О двух специальных функциях, обобщающих функцию типа Миттаг-Леффлера, их свойствах и применении Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математический анализ

УДК 517.589

О ДВУХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ, ОБОБЩАЮЩИХ ФУНКЦИЮ ТИПА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА, ИХ СВОЙСТВАХ И ПРИМЕНЕНИИ

Е. Н. Огородников

Самарский государственный технический университет,

443100, Россия, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

E-mail: eugen.ogo@gmail .com

Рассмотрены две специальные функции, связанные с функциями типа Мит-таг—Леффлера. Первая из них является модификацией обобщённой функции типа Миттаг—Леффлера, введённой А. А. Килбасом и М. Сайго, вторая — специальным случаем первой. Указана связь этих функций с некоторыми элементарными и специальными функциями и их роль в решении интегральных уравнений Вольтерры с ядрами Абеля. Приведены формулы дробного интегрирования и дифференцирования в смысле Римана—Лиувилля и Кобера этих функций. Отмечена их роль в решении задач типа Коши для линейных дифференциальных уравнений с производными Римана—Лиувилля и Кобера.

Ключевые слова: специальные функции, функции типа Миттаг-Леффлера, дробное исчисление, интегро-дифференциальные операторы Римана-Лиувилля и Кобера, дробные дифференциальные и интегральные уравнения, задачи типа Коши.

Введение. Рассмотрим функции

^^>=г®Епг(^:;)л (1)

,2,

ТЬ—0 /с—0

где r(jLt) — гамма-функция Эйлера, Г(^) = Г (/х)/Г (z/); z, /л, v € С, Rep > 0; kp + v £ Zq , k € N; Zq = {0, —1, —2,... , —n,...}, n € N. Функция £p(z] г/, ц) примыкает к хорошо известной обобщённой функции типа Миттаг—Леффлера, введённой А. А. Килбасом и М. Сайго в [1] как сумма ряда

Ea^i{z) = ^2,cnza, (3)

п=0

Евгений Николаевич Огородников (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. прикладной математики и информатики.

где

Со = 1,

П— 1

IR

к=О

a(km + Z) + 1 a(km + / + !) + !

«, I G С; Rea > 0, m > 0; a(km + 1) ф Z_, к € No; Z_ = Zq \{0}, и, no существу, является её модификацией. Свойства этой специальной функции изучались в работах [2-4]. Определение и некоторые основные факты можно найти в монографии [5].

Между параметрами, входящими в определение (3) функции Ea>rn>i(z), и параметрами функции £p(z]u,/j,) из (1) существует следующее взаимнооднозначное соответствие:

Ea,m,i(z) = £am{z;a(l - m) + 1, a(l - m + 1) + l).

Функция £p(z] ц) возникла в работе автора [6] в процессе решения на-чально-краевой задачи для вырождающегося уравнения аномальной (дробной) диффузии, записанного в терминах производной Кобера—Эрдейи, при попытке распространить функцию £p(z] v, ц) на случай v = 0. Нетрудно показать, что

£p{z- 0, /х) = lim £p{z- v, /х) = Г(/х) f; Ц Г ^ = £Рфм)- (4)

п=0к=О

1. О сходимости рядов £р(г\ V, )л) и £/,{г\ )л) в комплексной плоскости.

Лемма 1. Пусть Re > 0; кр + V ^ , к € N0. Если Rez/ < Re /х, то ряды

(1) и (2) сходятся абсолютно во всей комплексной плоскости.

Доказательство. Рассмотрим ряд (1). Обозначим ип = спгп — общий член ряда и воспользуемся признаком Даламбера:

lim Un+1 = lim \z\ Сга+1 = \z\ Ит

п—>оо ип п—>оо Ста п—>оо

Г(пр + р + и)

Т(пр + р + ц)

= \z\ lim

п—^ОО

Г(тр + v)

Г (тр + ц)

где т = п +1. Покажем, что предел равен нулю, если Re V < Re ц. Для этого воспользуемся известной асимптотической формулой [7]:

Г (-г + и) Г(<г + ц)

= zv-11

1 + 0(-z

&rgz\ < ТТ.

(5)

Тогда

Г(тр + v)

Г(тр + fi)

= \(тру

1 + о(—)

\тр)

(v—ц) In (тр)

1 + 0(—) тр)

0 при т —> сю, Re г/ — Re/и < 0 и

где \е^-^ ы^\ = к = е-(1тгу-1тм) а^(тр) _ соп8^

Что касается ряда (2), его абсолютная сходимость при условии Re/^ > 0, вообще говоря, следует из равенства (4) и предыдущего результата. Однако её нетрудно установить и непосредственным вычислением:

Г(тр + 1)

Ит

п—^ОО

Un-\-1

Ur,

\z\ lim —

m—s-oo ш

Г(тр + fi)

т = п + 1.

Используя (5), находим

Г(тр + 1)

Г(тр + ц)

(1-м) In(тр)

1 + 0 ( — тр

1 + 0 ( — тр

где к = е1т^аг§(т^) = const.

Очевидно, Нт ±-е(1~Ке^)Хп(т\р\) = о при Re/i ^ 1. Пусть Re/i < 1. Тогда

т—уоо

lim 1е(1-^м)1пНр|) = Ит HpI)1 Re^ = Цт |р| (1_Re/x)(?77, = 0?

т—уоо Tfi т—уоо уп т—уоо

если Re/t > 0. Лемма доказана. □

2. Связь функций Sp(z; v, ц) и Sp{z\ )л) с элементарными и некоторыми специальными функциями. Все приведённые в этом пункте формулы легко следуют из (1) и (2).

Пусть Re р > 0. Рассмотрим некоторые частные и специальные значения параметров /in v.

2.1. При j/ = 0h/j = 1 справедливо равенство

Sp(z; 0,1) = Sp(z/p; 1) = ez/p, из которого, в частности, при р = 1 следует

Si(z-,0,1) = 8i(z] 1) = ег.

(6)

(7)

Более того, из (2) следует, что £р(г] 1) = ег для любого р € С, при котором коэффициенты сп ряда (2) имеют смысл.

2.2. Пусть = /х — р, /х ^ . Тогда

где

Sp(z\/і - р, /х) = T(p)Ep(z] /і),

00 .к

Ep(z]

k=0

Г(А:р + /t)

— принятое в настоящей работе обозначение функции типа Миттаг—Леф-флера [8,9]. Формуле (8) можно придать вид

8^-и(г]и,1л) Re/t>Rezл

Если в (9) положить V = 0 или в (8) принять р = /х, получим £м(г;0,/х) = £м(г//х;/х) = Т(ц)Е^(г; /х), Re/^ > 0. Отметим ещё одну полезную формулу:

х^~1£р(\хр] /х — ск, /х) = Г(/х) Ехр(а, /х; Л; х),

(9)

где а, /л, А € С; х € М; Неси, Ые/л > 0, а Ехр(ск, /х; Л; х) = хм 1Еа(Хха; р.) — обобщённая дробная экспоненциальная функция [11,12].

2.3. Пусть р = V + 1. Тогда функция £р(г] V, ц) определяется рядом

/ 1 \ 00 п /ил \ ООгП -|-1

£р(г] г/, г/ + 1) = Г ^ / = +

га=0 &=0 га=0 ^=0

где кр + г/ ф 0, к € N. Если теперь в последнем выражении положить V = р, то приходим к

х£р(х-,р,р + 1) = р(ег/р - 1), (10)

из которой, в частности, при р = 1 следует

г£\{г\ 1,2) = ех — 1 = гЕ\{г] 2). (11)

Заметим, что с учётом (6) равенство (10) можно также записать в виде

г£р(г\р,р + 1) = р(£р{г/р] 1) - 1).

2.4. Рассмотрим функцию £р(г; р) при р = р + 1:

ОО ^

£„(*; р + 1) = Г(р + 1) £ г ^ = Г(р + 1)\¥р{г] р).

п=0

Здесь

— функция Райта [5,8,10].

2.5. Представления функций (1) и (2) через элементарные функции при частных значениях параметров р, р и V легко установить с помощью (8). Например, (7) получается из (8) при р = 1 и р = 1. Далее при р = 1 и при р = 2 получаем

Ег(г] 2) = 1,2) = г~1(ег - 1),

что совпадает с (11); при р = 1 и при р = 2 —

2\Е1(г-, 3) = £г{г] 2,3) = 2^“2(ег - 1 - г).

По индукции при р = п + 1 можно получить

Ег(г-, п + 1) = г~пКп{г),

где -йп(-г) —остаточный член в разложении функции ег в ряд Маклорена. При р = 2 и р = 1 можно получить

Е2{х2] 1) = £2{г2] -1,1) = сЪг, Е2(-г2; 1) = £2(-г2; -1,1) = сое г,

а при р = 2и|и = 2-

^2(-г2; 2) = ^г(-г2; 0, 2) = £2(г2/4; 2) = г-1 вЬг,

Е2(—г ;2) = £2(-г ;0,2) = £2(-г /4;2) = г $тг.

2.6. Рассмотрим случаи вырождения функций (1) и (2).

Известно, что при а = 0 функция Еа(г] /х) вырождается в сумму геометрической прогрессии, сходящуюся в круге \г\ < 1. Действительно,

00 ~к 1 00 11

Е0{г-ц)= Иш ----- = —-угга = —т-------------, /х ^ -

а^о+^оТ(ап + 11) Цр)^о 0

Подобным образом ведёт себя функция £р(г] V, ц) при и —> ц:

Ьа{г; V, ц) = £0(г; д, ц) = - 1

а при р = 0:

Г(,<)

1\пГ = ГП:

п=0

Очевидно выполнение равенства

lim £p(z; г/, fi) = £p(z; /х, /х) = ,

00 Г /zA

So(z;j/,fi)= lim £p(z; и, ц) = V Г( )

^°+ - W

Г(/х) -Г(ф'

(12)

£о(г-,1л,1л) =£р(г-,ц,ц) =Г(ц)Е0(г-,1л).

Несколько иначе ведёт себя функция £Д,г; //):

00 1 { 7 \п

£о(г]/л) = Иш £Р{г;/л) = ^ — ( —- ) =ех/г^\ ц € С.

^°+ ^п!\ВД/

С учётом (6) можно записать

£о(^;/х) [^/Г(/х); 1] = £г{р)(г]0,1) = ех/т{-^.

Наконец, при /х —>- 0 получим

1

1“<г

£p(z/p; 0) = lim £p(z/p; р) = lim £Д,г; 0, p) = ----------, |z| < 1.

3. Функции £p(z',u, fi) и £p(z', iit) в решениях интегральных уравнений вольтерровского типа. Основное внимание в работе [13] было сосредоточено на задаче нахождения явных решений интегрального уравнения

у(х) — Хх13 lQXxvy(x) = кха~1, к = const (13)

с правой частью специального вида и левосторонним интегралом Римана— Лиувилля 1^х/ = (/о+/)(ж) порядка а [14] при а > 0, /3, г], а € М.

Теорема 1. Пусть в уравнении (13) a + fi + rj > 0. Тогда при выполнении условий а + (3 ф a, rj + <т > 0 его решение записывается с помощью функции

(1), в которой р = а + /3 + г), р = а — /3, и = а — а — /3, и имеет вид

у{х) = кха~1£р(Ххр] и, р). (14)

В случае а + /3 = а его решение принимает вид

у(х) = kxa~1Sv+a('KX ;а).

V г] + а /

Опустим формальное доказательство этой теоремы, так как интегральные уравнения подобного типа были предметом исследований многих авторов [1, 2,15,16], однако сделаем ряд замечаний.

Ясно, что в интегральном уравнении (13) в записи оператора x^Iqxxv (а > 0) из параметров а, /3, г) существенны лишь два, так как замена искомой функции у(х) = x~'nLp(x) приводит уравнение (13) к уравнению с оператором ХР+1Чух, а замена у{х) = х@<р(х) — к уравнению с оператором 1^хх^+Г1. Однако нам будем удобно сохранить запись интегрального уравнения в виде (13), позволяющем при необходимости рассматривать случаи уравнения с внутренним или внешним коэффициентами, полагая /3 = 0 или г) = 0 соответственно.

В работе [13] решение интегрального уравнения (13) в виде (14) построено как результат применения оператора (/ — Хх13Iqxxv)~1 = ^n(xalQXxv)n

к функции f(x) = kxa~l. Здесь I — тождественный оператор.

Существование решения (14) легко обосновывается его непосредственной подстановкой в интегральное уравнение (13). Существование единственного решения при р > 0 следует также из хорошо известных результатов [9,15,17].

Действительно, заменой искомой функции у(х) = хР<р(х) интегральное уравнение (13) с произвольной функцией /(ж) = L(0,l), I > 0, в правой части приводится к уравнению

<р(х) — ХІ$ххр~аір(х) = x~^f(x). (15)

Пусть в уравнении (15) р — а > 0. Тогда к нему применима известная теория интегральных уравнений Вольтерры второго рода с ядром Абеля [17].

Если р — а = 0, то единственное решение уравнения (15) записывается в терминах интегрального оператора с функцией типа Миттаг—Леф-

флера в ядре [18-20] для любой функции /(ж) : x~^f(x) Є L(0,l) и имеет вид

<р(х) = (/ - XI^-lx~^f{x) = (/ + A E^x)x~^f(x), а решением интегрального уравнения (13) будет соответственно функция

у{х) = x,3Lp{x) = f(x) + Хх13 I (х — t)a~lEa [А(ж — і)"; a] i_/3 f(t)dt.

Jo

Для f(x) = kxa~l, используя свойства оператора [21,22], это решение

легко выписать в терминах обобщённой дробной экспоненциальной функции, и в конечном счёте — через функцию типа Миттаг—Леффлера:

у{х) = кТ(а — /З)ж/3 Ехр(а, а — /3; А; х) = кТ(а — fi)xa~lЕа(Хха] а — /3). (16)

Наконец, в случае — 1 < р — ск<0 можно воспользоваться результатом работы [15], показав, что некоторая степень интегрального оператора в (15) будет сжимающим оператором, и воспользоваться обобщённым принципом сжимающих отображений [23, стр. 82].

В любом случае решение интегрального уравнения (13) записывается как у(х) = кха~18р(\хр; а — а — /3, а — [3), (17)

что совпадает с формулой (14). При р = а, в частности, по формуле (8) легко получить представление решения в виде (16).

Случай р = 0,0<а<1 является особым для интегрального уравнения (15). Однако его решение для /(ж) = кха~1, а значит и решение уравнения (13) можно найти по формуле (17) при р = 0, используя формулу (12):

у{х) = кха-180{\х°] а -а- /3,а - /3) = кТ^ ~ ^ *

Г(<7 - (3) - ЛГ(<7 - а - (3) ’ если |А| <Г(/-у.

4. Дробные интегралы и производные функций £р(г',и, ц) и £р{г',ц).

Учитывая связь между параметрами р, V и ц в решении (14) и параметрами а, (3 и г] интегрального уравнения (13) при к = а = 1, легко убеждаемся, что функция 8р(\хр-, V, ц) является решением следующего интегрального уравнения:

у(х) - \х1-^1^ихр+и-1у{х) = 1, (18)

где р, /л, V € С; Г1е ц > Г1е г/, Г1е(р + и) > 0, Г1е р > 0.

Лемма 2. Пусть Г1ер > 0, Ые/х > Г1ег/, кр + и <£ . Тогда

8р{\хр; V, ц) - 1 = ^ ^ \хр8р{\хр; р + и,р + ц). (19)

Доказательство. По определению (1) запишем

гДАз-"; V, д) - 1 = + + Г(Р + ,^)Г(2р + 1/) 2 2„

г(р + /х) Г(р + /х)Г(2р + ц)

Г(р + г/)Г(2р + г/)Г(Зр + г/) 3 Зр _ Г(р + г/) / Г(2р + г/)

^ Г(р + /х)Г(2р + /х)Г(Зр + /х) Г(р + ц) \ Г(2р + /х) ^

+^±4^±4а212'+...)=ё£±4^,> (1+

Г(2р + /х)Г(Зр + //) / Г(р +//) V Г(р + р + /х)

Г(р + р + ^Г(2р+ ,) + ,.) 2 2> л + ^

Г(р + р + /х)Г(2р + р + /х) У Г (р + /х)

что и требовалось доказать. □

Подставляя функцию 8р(\хр] и, ц) в уравнение (18), получим тождество. Тогда, используя формулу (19), имеем

хр-и-1 хр+ц-1

1о*1'г(р + и)8р(ХхР]и’ й = г(р + 1л,)8р(ХхР]Р + и,Р + ^

хр+р,~1 хр+и-1

Кхи т^р + ^£р(ХхР; р + ^ р + ^) = т(р + 1У)£р(-ХхР',1У’ ^ ^

где -Оож/ = (^о+/)(ж) ~ левостоРонняя производная Римана—Лиувилля [14] порядка а ^ 0.

Если ввести параметры ^ = р + V и = р + /л, то (20) и (21) приобретут симметричный вид:

1 1 1 1 С_гУ1ЁЩ^(ЛжР;г/1 -Р.^1 -Р) = ц^у^(Ажр;г/ь/л), (22)

гр(-^ 1 1 1

^"1гы^(л/;"1’/11) = “ Р,/Х1 (23)

Формулы (20)—(23) можно перезаписать в терминах исходных параметров а, (3 и г] (/Л1 — их = /х — г/ = а). Из (22) и (23) легко получаются, в частности, формулы целочисленного интегрирования и дифференцирования.

Заметим, что по своей структуре интегральный оператор близок

к операторам типа Кобера—Эрдейи [14]. Ниже используется следующая модификация интегро-дифференциального оператора Кобера на конечном отрезке [а, Ь]:

(-а)-- ГЦ-аГт

Г(а) А (г-!)■-« *’ «*о>0,

/ (1 \ п

(х-а)-а-\—) (я-а)"+“+Щ:“/, 11еа<0,

где п = [—Неси] + 1, [ • ] — целая часть числа. Оператор (24) можно также назвать левосторонним интегро-дифференциальным оператором Кобера—Эрдейи. Очевидно, при а = 0иа€Мон совпадает с левосторонним интегро-дифференциальным оператором типа Эрдейи—Кобера са = 0и<т = 1,

то есть = /ож;1,77/ [14, СТР- 246, формулы (18.1), (18.2)].

Из определения интегро-дифференциального оператора Кобера видно, что формулы (24) при 11е а > 0 задают интегральный оператор

С;ч/ = (х- а)-а~Ч:х(х - а)Г11{х), (25)

определённый на функциях (х — а)'п/(х) € Ь(а,Ь), а при 11еа: ^ 0 после переобозначения [3 = —а— дифференциальный оператор

= (х- а^Б^х - а)ч/(ж). (26)

Достаточным условием существования производной (26) является принадлежность 1ах 13(х — а)11 /(ж) классу АСп[а, Ь], где п = [Г1е/3] + 1.

Соотношения (25), (26) позволяют изучать свойства оператора (24) с помощью известных свойств интегралов и производных Римана—Лиувилля. Разумеется, эти свойства могут быть получены как частные случаи свойств, приведённых в монографии [14] для оператора Эрдейи—Кобера, если положить а = 0, а = 1. Заметим в этой связи, что формулы композиций операторов 1ах;а,г]1 ^ах;а,г]+а в [14, Стр. 247, формула (18.6)] указаны ошибочно. В действительности при (7 = 1 имеют место следующие соотношения:

та т/З Г _ та+/3 Г _ тР та £ (уу)

ах;г]-\-(3 ах;7]Л ах;г/ J ах;г/-\-а ах;г]^ > 1)

С, = С£*Л (28)

jfi та f _ та+13 , /„o')

±ах;г}±ах;г}—ос J -Lax;r]—aJ * V^'-v

Докажем первое равенство в (27), например, для интегральных операторов (Rea > 0, Re/З > 0). По формуле (25) имеем

С= (ж - a)-a-^i:xll{x - aff =

= (ж _ а)-(“+^^С+^(Ж - а)У = l£$f. (30)

Второе равенство В (27) является следствием симметрии 1азг,ц f = Iax-^ f И по-лугруппового свойства интегралов Римана—Лиувилля [14]. Соотношение (28) получается из (30) заменой г? + /3 = 771, а равенство (29) следует из (28) заменой а на /3, а /3 на си.

Приведём ещё вариант композиционного тождества, который получается из (27) заменой г] + /3 = u, а + и = /л:

ТЦ-U JV-V f = тЦ-и f fOI \

-Lax;iy -Lax;rq J ±ax;r}J'

Отметим, что свойства (27)—(31) для интегральных операторов справедливы, если (х — a)vf(x) € L(a,b). В случае интегро-дифференциальных операторов класс допустимых функций должен оговариваться дополнительно.

В монографии [14] приведены выражения обратных операторов Эрдейи— Кобера, в частности, для левостороннего оператора

(Та 'i-1 f = Т~а f (^9)

\-Lax;(T,iyJ J -Lax;a,r]-\-aJ '

Пусть (7 = 1. Конкретизируем соотношение (32) с указанием допустимых классов функций.

Если а > 0, то

(та \-lf_T-a f = гла f fQQ'i

\ ax;rjJ J ax;r/-\-aJ — ax;rf-\-aJ

является левым обратным оператором для то есть

/С:,.,,/;':,/ = №, (34)

если (х — a)vf(x) € L(a, b).

Действительно, D2x;ri+aI^x;rif = (х - а)~^D%xI%x(x - a)^f(x) = f(x), так

как D^xIQXLp = <p(x), для функций ip(x) € L(a,b).

Если a ^ 0, то, обозначая —a = /3, из (32) при a = 1 получим оператор

(О-1/ = (^)'V = -/?/> (35)

ЯВЛЯЮЩИЙСЯ левым обратным ДЛЯ DaX-v, ДЛЯ функций (х — a)Vf(x) € Iax(L),

где Iax(L) — класс функций, представимых левосторонним интегралом Римана—Лиувилля порядка /3 [14]. Таким образом, для а > 0

С ;V-aD2x;Vf = f(X)> (36)

если (x-a^fix) € I2X(L).

Заметим, что обратный оператор из (33) будет являться также правым обратным для на функциях (x—a)'tl+af(x) € I^X(L). Это видно из соотношения (36) при замене г] — a = щ. Аналогично, обратный оператор из (35) будет являться и правым обратным для D%x.v на функциях (х — a)v~a f(x) € L(a, Ъ). Это видно из (34) при замене rj + a = щ.

Лемма 3. Пусть Re/i > Re г/. Тогда

Dax^ax-^V = Vix) (37)

выполняется для функций <р(х) : (х — a)vtp(x) € L(a,b), а

I^D^f = f(x) (38)

— для функций f(x) : (х — а)м/(ж) € IaxU(L).

Если же (х — а)м/(ж) € L(a, b) и 1™ха(х — a)^f(x) € АСп[а, Ь], то вместо (38) имеем

п lim (х - af+kD^~kf lax-uD^-lf = f(x) - V fX^a+, ,ктл.---------:----. (39)

ax,и ax^J J V } ^ (x - a)^+fcr(/( - V - k + 1) V 7

Доказательство. Формулы (37) и (38) следуют из (34) и (36) заменой в (34) г] на г/, а в (36) — г? на ц при а = /л — и. Осталось доказать (39).

Заметим, что требование /™“"(ж — a)^f(x) € АСп[а, Ь] обеспечивает суммируемость образа дифференциального оператора DaXu(x — a)^f(x). Рассмотрим композицию операторов

I^D^f = (х- аГ^Г&Цх - aYf =

п '7{п—к)

где а = /л - и, J{x) = (х - aYf(x), fj?_Tak\a+) = lim {£)n~kI2~aJ =

ж—S-a+

= lim D^xk(x — a)^f(x) и использовано соответствующее тождество для

ж—)>a+

композиции IqX D^x в классе суммируемых функций [14].

Записывая выражение

Щ~к{х - аГПх) = (х- a)fc-“+^£:J/ = (ж - af+kD^-kf,

получим (39). Лемма доказана. □

Замечание. Формула (39) записана целиком в терминах оператора Кобе-ра. Практически удобнее использовать её в следующей редакции:

п lim DaxU~k{x — aYf(x) t^~v n^~v f = f(r) — V"1 ж~>а+___________________

*ax;v"axwJ JW ^ _ ay+kT^ _ v _ J, + '

Возвращаясь к функции £р(г] V, ц), приведём формулы её интегрирования и дифференцирования по Коберу.

Из формул (22) и (23) с использованием переобозначений ц\ = /л, = V

в силу (25) и (26) получим

V- р,ц- р)=Т £р(Ххр; г/, ц),

В0хщ-1 £р(^Р', ", V) = Г ^Р{\хр] V - р, ц - р),

а из формул (20), (21) — формулы преобразования функции £р(Ххр;и, /л) с весом:

10х;ихР~1£р(ХхР'’1У’1х) =г (Р^и')хр~1£р(\хр]р + 1У,р + 1л), (40)

\р + /л/

во^хР~1£Р{^хР]р + ^,р +р) =т(^^^хр~1£р{\хр-^,р). (41)

Формулы (40) и (41) являются частными случаями более общих соотношений (11е7 > 0):

7-р,7-р + ск)=Г( х1~Г1~1£р{\хр-17,7 + а), (42)

до1;ч+а^“ч“1^(^',;7Л+«) = т(^+^х1~11~1£р{\хр^-р^-р+а). (43)

Очевидно, при 7 — г] = р, г) = и, ц, = г) + а = и + а формулы (42) и (43) совпадают с (40) и (41). Справедливость соотношений (42) и (43) легко устанавливается, если заметить, что исходное интегральное уравнение (13) в терминах интегрального оператора Кобера (24) записывается в виде

у(х) — кхр1$х;г1у = кха~1, (44)

а его решение —

у(х) = кх(7~1£р(\хр] а — р +г), а — р + г) +а).

Используя лемму 2, формулу (19) и обозначение а + г) = 7, приходим к (42). Равенство (43) следует из соотношения (42) и тождества (34).

Заключение. В теории и практике построения решений для интегральных уравнений типа (12) или (44) функции £р(г] V, ц) и £р(г] ц) играют ту же роль, что и функция типа Миттаг—Леффлера в решении уравнения Вольтер-ры второго рода с ядром Абеля. Не представляет большого труда получить явные решения уравнений (12) или (44) для бесконечно дифференцируемого на конечном отрезке [0,/] свободного члена /(х) или функции, представимой обобщённым степенным рядом /(ж) = ха~1 ^2^=0 сп(х1)п (сг > 0, 7 > 0). Как было отмечено во введении, функции вида (1) и (2) возникают при решении

начальных задач для дифференциальных уравнений с дробными производными Римана—Лиувилля и переменными коэффициентами. Основным методом обоснования корректности постановки этих задач и их решения является идея редукции дифференциального уравнения к соответствующему интегральному уравнению вольтерровского типа. Располагая явными решениями интегральных уравнений, можно найти решения начальных задач (задача типа Коши, видоизменённая задача Коши) для некоторых линейных дифференциальных уравнений с производными Римана—Лиувилля или Кобера и переменными коэффициентами.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Kilbas A. A., Saigo М. On solution of integral equation of Abel-Volterra type // Diff. Integr. Equat., 1995. Vol. 8, no. 5. Pp. 547-576.

2. Kilbas A. A., Saigo M. On Mittag-Lefller type function, fractional calculus operators and solutions of integral equations// Integral Transform. Spec. Fund., 1996. Vol. 4, no. 4. Pp. 335-370.

3. Gorenflo R., Kilbas A. A., Rogozin S. V. On the generalized Mittag-Lefller type function // Integral Transform. Spec. Fund., 1998. Vol. 7, no. 3-4. Pp. 215-224.

4. Горенфло P., Килбас А. А., Рогозин С. В. О свойствах обобщённой функции Миттаг— Леффлера// Докл. Нац. акад. наук Беларуси, 1998. Т. 42, №5. С. 34-39. [Gorenflo R., Kilbas A. A., Rogozin S. V. On the properties of a generalized Mittag-Lefller type function // Dokl. Nats. Akad. Nauk Belarusi, 1998. Vol. 42, no. 5. Pp. 34-39].

5. Kilbas A. A., Srivastava H. М., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations / North-Holland Mathematics Studies, 204; ed. J. van Mill. Amsterdam: Elsevier, 2006. Pp. 523.

6. Огородников E. H. Нелокальные краевые задачи для одного модельного параболо-ги-перболического уравнения с дробной производной / В сб.: Труды четвёртой Всероссийской научной конференции с международным участием (29-31 мая 2007 г.). Часть 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи / Матем. моделирование и краев, задачи. Самара: СамГТУ, 2007. С. 147-152. [Ogorodnikov Е. N. A nonlocal boundary value problems for one model parabolic-hyperbolic equation with fractional derivative / In: Proceedings of the Fourth All-Russian Scientific Conference with international participation (29-31 May 2007). Part 3/ Matem. Mod. Kraev. Zadachi. Samara: SamGTU, 2007. Pp. 147-152].

7. Erdelyi A., Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F. G. Higher transcendental functions. Vol. I / ed. H. Bateman. New York - Toronto - London: McGraw-Hill Book Co, Inc., 1953. 302 pp.; русск. пер.: Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. В 3-х т. Т. 1: Гипергеометрическая функция. Функция Лежандра. М.: Наука, 1973. 296 с.

8. Erdelyi A., Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F. G. Higher transcendental functions. Vol. Ill / ed. H. Bateman. New York - Toronto - London: McGraw-Hill Book Co, Inc., 1955. 292 pp.; русск. пер.: Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. В 3-х т. Т. 3: Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. М.: Наука, 1973. 299 с.

9. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. 672 с. [Dzhrbashyan М. М. Integral transforms and representations of functions in complex domain. Moscow: Nauka, 1966. 672 pp.]

10. Podlubny I. Fractional Differential Equations: An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, Some Methods of Their Solution and Some of Their Applications / Mathematics in Science and Engineering, 198. San Diego: Academic Press, 1999. 340 pp.

11. Огородников E. H. О задаче Коши для модельных дифференциальных уравнений дробных осцилляторов/ В сб.: Современные проблемы вычисл. мат. и мат. физики. М.: ВМК МГУ; Макс Пресс, 2009. С. 229-231. [Ogorodnikov Е. N. On the Cauchy

problem for the model differential equations of fractional oscillator / In: Modem Problems of Computational Ma them a tics and Mathematical Physics. Moscow: VMK MGU; Maks Press, 2009. Pp. 229-231].

12. Огородников E. H., Яшагин H. С. Некоторые специальные функции в решении задачи Коши для одного дробного осцилляционного уравнения // Вестн. Сам. гос. техн. унта. Сер. Физ.-мат. науки, 2009. №1(18). С. 276-279. [Ogorodnikov Е. N., Yashagin N. S. Some special functions in the solution to Cauchy problem for a fractional oscillating equation// Vestn. Samar. Cos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2009. no. 1(18). Pp. 276-279].

13. Огородников E. H. О двух специальных функциях, обобщающих функцию типа Мит-таг—Леффлера, их свойства и применение/ В сб.: Вторая международная конференция «Математическая физика и её приложения»: Материалы международной конф. (Самара, 29 августа - 4 сентября, 2010 г.). Самара: Книга, 2010. С. 248-249. [Ogorodnikov Е. N., On two special functions that generalize the Mittag-Leffler type function, their properties and applications / In: The Second International Conference “Mathematical Physics and Its ApplicationsProc. of International Conf. (Samara, August 27 - September 2, 2012.). Samara: Kniga, 2010. Pp. 248-249].

14. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с. [Samko S. С., Kilbas A. A., Marichev О. I. Integrals and Derivatives of Fractional Order and Some of Their Applications. Minsk: Nauka i Tekhnika, 1987. 688 pp.]

15. Нахушев А. М. Обратные задачи для вырождающихся уравнений и интегральные уравнения Вольтерра третьего рода// Дифференц. уравнения, 1974. Т. 1, №10. С. 100-

111. [Nakhushev А. М. Inverse problems for degenerating equations and Volterra integral equations of the third kind // Differents. Uravneniya. Vol. 10, no. 1. Pp. 100-111].

16. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с. [Nakhushev А. М. Fractional Calculus and its Applications. Moscow: Fizmatlit, 2003. 272 pp.]

17. Tricomi F. Integral Equations / Pure and Applied Mathematics, 5. New York: Interscience Publishers, 1957. Pp. 246; русск. пер.: Трикоми Ф. Интегральные уравнения. М.: Иностр. лит., 1960. 300 с.

18. Огородников Е. Н. О некоторых краевых задачах для системы уравнений Бицадзе— Лыкова с инволютивной матрицей / В сб.: Труды десятой межвузовской научной конференции. Часть 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи / Матем. моделирование и краев, задачи. Самара: СамГТУ, 2000. С. 119-126. [Ogorodnikov Е. N. On some boundary value problems for system of the Bitsadze-Lykov equations with involutive matrix / In: Proceedings of the Tenth Interuniversity Scientific Conference. Part 3 / Matem. Mod. Kraev. Zadachi. Samara: SamGTU, 2000. Pp. 119-126].

19. Огородников E. H. Корректность задачи Коши-Гурса для системы вырождающихся нагруженных гиперболических уравнений в некоторых специальных случаях и ее равносильность задачам с нелокальными краевыми условиями // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2004. №26. С. 26-38. [Ogorodnikov Е. N. The correctness of the Cauchy-Goursat problem for loaded degenerate hyperbolic equations in some special cases, and its equivalent to the problem with nonlocal boundary conditions // Vestn. Samar. Cos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2004. no. 26. Pp. 26-38].

20. E. H. Огородников, E. Ю. Арланова Некоторые нелокальные аналоги задачи Коши-Гурса и существенно нелокальные краевые задачи для системы уравнений Бицадзе-Лыкова в специальных случаях// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2005. №34. С. 24-39. [Ogorodnikov Е. N., Arlanova Е. Yu. Some non-local analogues of the Cauchy-Goursat problem and essentially nonlocal boundary value problems for system of the Bitsadze-Lykov equations in special cases // Vestn. Samar. Cos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2005. no. 34. Pp. 24-39].

21. Огородников E. H., Яшагин H. С. О некоторых свойствах операторов с функциями типа Миттаг-Леффлера в ядрах/ В сб.: Труды шестой Всероссийской научной конференции

с международным участием (1-4 июня 2009 г.). Часть 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи / Матем. моделирование и краев, задачи. Самара: СамГТУ, 2009. С. 181-188. [Ogorodnikov Е. N., Yashagin N. S. On some properties of operators with Mittag-Leffler type functions in kernels / In: Proceedings of the Sixth All-Russian Scientific Conference with international participation (1-4 June 2009). Part 3 / Matem. Mod. Kraev. Zadachi. Samara: SamGTU, 2009. Pp. 181-188].

22. Огородников E.H., Яшагин H. С. Постановка и решение задач типа Коши для дифференциальных уравнений второго порядка с дробными производными Римана-Лиувилля// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2010. №1(20). С. 24-36. [Ogorodnikov E.N., Yashagin N. S. Setting and solving of the Cauchy type problems for the second order differential equations with Riemann-Liouville fractional derivatives // Vestn. Samar. Cos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2010. no. 1(20). Pp. 24-36].

23. Колмогоров A.H., Фомин A.H. Элементы теории функции и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 543 с. [Kolmogorov A.N., Fomin S. V. Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis. Moscow: Nauka, 1976. 543 pp.]

Поступила в редакцию 20/XI/2011; в окончательном варианте — 27/111/2012.

MSC: 33E12; 26A33, 34K37

ON TWO SPECIAL FUNCTIONS, GENERALIZING THE MITTAG-LEFFLER TYPE FUNCTION, THEIR PROPERTIES AND APPLICATIONS

E. N. Ogorodnikov

Samara State Technical University,

244, Molodogvardeyskaya St., Samara, 443100, Russia.

E-mail: [email protected]

Two special functions, concerning Mittag-Leffler type functions, are studied. The first is the modification of generalized Mittag-Leffler function, which was introduced by A. A. Kilbas and M. Saigo; the second is the special case of the first one. The relation of these functions with some elementary and special functions and their role in solving of Abel-Volterra integral equations is indicated. The formulas of the fractional integration and differentiation in sense of Riemann-Liouville and Kober are presented. The applications to Cauchy type problems for some linear fractional differential equations with Riemann-Liouville and Kober derivatives are noticed.

Key words: special functions, Mittag-Leffler type function, Riemann-Liouville integral and differential operators, fractional differential and integral equations, Cauchy type problems.

Original article submitted 20/XI/2011; revision submitted 27/111/2012.

Eugeniy N. Ogorodnikov (Ph. D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept, of Applied Mathematics & Computer Science.