Задача Коши для обыкновенного непрерывного дифференциального уравнения второго порядка с регуляризованными производными сегментного порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 4-1(16). C. 72-79. ISSN 2079-6641

DOI: 10.18454/2079-6641-2016-16-4-1-72-79

УДК 517.925.4

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО НЕПРЕРЫВНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С РЕГУЛЯРИЗОВАННЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ СЕГМЕНТНОГО ПОРЯДКА*

Б. И. Эфендиев

Институт прикладной математики и автоматизации, 360000, г. Нальчик, ул. Шорта-нова, 89А

E-mail: beslan_efendiev@mail.ru

В данной работе построено фундаментальное решение обыкновенного непрерывного дифференциального уравнения второго порядка с регуляризованными производными сегментного порядка и найдено в явном виде решение задачи Коши в терминах фундаментального решения.

Ключевые слова: задача Коши, непрерывное дифференциальное уравнение, регу-ляризованная производная сегментного порядка, фундаментальное решение.

© Эфендиев Б. И., 2016

MSC 34L99

THE CAUCHY PROBLEM FOR A REGULAR CONTINUOUS DIFFERENTIAL EQUATION OF SECOND ORDER WITH REGULARIZED DERIVATIVES OF SEGMENT ORDER

B. I. Efendiev

Institute of Applied Mathematics and Automation, 360000, Nalchik, Shortanova st., 89A, Russia

E-mail: beslan_efendiev@mail.ru

In this work we build a fundamental solution to a regular continuous differential equation of second order with regularized derivatives of segment order and find an explicit solution to Cauchy problem in terms of fundamental solution.

Key words: Cauchy problem, the continuous differential equation regularized derivative segment of the order, the fundamental solution

© Efendiev B.I., 2016

*Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 16-01-00462)

Введение

В области 0 < x < l рассмотрим уравнение

u"(x) + ad0a,в ]u(x) + bu'(x) + cd0l'S ]u(x) + du(x) = f (x), (1)

где

)[«,в ]

d0ax ,e]u(x) = j d^u(x)ds (2)

a

- регуляризованная производная континуального (сегментного) порядка [a,в],

1 x u(n)(t )dt

d0xu(x) =

Г(п - sW (x -1)s-n+1 0

- регуляризованная дробная производная Римана-Лиувилля порядка s [1, c. 11], r(z)

- гамма-функция Эйлера, 1 < a < в < 2, 0 < у < $ < 1, a,b, c,d — const.

Оператор

р

D0M;,p]u(x) = J D0xu(x)ds (3)

м

называется оператором непрерывного интегродифференцирования [1, c. 33] и связан с регуляризованным оператором дифференцирования сегментного порядка (2) соотношением

n—1 1

D[0Mx,p]u(x) = д[0М,р]u(x)+ £ u(0)-Vi(k — р + 1,k — м + 1,x), n — 1 < р < n, n e N, (4)

k=0 x

р .

/xs

Y^ds, x > 0, 0 < м < р. (5)

i(s)

v

В работе [2] (см. [3, c. 135]) построен оператор, обращающий оператор (3), выписано решение непрерывного уравнения Абеля и получены аналоги формулы Ньютона-Лейбница. В работах [4] и [5] построено фундаментальное решение обыкновенного дифференциального уравнения континуального порядка

D^/]u(x)+ Xu(x)= f(x), a < в, в < 1

разными методами, показана положительность фундаментального решения и решена задача Коши.

Для уравнения (1) с операторами вида (3) построено фундаментальное решение и найдено решение задачи Коши [6].

В данной статье, используя результаты работы [6], построено фундаментальное решение уравнения (1) и выписано решение задачи Коши.

в

Постановка задачи и методика ее решения

Регулярным решением уравнения (1) в области ]0,1[ назовем функцию и = u(x), имеющую абсолютно непрерывную на [0,1] производную первого порядка и удовлетворяющую уравнению (1) в области ]0,1[. В работе [6] показано, что функция

W(x) = W(x; a, в, Y, 8) = £ (-1)nVn(x) (6)

n=0

является фундаментальным решением уравнения (1) с операторами дифференцирования Римана-Лиувилля сегментного порядка. Здесь V0(x) = x,

Vn(x) = Vn-1

*

a 1¥i(2 - в, 2 - a,x)+ b + c 1¥i(2 - 5, 2 - у,x) + dx

n—

xx

n e N, (7)

(g* h)(x) = /о g(x -1)h(t)dt - свертка Лапласа функций g(x) и h(x).

Лемма 1. Для функций ¥г'(д, р, x), vn(x), W(x) в положительной полуокрестности нуля справедливы оценки [6]

¥г(д, р,x) < 2(р - д)xM (8)

Vn(x) < /Г^- +)2]xn(2-e)+1, n = 0,1,2,..., k = const, (9)

r[n(2 - в) + 2]

|W(x)| < £ rkT(2/- +)2]xn(2-e)+1 = xEi [кГ(2 - в)x2-e;2], (10)

n=0 Г[п(2 - в)+ 2] 2-в

где Ер (z, д) - функция типа Миттаг-Леффлера [7, с. 117].

Функцию g(x, t) будем называть фундаментальным решением уравнения (1), если при 0 < t < x < l она как функция переменной x при фиксированном t является решением задачи

gxx(x, t) + adta,в]g(s, t) + bgx(x, t) + c^8]g(s, t) + dg(x, t) =--^¥i(2 - в, 2 - a,x -1),

x - t

g(t, t )= 0, gx(t, t ) = 1. (11)

Теорема 1. Пусть 0 < t < x < l. Тогда функция W(x -1), определенная равенством (6), является фундаментальным решением уравнения (1).

Доказательство. Замена y = x-1 позволяет свести задачу (11) для функции W(x-t) к задаче

W''(y) + ad0y,в] W(y) + bW'(y) + cd0y,8] W(y) + dW(y) = -a y¥i(2 - в, 2 - a,y),

W (0) = 0, W '(0) = 1 или же с учетом формулы (4) к задаче

W ''(y) + aDy^] W (y) + bW '(y) + cDy8 ] W (y) + dW (y) = 0,

W(0) = 0, W'(0) = 1.

В работе [6] доказано, что функция W(у) является решением задачи (12). Лемма 2. Функция W(x — t) обладает тем свойством, что по переменной t при 0 < t < x < I она является решением задачи

gtt (x, t) — aD[%,p ]g(x, s) — bgt (x, t) + cD^5 ] g(x, s) + dg(x, t) = 0,

(13)

g(x, x) = 0, gt (x, x) = —1.

Действительно, в силу замены у = x — t задача (13) эквивалентна задаче (12) для функции W(x — t).

Задача. Найти регулярное решение u = u(x) уравнения (1) в области ]0,1[, удовлетворяющее условиям

u(0) = u0, u'(0) = u1, (14)

где u0, ui - заданные постоянные.

Теорема 2. Пусть f (x) e C]0,l[ПL[0,1]. Тогда решение задачи Коши (14) для уравнения (1) существует, единственно и оно имеет вид

u(x) = u0 |w'(x) + aD[0x—1,P—1]W(s) + bW(x) + cD[Jx—1,5—1]W(s)

+

+u1

W (x) + aD0x—2,p—2]W (s)j + (W * f) (x). (15)

Доказательство. Пусть u(x) - регулярное решение уравнения (1). Умножим обе части уравнения (1) на W(x — t), предварительно поменяв переменную x на t и проинтегрируем по переменной t от 0 до x

x x x

Jw(x — t)u''(t)dt + a J W(x — t)d0a]u(s)dt + b J W(x — t)u'(t)dt+

+cJw (x — t)d0l,5]u(s)dt + djw (x — t)u(t)dt = J W (x — t)f(t)dt. (16)

0 0 0 Применяя формулу интегрирования по частям к интегралам левой части равенства (16) получим

x x

1) J W(x — t)u''(t)dt = u'(x)W(0) — u'(0) W(x) + u(x) W'(0) — u(0) W'(x) + J u(t)Wtt (x — t)dt,

00

x x x

2) j W(x — t)4a]u(s)dt = J W(x — t)D0a—2,P—2]u''(s)dt = ju''(t)Dja—2,P—2]W(x — s)dt =

0 0 0

= u'(x)Dg—2,в—2]W (x — s) — u'(0)Di?T2,e—2]W (x — s) + u(x)D[^—1,p—1]W (x — s) —

x0

x

—u^D^1,13—1]W (x — s) — J u(t )Dja,P ]W (x — s)dt,

л л

3) J W (x -1 )u'(t )dt = u(x)W (0) - u(0)W (x) -J u(t )Wt (x -1 )dt,

0

x

4 )J W (x -t)d0f,8]u(s)dt = J W (x - t)Dl0*-1'S-1]u'(s)dt = J u'wDr1'5-1]W (x - s)dt =

0 0 0

x

= u(x)DxY-1'5-1]W(x - s) - u(0)Dxo-1'5-1]W(x - s) +J u(tp^8]W(x - s)dt.

0

Подставляя 1) - 4) в соотношение (16) вместо интегралов, после преобразования будем иметь

u(t) Wtt (x -1) - aD[%] W(x - s) - bWt (x -1) + cDJj'5] W(x - s) + dW(x -1)

dt+

+u'(x) [w(x -1) + aDy*t -2'в-2]W(x - s)j - u'(0) [w(x) + aDx;"2^-2]W(x - s)

t=x x0

+u(x) \-Wt(x -1) + aDi?-1'e-1]W(x - s) + bW(x -1) + cD^-1'8-1]W(x - s)

+

t=x

-u(0) [w'(x)+ aDx0-1'e-1]W(x-s) + bW(x) + cDxy-1'8-1]W(x-s) = (W*f)(x). (17) Учитывая, что

Wtt (x -1) - aD^a'в] W(x - s) - bWt (x -1) + cd]^] W(x - s) + dW(x -1) = 0,

W (x -1) + aDl?-2'в-2] W (x - s)

t =x

=0,

(18)

-Wt (x -1)+ aDl? 1,в 1]W (x - s) + bW (x -1) + cdI^ 1,8 1]W (x - s)

= 1,

t=x

в силу условий (14) и равенств

-1]W (x - s) = D0r1,e-1]W (s), DlY-1'8-1]W (x - s) = d0yx-1'8-1]W (s) D^-2] W (x - s)= -2] W (s),

из соотношения (17) получаем формулу (15).

Лемма 3. Задача (18) эквивалентна задаче (13).

Действительно, если докажем, что Dx^ 2,в 2]W(x - s) = 0, Dx^ 1,в 1]W(x - s) = 0 и D%-1,8-1]W(x - s) = 0 при t = x, то задача (18) будет эквивалентна задаче (13). В силу замены y = x -1

D

a-2,в-2]

xt

W (x - s) = D,

_ n[a-2,в-2]

в-2 y

ds

0y

w(z)= / гДЛW(z)(y-z)-s-1dz =

r(-s) 2 0

x

x

x

2-а

= f W (г)/

(y — z)n—1 1

' dndz =-Vi(2 — в, 2 - а,y) * W

2-в

r(n)

Учитывая неравенства (9) и (11) при y = 0 выражение -y Vi(2 — в, 2 — а,y) * W равно

нулю, т.е. при t = x, D^ 2,в 2]W(x — s) = 0. Аналогично имеем, что

Da—1,в—v (x—s)

Dr1,5—1]W (x—s)

t =x

t=x

1 Vi(2 — в, 2 — а, y) * W' 1 Vi(2 — 5, 2 — у, y) * W'

= 0,

y=o

= 0.

y=o

Покажем, что функция u(x), определяемая формулой (15), является решением уравнения (1) и удовлетворяет условиям (14).

Найдем производные, входящие в уравнение (1), от функции u(x). В силу второго и третьего равенств (12), из формулы (15) имеем

u'(x) = uo \w"(x) + aD0*/] W(s) + bW'(x) + cD[jf] W(s)

+

+ U1

W'(x)+ aD0lx—1'e—1]W (s)] + (W'* f)(x),

J

u''(x) = uo dx [w''(x) + aD^] W (s) + bW'(x) + cDOf] W (s)

+

+u1

W ''(x) + aD^W (s)l + (W'' * f) (x) + f (x),

-Jy,5] f s „[y—1,5—1]

d0x u(y)= u0D0x ,

W ''(y) + aD0а,в ] W (s) + bW '(y) + cD^5 ] W (s)

+

+u1DV5—1]

W '(y)+ aD0y—1,e—1]W (s)

+ d£1,5—1](W '* f )(y),

[а ,в ]

0x

u(y) = u0D0x—1,e—1] [w''(y) + aD^/]W(s) + bW'(y) + cD^5]W(s)

+

(19)

(20)

(21)

+u1Dt—2e—2]

W'' (y) + aD^W (s)

+ D0x—2,в—2](W ''* f )(y) + D^—2]f (y). (22)

Подставляя соотношения (15), (19) - (22) в уравнение (1), в силу теоремы 1, получаем, что функция, определяемая формулой (15), действительно является решением уравнения (1).

Если в равенствах (15) и (19) устремить x к 0 и учесть, что W(0) = 0, W'(0) = 1, то получатся условия (14).

Перепишем формулу (20) и учитывая первое равенство (12)

u''(x) = u0 dx [w''(x) + aD0а/] W (s) + bW'(x) + cD^f] W (s)

+

+u1

W'' (x) + aD^W (s)l + (W'' * f) (x) + f (x) =

= —rndW(x) — u \bW'(x) + cD0x5]W(s) + dW(x)l +(W''* f)(x) + f(x). (23)

Так как все функции, входящие в правую часть соотношения (23), суммируемы на [0,1], то u(x) е AC2[0,1].

y

Список литературы/References

[1] Нахушев А.М., Дробное исчисление и его применение, Физматлит, М., 2003, 272 с., [Nahushev A.M., Drobnoe ischislenie i ego primenenie, Fizmatlit, M., 2003, 272 p. (in Russian)].

[2] Псху А.В., "Об операторах типа свертки и их приложение к теории оператора интегро-дифференцирования континуального порядка", Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 5:2 (2001), 49-55, [Pshu A.V. Ob operatorah tipa svertki i ih prilozhenie k teorii operatora integrodifferencirovanija kontinual'nogo porjadka, Doklady Adygskoj (Cherkesskoj) Mezhdunarodnoj akademii nauk, 5:2 (2001), 49-55 (in Russian)].

[3] Псху А. В., "К теории оператора интегро-дифференцирования континуального порядка", Дифференц. уравнения, 40:1 (2004), 120-127, [Pshu A.V. K teorii operatora integrodifferencirovanija kontinual'nogo porjadka, Differenc. uravnenija, 40:1 (2004), 120-127 (in Russian)].

[4] Псху А. В., "Задача Коши для дифференциального уравнения континуального порядка", Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 7:2 (2005), 4549, [Pshu A.V. Zadacha Koshi dlja differencial'nogo uravnenija kontinual'nogo porjadka, Doklady Adygskoj (Cherkesskoj) Mezhdunarodnoj akademii nauk, 7:2 (2005), 45-49 (in Russian)].

[5] Псху А. В., "Фундаментальное решение обыкновенного дифференциального уравнения континуального порядка", Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 9:1 (2007), 73-78, [Pshu A.V. Fundamental'noe reshenie obyknovennogo differencial'nogo uravnenija kontinual'nogo porjadka, Doklady Adygskoj (Cherkesskoj) Mezhdunarodnoj akademii nauk, 9:1 (2007), 73-78 (in Russian)].

[6] Эфендиев Б. И., "Начальная задача для обыкновенного непрерывного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами", Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 17:2 (2015), 82-86, [Jefendiev B. I. Nachal'naja zadacha dlja obyknovennogo nepreryvnogo differencial'nogo uravnenija vtorogo porjadka s postojannymi kojefficientami, Doklady Adygskoj (Cherkesskoj) Mezhdunarodnoj akademii nauk, 17:2 (2015), 82-86 (in Russian)].

[7] Джрбашян М.М., Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области, Наука, М., 1966, 672 с., [Dzhrbashjan M.M., Integral'nye preobrazovanija i predstavlenija funkcij v kompleksnoj oblasti, Nauka, Moskva, 1966, 672 p. (in Russian)].

Список литературы (ГОСТ)

[1] Нахушев А. М., Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.

[2] Псху А. В. Об операторах типа свертки и их приложение к теории оператора инте-гродифференцирования континуального порядка // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2001. Т. 5. №2. 49-55

[3] Псху А. В. К теории оператора интегро-дифференцирования континуального порядка // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40. №1. С. 120-127.

[4] Псху А. В. Задача Коши для дифференциального уравнения континуального порядка // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2005. Т. 7. №2. С. 45-49

[5] Псху А. В., Фундаментальное решение обыкновенного дифференциального уравнения континуального порядка // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2007. Т. 9. №1. С. 73-78

[6] Эфендиев Б. И. Начальная задача для обыкновенного непрерывного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2015. Т. 17. №2. С. 82-86

[7] Джрбашян М. М., Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. 672 с.

Для цитирования: Эфендиев Б. И. Задача Коши для обыкновенного непрерывного дифференциального уравнения второго порядка с регуляризованными производными сегментного порядка // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 4-1(16). C. 72-79. DOI: 10.18454/2079-6641-2016-16-4-1-72-79

For citation: Efendiev B. I. The Cauchy problem for a regular continuous differential equation of second order with regularized derivatives of segment order, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2016, 16: 4-1, 72-79. DOI: 10.18454/2079-6641-2016-16-4-1-72-79

Поступила в редакцию / Original article submitted: 16.11.2016