Задача Дирихле для многомерного уравнения Гельмгольца с одним сингулярным коэффициентом Текст научной статьи по специальности «Математика»

2019 Математика и механика № 62

УДК 517.956.22 М8С 35Л08,35И5, 35:70, 35:75

Б01 10.17223/19988621/62/5

Т.Г. Эргашев, Н.М. Сафарбаева

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА С ОДНИМ СИНГУЛЯРНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ

Фундаментальные решения многомерного уравнения Гельмгольца с одним сингулярным коэффициентом в полупространстве построены недавно. Для вышеназванного эллиптического уравнения в конечной односвязной области изучается задача Дирихле. Используя свойства одного из фундаментальных решений, построена функция Грина, с помощью которой единственное решение поставленной задачи в конечной области, ограниченной многомерной полусферой, найдено в явном виде.

Ключевые слова: многомерное уравнение Гельмгольца с одним сингулярным коэффициентом, задача Дирихле, фундаментальное решение, формула Гаусса - Остроградского, функция Грина.

Известно, что теория краевых задач для вырождающихся уравнений и уравнений с сингулярными коэффициентами является одним из центральных разделов современной теории уравнений в частных производных, которые встречаются при решении многих важных вопросов прикладного характера [1, 2]. Подробную библиографию и изложений исследований основных краевых задач для вырождающихся уравнений различного типа, в частности для двумерных эллиптических уравнений с сингулярными коэффициентами, можно найти в монографиях [3-5].

При исследовании краевых задач для эллиптических уравнений всех (двух или более) размерностей с сингулярными коэффициентами важную роль играют фундаментальные решения данного уравнения. Фундаментальные решения двумерного эллиптического уравнения с одним сингулярным коэффициентом (уравнения Трикоми) были известны еще в первой половине прошлого столетия, и они успешно использованы при решении основных краевых задач и построении теории потенциала для этого уравнения. Для такого же уравнения с двумя сингулярными коэффициентами фундаментальные решения, которые выражаются через гипергеометрические функции Аппеля двух переменных, построены в [6] и, используя известные формулы разложения функций Аппеля двух переменных по гипергеометрическим функциям Гаусса, решения краевых задач найдены в явном виде.

Настоящая работа посвящается исследованию задачи Дирихле для одного сингулярного уравнения Гельмгольца. Фундаментальные решения двумерных и трехмерных уравнений Гельмгольца с двумя и тремя сингулярными коэффициентами соответственно построены в работах [7, 8], и эти фундаментальные решения применены к нахождению явных решений основных краевых задач для уравнения Гельмгольца с сингулярными коэффициентами [9-13]. К такому направлению исследований примыкают также работы [14, 15].

В недавно опубликованных работах [16-18] представлены фундаментальные решения для многомерных (более трехмерных) уравнений Гельмгольца с одним, двумя и тремя сингулярными коэффициентами соответственно. Как известно, фундаментальные решения уравнения Гельмгольца с сингулярными коэффициен-

тами выражаются через конфлюэнтную гипергеометрическую функцию, число переменных которой зависит от числа сингулярных коэффициентов уравнения. Для исследования свойств любой гипергеометрической функции многих переменных необходимы формулы разложения, позволяющие представить эту функцию многих переменных через бесконечную сумму произведений нескольких гипергеометрических функций с одной переменной, а это, в свою очередь облегчает процесс изучения свойств функций многих переменных. В [19] введен в рассмотрение новый класс конфлюэнтных гипергеометрических функций многих переменных, через которые выписываются фундаментальные решения для одного многомерного уравнения Гельмгольца с несколькими сингулярными коэффициентами. Доказана формула разложения для нововведенных конфлюэнтных функций, дающая возможность определить порядок особенности найденных фундаментальных решений.

Настоящая работа посвящена к исследованию задачи Дирихле для уравнения

т-1 2 в

(и) := I иХкХк + иуу + ^ иу - X2и = 0 (1)

к=1 у

в конечной односвязной области, ограниченной в полупространстве у > 0, где

т > 2 - размерность пространства, в - действительное число, причем 0 < 2в < 1, а

X - действительное или чисто мнимое постоянное.

При исследовании поставленной задачи важную роль играют фундаментальные решения уравнения (1), которые выписываются через конфлюэнтную гипергеометрическую функцию Горна от двух переменных [20]:

Н3 (а,Ъ;с; г,Г) = У Мп^Ж.^, Ы < 1, (2)

^ ' ¿0 (с)ппи! " ^

где а, Ъ и с - постоянные, причем с Ф 0,1,2,..., а (а)к - известный символ По-

хгаммера: (а)0 = 1, (а)к := а (а +1)-... •( а+к -1), к = 1,2,....

Кроме того, имеет место следующая формула разложения [19] для конфлю-энтной гипергеометрической функции Горна от двух переменных, определенной формулой (2):

Н3 (а,Ъ;с;ы,-/) = Е(а,Ъ;с;ы)1-а (2>/?) +

+УУ -(-1)к+1 (к - 1)!(Ъ)к- (а + к,ъ + с + к;ы) а+. ), (3)

¿1 £ I !(1 - 1)!(к -1)!(с)к (1 - а), 1 , ; ; ; 1-а+^ >' ()

ч » (а) (Ъ)

где Е(а,Ъ;с;ы)=у-п--гп, Ы < 1 - гипергеометрическая функция Гаусса

П"0 п!(с)

п=0 V 7п ш 1 / {\2п

[20], а /у()=У—--— I — I - нормированная модифицированная функция

п=0п!(+1)п V2;

Бесселя (/ -функция Бесселя) [21].

Для уравнения (1) при X = 0 в работах [22-25] исследованы некоторые пространственные краевые задачи в конечных и бесконечных областях.

Формула Грина и фундаментальные решения уравнения (1)

Полупространство у > 0 обозначим через Я+т = {(х,у): у > 0}, где

■ = ( х

хт-\

) .

Рассмотрим тождество

у2в [иН^ (ч)- чН^ (и)] =

т-1 д

= у2Р

к=1 дхк

дw ди и--ч-

дх.

дх.

к J

ду

,2Р

дw ди

у I и я— ^ I

ду ду)_

Интегрируем обе части последнего тождества по области О, расположенной в полупространстве у > 0, и, пользуясь формулой Гаусса - Остроградского,

получим

Г у2в [иН<т,а (ч) -чН<т,а (и)]ёхёу ■

у2в тУ| и дч - ч ди Iсо5 (", Хк)+у2в

дч ди , , .

и--ч- IСОБ (П, у)

ду ду

ё Г,

(4)

к=1 V к к ,

где ёх := ёххёх2...ёхт-х, Г-граничная поверхность области О, п - внешняя нормаль к поверхности Г.

Формула Грина (4) выводится при следующих предположениях: функции и (х, у), ч (х, у) и их частные производные первого порядка непрерывны в замкнутой области О, частные производные второго порядка непрерывны внутри О и интегралы по О, содержащие Н(^'Х) (и) и Н(^'Х) (ч), имеют смысл. Если

Нрт,Х) (и) и Нрт,Х) (ч) не обладают непрерывностью вплоть до Г , то это - многомерные несобственные интегралы, которые получаются как пределы по любой последовательности областей Ок, которые содержатся внутри О, когда эти области Ок стремятся к О, так что всякая точка, находящаяся внутри О, попадает внутрь областей Ок, начиная с некоторого номера к .

Если и и ч суть решения уравнения (1), то из формулы (4) имеем

Г у 2в Г и — - ч ^ I ё Г = 0,

'г V дп дп.

(5)

д

где — означает нормальную производную:

дп

д т-1 д д = У СОБ (п хк)— + СОБ (п у)

дх.

дп

к=1

ду

Полагая в формуле (4) ч = 1 и заменяя и на и , получим

ди

Го у

2Р

у и2 + и2 + х 2и2

I хк у

[ к=1

ёхёу = Г у2 и —ё Г ^ дп

(6)

(7)

где и (х, у) - решения уравнения (1). Равенство (7) играет важную роль при доказательстве единственности решения краевых задач.

Наконец, из формулы (5), полагая ^ = 1 , будем иметь

Г у2в ^Г = 0. (8)

-11 дп

Формула (8) утверждает, что интеграл от нормальной производной решения уравнения (1) по граничной поверхности равен нулю.

Фундаментальные решения уравнения (1) найдены в [16]:

д0 (х, у; §,п) = Тс г (ро, в;2в; 0,ц); (9)

Ъ (х,у; §,п) = Ъг^ у1"2вП1-2вНз (в1,1-в;2 - 2в; 0,ц), (10)

где в0 = т- 1 + в, У0 = 22в0-т Г(во)Г(в),

0 2 * Г0 пт/2Г(2в)

в = т - в, У1 = 22р1 -т ^ )Г(1 - в), т > 2; (11)

1 2 * П пт/2Г(2-2в)

22 § :=(§,..., § т-1); 0 = 1 - \ = -^г1, ^ = -Хгг2, (12)

г2 г2 4

т-1 т-1

г2 = у (Хк - § к )2 + (у - п)2, Г]2 = у (Хк - §к )2 + (у + п)2. (13)

к=1 к=1

Здесь Н3 (а,Ъ;с; ы, t) - конфлюэнтная гипергеометрическая функция Горна, определенная формулой (2).

Функции, определенные формулами (9) и (10), по переменным (х, у) являются

решениями уравнения (1), причем они имеют особенность порядка 1/гт-2 при г ^ 0 [16] и, следовательно, являются фундаментальными решениями уравнения (1).

Нетрудно видеть, что

2в д% ( у; 4,п)

у Л

= 0, (х,0;§,п) = 0

у=0

для всех х.

Постановка и единственность решения задачи

Пусть О с Я+ - область, ограниченная плоскостью Б = {(х, у): у = 0, - ак < хк < Ък, к = 1, т -1} и поверхностью £, которая пересекается с областью Б . Линию пересечения обозначим через Ь = £ п Б . ак, Ък = const > 0,

к = 1, т -1. Поверхность £ пересекает ось Oy при у = а, а > 0.

Задача Дирихле. Найти в области О регулярное решение и (х, у) уравнения (1), непрерывное в замкнутой области О и удовлетворяющее условиям

и(х,0) = т(х), х е Б, и|£ = ф(х,у), (х,у)е £, где т (х) и ф (х, у) - заданные непрерывные функции, причем ф (х, у)|Ь = т (х)|Ь .

Докажем единственность решения поставленной задачи. Нетрудно убедиться в справедливости следующего равенства:

у2виИвт) (и)йхйу = -[пу

2Р

Ш) +£

к=1 (дхк ) уду

у" 1 и £ 1+^ у2ви£

+Х2и 2

йхйу.

йхйу +

к=1 дхк У дхк ) 5у У 8уу Пусть и - решение уравнения (1). Тогда воспользовавшись формулой Гаусса -Остроградского, получим

I у

2Р

1 ди к=1(дхк

ди

ду 1

+12и 2

йхйу =

ь т (х)(уI )1 у=о А"" (х, у ^

Если теперь рассмотреть однородный случай задачи Дирихле (т.е. ф(х,у) = 0, т(х) = 0), то

у

,2Р

1 ди 1 (ди 1 1

к=1 (дхк

+Х2 и2

йхйу = 0.

Отсюда следует, что и (х, у) = 0 в ^. Тем самым доказана единственность решения задачи Дирихле.

Существование решения задачи Дирихле

Существование решения задачи Дирихле докажем методом функции Грина. Для этого положим, что ак = Ьк = Я, к = 1,т -1, и £ является полусферой с центром в начале системы координат, радиусом Я , т.е. £ = {(х,у):1 т^к + у2 = Я2}.

Определение. Функцией Грина задачи Дирихле для уравнения (1) называется функция О1 (х, у; ^,п), удовлетворяющая следующим условиям:

1) внутри области О , кроме точки (^,п), эта функция есть регулярное решение уравнения (1);

2) удовлетворяет граничному условию

О (х, у; £= 0, (14)

3) может быть представлена в виде

О1 (х у; ^п) = 41 (х у; ^п) +^ (х у; ^п), (15)

где 41 (х,у; £,п) = у1гу1-2вп1-2рН3 (,1 - Р;2- 2Р; 0,д) - фундаментальное решение уравнения (1), определенное формулой (10), а у1, г, 0 и д определяются формулами (11) - (13). Здесь м>1 (х,у; ^,п) - регулярное решение уравнения (1) везде внутри О.

/

Построение функции Грина сводится к нахождению ее регулярной части (х, у; §,п), которая в силу (14) и (15) должна удовлетворять граничным условиям

w1

(х у; §/п)| £ = (х у; §/п)| £, wl (х,°;§/п) = 0.

Для области О, ограниченной плоскостью у = 0 и полусферой £, функция Грина задачи Дирихле имеет вид

6 (л; у; 4,п) = ъ (x,у; §/п)-| р | 41 (x, у; 4,п),

я

2в1

где

р2 =У ГГ^2 + n2, § = ( §1,...§т-1), §к = яг §к , п =

я2

я2

-п.

Пусть (§,п) е О. Вырежем из области О т-мерный шар малого радиуса е с центром в точке (§,п), оставшуюся часть О обозначим через Ое, а через Се -т-мерную сферу вырезанного шара. Используя формулу (4), получим

/ у

,2в

561 ди и —- - Ц —

дп дп

йС„ =

Гт(х){у2в (х,у;§,п) dx-/у2вф(££ (16)

Б 1 ду ] у=0 £ дп

Б ^ ^ ■> у=0

Используя формулы дифференцирования

д аЪ

—Н3 (а,Ъ; с; ы,t) = — Н3 (а +1,Ъ +1; с +1; ы, t), ды с

д 1

—Н3 (а,Ъ;с;ы,t) =-Н3 (а -1,Ъ;с;ы,t),

дt а -1

и смежное соотношение

— ыН3 (а +1,Ъ +1;с +1;ы,t)--— tН3 (а -1,Ъ;с;ы, t) =

с а -1

= а Н3 (а +1,Ъ; с; ы, t)- аН3 (а,Ъ; с; ы,t), нетрудно вычислить частные производные фундаментального решения д1 (х,у;§,п): дъ

= -2Р1У1 (Хк - § к) у1-2(У-2в г ^ -2Н3 (1 + в1,1 - в;2 - 2в; 0,Ц), к = 1, т -1,

сХ,

= (1 -2в)У1 у-2вп1-2вг-2в1Н3 (в1,1-в;2-2в;0,ц)-

ду

- 2в171 у1-2вп2-2Р г-2в1 -2Н3 (1 + в1,2 - в;3 - 2в; 0, Д) -

- 2в171 (у- п)у1-2вп1-2вг^ -2Н3 (1 + в1,1 - в;2 - 2в;0,Ц).

Теперь, воспользовавшись определением нормальной производной (см. формулу (6)), окончательно находим

^ = 2Р1У1 у-2вп1-2вГ^Нз (1 + Р1,1 -р;2-2Р;0,д)Дь1" он он г

+ 2PjYJу^ц2-2р r~2P1-2H3 (1 + Pj,2 - Р;3 - 2Р; 0, д) -

- (1 - 2Р) Yiу-2 V-2Рr-2Pl H3 (Pi,1 - р;2 - 2Р; 0, д). Левую часть равенства (16) разделим на три интеграла:

f у

2Р

dG1 dn

._ g —

dn

dCe = J1 + J2 + J3,

где

J1 = f y2eu x y )MxyM C

1 I y ' dn

(17)

(18)

(19)

J2 =-

R

2P1

f У2Pu (x, у)

dq1 (x, y; )

dn

dC„

J3 =-f /PG (x,y;dCE.

dn

C£

Сначала выражение нормальной производной (17) подставим в (19), затем в правой части полученного равенства (19) переходим в обобщенную сферическую систему координат вида

x1 = ^ + xm-1 = ^-1 + ефт-1, у = п + гфт,

где

Ф1 = cosФ1, Ф2 = sinФ1 cosФ2, Ф3 = sinф1 sinф2cosФ3, ...,

Фт-1 = sinФ1^ПФ2 ...sinФт-2 COsФт-1, Фт = sinФlsinФ2 -sinФт-2 sinФт-1

[е > 0, 0 < Ф1 < П,...,0 < Фт-2 < П,0 < Фт-1 < 2п]. После несложных преобразований первое слагаемое J1 принимает вид

где

J1 = J11 + J12 + J13,

2п

J11 = 2Р1Т1П1-2Ре-2Р1 -2+ т f с!Фт-1 f sin Ф m-2dФ т-2 f sin2 Фm-3dФ т-3...

0 0 0

п

...f (п + ефт) u ((1 + е^..^ 4 т-1 + е фт-1, П + е фт) H31 (е) яп"-2 Ф1 d,

0

2п п п

J12 = 2Р1Т1П2-2Ре-2Р1 -3+т f dф т-1 f sin Фт - 2 Фт-2 f sin2 Фт-3^„

Кт-3'" '

...I(п + £фт) и(( + еф!,...,4и_! + ефт-!,П + 6фи)Нз2 (е)япт-2 ф1ёщ

0

2п п п

^з = -(!-2Р)т1П1-2Ре-2Р!-1+т I ёфт_!18Шфт_2ёфт_21sin2 фт_зёф„^

0 0 0

п

...|и((1 + еф1,...,4т_1 + ефт_1,П + ефт)Нзз (е)sinm-2 ф1ёф1,

Н31 (е ) = Нз

Нз2 (е) = Нз 1 + 01,2-Р;з-2Р;1 -—е

(

зз

2 е

2' 4

ге -х е

2 А

2

Г2 1е Х 2 А - — е2

е2 ' 4 J

Г2 1е Х 2 ^ - — е2

е2 ' 4 V

Г 2 -1е т -1 е2 У 4 2 +(2п + еФт )2 к-1

V ° /

Для полного вычисления J1 сначала вычислим J11. Воспользовавшись формулой разложения (з), получим

(

Нз1 (е ) = Р

1 + р1,1 - Р;2-2Р;1 -

Г 2 А

1е „2

ад к

1-а (^е) + Ц

(-1)к+' (к -1)!(1 - Р)к к=1=1 (к -1)!/!(/ -1)!(2 - 2Р)к (-Р1)г

х хку1Р

1 + р1 + к ,1 - р+к;2 - 2р+к ;1 -

Г 2 А

1е „2

А-а+1 (Хе) .

(20)

Теперь применяем к каждой гипергеометрической функции Гаусса, входящей в формулу (20), известную формулу Больца [20]:

Р(а,Ь;с; -) = (1 - г)-ЬР^с - а,Ь;с;--—^ . В результате получим

(Г2 Ар-1 ( е2 А

Нз1 (е)= Р 1 -2Р-М-Р;2-2Р;1 --Т- /1-а (Хе) +

V

ад к

(-1)к+1 (к -1)!(1 - Р)к

к=11=1 (к -1)!/!(/ -1)!(2 - 2Р)к (-р1),

к I

х х у

( Г2 Ав-1-к (

Г1е

2

V

Р

2

1 - 2Р - р1,1-р+к;2 - 2р+к ;1 —-

'1-а +1

(Хе).

1е V

Теперь функцию Нз1 (е) подставим в интеграл J11 и после этого в правой части J11 переходим к пределу при е ^ 0 :

lim J11 = ß1y122ß"1 u (4, n)F (1 - 2ß - - ß;2-2ß;1)>

e^Ü 2п п

| d(?m-11 Sin ф„-2 С1фт_2 J Sm2 фm_3 ^-3......J Sinт-2

>

Ü Ü

В силу известной формулы суммирования [2Ü]

будем иметь

, ч Г(с)Г(с - a -b)

F (a, b;c;1) =-'-, c - a - b > Ü

V 7 Г(с - a )Г(с - b)

F (1 - 2ß - ß1,1 - ß;2- 2ß;1)=r((1 + f* 2-2ß). (21)

v v и. 7 r(1 -ß)r(1 + ßj)

2п п п п 2п m/2

Нетрудно вычислить, что

2п п 2п

J ^фт-1 J sin Фт-2^Фт-2 J S^2 Фт-3^Фт-3......J ¡¡ш""-2 Ф^ = . ^ . (22)

0 0 0 0 Г (т/2)

Принимая во внимание (21) и (22), а также имея в виду значения ß1 и у1

(см. (11)), получим

lim Jn = u (4, n). (23)

Аналогичным образом можно доказать, что

lim J12 = lim J2 = lim J3 = 0. (24)

e^0 e^0 e^0

rp 2ß дЦ c^ (x, 4) Теперь вычислим предел lim y M —- и нормальную производную -^-1

dy dn

на полусфере S . После этих вычислений, с учетом (18), (23) и (24), из (16) имеем

(4,n) = (1 - 2ß )T1Г(1 - ß1 )n1-2ß J Т (x)[x-ß11-ß1 /-ß1 (Y dx-

2- о

+ 2Р1 У1п1-2Р |уф (Б)Нз (1 + Р1,1 - Р;2 - 2Р; 0, д)Я-02йБ, (25)

т-1

где X2 := 1 ( -4к)2 + П2,

к=1

т-1 / £ Л2 1 т-1 т-1 „2 т-1

72 := 1(я -^ 1 + Я_ 1 1 х242 + Я; 1хк2 - (т - 2)Я2;

к=1 ( п ) Я к=1 ] =1, ] * к Я к=1

ад 1 / ^\а+2п

(2) = 1-1 _ I - известная модифицированная функция Бесселя.

н=0 Г(1 + а + п )к! ( 2 )

Итак, мы доказали следующую теорему:

Теорема. Существует единственное решение задачи Дирихле для уравнения (1) и оно представляется формулой (25).

0

0

ЛИТЕРАТУРА

1. Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: ИЛ, 1961.

2. Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука, 1973.

3. СмирновМ.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966.

4. Gilbert R.P. Function Theoretic Methods in Partial Differential Equations. New York, London: Academic Press, 1969.

5. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981.

6. Hasanov A. Fundamental solutions for degenerated elliptic equation with two perpendicular lines of degeneration // Int. J. Applied Mathematics and Statistics. 2008. V. 13 (8). P. 41-49.

7. Hasanov A. Fundamental solutions of generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation // Complex Variables and Elliptic Equations. 2007. 52(8). P. 673-683. DOI: 10.1080/ 17476930701300375.

8. Urinov A.K., KarimovE.T. On fundamental solutions for 3D singular elliptic equations with a parameter // Applied Mathematical Letters. 2011. V. 24. P. 314-319. DOI: 10.1016/ j.aml.2010.10.013.

9. Salakhitdinov M.S., Hasanov A. A solution of the Neumann-Dirichlet boundary value problem for generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation // Complex Variables and Elliptic Equations. 2008. V. 53(4). P. 355-364. DOI: 10.1080 /17476930701769041.

10. Salakhitdinov M.S., Hasanov A. The Dirichlet problem for the generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation // Eurasian Mathematical Journal. 2012. V. 3(4). P. 99-110.

11. Салахитдинов М.С., Хасанов А. Краевая задача NDi для обобщенного осесимметриче-ского уравнения Гельмгольца // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2011. Т. 13(1). C.109-116.

12. Лернер М.Е., Репин О.А. Нелокальные краевые задачи на вертикальной полуполосе для обобщенного осесимметрического уравнения Гельмгольца // Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37(11). C. 1562-1564.

13. Репин О.А., Лернер М.Е. О задаче Дирихле для обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца в первом квадранте // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физико-математические науки. 1998. № 6. C. 5-8. DOI: 10.14498/vsgtu1.

14. Эргашев Т.Г. Обобщенные решения одного вырождающегося гиперболического уравнения второго рода со спектральным параметром // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2017. № 46. C. 41-49. DOI: 10.17223/19988621/46/6.

15. Эргашев Т.Г. Четвертый потенциал двойного слоя для обобщенного двуосесимметри-ческого уравнения Гельмгольца // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2017. № 50. C. 45-56. DOI: 10.17223 /19988621/50/4.

16. Mavlyaviev R.M., Garipov I.B. Fundamental solutions of multidimensional axisymmetric Helmholtz equation // Complex Variables and Elliptic Equations. 2017. V. 62(3). P. 284-296. DOI:10.1080/17476933.2016.1218853.

17. Ergashev T.G., Hasanov A. Fundamental solutions of the bi-axially symmetric Helmholtz equation // Uzbek Mathematical Journal. 2018. No. 1. P. 55-64.

18. Ergashev T.G. On fundamental solutions for multidimensional Helmholtz equation with three singular coefficients // Computers and Mathematics with Applications. 2019. № 77. P. 69-76. DOI: 10.1016/j.camwa.2018.09.014.

19. Уринов А.К., Эргашев Т.Г. Конфлюэнтные гипергеометрические функции многих переменных и их применение к нахождению фундаментальных решений обобщенного уравнения Гельмгольца с сингулярными коэффициентами // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2018. № 55. С.45-56. DOI 10.17223/19988621/55/5.

20. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. М.: Наука, 1973.

21. Ситник С.М., Шишкина Э.Л. Метод операторов преобразования для дифференциальных уравнений с операторами Бесселя. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2019. 224 с.

22. Agostinelli С. Integrazione dell'equazione differenziale uxx + uyy + uzz + x~lux = f

e problema analogo a quello di Dirichlet per un campo emisferico // Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. 1937. V. 6(26). P. 7-8.

23. Олевский М.Н. Решения задачи Дирихле, относящейся к уравнению Au + pxnlux = р

для полусферической области // Докл. АН СССР. 1949. Т. 64. № 6. С. 767-770.

24. Назипов И.Т. Решение пространственной задачи Трикоми для сингулярного уравнения смешанного типа методом интегральных уравнений // Изв. вузов. Математика. 2011. № 3. С. 69-85. DOI: 10.3103/S1066369X1103008X.

25. Салахитдинов М.С., Хасанов А. К теории многомерного уравнения Геллерстедта // Узбекский математический журнал. 2007. № 3. C. 95-109.

Статья поступила 23.09.2019 г.

Ergashev T.G., Safarbayeva N.M. (2019) DIRICHLET PROBLEM FOR THE MULTUDIMEN-SIONAL HELMHOLTZ EQUATION WITH ONE SINGULAR COEFFICIENT. Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 62. pp. 55-67

DOI 10.17223/19988621/62/5

Keywords: multidimensional Helmholtz equation with one singular coefficient, Dirichlet problem, fundamental solution, Gauss-Ostrogradsky formula, Green function.

In the study of boundary value problems for elliptic equations with singular coefficients, fundamental solutions play an important role, which is expressed by hypergeometric functions of one, two, or more variables depending on the number of the singularity. An interesting case is the Helmholtz equation with one or two singularities, and many authors solved various boundary value problems for a two-dimensional Helmholtz equation. However, relatively few works are devoted to the study of an equation with one singular coefficient, when the dimension of the equation exceeds three. The main obstacle in this direction is the lack of explicit fundamental solutions for the multidimensional Helmholtz equation with at least one singular coefficient. Fundamental solutions for the multidimensional Helmholtz equation with one singular coefficient in the half-space were found recently. In this paper, the Dirichlet problem for the above-mentioned elliptic equation in a finite simply connected domain is studied. Using the properties of one of the fundamental solutions, the Green function was constructed. With the help of the function, the solution of the problem in a finite region bounded by the multidimensional hemisphere is found in an explicit form.

Tuhtasin G. ERGASHEV (V.I. Romanovskiy Institute of Mathematics, Tashkent, Uzbekistan). E-mail: ertuhtasin@mail.ru

Nigora M. SAFARBAYEVA (Tashkent Institute of Irrigation and Agricultural Mechanization Engineers, Tashkent, Uzbekistan). E-mail: akmal09.07.85@mail.ru

REFERENCES

1. Bers L. (1958) Mathematical Aspects of Subsonic and Transonic Gas Dynamics. New York; London.

2. Frankl F.I. (1973) Izbrannye trudypo gazovoy dinamike [Selected Works on Gas Dynamics]. Мoscow: Nauka.

3. Smirnov М.М. (1966) Vyrozhdayushchiesya ellipticheskie i giperbolicheskie uravneniya [Degenerate elliptic and hyperbolic equations]. Мoscow: Nauka.

4. Gilbert R. (1969) Function Theoretic Methods in Partial Differential Equations. New York; London: Academic Press.

5. Bitsadze A.V. (1981) Nekotorye klassy uravneniy v chastnykh proizvodnykh [Some classes of partial differential equations]. Moscow: Nauka.

6. Hasanov A. (2008) Fundamental solutions for degenerated elliptic equation with two perpendicular lines of degeneration. International Journal of Applied Mathematics and Statistics. 13(8). pp. 41-49.

7. Hasanov A. (2007) Fundamental solutions of generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation. Complex Variables and Elliptic Equations. 52(8). pp. 673-683. DOI: 10.1080/ 17476930701300375.

8. Urinov A.K., Karimov E.T. (2011) On fundamental solutions for 3D singular elliptic equations with a parameter. Applied Mathematical Letters. 24. pp. 314-319. DOI: 10.1016/j.aml.2010.10.013.

9. Salakhitdinov M.S., Hasanov A. (2008) A solution of the Neumann-Dirichlet boundary value problem for generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation. Complex Variables and Elliptic Equations. 53(4). pp. 355-364. DOI: 10.1080 /17476930701769041.

10. Salakhitdinov M.S., Hasanov A. (2012) The Dirichlet problem for the generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation. Eurasian Mathematical Journal. 3(4). pp. 99-110.

11. Salakhitdinov M.S., Hasanov A. (2011) Krayevaya zadacha NDi dlya obobshchennogo osesimmetricheskogo uravneniya Gel'mgoltsa [The boundary problem NDl for the generalized axially symmetric Helmholtz equation]. Doklady Adygskoy (Cherkesskoy) Mezhdunarodnoy akademii nauk -Reports of International Academy of Sciences of Adygey. 13(1). pp.109-116.

12. Lerner M.E., Repin O.F. (2001) Nonlocal boundary value problems in a vertical half-strip for a generalized axisymmetric Helmholtz equation. Differential equations. 37(11). pp. 1640-1642.

13. Repin O.F., Lerner M.E. (1998) O zadache Dirikhle dlya obobshchennogo dvuosesimmetricheskogo uravneniya Gel'mgoltsa v pervom kvadrante [On the Dirichlet problem for the generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation in the first quadrant]. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Seriya fiziko-matematicheskiye nauki - Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical Sciences. 6. pp. 5-8. DOI: 10.14498/vsgtu1.

14. Ergashev T.G. (2017) Obobshchennye resheniya odnogo vyrozhdayushchegosya giperbolicheskogo uravneniya vtorogo roda so spektralnym parametrom [Generalized solutions of the degenerate hyperbolic equation of the second kind with a spectral parameter]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 46. pp. 41-49. DOI: 10.17223/ 19988621/46/6.

15. Ergashev T.G. (2017) Chetvertyi potentsial dvoynogo sloya dlya obobshchennogo dvuosesimmetricheskogo uravneniya Gel'mgoltsa [The fourth double-layer potential for a generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 50. pp. 45-56. DOI: 10.17223/19988621 /50/4.

16. Mavlyaviev R.M., Garipov I.B. (2017) Fundamental solutions of multidimensional axisymmetric Helmholtz equation. Complex Variables and Elliptic Equations. 62(3). pp. 284296. DOI:10.1080/17476933.2016.1218853.

17. Ergashev T.G., Hasanov A. (2018) Fundamental solutions of the bi-axially symmetric Helmholtz equation. Uzbek Mathematical Journal. 1. pp. 55-64.

18. Ergashev T.G. (2019) On fundamental solutions for multidimensional Helmholtz equation with three singular coefficients. Computers and Mathematics with Applications. 77. pp. 6976. DOI:10.1016/j.camwa.2018.09.014.

19. Urinov A.K., Ergashev T.G. (2018) Konflyuentnye gipergeometricheskie funktsii mnogikh peremennykh i ikh primenenye k nakhozhdeniyu fundamental'nykh resheniy obobshchennogo uravneniya Gel'mgoltsa s singulyarnymi koeffitsientami [Confluent hypergeometric functions of many variables and their application to finding fundamental solutions of the generalized Helmholtz equation with singular coefficients]. Vestnik Tomskogo

gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 55. pp. 45-56. DOI 10.17223/19988621/55/5.

20. Erdelyi A., Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F.G. (1953) Higher Transcendental Functions. 1. New York, Toronto and London: McGraw-Hill Book Company.

21. Sitnik S.M., Shishkina E.L. (2019) Metod operatorov preobrazovaniya dlya differentsialnykh uravneniy s operatorami Besselya [Method of transformation operators for differential equations with Bessel operators]. Moscow: FIZMATLIT.

22. Agostinelli C. (1937) Integrazione dell'equazione differenziale u^ + uyy +uzz +x~lux = f e

problema analogo a quello di Dirichlet per un campo emisferico. Atti della Accademia Nazionale deiLincei. 6(26). pp. 7-8.

23. Olevskii M.N. (1949) Resheniya zadachi Dirikhle, otnosyashchiesya k uravneniyu Au + px-lux = p dlya polusfericheskoy oblasti [Solution of the Dirichlet problem regarding

to the equation Au + px-lux = p for a hemispherical domain]. Doklady Akademii Nauk

SSSR - Reports of the Sciences Academy of USSR. 64(6). pp. 767-770.

24. Nazipov I.T. (2011) Solution of the spatial Tricomi problem for a singular mixed-type equation by the method of integral equations. Russian Mathematics. 55(3). pp. 61-76. DOI: 10.3103/S1066369X1103008X.

25. Salakhiddinov M.S., Hasanov A. (2007) K teorii mnogomernogo uravneniya Gellershtedta. [On the theory of the multidimensional Gellerstedt equation]. Uzbekskiy matematicheskiy zhurnal - Uzbek Mathematical Journal. 3. pp. 95-109.

Received: September 23, 2019