t е Е ;

3) Т : Lp ^ Lp - линейный ограниченный оператор;

4) существует ( > 0, такое, что

и

при всех

У

ТІ + ||а||< Р < утаї М(б(і)|9 ДО))1-9 + |с(і)|9 (И2 (і))1-9 .

ієЕ

Тогда задача (1),(2) для произвольного а е Я1 имеет хотя бы одно решение.

Доказательство. Покажем, что условия данной теоремы обеспечивают выполнение условий 1) - 3) теоремы 1.

Оператор V : Lp ^ Lp при 1 < р < да является вполне непрерывным. Поэтому вполне непрерывным будет и оператор F : Lp ^ Lp. Величины d и ^, фигурирующие в упомянутой теореме в силу лемм 3 и 4 соответственно

а

9

9

9

9

9

9

Следовательно, выполнены все условия теоремы 1, поэтому задача (1),(2) имеет хотя бы одно решение X є Dp, 1 < р < да. Теорема доказана.

В качестве примера рассмотрим следующую задачу

Ч 1

аіпх'(і) + Ьх' х(0 ) = а.

2

+ сх

-----1----

V 2 2 у

+ Р(і )х(і )= &(і), (4)

(5)

Особенностью данного уравнения (4) является то, что при Ь=с=0 уравнение является сингулярным. И в этом случае доказательство разрешимости соответствующей задачи затруднительно.

Применяя теорему 2, получим условие существования хотя бы одного

1 • -.1

решения данной задачи

: ||р(і!< 9 (Ь9 + С)

а

Список литературы

1. Абдуллаев, А.Р. Об одной схеме исследования на разрешимость резонансных краевых задач [Текст] /А.Р. Абдуллаев, А.Б. Бурмистрова // Изв. вузов. Математика. - 1996. - №11. - С.14-22.

2. Азбелев, Н.В. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений [Текст] / Н.В. Азбелев, В.П. Максимов, Л.Ф. Рахматуллина. -М.:Наука, 1982. - 280 с.

3. Неволина, О.А. О разрешимости задачи Коши для одного уравнения нейтрального типа [Текст] / О.А. Неволина // Ярославский педагогический вестник.- 2012. — Т. III (Естественные науки), - № 3. С.22 -27.