CC BY
9УДК 517.929
А. Р. Абдуллаев, О. А. Неволина
О квазилинейном дифференциальном уравнении нейтрального типа в критическом случае
Рассматривается задача Коши для квазилинейного дифференциального уравнения нейтрального типа a(t )x ' (t) + b(t )x ' (h (t)) + c(t )x' (h (t)) = f (t, (Tx)(t)) . Доказана теорема существования для случая, когда оператор, соответствующий левой части уравнения, является сюръективным, но необязательно обратимым.
Ключевые слова: уравнение нейтрального типа, задача Коши, теоремы существования, оператор внутренней суперпозиции.
A. R. Abdullaev, O. A. Nevolina
On a Quasilinear Differential Equation of a Neutral Type in a Critical Case
Cauchy problem for the differential quasilinear equation of a neutral type a(t )x'(t) + b(t )x' (h (t)) + c(t )x' (h2 (t)) = f (t, (Tx )(t)) is considered. We prove the existence theorem for the case, when an operator corresponding to the left part of the equation is surjective, but not necessary invertible.
Keywords: an equation of a neutral type, Cauchy problem, existence theorems, an inner superposition (composition) operator.
В работе [2] доказаны теоремы существования решения задачи Коши для квазилинейного уравнения нейтрального типа с двумя отклонениями аргумента, задаваемыми линейными функциями. В настоящей работе упомянутое уравнение рассматривается с наиболее общими отклонениями аргумента, для которого устанавливается теорема существования решения задачи Коши. Нас будет интересовать случай, когда разрешимость задачи доказывается на основе утверждения о сюръективности оператора внутренней суперпозиции, являющегося суммой двух слагаемых - одночленных операторов суперпозиции. При этом оператор L : Lp ^ Lp, L = A + S, соответствующий левой части уравнения,
оказывается сюръективным, но необязательно обратимым. В этом смысле изучаемый в работе случай является критическим для уравнения (1). Кроме того, коэффициент при x'(t) может обращаться в нуль. Для обыкновенных дифференциальных уравнений это бы означало сингулярность уравнения.
Как ранее отмечалось [1], уравнения нейтрального типа могут обладать свойствами, не характерными для обыкновенных дифференциальных уравнений. Теоретические исследования таких свойств будут способствовать более широкому применению дифференциальных уравнений нейтрального типа в математических моделях реальных процессов. Будем рассматривать задачу Коши
a(t )x'(t) + b(t )x' (h1(t)) + c(t )x' (h2(t) )= f (t, (Tx )(t)) (l)
I x(0) = a, (2)
где t e [0;l], a(-), b(-), c(-) - измеримые функции, f : [0,l]x R1 ^ R1 удовлетворяют условиям Кара-теодори, T - линейный оператор. Условия на порождающие оператор внутренней суперпозиции функции h , h2 сформулированы ниже.
Будем пользоваться обозначениями работы [2]. Для удобства чтения напомним основные из них. Положим E = [0,l] ^ R1 = (-да, да) . Через Lp, 1 < p < +да, обозначим банахово пространство функций y: E ^ R1, суммируемых (здесь и далее - по Лебегу) в p -й степени, с нормой
© Абдуллаев А. Р., Неволина О. А., 2013
г хУр ; Lm - пространство измеримых и ограниченных в существенном функций
J |y(tЛ dt
y : E ^ R1 с нормой ||y||^ = vrai supy(t) ; Dp - пространство таких абсолютно непрерывных функ-
teE
ций х : E ^ R1, что х' e L , с нормой ||х|| = |x(a)| +11x1 .
p II llDp I V Л II II p
Для измеримого множества e œ R1 через m(e) будем обозначать его меру Лебега. Пусть hi : E ^ R1, i = 1;2 - измеримые функции, множества hi (E) измеримы и hi (E) œ E. Определим одночленные операторы внутренней суперпозиции
( Si y)(t ) = b(t ) y (hi(t )) ( S 2 y)(t ) = C(t ) y(h2(t ))
и положим S = S1 + S2.
Определим функции множеств (подробное изложение последующих предположений и пояснение к ним приведено в работе [1]):
Me) = m(hi-1(e)),
jU2(e) = m(h2 "1(e)),
и будем предполагать их абсолютную непрерывность относительно меры Лебега. Через ц\ (•) обозначим производную Радона - Никодима функции множества /ui (e) , i = 1;2 . Будем предполагать выполненными условия
vrai sup
teE
b(th (t)))/p < vrai sup c(tXß'2 (h2 (t)))}
teE
< +OT
При выполнении этих условий операторы Si : Lp ^ Lp, i = 1;2 , 1 < p < являются ограниченными. Нам потребуются некоторые утверждения, сформулированные в работе [2], в частности, теорема 1 и лемма 4. Следующее утверждение содержит условия, гарантирующие сюръективность оператора L : Lp ^ Lp, где L = A + S, (Ay)(t) = a(t)y(t) и S = S1 + S2. Для характеристики функций
h- и h-1 нам потребуются функции множеств
\(е) = w(H!(e)), À2(e) = m(H2(e)), e e E .
О связи функций множеств Ài, Л2 соответственно с функциями множеств u, u2 и вычислении их производных Радона - Никодима см. [1].
Лемма. Пусть выполнены условия:
1) h(E) с E, i = 12, и m(H(E)nh2(e))= 0;
2) существуют измеримые функции h- : h(E) ^ E и h2' : h2(E) ^ E такие, что H-1 (h1(t)) = t, h- (h2 (t)) = t почти всюду на E ;
3) 0 <в< vrai inf (è(t)|9 ДО))1-9 + |c(t )|q (À'2 (t))1-q Vq и И œ < в.
teE
Тогда оператор L : Lp ^ Lp, L = A + S, где (Ay)(t) = a(t)y(t), (Sy)(t) = (S1 y((t) + (S2y)(t), является сюръективным, причем
,, ,, ,,
L œ
(ß-\y )н ^
V II lloo/ll Wq
9, Lq. (3)
40 А. Р. Абдуллаев, О. А. Неволима
p
Доказательство. Сначала докажем, что оператор Я : Lp ^ Lp, Я = S1 + S2, сюръективен и выполняется неравенство
вы <
q
S m
q
(4)
где p < vraiinf(ô(t)q(^(t))1—q + |c(t)|q(À'2(t))1—q Y"
îeE
Операторы, сопряженные с Sl3 S2, имеют вид
( S *m)(r) (S 2m)(T) =
Рассмотрим
S *m
o*
S m
ъ(и- (г)]^-1 (т))М[ (т), те к1 (Е)
0, те И1 (Е),
с(н--1 (г)]^-1 (г))^(г), те И (Е) 0, те И2 (Е)
и с учетом условия 1) леммы представим в виде суммы двух интегралов
dr
д I ¡Ъ^ТМ^ЧтЫ (т) сТт | ^(И-Нт^Лт))^ (т)
д = МЕ) + И2( Е) .
В каждом из интегралов произведем замену переменной, соответственно полагая т = И1(г) и т =
И2 (г) . Получим
Яд I(IЪ(0мЧ'(0 + \с(0м2(И2(0|дЯ(0)|®(0|дж
д = Е .
В условиях леммы имеем [1]
№ )м №)) = 1, Я2 (г )М2 Шг)) = 1.
Следовательно,
S *m
q
| (| Ъ(0| * ДО))1-д + |с(г)|д (Л2(0)1-д )|®(0|дЖ
д = Е .
Из этого равенства в силу условия 3) леммы получим неравенство (4). Так как
q
Л* A m < A* m < a m
q Il llq II llœll II
T* L m > s m — * A m
q q
то справедливо неравенство (3). В силу условия 3) это же неравенство гарантирует сюръективность оператора L : Lp ^ Lp . Лемма доказана.
Вернемся к задаче (1), (2). Решением этой задачи (1), (2) будем называть такую функцию х = х(г) , г е Е, которая является элементом пространства Пр, почти всюду на Е удовлетворяет уравнению
(1), а также начальному условию (2).
Для применения теоремы 1 работы [2] представим задачу (1), (2) в виде операторного уравнения
ЬУ = РУ . (5)
и
q
Для этого при произвольно фиксированном а е Я1 положим ) = у(V) и определим оператор
t
V : Lp ^ Lp равенством (Vy)(t) = a + Jy(s)ds. Пусть N : Lp ^ Lp, (Nu)(t) = f (t, u(t)) - оператор
0
Немыцкого. Оператор Е : Ьр ^ Ьр определим равенством ¥у = N(1 (Уу)). Тогда задача (1), (2)
принимает вид квазилинейного операторного уравнения (5). В следующей теореме предполагается, что 1 < р < да .
Теорема. Пусть выполнены условия леммы, а также следующие:
1) существуют константы 8 > 0, у > 0 такие, что функция / : Е х Я1 ^ Я1 удовлетворяет неравенству |_/(V, и) < 8 + /|и| при всех и е Я1 и почти всех V е Е ;
2) Т: £р ^ £р - линейный ограниченный оператор;
3) существует в > 0, такое, что И Т + а < в
< vra/ inf (ô(t )|q (Ii (t ))1-q + |c(t )q (Л2 (t ))1-q
......... + |c(
Тогда задача (1), (2) для произвольного a G R1 имеет хотя бы одно решение.
Доказательство. Покажем, что условия данной теоремы обеспечивают выполнение условий 1)-3) теоремы 1 работы [2].
Оператор V : Lp ^ Lp при 1 < p < œ является вполне непрерывным. Поэтому вполне непрерывным будет и оператор F : Lp ^ Lp . Величины d и q, фигурирующие в упомянутой теореме, в силу леммы 4 работы [2] соответственно равны
q=ß-|NIœ d=yИ
Следовательно, выполнены все условия теоремы 1 работы [2], поэтому задача (1), (2) имеет хотя бы одно решение х g Dp, 1 < p < œ . Теорема доказана.
Библиографический список
1. Абдуллаев, А. Р., Неволина, О. А. Задача Коши для квазилинейного дифференциального уравнения нейтрального типа [Текст] / А. Р. Абдуллаев, О. А. Неволина // Ярославский педагогический вестник. - 2011. - № 3. - Том III (Естественные науки) - С. 7-12.
2. Неволина, О. А. О разрешимости задачи Коши для одного уравнения нейтрального типа [Текст] / О. А. Неволина // Ярославский педагогический вестник.- 2012. - № 3. - Том III (Естественные науки) - С. 22-27.
Bibliograficheskij spisok
1. Abdullayev, A. R., Nevolina, O. A. Zadacha Koshi dlya kvazilineynogo differentsial'nogo uravneniya neytral'nogo tipa [Tekst] / A. R. Abdullayev, O. A. Nevolina // Yaroslavskiy pedagogicheskiy vestnik. - 2011. - № 3. -Tom III (Yestestvennyye nauki) - S. 7-12.
2. Nevolina, O. A. O razreshimosti zadachi Koshi dlya odnogo uravneniya neytral'nogo tipa [Tekst] / O. A. Nevolina // Yaroslavskiy pedagogicheskiy vestnik.- 2012. - № 3. - Tom III (Yestestvennyye nauki) - S. 22-27.
42
А. Р. Абдуллаев, О. А. Неволина
