CC BY
47
Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 258-259
УДК 539.313:517.968.72
МЕТОДЫ, СТРУКТУРА И СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДРОБНЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ В МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
© 2011 г. Е.Н. Огородников, Н. С. Яшагин
Самарский государственный технический университет
eugen.ogo@gmail.com
Поступила в редакцию 16.05.2011
Для модельного линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с дробными производными Римана - Лиувилля обоснована корректность задач Коши соответственно в локальной (классической) и нелокальной постановках. Решения найдены в явном виде в терминах некоторых специальных функций, связанных с функцией типа Миттаг - Леффлера. Отмечена непрерывная зависимость найденных решений от параметра дробности.
Ключевые слова: дробное исчисление, обыкновенные дифференциальные уравнения с дробными производными Римана - Лиувилля, дробные осцилляционные уравнения, реологические модели вязкоупругого тела, задача типа Коши, специальные функции типа Миттаг - Леффлера.
Дробными осцилляторами принято называть механические динамические системы, изменение состояния которых во времени носит колебательный характер, а математические модели представлены уравнениями, содержащими дробные производные и/или интегралы от обобщенных координат. Для решения этих уравнений и анализа полученных решений удается эффективно использовать аппарат дробного исчисления и некоторых специальных функций [1, 2]. Хорошо известно, что подобные уравнения возникают при моделировании различных процессов в средах с памятью или фрактальной структурой, а также задачах динамики систем с наследственно-упругими связями [3].
Основное внимание уделено задачам с начальными данными для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и дробными производными Римана-Лиу-вилля:
x + Ё акВшх + Ё bsDb x + box = f(t X (1)
k=1 s=1
где x = x(t) обобщенная координата^(t) внешняя сила (t > 0); параметры ak e (0, 1), в e (0, 2); D^, Dq/ - левосторонние операторы дробного дифференцирования Римана — Лиувилля: D0t ф= (d / dt) ”/07“ф при а > 0, где n = [а] + 1, [а] — целая часть числа а,
4>= 1/Г(а)£ ф(х)/^-x)1-adx — левосторонний дробный интеграл Римана —
Лиувилля порядка а [1, 3]. Такое дифференциальное уравнение возникает, например, в случае, когда в качестве реологической модели вязкоупругой связи использована обобщенная (дробная) модель Фойхта [4]:
п т
а = £ое + 144? в + 1 Е^ е,
к=1 в=1
где а = с(0 и е = е(0 напряжение и деформация в момент времени Р; Ак , Е0 , Ев - заданные постоянные величины; ак е (0, 1), е (0, 2).
Основным методом решения дифференциальных уравнений с дробными производными является редукция начальной задачи к интегральному уравнению вольтерровского типа [2]. Известно, что постановка задачи с начальными данными для дифференциального уравнения (1) зависит от наличия или отсутствия в уравнении дробных производных 4/ порядка > 1 [5]. Обосновывается существование и единственность решения видоизмененной задачи типа Ко -ши для уравнения (1) с начальными данными ( \ х(р) + X ьвп0в-1
в:Рв >1
Если е (0, 1], то начальные условия (2) переходят в классические условия задачи Коши, су -ществование и единственность решения кото -рой обоснованы в работе авторов [6].
Для нахождения решения в явном виде предлагается подход, основанный на идее факторизации интегрального оператора вольтерровского типа.
x(0) = x0, lim
t —— 0+
=x
(2)
Приведены некоторые достаточные признаки факторизуемости линейных интегральных операторов дробного порядка. В этих случаях решение удается выписать в терминах специальных функций, связанных с функциями типа Миттаг — Леффлера Еа(z; ц), [1, 3], ее обобщением на случай
многих переменных Еа(z; ц), где z = (z^ z2, ... ,
Zn), а = (аь а2...ап), аг > 0, (/ = 1, 2,..., п) [6],
обобщенной (дробной) экспоненциальной функции exp (а, ц; X; t) = tMEa(Xt а; ц) и др. [7].
В качестве примеров приведем два дифференциальных уравнения:
x+pDetx+rf3 x=f (t),
X + pD^+p x + D3 x = f (t) с начальными условиями x(0) = x0 , x (0) = x0 и
x(0) = x0 , lim [x(t) + p{D^f x- x(t)}] = x1 соот-
0 t— 0+
ветственно, для которых решения найдены в явном виде. При изучении данных динамических моделей возникает необходимость вычислять значения решений, в том числе и оценивать поведение этих решений на бесконечности, что особенно важно в задачах прочности элементов конструкций, испытывающих постоянную динамическую нагрузку. Разработанные для функции Еа (z; ц) вычислительный алгоритм [8] и формулы для оценки поведения на бесконечности расширены на функции типа Е„(z; ц) [9] и использованы для анализа решений.
С помощью полученного аппарата, исследовано качественное различие этих решений, построены фазовые портреты. Отмечено, что при в ^ 0 и сами дифференциальные уравнения, и постановки начальных задач, и их решения переходят в решение классической задачи Коши для дифференциального уравнения осциллятора с вязким трением x + px + qx = f (t).
Отмечено также, что однопараметрические семейства решений этих дифференциальных уравнений могут оказаться полезными в задачах параметрической идентификации нелинейных
динамических систем, а введенные специальные функции использоваться как базовая система функций для представления нелинейных колебаний.
Список литературы
1. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.
2. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and applications of fractional differential equations. Amsterdam: Elsevier, 2006. 523 p.
3. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
4. Огородников Е.Н., Радченко В.П., Яшагин Н.С. Реологические модели вязко-упругого тела с памятью и дифференциальные уравнения дробных осцилляторов // Вторая Междунар. конф. мат. физика и ее приложения: Матер. конф. Самара, 2010. С. 253—255.
5. Огородников Е. Н., Яшагин Н. С. Постановка и решение задач типа Коши для дифференциальных уравнений второго порядка с дробными производными Римана — Лиувилля // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Серия Физ.-мат. науки. 2010. №1 (20). С. 24—36.
6. Огородников Е.Н. Яшагин Н.С. Существование, единственность и структура решения задачи Коши для одного класса обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с дробными производными Рима-на — Лиувилля // Мат. моделирование и краевые задачи: Тр. Седьмой Всерос. научн. конф. с междунар. участием. Ч. 3. Самара: СамГТУ 2010. С. 225—232.
7. Огородников Е.Н., Яшагин Н.С. Некоторые специальные функции в решении задачи Коши для одного дробного осцилляционного уравнения // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Серия Физ.-мат. науки. Самара: СамГТУ, 2009. № 1 (18). С. 276—279.
8. Gorenflo R., Loutchko J., Luchko Yu. F. Computation of the Mittag—Leffler function Еа, P(z) and its derivative // Fractional Calculus and Applied Analysis. 2002. № 5 (4). P. 491—518.
9. Яшагин Н. С. Интегральные представления и асимптотические формулы для обобщения функции типа Миттаг — Леффлера на случай двух переменных // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Серия Физ.-мат. науки. Самара: СамГТУ, 2010. № 5 (21). С. 229—236.
THE METHOD FOR SOLVING DIFFERENTIAL FRACTIONAL OSCILLATING EQUATIONS IN MECHANICAL SYSTEM WITH SINGLE DEGREE OF FREEDOM, STRUCTURE AND PROPERTIES OF SOLUTIONS
E.N. Ogorodnikov, N.S. Yashagin
The correctness of the Cauchy problems in local (classical) and nonlocal staging for model two linear ordinary second order differential equation with Riemann- Liouville fractional derivatives is substantiated. The explicit solutions in terms of some special functions related Mittag - Leffler type function are found. Continuous dependence of these solutions on the fractional parameter is indicated.
Keywords: fractional calculus, ordinary differential equations with Riemann - Liouville fractional derivatives, fractional oscillating equation, reological model of viscoelastic body, Cauchy type problem, Mittag - Leffler type functions.
