О сходимости разностного метода решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения с оператором дробного дифференцирования Римана - Лиувилля Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

УДК 513.98

NATURAL SCIENCE. 2018. No. 2

DOI 10.23683/0321-3005-2018-2-30-34

О СХОДИМОСТИ РАЗНОСТНОГО МЕТОДА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ОПЕРАТОРОМ ДРОБНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ РИМАНА - ЛИУВИЛЛЯ

© 2018 г. Ф.Ф. Малиева1, В.Д. Бейбалаев12

1 Дагестанский государственный университет, Махачкала, Россия, 2Дагестанский государственный университет народного хозяйства, Махачкала, Россия

ON THE CONVERGENCE OF THE DIFFERENCE METHOD FOR SOLVING THE CAUCHY PROBLEM FOR AN ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION WITH THE RIEMANN-LIOUVILLE FRACTIONAL DIFFERENTIATION OPERATOR

F.F. Malieva1, V.D. Beybalaev12

-Dagestan State University, Makhachkala, Russia, 2Dagestan State University of National Economy, Makhachkala, Russia

Малиева Фарида Феликсовна - аспирант, кафедра прикладной математики, Дагестанский государственный университет, ул. Гаджиева, 43а, г. Махачкала, Республика Дагестан, 367000, Россия, e-mail: faridadavudova@mail.ru

Бейбалаев Ветлугин Джабраилович - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра прикладной математики, Дагестанский государственный университет, ул. Гаджиева, 43а, г. Махачкала, Республика Дагестан, 367000, Россия; доцент, кафедра математики, Дагестанский государственный университет народного хозяйства, ул. Атаева, 5, г. Махачкала, Республика Дагестан, 367008, Россия, e-mail: kaspij_03@mail.ru

Farida F. Malieva - Postgraduate, Department of Applied Mathematics, Dagestan State University, Gadzhieva St., 43a, Makhachkala, Republic Dagestan, 367000, Russia, e-mail: faridadavudova@mail. ru

Vetlugin D. Beybalaev - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Department of Applied Mathematics, Dagestan State University, Gadzhieva St., 43a, Makhachkala, Republic Dagestan, 367000, Russia; Associate Professor, Department of Mathematics, Dagestan State University of National Economy, Ataeva St., 5, Makhachkala, Republic Dagestan, 3670008, Russia, e-mail: kaspij_03@mail.ru

Исследован разностный метод (2-а)-го порядка точности решения задачи Коши для дифференциального уравнения с оператором дробного дифференцирования Римана - Лиувилля. Получена разностная аппроксимация дробной производной Римана - Лиувилля (2-а)-го порядка точности и оценки для коэффициентов разностной аппроксимации. Показано, что разностная схема аппроксимирует дифференциальное уравнение (2-а) порядком точности, а сумма коэффициентов меньше или равна единице. Получена оценка погрешности предложенного численного метода решения задачи Коши. Для погрешности метода при условиях, что, если правая часть уравнения удовлетворяет условию Липшица с константой А по второму аргументу и q = A хаГ(1 — а) < 1, получена оценка, из которой следует сходимость предложенного численного метода решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения с оператором дробного дифференцирования Римана - Лиувилля. Предложенный численный метод решения задачи Коши имеет более высокий порядок точности, чем численные методы, применяемые ранее.

Ключевые слова: дробная производная, аппроксимация, разностная схема, устойчивость, сходимость, дифференциальные уравнения.

In this paper, we study the difference method of order (2-а) of the accuracy of the solution of the Cauchy problem for a differential equation with the Riemann-Liouville fractional differentiation operator. A difference approximation is obtained for the fractional Riemann-Liouville derivative of order (2-а) of accuracy. It is shown that the difference scheme approximates the differential equation (2-а) by the order of accuracy. It is shown that the difference scheme approximates the differential equation (2-а) by the order of accuracy, and the sum of the coefficients is less than or equal to one. An error estimate is obtainedfor the proposed numerical methodfor solving the Cauchy problem. For the error of the method under the conditions that if the right-hand side of the equation satisfies the Lipschitz condition with constant А in the second argument and q = Ax аГ(1 —a) < 1, an estimate is obtained from which the convergence of the proposed numerical method for solving the Cauchy problem for the ordinary differential equation with the Riemann-Liouville fractional differentiation operator follows. The proposed numerical method for solving the Cauchy problem has a higher accuracy order than the numerical methods proposed earlier.

Keywords: fractional derivative, approximation, difference scheme, stability, convergence, differential equations.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

Введение

Работа посвящена анализу одного разностного метода решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения с оператором дробного дифференцирования Римана - Лиувилля. В монографии [1] приведены теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения с оператором дробного дифференцирования Римана - Ли-увилля. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в производных дробного порядка также рассмотрены в работах [1-6]; [7] и [8] посвящены численным методам решения краевых задач для уравнения теплопроводности с операторами дробного дифференцирования.

Разностная аппроксимация дробной производной

Рассмотрим на отрезке [0, T] производную дробного порядка в смысле Римана - Лиувилля от функции u(t) [9]

1

, .,! + \ — _

yotu

Daotu(t) =

d К u(s)

--I-ds,

Г(1 -a) dt 0 (t -s)a

(1)

где 0 <a< 1.

Представим равенство (1) в виде

d _ N 1

D0>(t) = —u(t), где u(t) = -—

dt Г(1 - a) 0 (t - s)

j-^Sl^s

Введем на отрезке [0,T ] сетку

T,

a>m = {tm = mx, m = 0,1,2,..., M, M = —}.

x

Тогда

D0tu (tn+1 / 2 ) = d uu(tn+1/2) = dt

U(tn+1) -u(tn) + axx2) .

Найдем u (tn+1) и u (tn ) :

(2)

u(tn+1) =

1

j

u(s)

Г(1 -a) 0 (tn+1 - s)

1 n+J kx u(s) Z J

-ds =

Г(1 -a) k=1(k-1)x(t„+1 - s)°

ds =

1-a

Г(1 -a)

Z(Pk- k4k )u(tn-k) -k=0

-Z(Pk - (k + 1)?k )u(t n-k+1)

k=0

+ Vn+b

(3)

где ^n+1 =

NATURAL SCIENCE.

1 n+1 2 'n+1

ZO(x2) j

Г(1 -a) k=1 0 (t„+1 - s)C

2018. No. 2

-ds =

Г(2-a)

u(tn) =

1

■j"

u(s)

Г(1 - a) 0 (tn - s)c 1 ^^ u(s)

-ds =

-ds =

Г(1-a) k=1(k-1)x(tn - s)c

x1-a Г n

——- Z(Pk-1- (k - 1q-1 )u(tn-k) -Г(1 -a) k=1

+ Z (Pk-1 - kqk-1)u(t

n-k+1 )

k=1

(4)

1-a

¥n =

n

Г(2 -a)

O(x3_a),

Pk =тг^ [(k +1)

(2 - a)

2-a _ ^2-a

qk =■

1-a 7_1-a

k + 1)1-a - k

(1 -a)

Подставляя (3) и (4) в (2), получим 1

(5)

(6)

D0tu(W) =

Г(1 -a)xa k=0

ZPk u(tn-k+1) +

+ (Я +1 ~и 0(т3"«) + 0(х2), Г(2 — а) -х

гДе Ро = Чо — Ро ,

Р\ = 2 Ро — Р1 + 2Ч1 — Чо > (7)

Рк = (—Рк—2 + 2 Рк—1 — Рк ) + (к — 2)Чк—2 " — (2к — 1)Чк—1 — (к + 1)Чк, к > 2 . Учитывая, что

(П + 1) — " 0(Х3—а) < х

1—а , 1 _ 1—а

< п-+1—п-0(х3—а) = 0(х2—а),

х

окончательно получим разностную аппроксимацию дробной производной Римана - Лиувилля (2—я)-го порядка точности в случае, когда о < а < 1.

п

^0X^+1/2) = ЕРк"('«-к+1) + 0(х а ) , к=о

где рк вычисляют согласно (5) и (6).

Для коэффициентов рк имеют место следующие равенства:

1

n

х

t

а.

n

n

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 2

Po =

(2 — а)'

Pi =-

3 - 22

(1 — а)(2 — а)

п

£Рк = Яо - Ро + 2Ро - Р1 + 2Я1 - Яо - Ро + 2Р\ -

к=о

- Р2 - 3я + 3я2 - р1 + 2Р2 - Р3 + Я - 5Я2 + 4Я3 -

- р2 + 2р3 - р4 + 2я2 - 7я3 + 5я4 + ... + (8)

- Рп-2 + 2Рп-1 - Рп + (п - 2)Яп-2 - (2п - 1)Яп-1 + + (п + 1)Яп = Рп-1 - Рп - (п - 1)Яп-1 + (п + 1)Яп .

Подставляя (5) и (6) в равенство (8), получим

,2—а tn+1

,2—а

2—а n—1

k==<Pk (1 — а)(2 — а) •т2 Таким образом,

ZPk ^ 1.

k=0

•т

(9)

(10)

Для численного решения задачи (11) введем по переменной t равномерную сетку с шагом т> о: тт = Уп = пт, п = о,1,2,...} .

Обозначим через Ц^) точное решение задачи (11), через уп = у(гп ) - приближенное.

Уравнение (11) заменим, пользуясь аппроксимацией (7), разностным: 1 п

£ркуп-к+1 - /(гп+1/2,уп+1/2) = о ,

Г(1 -а)та к=о

Уп+И 2 = Уп +Г(2 — а)[т^] f ^' Уп )

(12)

уо = ио, п = о,1,2,..

Решение этого уравнения можно найти по рекуррентным формулам:

Уо = Mo , Уп+1/2 = Уп + Г(2 — а)-| f(tn ,Уп )

Разностные методы решения задачи Коши для системы ОДУ с производными дробного порядка

Рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с производными дробного порядка Римана - Лиувилля (1).

^>(0 = /(г, и), г > о,

и(о) = и(о),

где / (X, и) =

= (/1(t, ^^ ит X /2(t, ^^ ит Х- /т (Х, u1,.., ит )) ,

и (г) = (и1(г),и2(г),.., ит(г)), г >о, о <а< 1.

Предположим, что функции /,г = 1,2,.., т, непрерывны по всем аргументам в замкнутой области Б = {| г |< а,|иг -и(о) |< Ь,г = 1,2,.., т}, т.е. существует такое М=еоп81>0, что всюду в D выполняются неравенства | / i=1,2,..,m.

Предположим, кроме того, что в D для функций / имеет место условие Липшица по аргументам

Щ,и2.., ит , т е.

1 /г (t, и1, w2,.., и'т ) - /1 (t, и'^ ^ и'т ) < < Ь{\ и[- Щ1 + 1 и2 - и2 1 +...+ 1 и'т - и"т |}

для всех точек (г, ц, и2,.., ит) и (г, и[, и^.., и"т ) в области D.

При выполнении этих условий система (11) имеет единственное решение [10] и1 = и1(г),

и2 = и2(г),.., ит = ит(г) , определенное при \г\ < г0 = тт( а, Ь /М) и принимающее при t=0 заданные начальные значения.

Уп+1 =■

3 — 2

2—а

(1 — а)

'Уп

(13)

- (2 - О) £РкУп-к+1 + Г(1 - а)т<х/(гп+1/2, Уп+1/2 ) . к=2

Приведем несколько определений из [11] о сходимости и порядке точности разностного метода.

Определение 1. Будем говорить, что метод (12) сходится в точке tn, если | уп - и(гп) |— о при т —^ о.

Определение 2. Будем говорить, что метод имеет p-й порядок точности, если существует число р > о

такое, что | уп - и(гп) |= 0(тР) при т— о. Метод сходится на интервале (0,Т], если он сходится в каждой точке г е (о, Т].

Обозначим через 2п = уп - и(гп) . Подставляя уп = 2п + ип в (10), получим 1 п

£рк2п-к+1 = / (гп+1/2, гп+1/2 + ип+1/2) -

Г(1 — а)та k=о

1

Г(1 — а)та k=о

Ъркип—к +1 — Uk.

(14)

Правую часть уравнения (14) представим в виде

суммы у/п1 + , где =

(15)

= ~^LpkUn—k+1 + f(tn+1/2,ип+1/2 ) ,

Г (1 — а)т k=о

(2)

Щп = f (tn+1/2,ип+1/2 + гп+1/2) — f (tn+1/2,ип+1/2).

1

п

п

V

п

п

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 2

Функция у® называется погрешностью аппроксимации разностного уравнения (12) на решении исходного уравнения (11).

Покажем, что у/^1 — 0 при т — 0.

"777; Г" 2ркип—к+1 + (Гп+1/2,ип+1/2) =

Г(1 — а)х к=о

= — АХ'п+ш) + O(х2-а) +

+ f ('п+1/2,Un+\/2) = ^(х2"а) . Таким образом, разностная схема (12) аппроксимирует задачу Коши (10) со вторым порядком. Введем следующие обозначения:

к1( У) = / ^п , Уп X к1(и) = / ^п , ип X

( , ла ч\

k2( y) = f

Кп+1 /2,УП +Г(2 - a)|-| f(tn,УП)

V (

k 2 (u) = f

кп+1/2 , un +Г(2 - a ^Т! f(tn , un )

Тогда < |k2Cy) - k2(u)| <

< a(Уп - un\ + Г(2 - a )(x/2)a|k1 (y) - k (u)|)<

< A(1 + A(x/2)a Г(2 - a))-\zn\ = Ac • |zn|, где |k1 (y) - k1(u)| < А\Уп - = A\zJ,

c = 1 + A(x/2)a Г(2 - a).

1 j 1 2 ZPkzn-k+1 = rin +

Имеем - _

Г(1 - a ) т " k=0

Ac — A, при т —> 0.

Пусть m < n - то значение k, при котором достигается max |^k|. Тогда 1 < k

\v{n) l< Azn\< A max \zk\ = A|zm|,

1< k

n n

Z[Pk\ • Izk| < |Zm| Z\Pk\ .

k=o k=1

Следовательно,

|Zm |< АГ(1 - a)xalzml+xa • Г(1 - a)

<

< A • x a Г(1 - a ) | Zml +x a • Г(1 - a ) max

0< j <n

или (1 - q) l Zm |< xaГ(1 - a) max

0< j < п

V?

, где

xaГ(1 - a )

(1)

Полагая q < 1, получим z <- у

1 - q

где р|| =тах рк|. 1<к

Теорема. Пусть правая часть уравнения (11) удовлетворяет условию Липшица с константой а по

второму аргументу, и пусть Ур - невязка, определенная равенством (15). Тогда для погрешности метода при пх < а и ч < \ справедлива оценка

||у — и\\ <х а Г(1 — а ) IИII, где Ч = Аха Г(1 — а).

1 - q

Литература

q = АГ(1 - a) -xa.

1. Meerschaert M.M., Tadjeran C. Finite difference approximations for two-sides space-fractional partial differential equations // Applied Numerical Mathematics.

2006. Vol. 56. P. 80-90.

2. Абдурагимов Э.И., Омарова Р.А. Положительное решение граничной задачи для одного нелинейного дифференциального уравнения с дробными производными // Вестн. ДГУ. 2015. Вып. 6. С. 99-104.

3. Бейбалаев В.Д. Математическая модель переноса в средах с фрактальной структурой // Мат. моделирование. 2009. Т. 21, № 5. С. 55-62.

4. Нагоров А.Л. Численные методы для дробных операторов в системах обработки изображений // Фундаментальные и прикладные проблемы математики и информатики : материалы конф. Махачкала, 2017. С. 138-140.

5. Назаралиев М.А., Бейбалаев В.Д. Численные методы решения краевой задачи для уравнения теплопе-реноса с производной дробного порядка // Вестн. ДГУ. 2008. Вып. 6. С. 46-53.

6. Бейбалаев В.Д. Разностные методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения с операторам дробного дифференцирования // Вестн. ДГУ. 2014. Вып. 6. С. 53-61.

7. Бейбалаев В.Д. Численный метод решения задачи переноса с двусторонней производной дробного порядка // Вестн. СамГТУ. Физ.-мат. науки. 2009. № 1 (18). С. 267-270.

8. Бейбалаев В.Д. Численный метод решения математической модели теплопереноса в средах с фрактальной структурой // Фундаментальное исследование.

2007. № 12. С. 67-71.

9. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегральные и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 498 с.

n

а

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 2

10. Нахушев А.М. Элементы дробного исчисления и их применение. Нальчик, 2003. 299 с.

11. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989. 430 с.

References

1. Meerschaert M.M., Tadjeran C. Finite difference approximations for two-sides space-fractional partial differential equations. Applied Numerical Mathematics. 2006, vol. 56, pp. 80-90.

2. Abduragimov E.I., Omarova R.A. Polozhitel'noe reshenie granichnoi zadachi dlya odnogo nelineinogo dif-ferentsial'nogo uravneniya s drobnymi proizvodnymi [Positive solution of the boundary value problem for one nonlinear differential equation with fractional derivatives]. Vestn. DGU. 2015, iss. 6, pp. 99-104.

3. Beibalaev V.D. Matematicheskaya model' perenosa v sredakh s fraktal'noi strukturoi [Mathematical model of transfer in mediums with fractal structure]. Mat. modeliro-vanie. 2009, vol. 21, No. 5, pp. 55-62.

4. Nagorov A.L. [Numerical methods for fractional operators in image processing systems]. Fundamental'nye i prikladnye problemy matematiki i informatiki [Fundamental and applied problems of mathematics and Informatics]. Proceedings of the Conference. Makhachkala, 2017, pp. 138-140.

5. Nazaraliev M.A., Beibalaev V.D. Chislennye metody resheniya kraevoi zadachi dlya uravneniya tep-loperenosa s proizvodnoi drobnogo poryadka [Numerical

methods for solving the boundary value problem for heat transfer equation with derivative of fractional order]. Vestn. DGU. 2008, iss. 6, pp. 46-53.

6. Beibalaev V.D. Raznostnye metody resheniya zadachi Koshi dlya obyknovennogo differentsial'nogo uravneniya s operatoram drobnogo differentsirovaniya [Difference methods for solving the Cauchy problem for an ordinary differential equation with fractional differentiation operators]. Vestn. DGU. 2014, iss. 6, pp. 53-61.

7. Beibalaev V.D. Chislennyi metod resheniya zadachi perenosa s dvustoronnei proizvodnoi drobnogo poryadka [Numerical method of solving the problem of transferring from two-sided derivative of fractional order]. Vestn. SamGTU. Fiz.-mat. nauki. 2009, No. 1 (18), pp. 267-270.

8. Beibalaev V.D. Chislennyi metod resheniya ma-tematicheskoi modeli teploperenosa v sredakh s fraktal'noi strukturoi [Numerical solution method the mathematical model of heat transfer in media with fractal structure]. Fun-damental'noe issledovanie. 2007, No. 12, pp. 67-71.

9. Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. Inte-gral'nye i proizvodnye drobnogo poryadka i nekotorye ikh prilozheniya [Integral and fractional order derivatives and some of their applications]. Minsk: Nauka i tekhnika, 1987, 498 p.

10. Nakhushev A.M. Elementy drobnogo ischisleniya i ikh primenenie [Elements of fractional calculus and their application]. Nalchik, 2003, 299 p.

11. Samarskii A.A., Gulin A.V. Chislennye metody [Numerical methods]. Moscow: Nauka, 1989, 430 p.

Поступила в редакцию /Received

18 декабря 2017 г. /December 18, 2017