CC BY
34
УДК 517.968.74
ЗАДАЧА КОШИ В ЛОКАЛЬНО-НЕЛОКАЛЬНОЙ ПОСТАНОВКЕ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ДРОБНОГО ПОРЯДКА В ОПРЕДЕЛЁННОМ КЛАССЕ
В. А. Чадаев
Чеченский государственный университет,
364907, Грозный, ул. А. Шерипова, д. 32.
E-mail: chadaev53@mail.ru
Доказана теорема существования и единственности решения задачи Коши в локально-нелокальной постановке для нелинейного уравнения дробного порядка.
Ключевые слова: дифференциальные уравнения дробного порядка, локально-нелокальная постановка задачи Коши.
Рассмотрим нелинейное уравнение дробного порядка
£«) = / (х> у(х) > (!)
где Бдх — оператор дробного дифференцирования порядка а, причём п — 1 < а ^ п, п € N,0 ^ в < ш1п{1, а}, х €]0, 1] [1, 2].
Пусть С^ [0, 1] —класс функций у (х), имеющих суммируемую дробную производную порядка а во всех точках х € (0, 1] и представимых в виде
у (х) = х 1 ф (х), (2)
где ф (х) € С [0, 1] [3].
Задача типа Коши. Найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям
во-кУ(*)|х_0 = ьк, к = 1, 2,..., п — 1; Ишх"-“у(х) = у0 < те (3)
1х—и ж^0
в классе С^ [0, 1].
Сформулируем и докажем теорему о существовании и единственности решения этой задачи. Обозначим через Б множество точек (х, у, г) из области С, лежащей
D = j(x, y, z) £ G : 0 < x ^ l, xn ay(x) —
Г(а — n +1)
x
n-a+в,
(x) —
^ a,
bn
Г(а — n — в +1)
где ELo1 r/a-fc+n < a> Efc=o reJ-fc-a+n < b> г(а) — гамма-функция Эйлера; г(ж)
= Бвжу(^); а, Ь, 1, 6о —постоянные.
Теорема. Пусть /(х, у, г) — вещественнозначная, непрерывная в области С функция, удовлетворяющая условию Липшица по г:
|/(х,у1, ¿х) — /(х,у2, ¿2)| < N(|у± — у21 + |^1 — ^2 |) (4)
Ваха Абдулмуслимович Чадаев (к.ф.-м.н., доц.), зав. кафедрой, каф. математики и механики.
в
bn
и ограничению
тах |/(ж, у, г)| = Ь0 < те. (5)
Тогда решение задачи (3) для уравнения (1) в области Б С О существует, принадлежит классу С“_а[0,1] и единственно.
Доказательство. Для любой функции, представимой в виде (2), имеем
у{Ь)& _ „_а_7 {Х ч>{хЬ)(И
Г(п — a)D%-ny{t) = Г = ж”-“^ [ ^xt)dt (6)
V > Ох У\ ) Jo (ж_г)а+1-п J0 t7(l-i)a+l-™ V 7
Поэтому
lim xa+i-nD^-ny{t) = (7)
x^0 0x ' r(n +1 - а - y) w
Из (6) и (7) можно заключить, что необходимым условием разрешимости задачи для уравнения (1) в классе CY^O, 1] является условие а + y < n, если yo = 0, и условие а + y = n — для произвольного yo •
Применяя к уравнению (1) оператор [3], имеем
п жа — к
УМ = £ г(»-. + 1)д^(<> „„ + ф) I- О”-1 К«ы)*-
Учитывая (3), получим Ьп = уоГ(а — п +1), тогда
п жа — к 1 /•х
к= г(« — к +1) г(а^о
Для метода последовательных приближений, полагая
п
Уо(х) =
1
n ж“—k
Т(а - к + 1)’
k=i v 7
имеем
1
1 гх
Ут{х) = у0(ж) + —- (ж-г)“_1/(г, ут-1^),В^ут^1(в))Л, теМ. (9)
г (а) ./о
При 0 < ж ^ 1 необходимо, чтобы точки (ж,ут, гт) оставались в Б. Из условия (5) и уравнения (9) вытекает оценка
жП—k
ХП “УтИ-^bfc—-------------------7—ГТ^6°ГГ |Ц
k=1 Г(а - к + 1) Г(а + 1)
следовательно,
bn
г—1 n — k n— 1
ж _ in—к
ХП~аУт{Ж) - —----6fc—------------------------——г < Y1 ЬкГІ-ГТТ\ К а'
Г(а — n +1) !(а —к + 1) !(а —к +1)
V 7 к=0 V ' к=0 V 7
Для zm(x) = D5Xym(i) имеем
xn—a+ezm(x)
n— bkin—к
Г(а — n — в +1) Г(а — n — в +1)
X
n
Из (10), (11) очевидно, что точки (х,ут,гт) € Д. Из уравнения (9) и условия (5) получим оценку
yi(x) - yo(x)
<
boxc
<
bol“
Г(а + 1) Г(а + 1)
(12)
Используя оценку (12) и условие (4), получим
У2(х) - yi(x)
(x — t)
а — 1
Г(а)
/(t yi(t), Dot yi(s)) — f (t yo(t), Doiyo(s))
dt
<
<
ЛГ
FR
(x - t)a |yi(t) — yo(t)| + lDotyi(s) — Dotyo(s)
<
Nbo
1
dt ^
x—ß
+
Г(2а + 1) Г(2а + 1 - в)
2а I
1
+
Г(2а + 1) Г(2а + 1 - в) I'
Продолжая процесс итерации, получим
l-kß
k=o
Г((т + 1)a +1 - кв)
T (m,l).
Таким образом, показано, что для достаточно малых значений l
lim T(m, l) = 0,
X——
а это значит, что последовательность функций ym(x) сходится к функции y(x). Эта функция при 0 < x ^ l принадлежит классу C“_a[0, l] и удовлетворяет неравенству
y(x) - yox“ n ^ ax“ n
X
o
X
o
b
которое следует из (10) при m ^ те. □
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Нахушев А. М. К теории дробного исчисления// Дифференц. уравнения, 1988. — Т. 24, №2. — C. 313-324; англ. пер.: Nakhushev A.M. On the theory of fractional calculus// Differential Equations, 1988. — Vol. 24, No. 2. — P. 239-247.
2. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Минск: Наука и техника, 1987. — 688 с.
3. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations / North-Holland Mathematics Studies, 204; ed. J. van Mill. — Amsterdam: Elsevier, 2006. — 523 pp.
Поступила в редакцию 28/VI/2009; в окончательном варианте — 9/III/2010.
MSC: 35R11
CAUSHY PROBLEM FOR FRACTIONAL NONLINEAR EQUATION IN DEFINED CLASS WITH LOCAL-NONLOCAL SETTING
V. A. Chadaev
Chechen State University,
32, A. Sheripova str., Grozniy, 364907.
E-mail: chadaev53@mail.ru
Theorem of existence and uniqueness of Cauchy problem solution for fractional nonlinear equation with local-nonlocal setting is proven.
Key words: fractional differential equation, local-nonlocal setting of Cauchy problem.
Original article submitted 28/VI/2009; revision submitted 9/III/2010.
Vakha A. Chadaev (Ph. D. (Phys. & Math.)), Head od Dept., Dept. of Mathematic & Mechanic.
