Задача Дирихле для обыкновенного непрерывного дифференциального уравнения с производными Римана-Лиувилля сегментного порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.927.2

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО НЕПРЕРЫВНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ПРОИЗВОДНЫМИ РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ СЕГМЕНТНОГО ПОРЯДКА

THE DIRICHLET PROBLEM FOR ORDINARY CONTINUOUS DIFFERENTIAL EQUATION WITH THE RIEMANN-LIOUVILLE DERIVATIVES OF SEGMENT

ORDER

Б.И. Эфендиев B.I. Efendiev

2Институт прикладной математики и автоматизации, Россия, 360000, г. Нальчик, ул. Шортанова, д. 89А

Institute of Applied Mathematics and Automation, 89 A, Shortanov St, Nalchik, 360000, Russia

E-mail:[email protected]

Аннотация. В данной работе рассматривается задача Дирихле для обыкновенного непрерывного дифференциального уравнения с производными Римана-Лиувилля сегментного порядка.

Resume. In this paper we consider the Dirichlet problem for an ordinary continuous differential equation with Riemann-Liouville derivatives of segment order.

Ключевые слова: непрерывные дифференциальные уравнения, задача Дирихле, производная Римана-Лиувилля сегментного порядка, дробная производная Римана-Лиувилля.

Key words: continuous differential equations, Dirichlet problem, Riemann-Liouville derivative of segment order, fractional derivative Riemann-Liouville.

Введение

В интервале 0 < x < l рассмотрим уравнение

Lu = u" ( x) + aD0ax'^u( x) + bu'( x) + cD\^;b]u( x) + du( x) = f (x), (1)

где (см. [1, 2]),

[ ] p

D0X'Plu( x) = \ Ds^xu(x)ds (2)

x

- оператор непрерывного интегродифференцирования порядка [x,p], Ds0xu(x) - оператор дробного интегродифференцирования Римана-Лиувилля порядка s [2], 1 <x<p< 2, 0 <у<5< 1, a, b, c, d -const.

Уравнение (1) относится к классу непрерывных дифференциальных уравнений [1]. Оператор (2) был введен в работе [1], а в [2] были изучены их свойства, в частности, доказана положительность этих операторов, получена формула непрерывного интегрирования по частям.

В работе [3] построен оператор, обращающий оператор (2) и получены аналоги формулы Ньютона-Лейбница, а в [4, c. 148] доказан принцип экстремума для оператора непрерывного инте-гродифференцирования (2).

Уравнения с операторами вида (2) исследовались ранее многими учеными, в случае когда под интегралом стоит оператор Римана-Лиувилля - А.М. Нахушевым и А.В. Псху (см. [5, гл. 2,4], [4, гл. 5]).

В работе [6] для обыкновенного дифференциального уравнения континуального порядка

D0x 'p]u( x) + Xu( x) = f (x), x<p< 1 построено фундаментальное решение и найдено представление решения задачи Коши, показана положительность фундаментального решения и характер зависимости от спектрального параметра.

Для уравнения (1) при a = b = d = 0, c = X построено фундаментальное решение и найдены решения начальной и краевых задач [7-9]. В случае a = b = c = Х, d = 0, для уравнения (1) получены

необходимые начальные условия [10]. В работе [11] для уравнения (l) найдено фундаментальное решение и с его помощью построено явное представление решения видоизмененной задачи Коши для уравнения (1).

Регулярным решением уравнения (l) в области ]0,/[ назовем функцию u = u(x), принадлежащую классу С[0,l] n C2]0,l[ и удовлетворяющую уравнению (l) в области ]0,/[.

Задача. Найти регулярное решение u = u (x) уравнения (i) в интервале ]0, l[, удовлетворяющее следующим условиям:

u(0) = u0, u(l) = ut, (3)

где u0, ul - const.

Рассмотрим функцию

G(x, t) = H (x - t)W(x -1) - W(xW(l -1), (4)

W(x) = W(x;a,p,y,5) = £ (-1)nvn(x), v0(x) = x,

vn ( x) = iv n-i( x -1)

n-

0

а ^¥¡(2 -р,2 - а,/) + Ь + с 1 Кг (2 -5,2 -у,/) + Ж </, п е N,

р х>

Кг(ст, р, х) =Г-</, х > 0, р>ст> 0.

I Г(,) р

Здесь Ж(х) - фундаментальное решение уравнения (1) [11], Н(х) - функция Хевисайда, Г(х) -гамма-функция Эйлера.

Оператор д0р;п] называется регуляризованным оператором дифференцирования сегментного порядка и связан с оператором непрерывного интегродифференцирования Ц^'5' (2) соотношением

з0Р;a]u(x) = D0p/]u(x) - £u(k)(0)-Vi(k -ст +1,k - p +1,x), n -1 < ст < n, n e Ж. t=0 x

Лемма. Функция G(х,/) обладает следующими свойствами: 1) в(х, ,) как функция переменной х является решением задачи

вх (х, ,) + а£>0а1%( х, /) + Ьвх (х, /) + с£>0у;5]в( х, /) + <в( х, /) = 0, (5)

0(0, /) = 0, в(1, /) = 0,

(6)

2) в(х, ,) как функция переменной / является решением задачи

в„ (х, /) + ад[р]в(х, /) - Ьв, (х, /) + сд [5]в( х, /) + <в( х, ,) = аЖ (х) 1 Кг(2 -р,2 - а, I - /), (7)

Ж (I) I -/

в( х,0) = 0, в( х, I) = 0,

(8)

3) в(х,/) удовлетворяет условию

Нт[в( (х, х + е) -в, (х, х -е)] = 1. (9)

8—>0

Действительно, из определения фундаментального решения уравнения (1) следует, что функция Ж (х) удовлетворяет условиям [11]

Ж ''(х) + аБ^Ж (х) + ЬЖ'(х) + с£>0у;51Ж (х) + йЖ (х) = 0, (10)

Ж''(х) + ад0а;р1Ж(х) + ЬЖ'(х) + сд[,&]Ж(х) + йЖ(х) = -а-VI(2 - Р,2 - а,х), (11)

х

Ж (0) = 0, Ж '(0) = 1. (12)

Равенства (6) и(8) непосредственно получаются из представления (4) функции в(х,/) с учетом первого соотношения (12).

Теперь докажем формулу (9). В силу соотношения Ж (х - /) = -Жх (х -,) и второго равенства (12) имеем

n=0

Нш[о( (х, х + е) -О, (х, х - е)]= Иш

Ж (х)Ж, (1 - х -е) __ х - х + + Ж (х)Ж, (1 - х -е) Ж (1) Ж (1)

= -Ж(х)Ж,(1- х) - Ж + Ж(х)Ж,(1- х) = Ж = 1

Ж (1) ' Ж {1)

Если вместо О(х, ,) в формулу (5) подставить представление (4), то в силу равенства (10) получится тождество. Справедливость равенства (7) следует из соотношения (11).

Функцию О(х, ,), определяемая формулой (4) и обладающая свойствами 1) - 3), назовем функцией Грина задачи Дирихле (3) для уравнения (1).

Теорема. Пусть /(х) е Ь[0,1] п С]0,1[ и выполнено условие Ж(1) ф 0. Тогда задача Дирихле

(3) для уравнения (1) однозначно разрешима и решение имеет вид

1

и( х) = -и0О, (х,0) + и1О, (х, 1) + | 0(х,,) / (,)&. (13)

0

Доказательство. Пусть и(х) - решение уравнения (1). Проинтегрируем выражение 0(х, ,) Ьи (,) по переменной , от е до I -е, 0 <е< 1

1-е 1-е 1-е 1-е 1-е 1-е

10(х,,)и"(,)Л + а 10(х,ф[%(,)Ж + Ь 10(х,0и'(0Ж + с 10(х, ,)В[5]и(,)Ж + ё 10(х,,)и(,)Л = |О(х,)/(,)Ж.

ее ее ее

(14)

Вычислим интегралы стоящие в левой части равенства (14)

1-е

1О(х, ,)и''= |О, (х, ,)и(,)Л + и(х) + и'(1 -е)О(х, 1 -е) - и'(е)О(х, е) - и(1 - е)О, (х, 1 -е) + и(е)О1 (х, е). (15)

2 1-е

1-е 1 -е Л . ^

I0( х^В^и^ = 10(х,,)—в[-™-2]и(0Ж = 10,,( х^ъ^^Ж +

е е е

+ В^Д А(1 -е)0(х, 1 -е) -Б^МеОх,е) -Б^М -е)0,(х, 1 -е) + П[рМе)0,(х,е).

(16)

С учетом формулы непрерывного интегрирования по частям [5, с. 34]

в в

}у(хО^их)ёх = }и(х)В[а\(х)ёх, р«з< 0

А А

интеграл в правой части (16) равен

1-е 1-е 1-е

IО ,,(х, ,)в0[-2'р-2]и(,)ё, = 10„(х,,)В1[[-2'р-2]и(,)Л + | О, (х, =

еее 1-е [ М 1-е [ М 1-е [ М 1-е [ М

= 10„ (х^щет^щ^ + I иУЩ-^ О« (х,,)ё, = I О^х^О;:23-2]^ + I и(Щ%0(х,,)Ж.

е е е е

В силу последнего равенства из соотношения (16) окончательно получим

1-е [ М 1-е [ М 1-е [ М

10( х, ОБ^и (ОЛ = IО „ (х, ,)П[-2Я-2]и + I и (О^, 0( х, +

е е е

+ -е)О(х, 1 -е) -В^МеОх,е) -Б^М-е)О,(х, 1 -е) + Б^МеО(х,е). (17)

1-е 1-е

IО(х,,)и'(,)& = - IО,(х,,)и(,)Л + и(1 - е)О(х, 1 - е) - и(е)О(х, е). (18)

IО(х,,)В[]и(,)Ж = - IО(х^Щ;1^]^, + Iи(,)дО(х,,)ё, + в[^%(1 - е)О(х, 1 - е) - в[-1Гй-1]и(е)О(х,е).

е е е

(19)

Подставляя равенства (15), (17М19) в формулу (14) и устремляя е ^ 0 будем иметь

и(х) +1 и(,)[О„(х,1) + адх,0 -ЬО,(х,) + сд[5]О(х,) + ёО(х, ,)] + ^(х,ф[-2#-2]и(0)Ж -

00

^О, (х, ,)в[1'5-1и(0)ё, = х,,)/ (,)Ж + О (х, 1 )[и(1) + аВ[-2*-2]и(1)]-О, (х,0)[и(0) + aв]■'[2'f'-2]u(0)\+

00

- О(х, 1 )\г'(1) + аВ[-1^1]и(1) + Ьи(1) + сд[1-ь~1]и(1)]+ О(х,0)\и'(0) + аВ[*-1]и(0) + Ьи(0) + cВ00o-1'5-l]u(0)],

где В^и (0) = Нш В1^ (,).

Так как операторы Ц,Г2'Р~21, являются интегральными, то £>0а-2'р-2]и(0) = £>0У0-1'5-1]и(0) = 0.

С учетом свойства 2) функции в(x,t) формулу (20) перепишем в виде

Ж(х) [ , ч 1 п „ , ч , u(х) + а—— Г и(,)-Уг(2 -В,2 - а, I - ,)</ =

ж (I) 0 ' 1 -,

l

= aD^ ~2'p~2'u(l)Gt(x,l) - u(0)Gt(x,0) + u(l)Gt(x,l) + JG(x,t)f (t)dt. (21)

В силу равенства

l 1

Dir2'Mu(l) = J u(t)-Vi(2 - p,2 - a,l - t)dt

0 l -1

из формулы (21) получаем соотношение (13).

Подставляя найденное представление решения (13) в уравнение (1) и в краевые условия (3) с учетом соотношений (5), (6) получаем, что функция u(x), определяемая формулой (13) действительно является решением задачи Дирихле (3) для уравнения (1).

Покажем теперь, что при отрицательных коэффициентах уравнения (1), т.е. a,b,c,d < 0

условие разрешимости W(l) ф 0 выполняется. Обозначим через

ф(x) = a—Vi(2 - p,2 - a,x) + b + c—Vi(2 - 5,2 - y,x) + dx . x x

Из определения следует, что функция Vi(CT, p, x) положительна при положительных аргументах. Значит, при отрицательных коэффициентах a,b,c, d функция ф^) < 0. Отсюда имеем, что vn(x) < 0 для нечетных n и vn (x) > 0 для четных n . Таким образом, при a, b, c, d < 0 знакопеременный ряд W(l) становится положительным, т.е. W(l) > 0.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 16-01-00462)

Список литературы References

1. Нахушев А.М. 1988. О непрерывных дифференциальных уравнениях и их разностных аналогах. М., Доклады АН СССР, 300 (4): 796-799.

Nakhushev A.M. 1988. O nepreryvnyh differentsialnyh uravnenijah i ih raznostnyh analogah [On continuous differential equations and their difference analogues]. Moscow, Doklady AN USSR.

2. Нахушев А.М. 1998. О положительности операторов непрерывного и дискретного дифференцирования и интегрирования, весьма важных в дробном исчислении и в теории уравнения смешанного типа. М., Дифференциальные уравнения, 34 (1): 101-109.

Nakhushev A.M. 1998. O polozhitelnosti operatorov nepreryvnogoiI discretnogo differentsirovanija i integri-rovanija, vesma vazhnyh v drobnom ischislenii i v teorii uravnenija smeshannogo tipa [Positivity operators of continuous and discrete-differentiation and of integration of very important in the fractional calculus and the theory of equations of mixed type]. Moscow, Differential equations.

3. Псху А.В. 2004. К теории оператора интегро-дифференцирования континуального порядка. М., Дифференциальные уравнения, 40 (1): 120-127.

Pskhu A.V. 2004. K teorii operatora integro-differentsirovanija continualnogo porjadka [On the theory of in-tegro-differentiation operator continuum order]. Moscow, Differential equations.

4. Псху А.В. 2005. Уравнения в частных производных дробного порядка. М., Наука.

Pskhu A.V. 2005. Uravnenija v chastnyh proizvodnyh drobnogo porjadka [Partial differential equations of fractional order]. Moscow, Nauka.

5. Нахушев А.М. 2003. Дробное исчисление и его применение. М., Физматлит.

Nakhushev A.M. 2003. Drobnoe ischislenie i ego primenenie [Fractional calculus and its application]. Moscow, Fizmatlit.

6. Псху А.В. 2007. Фундаментальное решение обыкновенного дифференциального уравнения континуального порядка. Нальчик, Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 9 (1): 73-78.

Pskhu A.V. 2007. Fundamentalnoe reshenie obyknovennogo differentsialnogo uravnenija continualnogo porjadka [Fundamental Solution for Differential Equation of Continual Order]. Nalchik, Reports of the Adyghe (Circassian) International Academy of Sciences.

7. Эфендиев Б.И. 2011. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной. М., Дифференциальные уравнения, 47 (9): 1364-1368.

Efendiev B.I. 2011. Zadacha Coshi dlja obyknovennogo differentsialnogo uravnenija vtorogo porjadka s con-tinualnoy proizvodnoy [Cauchy Problem for a Second-Order Ordinary Differential Equation with a Continual Derivative]. Moscow, Differential equations.

8. Эфендиев Б.И. 2013. Задача Стеклова для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной. М., Дифференциальные уравнения, 49 (4): 469-475.

Efendiev B.I. 2013. Zadacha Steklova dlja obyknovennogo differentsialnogo uravnenija vtorogo porjadka s continualnoy proizvodnoy [Steklov Problem for a Second-Order Ordinary Differential Equation with a Continual Derivative]. Moscow, Differential equations.

9. Эфендиев Б.И. 2015. Задача Дирихле для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной. М., Математические заметки, 97 (4): 620-628.

Efendiev B.I. 2015. Zadacha Dirikhle dlja obyknovennogo differentsialnogo uravnenija vtorogo porjadka s continualnoy proizvodnoy [Dirichlet Problem for a Second-Order Ordinary Differential Equation with a Continual Derivative]. Moscow, Mathematical Notes.

10. Эфендиев Б.И. 2014. Начальная задача для непрерывного дифференциального уравнения второго порядка. М., Дифференциальные уравнения, 50 (4): 564-568.

Efendiev B.I. 2014. Nachalnaja zadacha dlja nepreryvnogo differentsialnogo uravnenija vtorogo porjadka [Initial-Value Problem for a Continuous Second-Order Differential Equation]. Moscow, Differential equations.

11. Эфендиев Б.И. 2015. Начальная задача для обыкновенного непрерывного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Нальчик, Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 17 (2): 52-56.

Efendiev B.I. 2015. Nachalnaja zadacha dlja obyknovennogo nepreryvnogo differentsialnogo uravnenija vtorogo porjadka s postojannymi koeffitsientami [Initial-Value Problem for a Continuous Second-Order Ordinary Differential Equation with constant coefficients]. Nalchik, Reports of the Adyghe (Circassian) International Academy of Sciences.