ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОДУ В ПОЛОСЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

международный научный журнал «символ науки»

issn 2410-700x

№ 1/2021

начало современной теории вероятностных марковских процессов. Ученый также работал над теорией чисел. Конкретных публикаций у него всего около пятнадцати, каждая из которых имеет определяющее значение для этой теории в целом. К ним в первую очередь необходимо отнести магистерскую диссертацию, которая посвящена бинарным квадратичным формам положительного определителя.

Примечательно, что при этом Андрей Андреевич воспитал сына, который тоже стал ученым. Андрей Андреевич Марков (младший) (1903-1979) - основоположник советской школы конструктивной математики. Основные труды по теории динамических систем, топологии, топологической алгебре, теории алгоритмов и конструктивной математике. Доказал неразрешимость проблемы равенства в ассоциативных системах, проблемы гомеоморфии в топологии, создал школу конструктивной математики и логики в СССР, автор понятия нормального алгоритма.

Список использованной литературы:

1. Белл Э. Т. Творцы математики. - М.: Просвещение, 1979. - 256 с.

2. Григорьян А. Т., Ковалёв Б. Д. Даниил Бернулли, 1700-1782. - М.: Наука, 1981. - 320 с.

3. Гродзенский С. Я. Андрей Андреевич Марков, 1856-1922. - М.: Наука, 1987

4. История математики. Под редакцией Юшкевича А.П. в трёх томах. Том 3 Математика ХУШ столетия. М.: Наука, 1972.

5. Нагорный Н. М., Шанин Н. А. Андрей Андреевич Марков (к шестидесятилетию со дня рождения) // Успехи математических наук. - 1964. - Т. 19, вып. 3 (117).

6. Никифоровский В.А. Великие математики Бернулли. М.: Наука, 1984, 180 с.

7. Штекли А. «Гипатия, дочь Теона» -М., 1971.

Аннотация

Теорема Пикара (Коши-Липшица) устанавливает существование и единственность решения в некоторой окрестности точки х0 . Мы же в данной работе рассмотрим случай, когда правая часть уравнения непрерывна и удовлетворяет условию Липшица в полосе.

Ключевые слова

Пикар, задача Коши, условие Липшица, теорема, доказательство, существование, единственность. Рассмотрим задачу Коши:

© Фаргиева А.Х., 2021

УДК 51

Фаргиева А. Х.

студентка физико-математического факультета ИнгГу

г. Магас, РИ

Научный руководитель: Танкиев И. А.

Кандидат физико-математических наук, профессор Зав. каф. «Математический анализ» Ингушский государственный университет

г. Магас, РИ

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОДУ В ПОЛОСЕ

у'= f(x,y) У(хо) = Уо

(1) (2)

Берем в качестве области И вертикальную полосу

И = {(х,у) 6 й2|х 6 [хо,хо + а],уе К}=(х,у)бЯл2х6х_0,х_0+а, у6Я

К 1 Ш

УЪ Р

0 х0 Ш х0 + а

Рисунок 1 - Вертикальная полоса

Примером утверждения, имеющего нелокальный характер, то есть в котором устанавливается существование решения на всем промежутке гладкости по х, является следующая теорема. Теорема. Пусть выполнены условия:

1. /(х,у)(х,у)ерывна в полосе

2. /(х,у)(х,у)летворяет в И условию Липшица по переменной у, то есть |/(х, ух) — /(х, у2)| < N |У1 — У2 |где N постоянная Липшица, не зависящая от х и у и у

Тогда задача (1) (2) имеет единственное решение на отрезке [х0, х0 + а]. Доказательство удобно вести по этапам.

Этап 1. Пусть функция /(х,у)(х,у)ерывна по совокупности переменных в полосе И = {[хо,Хо + а], у 6 К}. Тогда задача Коши (1) (2) эквивалентна интегральному уравнению

у(*) = Уо + /*А^,у(ОЖ (3)

Действительно, пусть у(х)(х)решение (1), х 6 [хо,Хо + а]. Тогда, подставляя его в (1) и интегрируя полученное тождество в пределах от Хо до х 6 [хо,Хо + а], получим, что у(х)(х)удовлетворяет (3). С другой стороны, если непрерывная функция у(х)(х)является решением (3), то /(х, у(х))(х,ух) - непрерывна, а - непрерывно дифференцируемая функция переменной х..Следовательно, у(х) — решение

дифференциального уравнения у' = /(х, у), удовлетворяющее начальным условиям у(х0) = у0. Этап 2. Докажем существование решения интегрального уравнения (3). Применим метод последовательных приближений (метод Пикара). Пусть у0(х) — любая непрерывная на [х0, х0 + а] функция. Определим итерационный процесс метода Пикара:

Уп'М = /(*,Уп-1(*)) (4)

Уо(хо) = У о, п = 1,2,... (5)

Для каждой итерации задача (4) разрешима, и ее решение при х 6 [х0, х0 + а] представимо в виде:

Уп(*) = Уо + /*/(^,Уп-1(ОИ, (п = 1,2, ...)=1,2,...) (6)

Определяемые формулой (6) функции уп(х), (п = 1,2, ...) непрерывны на отрезке [хо, хо + а]. Следовательно, уп(х) ограничены на [хо,Хо + а]. Поэтому существует константа й > 0>0акая, что в любой точке отрезка выполнено неравенство |у1(х) — Уо(х)| < й.

В результате итерационного процесса (4) получили функциональную последовательность {уп(х)}. Исследуем ее свойства.

Этап 3. Функциональная последовательность {уп(х)} сходится равномерно на [%о, Хо + о]. Действительно, рассмотрим функциональный ряд

^(х) = У1(х) + (у2(х) - У1(х)) + - + (уп(х) - Уп-1(Х)) + - ,

(п = 1,2,...) Его частичная сумма 5п(х) совпадает с уп(х):

1У2(х) - У1(х)1 <

ШУ1(0)-Г(*,Уо(0)№<

< I гх

1У1(0-Уо(0№<Ий(х-Хо)<Ыс1а

'х0

х

1У3(Х) - У2(Х)1 <

х

< I №,У2(0)-/(?,У1(0)№<

х0

гх гх (% _Хп)2

2■

_ а2 Ша)2

Предположим, что 1Уп-2(х) - Уп-1(х)1 < д-—(х х2

(п-2)!

Nп-1(х-х2)п-1

Методом математической индукции докажем, что: 1уп(х) - Уп-1(х)1 < д

(;п-1)■

База индукции: при п = 2 =2 получим, что

1У2(х) - У1(Х)1 <

х ШУ1(0)-Г(*.Уо(0)№<

<\х0<^[ 1УЛО - Уо(Од < Мд(х - Хо) < Мда

0 х0

(воспользовались вначале условием Липшица, которое наложено на правую часть, определённой выше константой д > 0>0 тем, что |х - Хо| < аx-x_0|<a).

Шаг индукции: предположим, что при п = к - 1=^1 выполнено следующее неравенство:

(Ыа)к-2

1Ук-1(х) - Ук-2(х)1 < д(^_2)! Покажем, что при п = k=k аналогичное неравенство тоже будет выполняться.

Действительно, 1Ук(х) - Ук-Лх)1 < ¡^М (^Ук-ЛО) - №,Ук-2(0)№ < N ¡^Ук-ЛО -

У (П1дГ < N (х д (-(^-хо))к-2 дГ = д (-(х-хо))к-1 < д (-а)к-1

Ук-2($)1д < N )ход (к-2)■■ д=д (к-1)■ <д (к-1)!

По индукции доказано, что 1уп(х) - уп-1(х~)1 < а(-а (так как (х - хо-< а)

Отсюда следует, что члены рассматриваемого функционального ряда по абсолютной величине

мажорируются членами ряда Х,п=1 --- д

\й(-а)п-1 (п-2)! 1 -а п „ет Ша)п-1 , _ _

• = = 0 ^ ряд сходится по "Р™у Ломбера

Отсюда следует, что по признаку Вейерштрасса ряд 5П (х) сходится абсолютно и равномерно на [хо, хо + а]. Следовательно, функциональная последовательность {уп(х)} сходится равномерно и абсолютно на [Хо,Хо + а].

Этап 4. Функциональная последовательность {уп(х)} сходится к непрерывному решению интегрального уравнения (3).

Действительно, поскольку все функции уп(х) непрерывны, а функциональная последовательность {уп(х)} ^ у(х) при п ^ от, то у(х) 6 С([хо,хо + а]).

Равномерная сходимость последовательности непрерывных функций {уп(х)} - достаточное условие для перехода к пределу под знаком интеграла в (6).

В результате получим: у(х) = уо + /(^,у(0)^

Отсюда следует, что предел последовательных приближений {уп(х)} удовлетворяет интегральному уравнению (3), эквивалентному задаче Коши (1) (2).

Следовательно, существование решения задачи Коши (1) (2) доказано.

Этап 5. Докажем теперь единственность решения интегрального уравнения (3). Пусть интегральное уравнение (3) имеет единственное решение у(х) 6 ([хо, Хо + а]).

Действительно, предположим, что имеется 2 различных решения уравнения (3) у1(х) и У2(х). Тогда их разность и(х) = у1(х) — У2(х) удовлетворяет интегральному уравнению:

"(*) = 0/(^(0) — /(^,У2(о№ (7)

В силу условия Липшица:

|и(х)| < 0/(^(0) — /(^,У2(ОМ < М < ^(х — Хо) [шах|и(^)| (8)

1) если Ма < 1,a<1,то из (7) получим неравенство:

тах |и(х)|<Ма тах |и(х)|

Которое выполняется лишь при и(х) = 0 при х 6 [хо, хо + а].

2) если Ма > 1,а>1,то рассмотрим (5) на отрезке [хо, хо + к] (к = min(a, ■^■)=0(a,b/M), где Мк <

max0x_O,x_O+hu(x)<Nhmax0x_O,x_O+hu(x) (получено заменой а на к на h

^ и(х) = 0 на отрезке [хо,хо + к], а при х 6 [хо + к, хо + a]6x_0+h,x_0+a функция и(х)(х)удовлетворяет уравнению:

*0+а

и(х) = У1(Х) — У2(Х) = | №У1(0) — /(^(ОЖ

Проводя аналогичные рассуждения, получим, что и(х) = 0(х)=0на отрезке [хо + к, Хо + 2к], а за конечное число шагов к = [а + 1] + 1=a+1+1 докажем, что и(х) = 0 при [хо, хо + а].

Интегральное уравнение (3) имеет единственное решение.

Итак, интегральное уравнение (3) имеет, и, причем единственное, решение в полосе И = {[хо,Хо + а],у 6 К}. А в силу эквивалентности уравнения (3) и задачи Коши (1) (2) доказано существование и единственность решения исходной задачи Коши в полосе.

Пример: Рассмотрим задачу Коши

^У= 2

dx ^

У(0) = 1

Найдем ее точное решение.

^ = = — 1 = х + С^ у (х) = — — общее решение

дифференциального уравнения. Используя начальное условие у(0) = 1, получим С = —1=-1Поэтому у(х) =--— = —--решение задачи Коши.

Оценим промежуток существования решения задачи Коши. Пусть решение задачи Коши на отрезке х 6 [0,Я]6[0, Н]Я = х — хо)=х-х_0) отклонилось от своего начального значения на величину г (то есть У О) — Уо = г). Тогда

Н = - ,М = (1 + г)2,Я(г) = -г-^-.=г/М, М=1+гА2, Иг=г/1+гА2.

М 4 у (1+г)2

Найдем максимальное значение Я..

НА'г=1+гА2-2г 1+г/ 1+гА4=1+г 1+г-2г/ 1+гА4=1 -г/ 1+гА3=0 ^г=1, Н_0=Н 1=1/4.

Таким образом, задача разрешима лишь на отрезке х 6 [0,1]б0,1/4.

Заметим, что из вида точного решения задачи Коши вытекает возможность его продолжения вправо лишь на промежутке х < 1.<1.пробуем продолжить его на больший промежуток. Рассмотрим следующий процесс:

1 1 4 г /4 \2 г

% = 4'У1 = у(х1) =—Г = 3'я = м'м = (з + Г) ^я(г)= 4

1 — 4 3 ' (3 +Г)

2

4 /4ч 3

Я'(г) = 0 ^ г = -,Я1 = Я (-) = —, х 6

13 °Ч+16.

Далее

7 1 16 г /16 Ч2 г

*2 =ТТ'У2 =У(*2) =->Т = 1Г'Я = 77' М = (^ + г) ^Я(г) =

^ 1-— 9' М' \9 ) /16

16 (16 +г) Я'(г) = 0 ^ г = 16,Я2 = Я (—) = —, х 6 [0,1 + -1 + -1].

9 ' 2 V 9 / 64' [ Ч 16 64

Итак, мы построили продолжение решения на больший интервал. Заметим, что на к — м шаге описанного процесса

3^ со со 1 со 3 ^ 11

^ = 41+1'^ = 0'1' ■■■ и £/с=о^с = £"=041+1 = 4£/Г=о(4) = 4^33 = 1.

4

Список использованной литературы:

1. Матвеев Н.М., Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск, 1964.

2. Петровский И.Г., Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1949.

3. Степанов В.В., Курс дифференциальных уравнений. М., 1958.

4. Танкиев И.А., Обыкновенные дифференциальные уравнения - Москва, ИЦ «Математика», 1997.

5. Эльсгольц Л.Э., Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., 1969.

© Фаргиева А.Х., 2021