Задача Коши-Дирихле для уравнения колебаний термоупругой пластины Текст научной статьи по специальности «Математика»

иркутским государственный университет путей сообщения

93750000 кВтч/год. При этом доля потерь в стыках не превышает одного процента суммарных потерь в ТС. Тем не менее, возможная экономия потерь от их сокращения вследствие сокращения числа стыков при замене рельсов длиной 25 м на рельсы 800 м в границах главного хода ВСЖД может быть оценена примерно в 900...959 тыс. кВтч/год. Главными причинами замены рельсов длиной 25 м на 800 м являются улучшение условий движения поездов, уменьшение износа рельсов от динамического воздействия колесных пар в многочисленных местах рельсовых стыков. Применение рельсовых нитей с меньшим числом стыков приводит к снижению сопротивления движению поезда и, как следствие, к снижению электропотребления. Рассмотренная выше оценка позволяет учитывать сопутствующий положительный эффект замены звеньевого пути на бесстыковой в совокупности с другими положительными проявлениями этого мероприятии.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК

1. Марквардт К.Г. Электроснабжение электрифицированных железных дорог. М.: Транспорт, 1982. - 528 с.

2. Григорьев Л.Г. Рельсовая сеть в системе электроснабжения электрических железных дорог: Учебное пособие.- М.: ВЗИИТ, 1988.- 68 с.

3. Межгосударственный стандарт. Единая система защиты от коррозии и старения. Дата введения 2007-01-01.

4. Марквардт К.Г., Марквардт Г.Г., Бардушко В.Д. Моделирование тяговой сети / Микроэлектронные системы контроля и управления на железнодорожном транспорте // Сб. науч. тр. ИрИИТа, Иркутск. Вып. 3. 1997. С. 51-53.

УДК 517.937, 517.983.5 М. В. Фалалеев,

д. ф.-м. н., доцент, зав. кафедрой математического анализа и дифференциальных уравнений,

Институт математики, экономики и информатики ИГУ (г. Иркутск),

тел. (3952)242214, e-mail: mihail@ic.isu.ru

С.С. Орлов,

аспирант, Институт математики, экономики и информатики ИГУ (г. Иркутск),

e-mail: orlov_sergey@inbox.ru

ЗАДАЧА КОШИ-ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ ТЕРМОУПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ

M. V. Falaleev, S.S.Orlov

CAUCHY-DIRICHLET PROBLEM FOR THE THERMOE-LASTIC PLATE OSCILLATION EQUATION

Аннотация. Рассмотрена задача Коши -Дирихле для одного линейного уравнения соболевского типа, возникающего в математической теории термоупругости. Получены достаточные условия существования и единственности классического решения, а также явные формулы для его восстановления. Исходная задача сведена к задаче Коши для дифференциально-операторного уравнения в банаховых пространствах. Последняя исследована методами теории фундаментальных оператор-функций вырожденных дифференциальных операторов.

Ключевые слова: банахово пространство, жорданов набор, фундаментальная оператор-функция, фредгольмов оператор.

Abstract: Cauchy - Dirichlet problem for a linear Sobolev type equation, arising in the mathematical theory of thermoelasticity, is considered. Sufficient conditions classical solution existence and uniqueness as well as explicit formulas for its restoration are obtained. Primary problem is reduced to the Cauchy problem for differential operator equation in Banach spaces. The last problem is studied by the methods of fundamental operator-functions of degenerated operators theory.

Keywords: Banach space, Jordan set, fundamental operator-function, Fredholm operator.

Введение. В механике сплошных сред встречаются неклассические динамические модели, исследование которых сопряжено с необходи-

Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы

мостью решать уравнения и системы уравнении в частных производных с необратимыми операторами при старших по времени производных (уравнения и системы уравнении соболевского типа). Известно, что начально-краевые задачи для уравнении с такими особенностями не всегда имеют классические (непрерывные) решения. Таким образом, прежде всего, актуально выяснение условии, которые гарантировали бы однозначную разрешимость.

В настоящей работе изучается вопрос существования и единственности классического решения задачи Коши-Дирихле для линейного уравнения в частных производных [1], возникающего в математической теории термоупругости [2], [3]. Исходная динамическая модель исследуется в общем виде и сводится к задаче Коши для вырожденного дифференциально-операторного уравнения третьего порядка в банаховых пространствах.

Постановка задачи. Рассмотрим уравнение

д3 _ д2 _

(А - а)—-и(г, х) - кА(А - р)—-и(г, х) -дГ 8Г

7 д _ г _ _

-/А2—и(г, х) + кА3и(г, х) = / (г, х), (1) дг

(г, х) е хП, где ПсЯы - ограниченная область с границей дП класса Сш , а, Р , у , к - отличные от нуля вещественные параметры, причем а Ф Р, /(г, х) -функция непрерывная по времени г > 0 и класса Ск (П), к е {0} ^ N по совокупности пространственных переменных.

При N = 2 и /(г, х1, х2 ) = 0 уравнение (1) описывает колебания изотропной однородной термоупругой пластины [1]. В этом случае функция и = и (г, х1, х2 ) определяет прогиб пластины, вызванный массовыми силами, коэффициент а обратно пропорционален квадрату толщины пластины, остальные параметры суть нелинейные соотношения между постоянными, отражающими механические и тепловые характеристики среды

[3].

Поставим для уравнения (1) задачу Коши -Дирихле, то есть задаем начальные

дг

dt'

u(t, x)

= щ (x), ' = 0, 1, 2, x еП

(2)

t=0

к е {0} ^ N и удовлетворяющие граничному условию (3).

Далее? предполагая а таким, что однородная задача Дирихле

Аф(х) = аф(х), Ф(Ц-едП= 0 (4)

имеет ненулевые решения, выясним условия однозначной разрешимости начально-краевой задачи (1)-(3) в классе функций, определенных на цилиндре Я+ х П и непрерывно дифференцируемых на нем трижды по г и не менее шести раз по совокупности пространственных переменных.

Отметим, что начально-краевая задача (1) -(3) может быть сведена к дифференциально-операторному уравнению

Bu'"(tt) - A2u" (t) - Ащ'(t) - A0u(t) = f (t)

(5)

и однородное граничное

и(г, х)|-едП= 0, (г, х) е Я+хдП (3)

условия. Здесь щ (х) - функции, имеющие на множестве П порядок гладкости к + 6,

с начальными условиями

u(0) = u0, u'(0) = Uj, u" (0) = u2. (6) Здесь линейные операторы B = A-a, A = kA(A - P), A1 = yA2 , A0 = -kA3 действуют из банахова пространства

E1 = {u(x) е Wk+6 (П) : u(x)|_eSQ = 0} в банахово

пространство E2 = W^ (П) . В этом случае B является фредгольмовым оператором, ядро которого совпадает с пространством решений задачи (4) размерности n.

Задачу Коши - Дирихле (1)-(3) будем исследовать в операторной постановке (5)-(6), считая B, A2, A , A некоторыми замкнутыми линейными операторами, действующими из E в E2 , El, E - банаховы пространства, причем D( A2 ) о D( Ai) о D( А0 ) = D(B) = E1,

D(B) сD(A2)оD(Ai)оD(A0), Оператор B предполагается фредгольмовым, т. е. R(B) = R(B) и dim N(B) = dim N(B*) = n, а функция f (t) со значениями в пространстве E2 - непрерывной по норме этого пространства.

Дифференциально-операторное уравнение третьего порядка. В этом пункте выясним условия существования и единственности классического решения задачи Коши (5)-(6), под которым понимается функция класса C3 ([0,+да),E1), обращающая в тождество уравнение (5) и удовлетворяющая начальным условиям (6). Исследования будут проводиться методами теории обобщенных функций (распределений) в банаховых пространствах, основные определения и положения которой сформулированы в [4], [5], имеют общую идейную основу с классической теорией

иркутским государственный университет путей сообщения

обобщенных функций Соболева - Шварца [6] и в дальнейшем изложении будут использоваться без дополнительных пояснений.

Продолжим неизвестную и свободную функции уравнения (5) нулем на отрицательную полуось t < 0, полагая

u(t) = u(t )в(г), f (t) = f (t )d(t), тогда в обобщенных функциях задачу Коши (5)-(6) можно переписать в виде

B7"(t) -Л2и" (t) - Aju'(t) - A0u(t) = ~(t)

или в эквивалентной сверточной форме

L3 (S(t)) * u(t) = g(t). (7)

Здесь обобщенная оператор-функция L (S(t)), соответствующая дифференциальному оператору уравнения (5), задается формулой

L3 (S(t)) = BS"(t) - ЛS"(t) - AS'(t) - ЛS(t), а обобщенная функция g(t) класса K' ([0,+да), E2 ) распределений с ограниченным слева носителем имеет вид

~(t) = f(t) + (Bu2 - A2U1 - A1u0 )S(t) + + (Bu, - A2u0 )S'(t) + Bu0S" (t) .

Следуя идее работ [4], [5], в [7] было показано, что уравнение (7) имеет в классе K' ([0,+да), E1) единственное решение, определяемое формулой

u(t) = s(t) * 7(t), где обобщенная оператор-функция s(t) удовлетворяет условиям L3 (S(t)) * e(t) * v(t) = v(t), Vv(t) e K' ([0,+<ю), E2 ), s(t) * L3 (S(t)) * w(t) = w(t), Vw(t) e K'([0,+»),E,) и называется фундаментальной оператор-функцией дифференциального оператора L3 (S(t)).

Прежде чем переходить к изложению основных результатов, приведем некоторые вспомогательные сведения, связанные со спецификой рассматриваемой задачи.

Введем проекторы

P: Ej ^N(B), Q: E2 ^ span {z, }n=1, действующие по формулам

n n n n

P = TP, =I(•, rt fo, Q = IlQ, = I(■, ,

i=1 i=1 >=1 >=1

и ограниченный оператор Г: E2 ^ N(P) о D(B),

n

Г = B 1 = (B + !(•, r,)z,)-1,

i=1

называемый оператором Треногина - Шмидта [8], где системы элементов {/, }ni=1 сE*, {z, }n=1 с E2 являются биортогональными соответ-

= ГУ,, (Р, = rz,, > = 1,■■■,n,

rB = I - P, Br = I - Q .

ственно {<, }П=1 с Е1 и }П=1 с Е*2 - базисам ядер

(нуль-пространств) операторов В и В 0, т. е. справедливы равенства

<, 7.) = 5. , = 5,., i, . =1,...,» .

Как показано в [8], системы элементов

{< }П=1 , {¥г }"=1 , {7г }П=1 и {г, }"=1, можно выбрать так, что

(8) (9)

Далее будем предполагать выполненным следующее условие:

А) А < , * 0,

которое без ограничения общности может быть записано в виде

^г = 5. (10)

и означает, что оператор В имеет полный А , А , А -жорданов набор [9], [10], состоящий только из векторов < , , = 1,...,п, другими словами, длины всех А , А , А -жордановых цепочек элементов < равны 1. Заметим, что это условие имплицирует существование совпадающего с }П=1 с Е*2 полного А2, А1, А0 -жорданова набора оператора В0 [10]. Из равенства (10) можно заключить, что

= А2<,, 7, = А*0У,, , = 1,...,п, откуда, учитывая (8), имеем

Ъ = А2Гг,, 7г = а2г*7, ,

< =ГА2< , ¥г =Г0А]¥г .

Рассмотрим рекуррентную последовательность {С^ с Ь(Е2 ) ограниченных операторов

С, = А2 ГСк_1 + ААСк_2 + Ао , к > 1, (11)

С 2 = С_1 = 0, Со = I,

дифференциальный оператор

~ (ё(0) = 15 "' _ А Г 5 " (г) _ А Г 5' (0 _ А Г8(г)

t

к+2

и оператор-функцию

+т

^ (^) = У Ск

к (к + 2)!

Методом математической индукции по индексу к нетрудно доказать равенство

Ск = Ск_АГ + Ск_2А1Г + Ск_3АоГ, к > 1, (12) эквивалентное (1 1), и оценку

C

) ^ (С + 7) ^, к *1

Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы

где c = та

(Е2 )

ИГ

,114Л

ЬE2 )'И ю к(E2)

Оче-

видно, что Р (г) удовлетворяет условию

Р(к-1) (0) = Ск-з , к > 1, (13)

а в силу (11) и (12) дифференциальным уравнениям

F" (г) = АГF " (г) + А ГР'(г) + АГF(г) , F'" (г) = F " (г) А Г+F' (г) А Г+F (г )А Г.

Следуя этим фактам, непосредственными вычислениями можно установить справедливость цепочки равенств

ь3 (£(0) * Р (00(0 * 40 =

= Р (г )в(г) * 13 (5(г)) * у(г) = Щг) * у(г) = у(г), для любой функции у(г) е К'([0,+то), Е2 ). Таким образом, имеет место следующая лемма.

Лемма 1. Дифференциальный оператор Ь3 (5(г)) имеет на классе К([0,+то),Р2) фундаментальную оператор-функцию вида

е(г) = Р(г)в(г).

В силу оценки С Л < (с +1)к, к > 1, сте-

II «ЦЕ2 )

пенные ряды, определяющие оператор-функцию Р(г) и ее производные, сходятся равномерно по операторной норме на всей числовой прямой, причем

Р (г)

<

1 ё"

Ь( е2 )

с +1 Ш" г > 0.

(в (с+1)г - (с + 1)г -1),

Введем в рассмотрение обобщенные оператор-функции

М (г) = (I - О)5(г) - О5' (г), N (г) = (О - вАГЩ'(г) + + (ОА Г + дАГЩ' (г) + вАГЩ(г), О(г) = (15(г) + Я(г)в(г)) * М (г),

где Я(г) - резольвента ядра (-0Р(4) (г)).

Лемма 2. Если выполнено условие А), то справедливы следующие равенства:

ЯР'" (г)в(г) * в(г) = -05(г),

(14)

М (г) * ЬЩ)) = (ЬЩ))+N (г))* В5(г), (15) Я(г)в(г) * 13 (5(г)) = -(15 (г) + Я(г)в(г)) * N (г). (16)

Доказательство. Так как выполнено условие А), то

ЯА г = Я.

Оператор-функция Я(г) является резольвентой ядра (-0Р(4) (г)), следовательно,

ЯР(4) (г)в(г) * (Щ(г) + Я(г)в(г)) = -Я(г )в(г),

и, в силу идемпотентности проектора О ,

05(0 * Я(г)в(г) = Я(г)в(г). Тогда справедлива цепочка равенств ЯР'" (г)в(г) * О(г) = ЯР"' (г)в(г) * 5' (г) * в(г) * О(г) =

= (О5(г) + ОР(А) (г)в(г)) * (15(г) + Я(г)в(г)) * * ((I - Я)в(г) - 05(0) = = Я5(г) * ((I - Я)в(г) - Я5(г)) = -Я5(г), которая является доказательством равенства (14).

Равенство (15) покажем непосредственным вычислением свертки с учетом

п

ОВ = 0, оа2 , Яа2 г = я ,

1=1

а именно

М (г) * Ь3 (5(г)) = ((I - 05(г) - Я5' (г)) * * (В5 "' (г) - А2 5 " (г) - А15' (г) - А0 5 (г)) =

п

= (В + )5 " (г) - А25 " (г) - А5 ' (г) - А05(г) +

1=1

+ (ОА2 + ОА,)5 " (г) + (ОА + ОА )5" (г)+ОАо5(г) =

= (~з (5(г)) + N (г)) * В5(г). Поскольку Я(г )в(г) = -(15 (г) + Я(г)в(г)) * ОР(г)в(г), то для того, чтобы доказать равенство (16), достаточно убедиться, что

ОР (4\г)в(г) * Ьз(5(г)) = N (г). Так как оператор-функция Р(г) удовлетворяет дифференциальному уравнению

Р (I) (г) = Р (1-1) (г) а2г+Р <-1-2) (г) А1Г+Р(1-3) (г) А0Г, I > 3,

то, вычисляя соответствующую свертку и учитывая (12), получим требуемое равенство

ОР(4) (г)в(г) * (15 " - А Г 5 " (г) - А Г 5" (г) - А Г 5 (г)) =

= ОР(4) (0)5 (г)+О(Р'" (0) А г+Р" (0) А Г)5'(0 +

+ ОР "" (0) А0Г5(1) = N (г). Лемма 2 доказана.

Теорема 1. Если выполнено условие А), то дифференциальный оператор Ь3(5(г)) имеет на классе К' ([0,+да), Р2) фундаментальную оператор-функцию вида

е(г) = Г5(0 * Р(г)в(г) * в(г).

Доказательство. В соответствии с введенным выше определением фундаментальной оператор-функции требуется проверить справедливость двух равенств. Согласно (9) и лемме 1, получаем Ьз(5(г)) *е(г) =

= (Ьз(5(г)) - О5" (г))* Р (г)в(г) * 0(г)в(г) =

иркутским государственный университет путей сообщения

= ((I _ 0)5 (г) _ 0Г"' (г )в(г)) о О(г).

Так как (I _ 0)0 = 0(1 _ О) = 0 , то (I _ 0)5(г) о О(г) = (I _ 0)5(г).

Следовательно, в силу равенства (14) леммы 2, имеем

Ц (5(г)) о е(г) = (I _ 0)5 (г) _ 0Г "' (г)в(г) о О(г) = = (I _ 0)5 (г) + 05 (г) = 5(г).

Докажем теперь вторую часть определения. Согласно равенствам (15) и (16) из леммы 2, лемме 1 и определению оператора Треногина-Шмидта, справедлива цепочка равенств е(г) о Ц(5(г)) = = Г5(г) о г(г)в(г) о (5(г) + Щ)в(г)) о

о (Ц (5 (г)) + N (г)) о В5(г) = = Г5(г) о ^ (г)в(г) о ~3 (5 (г)) о В5(г) = = Г5(0 о В5(г) = 15(г).

Теорема 1 доказана.

Замечание 1. Результат теоремы 1 допускает обобщение на случай полного А , А , А -жорданова набора с произвольными конечными не обязательно одинаковыми длинами цепочек [9].

Как было отмечено выше, единственное решение в классе К'([0,+да),Е;) уравнения (7) (обобщенное решение задачи Коши (5)-(6)) задается формулой

м(0 = е(г) о ~(г).

Вычисляя свертку, нетрудно убедиться, что при выполнении условия А) оно представляет собой регулярную обобщенную функцию

и(г) = и(г)в(г),

где и(г) е С3([0,+да),Е1) удовлетворяет уравнению (5) и начальным условиям

и(0) = и0, и'(0) = и ,

п

и" (0) = и2 _£(А2и2 + А1и1 + А0и0 + I(0)¥г )<г .

г=1

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Если выполнены условие А) и соотношения

{А2и2 + Аи1 + А0и0 + = 0, * = 1, ..., п,

то задача Коши (5)-(6) имеет единственное классическое решение, которое может быть восстановлено по соответствующим формулам.

Классическое решение задачи Коши -Дирихле. Вернемся к исходной задаче (1)-(3). Ес-

ли задача Дирихле (4) имеет ненулевые решения, то есть а е ст(Л), то оператор В = Л _ а является

фредгольмовым. Пусть {ф (х)}гп=; - базис пространства решений задачи (4). В качестве базиса ядра оператора Во = Л _ а выберем функции 1

(Х ) =

ка(а _ (3)

ф, (х), 7 = I, ..., п ,

тогда

{Л2< = (кЛ(Л _ ()ф, (х), (х)\, = 5. .

Последнее равенство означает, что длины всех жордановых цепочек равны 1, поэтому в соответствии с теоремой 2 получаем следующую теорему.

Теорема 3. Пусть а е ст(Л) , тогда задача Коши - Дирихле имеет единственное классическое решение при выполнении условий (/(0, х) + ка(а _ (3)и2 (х) +

+ 7а2и1 (х) _ ка3и0 (х), ф, (х)^ = 0, , = 1,...,п.

Замечание 2. Если а <£ <г(Л), то исходная задача (1)-(3) сводится к задаче Коши (5)-(6) с непрерывно обратимым оператором В . Последняя имеет единственное обобщенное решение вида

и(г) = В ~15(г) о е(г) о ~(г),

(17)

где е(г) - фундаментальная оператор-функция дифференциального оператора Ь3 (5(г)), определяемая следующим равномерно сходящимся на всей числовой оси по норме пространства Ь(Е2) рядом:

е(г) = 2 Ск

г

к+2

к=0

(к + 2)!

С}+: с кЕ2 ) -

последовательность ограничен-

^к)к=1

ных операторов, заданная рекуррентным соотношением

Ск = А2В-1Ск_1 + АгВ-1Ск_2 + А0В-1Ск_3, к > 1,

С_2 = С_1 = 0, с0 = I.

Решение (17) представляет собой регулярную обобщенную функцию

и(г) = и(г Щ(г),

где и (г) е С3 ([0,+то), Е1) совпадает с классическим решением задачи Коши (5)-(6).

Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Rivera, J. E. M. Regularizing Properties and Propagations of Singularities for Thermoelastic Plates / Jaime E. Munoz Rivera, Luci Harue Fatori // Math. Meth. Appl. Sci. - 1998. - V.21. - P. 797821.

2. Новацкий, В. Динамические задачи термоупругости / В. Новацкий. - М.: Мир, 1970.

3. Купрадзе, В. Д. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости / В. Д. Купрадзе, Т. Г. Гегелия, М. О. Башелей-швили, Т. В. Бурчуладзе. - М.: Наука, 1976.

4. Фалалеев, М. В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в банаховых пространствах / М. В. Фалалеев // Сиб. мат. журн. - 2000. -Т.41, №5. - С. 1167-1182.

5. Sidorov, N. Lyapunov-Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsyn and M. Falaleev. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002.

6. Владимиров, В. С. Обобщенные функции в математической физике. - М.: Наука, 1979.

7. Орлов, С. С. Классические и обобщенные решения вырожденного дифференциально-операторного уравнения третьего порядка в банаховых пространствах / С. С.Орлов // Вестник Бурятского государственного университета. Математика и информатика. - 2008. - Вып. 9. -С. 84-90.

8. Вайнберг, М. М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг, В. А. Треногин. - М.: Наука, 1969.

9. Орлов С.С. Классические решения вырожденного дифференциально-операторного уравнения третьего порядка в банаховых пространствах / С. С. Орлов // Известия Иркутского государственного университета. Серия «Математика». - 2007 - Т.1, №1. - С. 205-211.

10. Логинов, Б. В. Обобщенная жорданова структура в теории ветвления / Б. В. Логинов, Ю. Б. Русак // Прямые и обратные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных и их приложения. - Ташкент: ФАН, 1978. - С.133-148.

УДК 62.53.001+004.4242 И.А. Асламов,

научный сотрудник Лимнологического института СО РАН (г. Иркутск),

тел. 8(3952)423299, ilya_aslamov@bk.ru

М.М. Макаров,

научный сотрудник Лимнологического института СО РАН. (г. Иркутск),

тел. 8(3952)423299, mmmsoft@fromru.com

АВТОМАТИЗИРОВАННЫЙ ПРОГРАММНО-АППАРАТНЫЙ КОМПЛЕКС ДЛЯ КУЛЬТИВАЦИИ ДИАТОМИЙ В МИКРОМАСШТАБЕ

I.A. Aslamov, M.M. Makarov

THE AUTOMATED HARDWARE-SOFTWARE COMPLEX FOR DIATOMS CULTIVATION IN THE MICROSCALE

Аннотация. Для исследования физических факторов, влияющих на рост и размножение диатомовых водорослей, разработана комплексная методика культивирования одноклеточных водорослей, включающая инкубатор для культивирования микроводорослей с автоматическим регулированием температуры и освещения и про-

грамму экспрессного автоматического подсчета клеток по фотографиям ячеек планшета. Выполнена верификация разработанной методики с ручным подсчетом клеток. Приведены результаты исследований с использованием разработанного комплекса.