Задача Хольмгрена для многомерного эллиптического уравнения с двумя сингулярными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

2020 Математика и механика № 63

УДК 517.956.22 М8С 35А08, 35:25, 35:70, 35:75

Б01 10.17223/19988621/63/5

Т.Г. Эргашев, Н.Д. Комилова

ЗАДАЧА ХОЛЬМГРЕНА ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ СИНГУЛЯРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Основные краевые задачи для двумерного и трехмерного эллиптических уравнений с двумя сингулярными коэффициентами в конечной и бесконечной областях изучались многими авторами, однако исследование задачи Хольмгрена ограничивалось двумерным случаем. Настоящая работа посвящена нахождению единственного решения задачи Хольмгрена для многомерного эллиптического уравнения с двумя сингулярными коэффициентами в области, ограниченной в одной четверти пространства. Используя свойства одного из фундаментальных решений, построена функция Грина и с помощью известной формулы разложения для гипергеометрической функции Аппеля от двух переменных решение поставленной задачи в конечной области, ограниченной с двумя перпендикулярными гиперплоскостями и четвертью многомерной сферы, найдено в явном виде.

Ключевые слова: многомерное эллиптическое уравнение с двумя сингулярными коэффициентами; задача Хольмгрена; фундаментальное решение; формула Гаусса - Остроградского; функция Грина.

Известно, что теория краевых задач для вырождающихся уравнений и уравнений с сингулярными коэффициентами является одним из центральных разделов современной теории уравнений в частных производных, которые встречаются при решении многих важных вопросов прикладного характера [1, 2]. Подробную библиографию и изложений исследований основных краевых задач для вырождающихся уравнений различного типа, в частности для двумерных эллиптических уравнений с сингулярными коэффициентами, можно найти в монографиях [3-5].

Исследованию краевых задач для многомерных (более двумерных) эллиптических уравнений с сингулярными коэффициентами посвящено сравнительно мало работ. Как известно, для эллиптического уравнения с одним сингулярным коэффициентом в конечной области рассматриваются две основные (классические) задачи: задача Дирихле и задача N (Хольмгрена, по имени ученого, впервые исследовавшего такую задачу для уравнения Лапласа). В 1937 году С. Агостинелли [6] рассмотрел задачу Дирихле для трехмерного уравнения с одним сингулярным коэффициентом

2а,

ихх + их х + их х +--их = 0, 0 < 2а < 1,

х1х1 х2 х2 Х3 х3 Х1 1

1

в области, ограниченной в полупространстве х1 > 0, однако в 1949 году М.Н. Олевский [7] обнаружил ошибку в исследованиях С. Агостинелли и объявил в явном виде решение задачи Дирихле в многомерном полушаре для более общего многомерного уравнения

т 2а

У ихх +—1 их = 0, 0 < 2а1 < 1, т > 2, (1)

¿—I хкхк у. х1 ' 1 ' ' 4 '

к=1 -*1

а решение задачи Хольмгрена для уравнения (1) в полушаре найдено совсем недавно [8]. В работе [9] построены фундаментальные решения уравнения (1) и найдены решения внешних задач Дирихле и Неймана в бесконечной области (в полупространстве х1 > 0). В настоящее время известны фундаментальные решения [10, 11] для многомерного уравнения Гельмгольца с одним сингулярным коэффициентом

т 2а

У и х +—1 и + 1и = 0 , 0 < 2а, < 1, 1 е Я, т > 2.

хкхк „ х1 1 к=1 Л1

Следует отметить, что в двумерном случае фундаментальные решения уравнения (1) были известны еще в первой половине прошлого столетия и они успешно использованы при решении основных краевых задач и построении теории потенциала для этого уравнения [3-5]. Кроме того, работа [12] посвящена исследованию задачи Трикоми для трехмерного уравнения смешанного типа с одним сингулярным коэффициентом.

Рассмотрим уравнение

т 2а 2а

Я(яа) (и) :=У ихх + ^их + ^ их + 1и = 0 (Н )

а^2 V / хкхк „ х1 „ х2 4 '

к=1 -Ч 2

в области Ят+ ={х: х1 > 0, х2 > 0} , где х := (х^...,хт), т > 2; а1, а2 и 1 — действительные числа, причем 0 < 2а1,2а2 < 1.

При 1 = 0 фундаментальные решения уравнения (Н ) в случаях т = 2 и т = 3 построены в работах [13] и [14] соответственно, а при наличии 1 и при любой размерности уравнения - в [15]. Оказывается, все фундаментальные решения уравнения (Н ) при 1 = 0 выражаются через гипергеометрические функции Аппеля двух переменных. Используя известную формулу разложения [16] функций Аппеля по гипергеометрическим функциям Гаусса, в случае т = 2 и 1 = 0 решены основные краевые задачи для уравнения (Н ) в конечной [17] и бесконечной [18,19] областях, а в трехмерном случае (т = 3, 1 = 0) задачи Дирихле и Дирихле - Неймана исследованы лишь в конечной области [14, 20]. Отметим, что в работах [21-24] исследованы потенциалы двойного слоя для уравнения

Н(2, 0) (и) = 0.

а^2 V /

Недавно появились работы [25, 26], в которых построены и исследованы фундаментальные решения для следующих многомерных уравнений Гельмгольца с тремя и более сингулярными коэффициентами

т 2ц 2 а2 2а3

У их.х. +—к их +—2 их +—3 их +1и = 0,

I I 1 2 3

г =1 -Ч 2 л3

т ( 2 а ^

ихх ]+1и =

где а1,...,ап и 1 - действительные числа, причем 0 < 2ак < 1, к = 1,2,...,п .

Настоящая работа посвящена исследованию задачи Хольмгрена для уравнения

т2 2

Н(т,0) (и) :=У ихх + 2а1их + 2а2их = 0, т > 2,0 < 2а1,2а2 < 1, (2)

а^2 V / /—I хкхк „ х1 „ х2 ' ' ^ 2 ' 4 '

к=1 Л1 2

в конечной односвязной области, ограниченной в Я^.

1. Постановка и единственность решения задачи

Пусть О с R- область, ограниченная двумя областями D1 = {x: x1 = 0,

0 < x2 < a2, -bk < xk <ck, k = 3, m}, D2 = {x : x2 = 0, 0 < x1 < a1, -bk < xk <ck,

k = 3, m} и поверхностью S, которая пересекается с D1 и D2, где

aj, a2, bk, ck = const > 0, k = 3, m Линии пересечения обозначим через ^ = S n D1 и /2 = S n D2.. Поверхность S пересекает оси Ox1 и Ox2 при xj = a > 0 и x2 = b > 0 соответственно.

Введем следующие обозначения:

= ( x

!)б Rm-j, x2 =( xj, x3, x4..., xm )б Rm-1;

ёх .— ёХ2 • • .^Х^, — ёХ2 ёХз ^Х^ , ^Х2 — ёХ1 ^Х^ ^Х^ ...ёХт;

X0 —(0, Х2, Х3,..„ Хт ) Яи , Х2° — (А X3,•••, Хт ) Ят -

Задача Хольмгрена. Найти в области ^ регулярное решение и (х) уравне ния (2), удовлетворяющее условиям

2а1 ди (Х; 4)

дх

дм (x; ^)

dx

2

= vi (xxi), xxi6 Di;

= V2 (x2 ), x2 6 D2 ;

(3)

(4)

x2 =0

ии = ф(x), x 6 S,

(5)

где v1 (Х1), v2 (Х2) и ф (х) - заданные непрерывные функции, причем функции v1 (X) иу2 (Х2) могут обращаться в бесконечность порядка меньше, чем 1 - 2а1 и 1 - 2а2 на краях областей Д и Б2 соответственно.

Докажем единственность решения поставленной задачи. Для этого рассмотрим тождество

Х2а1 х22а2 \иИ^ (м)-мИ^ (и) — V —

ч 2 \ а1а2 v > а1а^ /J дХ

к—1 СХк

Интегрируем обе части последнего тождества по области ^, расположенной в Я^ и пользуясь формулой Гаусса - Остроградского, получим

\ Х2а1 х2а2 ГиИ(я!,0) (м) - мИ(я!,0) (и)! ёх —

J 1 2 \ а^2 V / а^2 V /J

2а, 2а2 I dw дм

xj 1 x2 21 и--w-

dxk dxk

m

j x,2aj x2a2 X

г k=1

dw дм | , ч и--w-I cos (n, xk)

dxk

dxk

d Г,

где Г - граничная поверхность области п - внешняя нормаль к поверхности Г. Нетрудно убедиться в справедливости следующего равенства:

j x2aj x22a2 ^im?(и )dx=-i xi2aj x22a2 XI дг Idx+Xj

k=1 Vdxk

d ( 2a, 2a2 дм |

-1 xj 1 x2 2 м-I dx.

k=1 Qdxk I dxk )

x =0

Пусть и - решение уравнения (2). Применяя опять формулу Гаусса - Остроградского, получим

| ^ х-2 £ = / х2а & ф (5 +

П к=Адхк) 5 дп

+ 1 х22"2 VI (х )и (х0 ) !х1

х12а1 V2 (х2 )и (х0 ) !х2 . (7)

О 02

Если теперь рассмотреть однородный случай задачи Хольмгрена (т.е. ф (х) = 0, V (х1) = 0, V (х2) = 0 ), то из (7) получается

Г х?а1 х22а2 £ Г-^ I2 с!х = 0.

П 1 2 ¿1 )

п

Отсюда следует, что и (х) = 0 в П. Тем самым доказана единственность решения задачи Хольмгрена.

2. Существование решения задачи Хольмгрена

Существование решения задачи Хольмгрена докажем методом функции Грина. Для этого положим, что а1 = а2 = Ьк = ск, к = 3, т , и 5 является четвертью сферы с центром в начале координат и радиусом Я, т.е. 5 = {х:х1 >0,х2 >0,х12 +... + х2т = Я2}. Кроме того, для определенности положим

т > 2.

Определение. Функцией Грина задачи Хольмгрена для уравнения (2) называется функция 00 (х; 4), удовлетворяющая следующим условиям:

1) внутри области О , кроме точки 4, эта функция есть регулярное решение уравнения (2);

2) она удовлетворяет условиям

|х2а1 д^0(х; 4) 4

= 0, ^ д00 (х; 4)

х, =0 V дх2

= 0, 00 (х; 4)|5 = 0; (8)

х2 =0

3) функция может быть представлена в виде

О0 (х; 4 ) = д0 (х; 4) + ^ (х; 4), (9)

где д0 (х;4) - фундаментальное решение уравнения (2), определенное формулой [15]:

(х;4 ) = Т0г ~2р° (Рэ, а1, а2 ;2 а1,2 а2; ^ °2),

р0 = т-1 + а + а2, у0 = 22в0-т Г(Ро)Г(а1)Г(а2) , (10)

2 п 1 (2а1 )1 (2 а2)

(% % )• ~ 1 Г1 4 х141 _ 1 Г2 4х242 4 :=( 41,...,4т ) ; °1 = 1--7 =--°2 = 1--7 = —

2 2 ' 2 2 2 Г Г Г Г

= £( -4к)2, г2 =(х +4г)2 + £ (хк -4к)2,= 1,2,

к=1 к=1,к*г

^ (а,Ь„Ь2;Cl,C2;х,у)= £ (a),к+((ь1 )к((^ ху1 , И + |у < 1, с„C2 *0,-1,-2,.... k,l=0 к!1 !(с1 )к (с2 )1

- гипергеометрическая функция Аппеля двух переменных [27], а (кесть символ Похгаммера: (к)0 = 1, (к) =Г(„к+_У1, V е N :={1,2,...}; Г(г) - гамма-

V Г(к)

функция. Здесь (х; 4) - регулярное решение уравнения (2) везде внутри О . Нетрудно видеть, что

,2а1 (х;4)

дх1

= 0, | х

2а2 д% (х; 4)

дх2

= 0.

Построение функции Грина сводится к нахождению ее регулярной части I (х; 4), которая в силу (8) и (9) должна удовлетворить условиям

2а1 д^0 (х; 4) 1

йх1

2а2 д^0 (х; 4)

дх2

х2 =0

х1 =0 2а2 д% (х; 4)

2 дх2

2а1 д?0 (х; 4)

1 дх1

х. =0

,( х; 4 )\5 = ( х; 4)\5 .

х2 =0

Для области П, ограниченной плоскостями х1 = 0, х2 = 0 и четвертью сферы 5, функция Грина задачи Хольмгрена имеет вид

00 (х;4 ) = % (х;4)-

Я

2Рс

40 (х;4)

где

Я2

р2 = 42 + 42 +... + 4т, 4 = ( 41,...4т), 4к = — 4к.

р2

Пусть 4 е П. Вырежем из области П т-мерный шар малого радиуса е с центром в точке 4 и оставшуюся часть П обозначим через Пе, а через Се -т-мерную сферу вырезанного шара. Используя формулу (6), получим

2 1 Г х1 ^

2

дОъ.- 0

0 Я 00 я

дп дп

!Сг = -| х^ х22а2 ф (5 -

-{Vl (х1 )хГ2 00 (х0;4) !х1- {V2 (х1 )х12а100 (х0;4) !х2. (11)

О в2

В равенстве (11) совершим предельный переход при е ^ 0. Предварительно преобразуем левую часть (11) в виде суммы трех интегралов:

I = Г х12а1;

до0 - 0 ди*.

0 я 00 я

дп дп

!Се = Л +12 +13

(12)

где

т Г 2а. 2а2 . ч д?0 (X, 4) ^

I = Г х1 1 х2 2 и0(х)-дп- е

12 — [ 1 [ Х1 1Х2 2 и0(х) ( ёСе

V Р) с дп

1з —-/х^1 х2а2(Х,4 А^1 ёСЕ.

дп

Используя формулу дифференцирования для гипергеометрических функций Аппеля

д'+^2 (а¿2;с^с2;о,,С2)

до^ до 2

(а)+у (¿1) (¿2 )■

(с1 X (с2 ),

F2 (а + / + у,Ь, +1,Ь2 + у;с1 + /,с2 + у;о1,о2) (13)

и смежное соотношение

о1 — (а +1,Ь1 +1, Ь2; с1 +1, с2; о1, о2) + о2 (а +1,Ь1,Ь2 +1;с1, с2 +1; о1, о2) — С1 С2

— ^г (а+1, V ¿2; cl, с2; о2)-е2 (а, ^ Ь2; cl, с2; о2), (14)

вычислим производную по внешней нормали к границе области ^ формулой

дп(п, Хк). (15)

дп к—1 дхк

т-т ^ дя° да° „

Подробно остановимся на вычислении —и —11. Действительно, используя

дХ1 дХ2

формулу дифференцирования (13), получим

— -2Р°у° (X -41)г~2Р°-2^ (в°,а,,а2;2а,2 с^;о,,02)-

дХ1

-2в°Т° (х -4,)г~2Р°-2 ^о^ (1+в°,1 + а,,а2;1 + 2 а,,2а2;о,,02)-2 1

-2в°у° (х -4,)г-2в°-2 ^о2^ (1+в°,а,,1 + а2;2 а,,1 + 2 а2;о,,02), 2 2

— -2в°у° (Х2 -42)г~2Р°-2^ (в°,а,,а2;2а,,2 а2;о,,02) -

дх2

-2в°у° (Х2 -42)г~2р°-2 ^о^ (1+в°,1 + а,,а2;1 + 2 а,,2а2;о,,02)-2 1

-2в°у° (Х2 -42)г~2Р°-2^о2^ (1+в°,а,,1 + а2;2 а,,1 + 2 а2;о,,02). 2 2

Отсюда в силу смежного соотношения (14) будем иметь

д9°

дх,

— -2в°Т° (х -4,)г~2Р°-2^ (1+в°,а,,а2;2а,,2 а2;о,,02)-

-2в°у°4,г~2Р°-2(1+Р°,1 + а,,а2;1 + 2 а,,2 а2;о,,о2); (16)

д% дх2

= -2воYo (Х2 -42)r~2Ро-2F (1+Ро,а,,а2;2а,,2 а2;а,,а2)

-2Р0у042г 2р° 2^2(1+р0,а1,1 + а2;2 а1,1 + 2а2;а1,с2). (17)

Аналогично вычисляются производные по переменным х3,х4,...,хт :

^ = -2Р0У0 (к -4к К2Р°~2Р2 (1+Р0,а1,а2;2а„2а2;о„^), 3 < к < т. (18)

дхк

Подставляя (16) - (18) в (15), получим искомую нормальную производную

д% (Х 4)

= 2Р о Yo r ~2р° F2 (l+Po, а,, а2;2 а, ,2 а2; а,, ^ ))

д

inl

^ iuiu z v i j z ? 1 ^ z / ^

дп дп.

-2РоYоr~2Ро-24iF (1+Ро,1 + а,,а2;1 + 2 а,,2а2;а,,а2)cos(п;х,)--2РоYor~2Ро-242F (l+Ро,а,,1 + а2;2 а,,1 + 2 а2;а,,а2)cos(п;Х2). (19) Аналогично вычисляется производная по нормали и от функции qo (х; 4):

Г

ln-

д^ 4) = 2РоYo^2РоF (l+Ро,а,,а2;2а,,2а2;а,,а)) дп дп

-2Ро Y о Г ~2Ро -2 4i F (1+Ро,1 + а,, а2;1 + 2 а,,2 а2; а,, С2) cos (п; х,) --2РоYоr~2Po-242F2 (l+во,а,,1 + а2;2 а,,1 + 2 а2;а,,а)cos(п;Х2),

(2о)

где

а1 = 1 - а2 = 1 -

22

=z

k=1

22

xk 2 4 k

r2 =

' R2 4 V

+ Z

k=1, k

< R2 4 ^

xk 2 4 k P

i = l, 2.

Р )

Принимая во внимание (19), перепишем интеграл 11 в виде

Т С 2а1 2а, , Л д% (х; 4) т , т , т

11 =1 х1 1 х2 2 и0(х)-^-!Се = 14 + ^ +16

-1 дп

где

inl

dC„

14 = 2Р0У0 Г х12а1 х2а2и0 (х)г 2Р° Р2 (1+Р0 , С^ а2;2а1,2 а2; ^ °2 ) С дп [_

15 =-2Р0 у0 Г х12а1 х22 и0( х)г ~2р° 241Р2 (1+Р0,1 + а1,а2;1+2 а1,2 а2;а1,а2 )ео8(п; х1 )!Се,

Се

16 =-2Р0у0 Гх2а1х^112и0(х)г~2в|)-242F2(1+Р0,а1,1+а2;2 а1,1+2 а2;а1,а2)ео8(п;х2)!Се.

Се

В интеграле 14 переходим в обобщенную сферическую систему координат

х = 41 + еФ^ хт = 4т + еФт ,

2

2

где Ф1 = cosФ2 = sinф1 cosф2, Ф3 = sinф1 sin92cosф3, ...,

Фт-1 = sin Фlsin Ф2- sin Фт-2 COs Фт-1 , Фт = sin Ф1«П Ф2- sin Фт-2 sin Фт-1 [е > 0, 0 < Ф1 < П,...,0 < Фт-2 < п,0 < Фт-1 < 2п]. Тогда мы имеем

2п п п

A = 2Р0Т0е-2Р°-2+m J ^m-1 JsinФт-2АФт-2 Jsi^ Фт-3АФт-3-0 0 0

п

...J(( + еФ1 )2а1 2 + еФ2)2а2 «0 ((1 + еФ1,...,4т + еФт) (е)sinm-2 ф^,

0

(

гДе F2 (е,Ф) := F2

V

r^ = ( + еФг(Ф))2 + е2 X [ (Ф))k]2, i = 1,2.

k=1, k

Для полного вычисления /4 сначала вычислим F2 (е, ф). Используя последовательно формулу разложения [16]

F (a, b1, b2; С1, С2; х, ^ ) = ¿( a}({\ )k(('))k х k=0 k !(c1 )k (c2 )k

xxk ykF (a + k, b1 + k; c1 + k; х )F (a + k, b2 + k; c2 + k; y) и известную формулу Больца [27]

2 2 ^

1 + ß0, dj, а2 ;2 (Xj,2 а2;1 - ,1 - %

F2 F2

V С. С. у

F(а,b;c;z) = (1 - z)-bF^c - a,b;c;Jj:

получим

^2 (е,ф):= s2(1+2(2r^ r^ X (2 ) (2 ) k .

k=0 (2 а1)(2 а2 )kk!

(1 + ßo ) (а1 ) (а2) Г s2 - r2 ^k f-2 -2 ^

V 1s J

F - Г

2s

V '2s

xF

2

2 а1 -ß0 - 1,а1 + k;2а1 + k;1 -i

(a )k (b )k

F

2

2 а2 -ß0 - 1,а2 + k;2 а2 + k;1 --

где F (a, b; c; z) = X V, k , .k zk - гипергеометрическая функция Гаусса [27].

k=0 (c)kk! отрим п

мулу суммирования [27]

Теперь рассмотрим предел limе 2ai 2a2F2 (е,ф). Применив несколько раз фор-

будем иметь

, ч r(c)r(c - a -b)

F (a, b; c;1)= -'-, Re(c - a - b) > 0,

V ' r(c - a)r(c -b)

2а! )-2а2 Г(2g)Г(2а2)Г(m/2)

limf-2( -2а2f2 (s,<p):=(2^ п (2^)

s^0

Г(а )Г(а2)Г(1 + ß0) •

(21)

Нетрудно вычислить, что

| <*Фт_11SinФт-2^m_2 j^ Фт_3^m_3......jSin"-2 ФА

2n

m/2

(22)

г 1 т^ /

0 0 0 0 Г(т/2) Принимая во внимание (21) и (22), а также имея в виду значения Р0 иу0(см. формулу (10)), получим

(23)

lim I4 = u (4).

e^Ü

Аналогичным образом можно доказать, что

lim I5 = lim I6 = lim I2 = lim I3 = Ü.

e^Ü

e^Ü

e^Ü

e^Ü

(24)

Таким образом, в силу (12), (23) и (24) левая часть равенства (11) при переходе к пределу е ^ 0 стала известной:

lim I = lim j x2a1 xf2

e^Ü e^0 J

u ögü _ _ duÜ

UÜ Я GÜ Я

dn dn

dCe = UÜ (4).

(25)

Теперь займемся правой частью равенства (11). Рассмотрим интеграл

Г х2а1 х22а2 Ф (5 ^ 4) .

Поскольку на сфере S выполняются равенства r = r

r = r , r = r

с1 = с1 и с2 = с2, то, с учетом формул (19) и (2Ü), после нескольких элементар ных преобразований, найдем

G (x, 4)

dn

= 2ß0 Yü F2 ( + ßü,a1,a2;2 a1,2a2; с2 )

p2 _ R 2

Rr2+2ßo .

(26)

Подставив теперь (25) и (26) в формулу (11), получим решение задачи Хольм-грена с условиями (3) - (5) для уравнения (2) в явном виде:

2 „2

,(4) = 2ßoY0 j*,2a,x;a"F2 (1 + ßo,a1,a,:2a,,2a2;с,.a,)^^Ф(S)dS _

l-

2a9

-Yü I x2 2

"y ü

Г 2ai

j x 1

F (ßo,a2;2a2; с0) _ F (ßo,a2;2a2; с2)

x 2ßo x 2ßo

F (ßo,a1;2a1; с°0) F (ßo,a1;2a1; с0 )"

X,

2ßo

X.

2ßo

Rr 2+2ß0 v (xj )d _

V (X2

(27)

где

X,2 = 42 + I (x _ 4i )2

i =1, i ф k

_m f v £ Л2 1 _m m

X2 = II [ R _ xf) + R2 II II x242 _ (m _ 2) R 2 k = 1,2.

i=1 i ф k V Л / R i=1 k i=1 i ф

г=1,i&к^ ' Л i=1,г#к у'=1,'&

Формула (27), а с ней и все доказательство, требует, чтобы т > 2. Однако формула (27) верна и для т = 2.

S

2

Таким образом, доказана

Теорема. Существует единственное решение задачи Хольмгрена с условиями (3) - (5) для уравнения (2) при m > 2 и оно представляется формулой (27).

ЛИТЕРАТУРА

1. Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: ИЛ, 1961. 208 с.

2. Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука, 1973. 712 с.

3. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966. 292 с.

4. Gi/bert R.P. Function Theoretic Methods in Partial Differential Equations. New York; London: Academic Press, 1969. 308 р.

5. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.

6. Agostine//i С. Integrazione dell'equazione differenziale мxx + муу + м22 + x~\x = f e

problema analogo a quello di Dirichlet per un campo emisferico // Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. 1937. V. 26. No. 6. P. 7-8.

7. Олевский М.Н. Решения задачи Дирихле, относящейся к уравнению Ам + px-\x = f в

полусферической области // ДАН СССР. 1949. Т. 64. № 6. С. 767-770.

8. Эргашев Т.Г. Задача Хольмгрена для многомерного эллиптического уравнения с одним сингулярным коэффициентом // Бюллетень Института математики. 2019. № 2. С. 23-32.

9. Салахитдинов М.С., Хасанов А. К теории многомерного уравнения Геллерстедта // Узбекский математический журнал. 2007. № 3. C. 95-109.

10. Уринов А.К. Фундаментальные решения для некоторых уравнений эллиптического типа с сингулярными коэффициентами // Научный вестник Ферганского государственного университета. 2006. № 1. С. 5-11.

11. Mav/yaviev R.M., Garipov I.B. Fundamental solution of multidimensional axisymmetric Helmholtz equation // Complex Variables and Elliptic Equations. 2017 V. 62. No. 3. P. 287296. http://dx.doi.org/10.1080/17476933.2016.1218853.

12. Назипов И.Т. Решение пространственной задачи Трикоми для сингулярного уравнения смешанного типа методом интегральных уравнений // Изв. вузов. Математика. 2011. № 3. С. 69-85.

13. Салахитдинов М.С., Хасанов А. Об одной краевой задаче для обобщенного уравнения Трикоми // Известия АН УзССР. Серия физ.-мат.наук. 1979. № 6. С.29-33.

14. Karimov E.T., Nieto J.J. The Dirichlet problem for a 3D elliptic equation with two singular coefficients // Computers and Mathematics with Applications. 2011. No. 62. P. 214-224. http:dx.doi.org/10.1016/j.amc.2012.09.013.

15. Ergashev T.G., Hasanov A. Fundamental solutions of the bi-axially symmetric Helmholtz equation // Uzbek Mathematical Journal. 2018. No. 1. P. 55-64.

16. Bмrchna// J.L., Chaмndy T.W. Expansions of Appell's double hypergeometric functions // Quart. J. Math. (Oxford). 1940. Ser. 11. P. 249-270.

17. Хасанов А. Об одной смешанной задаче для уравнения sgny\y\" мxx + xnм)y = 0 // Известия АН УзССР. Серия физ.-мат.наук. 1982. № 2. С. 28-32.

18. Аманов Д. Некоторые краевые задачи для вырождающегося эллиптического уравнения в неограниченной области // Известия АН УзССР. Серия физ.-мат. наук. 1984. № 1. С. 8-13.

19. Аманов Д. Краевая задача для уравнения sgny |y|m мxx + xnм)y = 0 в неограниченной области // Известия АН УзССР. Серия физ.-мат.наук. 1984. № 2. С. 8-10.

20. Sa/akhiddinov M.S., Karimov E.T. Spatial boundary problem with the Dirichlet-Neumann condition for a singular elliptic equation // Applied Mathematics and Computation. 2012. V. 219. P. 3469-3476. http:dx.doi.org/10.1016/j.amc.2012.09.013.

21. Srivastava H.M., Hasarnv A., Choi J. Double-layer potentials for a generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation // Sohag J. Math. 2oi5. V. 2. No. l. P.l-io.

22. Berdyshev A.S, Hasamv A., Ergashev T.G. Double-layer potentials for a generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation. II // Complex Variables and Elliptic Equations. 2oi9. P. l—19. https://doi.org/io.io8o/17476933.2oi9.1583219

23. Эргашев Т.Г. Третий потенциал двойного слоя для обобщенного двуосесимметрическо-го уравнения Гельмгольца // Уфимский математический журнал. 2oi8. Т. io. Вып. 4. С. ill-122. DOI:io.i3io8 /2oi8-io-4-11i.

24. Эргашев Т.Г. Четвертый потенциал двойного слоя для обобщенного двуосесимметри-ческого уравнения Гельмгольца // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2oi7. № 5о. С. 45-56. DOI io.i7223/1998862i/5o/4.

25. Ergashev T.G. On fundamental solutions for multidimensional Helmholtz equation with three singular coefficients // Computers and Mathematics with Applications. 2oi9. V. 77. P. 69-76. https://doi.org/io.ioi6/j.camwa.2oi8.o9.oi4.

26. Уринов А.К., Эргашев Т.Г. Конфлюэнтные гипергеометрические функции многих переменных и их применение к нахождению фундаментальных решений обобщенного уравнения Гельмгольца с сингулярными коэффициентами // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2oi8. № 55. С. 45-56. DOI io.17223/1998862i/55/5.

27. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. М.: Наука, 1973. 296 с.

Статья поступила 3o.ii.2oi9 г.

Ergashev T.G., Komilova N.J. (2о2о) HOLMGREN PROBLEM FOR MULTIDIMENSIONAL ELLIPTIC EQUATION WITH TWO SINGULAR COEFFICIENTS. Vestuik Tomskogo gosudarstvemogo umversiteta. Matematika i mekhamka [Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics]. 63 pp. 47-59

DOI io.17223/1998862i/63/5

Keywords: multidimensional elliptic equation with two singular coefficients; Holmgren problem; fundamental solution; Gauss - Ostrogradsky formula; Green function.

Fundamental solutions of the two-dimensional elliptic equation were known in the first half of the last century and they were successfully used in solving the basic boundary value problems and constructing the theory of potential for this equation. Relatively few papers have been devoted to the study of boundary value problems for multidimensional (greater than two-dimensional) elliptic equations with singular coefficients. For example, main boundary value problems for two-dimensional and three-dimensional elliptic equations with two singular coefficients in finite and infinite domains have been studied by many authors; however, the study of the Holmgren problem was limited to the two-dimensional case. This work is devoted to finding a unique solution to the Holmgren problem for a multidimensional elliptic equation with two singular coefficients in a quarter of a ball. Using the "abc" method, the uniqueness for the solution of the Holmgren problem is proved. Applying the method of Green's function, we are able to find the solution of the problem in an explicit form. Moreover, the decomposition formula, formula of differentiation, and some adjacent relations for Appell's hypergeometric functions were used in order to find the explicit solution for the formulated problem.

AMS Mathematical Subject Classification: 35Ao8, 35J25, 35J7o, 35J75

Tuhtasm G. ERGASHEV (Candidate of Physics and Mathematics, V.I. Romanovskiy Institute of Mathematics, Tashkent, Uzbekistan), E-mail: ertuhtasin@mail.ru

Nigora J. KOMILOVA (Fergana State University, Fergana, Uzbekistan). E-mail: nigora.komilova@bk.ru

58

ТГ. Эргawев, H.fl. KoMunosa

REFERENCES

1. Bers L. (1958) Mathematical Aspects of Subsonic and Transonic Gas Dynamics. New York: Dover Publications Inc.

2. Frankl F.I. (1973) Izbrannye trudy po gazovoy dinamike [Selected works on gas dynamics]. Moscow: Nauka.

3. Smirnov M.M. (1966) Vyrozhdayushchiesya ellipticheskie i giperbolicheskie uravneniya [Degenerate elliptic and hyperbolic equations]. Moscow: Nauka.

4. Gilbert R. (1969) Function Theoretic Methods in Partial Differential Equations. New York, London: Academic Press.

5. Bitsadze A.V. (1981) Nekotorye klassy uravneniy v chastnykh proizvodnykh [Some classes of partial differential equations]. Moscow: Nauka.

6. Agostinelli C. (1937) Integrazione dell'equazione differenziale uxx + uyy +uzz +x_1ux = f e

problema analogo a quello di Dirichlet per un campo emisferico. Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. 6(26). pp. 7-8.

7. Olevskii M.N. (1949) Resheniya zadachi Dirikhle, otnosyashyeysya k uravneniyu Au + pxnlux = f dlya polusfericheskoy oblasti [Dirichlet problem solutions related to the

equation Au + px-lux = f for a hemispherical region]. Doklady Akademii nauk SSSR -

Reports of the Academy of Sciences of USSR. 64(6). pp.767-770.

8. Ergashev T.G. (2019) Zadacha Kholmgrena dlya mnogomernogo ellipticheskogo uravneniya s odnim singulyarnym koeffitsiyentom [Holmgren problem for a multidimensional elliptic equation with one singular coefficient]. Byulleten' Instituta matematiki - Bulletin of the Institute of Mathematics. 2. pp. 23-32.

9. Salakhiddinov M.S., Hasanov A. (2007) K teorii mnogomernogo uravneniya Gellerstedta [On the theory of the multidimensional Gellerstedt equation]. Uzbekskiy matematicheskiy zhurnal - Uzbek Mathematical Journal. 3. pp. 95-109.

10. Urinov A.K. (2006) Fundamental'nye resheniya dlya nekotorykh uravneniy ellipticheskogo tipa s singulyarnymi koeffitsientami [On fundamental solutions for the some type of the elliptic equations with singular coefficients]. Nauchnyy vestnik Ferganskogo gosudarstvennogo universiteta - Scientific Records of the Fergana State University. 1. pp. 5-11.

11. Mavlyaviev R.M., Garipov I.B. (2017) Fundamental solution of multidimensional axisymmetric Helmholtz equation. Complex variables and elliptic equations. 62(3). pp. 287296. http://dx.doi.org/10.1080/17476933.2016.1218853.

12. Nazipov I.T. (2011) Solution of the special Tricomi problem for a singular mixed-type equation by the method of integral equations. Russian Mathematics. 55(3). pp. 61-76. DOI: 10.3103/S1066369X1103008X.

13. Salakhiddinov M.S., Hasanov A. (1979) Ob odnoy kraevoy zadache dlya obobshennogo uravneniya Trikomi [On a boundary value problem for the generalized Tricomi equation]. Izvestiya Akademii Nauk UzSSR. Ser. fiz.-mat. nauk - Bulletin of the Academy of Sciences of the Uzbek SSR. Ser. of phys. and math. sciences. 6. pp. 29-33.

14. Karimov E.T., Nieto J.J. (2011) The Dirichlet problem for a 3D elliptic equation with two singular coefficients. Computers and Mathematics with Applications. 62. pp. 214-224. DOI: 10.1016/j.camwa.2011.04.068.

15. Ergashev T.G., Hasanov A. (2018) Fundamental solutions of the bi-axially symmetric Helmholtz equation. Uzbek Mathematical Journal. 1. pp. 55-64.

16. Burchnall J.L., Chaundy T.W. (1940) Expansions of Appell's double hypergeometric functions. Quart. J. Math. (Oxford).11. pp.249-270.

17. Hasanov A. (1982) Ob odnoy smeshannoy zadache dlya uravneniya sgn y|y|m uxx +xnuyy = 0

[On a mixed problem for the equation sgny|y|muxx + xnu = 0 ]. Izvestiya Akademii Nauk

UzSSR. Ser. fiz.-mat.nauk - Bulletin of the Academy of Sciences of the Uzbek SSR. Ser. of phys. and math. sciences. 2. pp. 28-32.

18. Amanov D. (1984) Nekotorye kraevye zadachi dlya vyrozhdayushchegosya ellipticheskogo uravneniya v neogranichennoy oblasti [Some boundary value problems for a degenerate elliptic equation in an unbounded domain]. Izvestiya Akademii Nauk UzSSR. Ser. fiz.-mat.nauk - Bulletin of the Academy of Sciences of the Uzbek SSR. Ser. of phys. and math. sciences. 1. pp. 8-13.

19. Amanov D. (1984) Krayevaya zadacha dlya uravneniya sgn y|y|m uxx +xnuyy = 0

[A boundary value problem for the equation sgnyly^u^ + xnuyy = 0]. Izvestiya Akademii

Nauk UzSSR. Ser. fiz.-mat.nauk - Bulletin of the Academy of Sciences of the Uzbek SSR. Ser. of phys. and math. sciences. 2. pp. 8-10.

20. Salakhiddinov M.S., Karimov E.T. (2012) Spatial boundary problem with the Dirichlet-Neumann condition for a singular elliptic equation. Applied Mathematics and Computation. 219. pp. 3469-3476. http://dx.doi.org/10.10167j.amc.2012.09.013.

21. Srivastava H.M., Hasanov A., Choi J. (2015) Double-layer potentials for a generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation. Sohag J. Math. 2(1). pp.1-10.

22. Berdyshev A.S, Hasanov A., Ergashev T.G. (2019) Double-layer potentials for a generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation. II. Complex Variables and Elliptic Equations. pp. 1-19. https://doi.org/10.1080/17476933.2019.1583219.

23. Ergashev T.G. (2018) Third double-layer potential for a generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation. Ufa Mathematical Journal. 10(4). pp. 111-121. D0I:10.13108/2018-10-4-111.

24. Ergashev T.G. (2017) Chetvertyy potentsial dvoynogo sloya dlya obobshennogo dvuosesimmetricheskogo uravneniya Gel'mgol'tsa [The fourth double-layer potential for a generalized biaxially symmetric Helmholtz equation]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika I mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 50. pp. 45-56. DOI 10.17223/19988621/50/4.

25. Ergashev T.G. (2019) On fundamental solutions for multidimensional Helmholtz equation with three singular coefficients. Computers and Mathematics with Applications. 77. pp. 69-76. https://doi.org/10.1016/jxamwa.2018.09.014

26. Urinov A.K., Ergashev T.G. (2018) Konflyuentnye gipergeometricheskie funksii mnogikh peremennykh i ikh primenenie k nakhozhdeniyu fundamental'nykh resheniy obobshchennogo uravneniya Gel'mgol'tsa s singulyarnymi koeffitsiyentami [Confluent hypergeometric functions of many variables and their application to finding fundamental solutions of the generalized Helmholtz equation with singular coefficients]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika I mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 55. pp. 45-56. DOI 10.17223/19988621/55/5.

27. Erdelyi A., Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F.G. (1953) Higher Transcendental Functions. 1. New York; Toronto; London: McGraw-Hill Book Company.

Received: November 30, 2019