ЗАДАЧА ГУРСА ДЛЯ ОДНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С СИНГУЛЯРНЫМ ОПЕРАТОРОМ БЕССЕЛЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Physical and mathematical sciences /Fizika-matematika fanlari / Физико

- математические науки

International journal of theoretical and practical research Scientific Journal

Year: 2022 Issue: 12 Volume: 2 Published: 31.12.2022

http://alferganus.uz

Citation:

Karimov, Sh. T. (2022). The Goursats problem for a fourth-order hyperbolic equation with a singular Bessel operator. SJ International journal of theoretical and practical research, 2 (11), 18-27.

Каримов, Ш. Т. (2022). Задача Гурса для одного гиперболического уравнения четвертого порядка с сингулярным оператором Бесселя. Nazariy va amaliy tadqiqotlar xalqaro jurnali, 2 (11), 18-27.

Doi:https://dx.doi.org/10.5281/zenodo.7496342

QR-Article

Karimov, Shakhobiddin Tuichiboevich

Head of the Department of Applied Mathematics and Computer

Science, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Fergana State University E-mail: shaxkarimov@gmail. com

UDC 517.9

THE GOURSATS PROBLEM FOR A FOURTH-ORDER HYPERBOLIC EQUATION WITH A SINGULAR BESSEL OPERATOR

Abstract. In this paper, the method of transformation operators is used to construct an exact solution of the Goursat problem for a fourth-order hyperbolic equation with a singular Bessel operator. The fractional Erdelyi-Kober operator is used as a transformation operator. Using this operator, the problem under consideration was reduced to a similar problem without the Bessel operator. The resulting auxiliary problem is solved by the Riemann method. On the basis of this solution, an exact solution of the original problem is constructed.

Keywords: Goursat problem, Bessel operator, transformation operator, Erdelyi-Kober operator, Riemann method, fourth order equation.

Каримов, Шахобиддин Тойчибоевич

заведующий кафедрой прикладной математики и информатики,

доктор физико-математических наук, Ферганский государственный университет

ЗАДАЧА ГУРСА ДЛЯ ОДНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С СИНГУЛЯРНЫМ ОПЕРАТОРОМ БЕССЕЛЯ

сс

®

18

ISSN 2181-2357

Т. 2 №12. 2022

I INTERNATIONAL JOURNAL OF THEORETICAL AND PRACTICAL

RESEARCH __.

ISJIF 2022:5.962

Аннотация. В данной работе методом операторов преобразования построено точное решение задачи Гурса для гиперболического уравнения четвертого порядка с сингулярным оператором Бесселя. В качестве оператора преобразования применен дробный оператор Эрдейи-Кобера. С применением этого оператора рассматриваемая задача свелась к аналогичной задаче без оператора Бесселя. Полученная вспомогательная задача решена методом Римана. На основе этого решения построено точное решение исходной задачи.

Ключевые слова: Задача Гурса, оператор Бесселя, оператор преобразования, оператор Эрдейи-Кобера, метод Римана, уравнение четвертого порядка.

Каримов, Шахобиддин Туичибоевич

Амалий математика ва информатика кафедраси мудири,

Физика-математика фанлари доктори, Фаргона давлат университети

SINGULYaR BESSEL OPERATORI QATNAShGAN TO'RTINChI TARTIBI GIPERBOLIK TENGLAMA UChUN GURSA MASALASI

Annotatsiya: Ushbu ishda singular Bessel operatori qatnashgan to'rtinchi tartibli giperbolik tenglama uchun Gursa masalasining aniq yechimini qurish uchun almashtirish operatori usuli qo'llaniladi. Almashtirish operatori sifatida kasr tartibli Erdeyi-Kober operatoridan foydalaniladi. Ushbu operator yordamida ko'rib chiqilayotgan masala Bessel operatorisiz xuddi shunday masalaga keltiriladi. Hosil bo'lgan yordamchi masala Riman usulida yechiladi. Bu yechim asosida asosiy masalaning aniq yechimi quriladi.

Kalit so'zlar: Gursa masalasi, Bessel operatori, almashtirish operatori, Erdelyi-Kober operatori, Riman usuli, to 'rtinchi tartibli tenglama.

1. Введение. Постановка задачи.

Исследование более сложных уравнений высокого порядка с сингулярными коэффициентами представляет собой естественный дальнейший этап на пути теоретических обобщений. Ценность получаемых при этом теоретических результатов существенно возрастает в связи с тем, что подобные уравнения или их частные случаи встречаются в приложениях.

Особо отметим класс уравнений с частными производными с особенностями в коэффициентах, типичными представителями, которого является уравнения с операторами Бесселя вида

х _ 2^-1 2^+1 + 1 А-

Вц — X X — 2 +

dx dx dx х dx Для уравнений эллиптического, гиперболического и параболического типов с оператором Бесселя по каждой или по нескольким переменным И.А. Киприяновым [1] была введена соответственно терминология В-эллиптические, В-гиперболические и В-параболические уравнения. Важность уравнений из этих

19

INTERNATIONAL JOURNAL OF THEORETICAL AND PRACT

RESEARCH

классов определяется также их использованием в приложениях к задачам теории осесимметрического потенциала [2, 3], уравнениям Эйлера-Пуассона-Дарбу (ЭПД) [4, 5], преобразованию Радона и томографии [6, 7, 8], газодинамики и акустики [9], теории струй в гидродинамике [10], линеаризованным уравнениям Максвелла-Эйнштейна [11, 12], механике, теории упругости и пластичности [13] и многим другим.

В определённом приближении можно сказать, что указанные три класса дифференциальных уравнений по терминологии И.А. Киприянова в своё время были рассмотрены в трёх известных монографиях: B-эллиптические уравнения в монографии И.А. Киприянова [1], B-гиперболические уравнения в монографии Р.Кэрролла и Р.Шоуолтера [14], B-параболические уравнения в монографии М.И. Матийчука [15]. Разумеется, в указанных книгах рассматриваются и многие другие вопросы.

Наиболее полно весь круг вопросов для уравнений с операторами Бесселя был изучен воронежским математиком И.А. Киприяновым и его учениками. Более подробную информацию об этом направлении можно найти в монографиях В. В. Катрахова и С. М. Ситника [16], С. М. Ситника и Э.Л. Шишкиной [17]. Теория уравнений с сингулярными коэффициентами тесно связаны с теорией уравнений, вырождающихся на границе области. С помощью замены переменных можно привести довольно широкий класс вырождающихся уравнений, как первого, так и второго рода к уравнениям с сингулярными коэффициентами.

Трудность проблемы теории уравнений в частных производных с сингулярными коэффициентами, а также приводящихся к ним уравнений, вырождающихся на границе области рассмотрения, чрезвычайно стимулировала и продолжает стимулировать интенсивные исследования в этой области. Подтверждением сказанному являются многочисленные научные публикации за последнее пятьдесят лет, отмеченные в монографиях М.С.Салахитдинова и

A.К.Уринова [18], Т.Д.Джураева и А.Сапуева [19], В.И.Жегалова, А.Н.Миронова, Е.А. Уткина [20], А.М.Нахушева [21], М.С.Салахитдинова и М.Мирсабурова [22],

B. В. Катрахова и С. М. Ситника [16], С. М. Ситника и Э.Л. Шишкиной [17], М.С.Салахитдинова и Б.Исламова [23], О.А.Маричева, А.А.Кильбаса и О.А.Репина [24], А.К.Уринова [25], А.К.Уринова и Ш.Т.Каримова [26] и других.

В данной работе в области О = {(х, у) :0 < х < /, 0 < у < И} рассмотрим уравнение

где l, h, a, b, c e R, причем l, h > 0 0 < a, b < 1.

Уравнение (1) при a = b = 0 исследована в работе [19] и по классификации данной работы оно принадлежит гиперболическому типу. Прямые х = const, y = const являются действительными двукратными характеристиками

уравнения (1).

В работе [19] задачи рассматривались в характеристическом четырехугольнике, а коэффициенты уравнения были достаточно гладкими, чтобы обеспечить существование функции Римана, в терминах которой, в конечном

L°ab (u)

д4u a d3u b д3и ab д2u

+ cu = 0,

(1)

дх2ду2 x дхду2 y дудх2 xy дхду

© ®

T. 2 №12. 2022

SJIF 2022:5.962

уравнения (1)

счете, записывались решения задач. Однако, задачи для коэффициенты которой имеют особенности, почти не исследованы.

Коэффициенты уравнения (1) имеют особенность на линиях х — 0, у — 0, такие уравнения называются уравнениями с сингулярными коэффициентами. Кроме того, линии сингулярности одновременно являются характеристиками данного уравнения.

Систематическое изучение двумерных уравнений четвертого порядка рассматривались в работах М.С.Салахитдинова [27], Т.Д.Джураева и А.Сопуева [19], А.М.Нахушева [21], В.И.Жегалова, А.Н.Миронова, Е.А.Уткина [20], М.М.Смирнов [28], М.М.Мередов [29], А.К.Уринов [25] и их учеников. В работах Т.Д.Джураева и А.Сопуева [19] исследованы вопросы полной классификации и приведения к каноническому виду общего линейного уравнения четвертого порядков с двумя независимыми переменными.

Известно, что вырождающиеся и сингулярные уравнения второго порядка обладают той особенностью, что для них не всегда имеет место корректность классических задач. На постановку задачи существенно влияют младшие коэффициенты. Такие вопросы для уравнений высокого порядка с сингулярными коэффициентами почти не исследованы.

В данной работе в области О исследуется аналог задачи Гурса для уравнения (1). _

Задача G. Требуется найти функцию и(х, у) е С(О), удовлетворяющую уравнению (1) и краевым условиям

и(0,У) — (Рх(УX НтхХ(XУ) — (р2(УX 0 < У < И; (2)

x^0

u(x,0) = щ(x), limybu (x,y) = щ(x), 0 < x < l.

y^-0

(3)

где çk (y), щ (x), (к = 1,2) - заданные гладкие функции, причем р (0) = щ (0), р2(0) = щ2(0) = 0.

В данной работе, в отличие от цитируемых источников для решения поставленной задачи, применим другой подход. А именно, учитывая специфику уравнений с сингулярными коэффициентами, используем оператор преобразования Эрдейи-Кобера.

Определение 1 ([16, 17, 30-32]). Пусть дана пара операторов (A, B). Ненулевой оператор T называется оператором преобразования (ОП, Transmutation), если выполняется соотношение

T A = B T. (4)

Для того, чтобы (4) было строгим определением, необходимо задать пространства или множества функций, на которых действуют операторы A, B, и, следовательно, T. Изложению теории ОП и их приложениям посвящены монографии [16, 30, 31], кроме того, различные вопросы ОП рассматриваются также в работах [17, 32]. Операторы Эрдейи-Кобера при определенном выборе параметров являются обобщением классических операторов преобразования Сонина и Пуассона [16, 17, 26, 30-32]. Поэтому, сначала рассмотрим некоторые свойства данного оператора.

2. Оператор преобразования Эрдейи - Кобера.

21

ISSN 2181-2357

Т. 2 №12. 2022

I INTERNATIONAL JOURNAL OF THEORETICAL AND PRACTICAL

RESEARCH____,

ISJIF 2022:5.962

Для построения решения поставленной задачи применим многомерный оператор Эрдейи-Кобера.

В работах [33, 34, 35] были введены многомерный обобщенный оператор Эрдейи-Кобера

J,

a

V Р.

f (x) = J,

V Pl'...' Р

f (xi5x2,K ,xn) =

n J

П

k=1

2x~2(ak+Pk ) Ik (ак)

x1 x2 xn n

J Я П

0 0 0 k=1

Jak -1

x - tk

<2 Pk+1

(xk - tk)

1-at

f (t1,...,tnЩ...dtn, (5)

исследованы его свойства и их приложение к многомерным уравнениям гиперболического и параболического типов с сингулярными коэффициентами, где ак> 0, рк >-1/2, k = 1, n, J (z) - функция Бесселя - Клиффорда [36], которая выражается через функции Бесселя J (z) по формуле J (z) = T(v +1)( z / 2)-v J (z), Г (v) - гамма функция.

Интеграл (5) является многомерным аналогом одномерного обобщенного оператора Эрдейи - Кобера с функцией Бесселя в ядре [36].

Для интеграла (5) справедлива следующая теорема [26, 33, 34].

Теорема 1. Пусть ак > 0, рк >-1/2, k = \n, f(x) е C2n (Пи), x\Pk +1Bxpkkf (x) -интегрируемы в окрестности x^ = 0 и lim x^Pk +1 fXk (x) = 0, k = 1, n. Тогда

имеет место равенство

ПП

a

k=1

где

BXk

Pk

V Р J

n

П n =П (0, ak)

xk

a

lP П Bx (x) ■

Vp J k=1

f (x) = Jx

- декартово

произведение,

a > 0, k = 1, n,

k=1

d2 2 pk +1 д

\- —Lk---оператор Бесселя по переменной xk.

dx

xk dxk

Теорема верна и при некоторых или всех \= 0, к = 1, т, т < п.

3. Приложение оператора Эрдейи-Кобера к решению поставленной задачи.

Теорема 1 позволяет применить оператор (5) как оператор преобразования, позволяющий преобразовать уравнения высокого четного порядка с сингулярными коэффициентами в уравнения без сингулярных коэффициентов. Этот факт применим для исследованию задачи G для уравнения (1).

В силу линейности урвнения (1) сначала рассмотрим следующую вспомогательную задачу.

Задача Go. Требуется найти функцию щ (х, у) е С(^), удовлетворяющую уравнению (1) и краевым условиям

22

T. 2 №12. 2022

SJIF 2022:5.962

(6) (7)

и(0, у) — я (у), их (0, у) — 0,0 < у < к и (х,0) — щ (х), и (х,0) — 0, 0 < х < I, где < (У), Щ (х) - заданные гладкие функции, причем < (0) — щ (0).

Предположим, что решение задачи {(1), (6), (7)} существует. Это решение ищем в виде

ui( X У) _ Jо,о

_ 1 — 1 V 2' 2

U ( X' У).

(8)

где и (х, у) - неизвестная дифференцируемая функция, а — а /2, Р — Ь /2.

Подставляя (8) в уравнение (1) и краевым условиям (6), (7), а затем, используя теорему 1 при п — 2,1 — 0,1 — 0, р — р2 — -1/2, получим задачу нахождения решения и (х, у) уравнения

иххуу + си — 0, (х,у)еО, удовлетворяющее краевым условиям

и(0, у) — Ф1(у), их (0, у) — 0,0 < у < к, и(х, 0) — ^ (х), иу (х,0) — 0, 0 < х < I,

(9)

(10) (11)

где

Ф1ОО = A d К У2 - Г s2>i(s)ds, А =Г(а + 1/2)/[V^r(1 -ß)], (12)

dy о

7 х

^(х) — Кх2 -/)-а(№, В —Г(Р + 1/2)/ь/яГ(1 -а)]. (13)

dx 0

Для построения решения задачи (9) - (11) применим метод Римана. Функция Римана Я( х, у;<^,ц) является решение сопряженного уравнения

[19]

Ь( Я) — Я^ + сЯ — 0

удовлетворяющее условиям

Я( х, у;<^)| — 0, ЯДх, у&ф

(14)

4=x

Л-У 5

R(x, _ О, Rv(x, у;£л)_

X.

Л_ У

Если известна функция Римана, то решение задачи О0 можно представить в виде [19]

У х

и( х, у) — Я^( х, у;0, у)<( у)Я^( х, у;0л)<Шл-\х, у;£0)Щ(ДО£. (15)

Функцию Римана ищем в виде

R(x'У;4Л) _ ,

(16)

неизвестная

где р — (£- х)(ц- у), а —х)2(ц- у)2, 1 —-с/16, м>(а) функция.

Вычисляя производные от выражения (16) и подставляя в сопряженное уравнение (14) , находим уравнение

23

41

T. 2 №12. 2022

9 ,,

<j3w""(g) + 7g1 w""(g) + gw"(g) + ^ W (G) - w(g) = 0. Обобщенная гипергеометрическая функция [37]

ISJIF 2022:5.962

(17)

z

0 F3(a, b, c; z) = V—

0 3( ) V(a)n(b)n(c)„n!

удовлетворяет уравнению

Z'wW" '( z) + (3 + a + b + c) z2 '(z) + (1 + a + b + c + ab + ac + bc) zW ' ( z) +

+abcw' (z) - w(z) = 0, (18)

Сравнивая (17) и (18) относительно параметров, получим систему уравнений

3 + a + b + c = 7,

1 + a + b + c + ab + ac + bc = 41/4, abc = 9/4,

Решая эту систему, находим решение уравнения (17) в виде w(g) = 0F(3/2,3/2,1; g) и подставляя это решение в представление (16), определяем функцию Римана для задачи G:

R(x,y,Ç,rj) = p0Fs(3/2, 3/2,1; g) . (19)

В силу равенств

V 2 J n

= 2 2n (2n +1)! и (1)и = n! функция (19) совпадает с функцией n! п

Римана работы [19] построенная в виде ряда

тн с л ^ (-1)т^т (Л- х)2т+\л- у)2т+1

т=0 [(2т +1)!]

Вычисляя соответствующие производные от функции (19) и подставляя их в равенство (15), получим решение задачи (9)-(11) в виде

и (х, у) = 0>1( у) + х)-^1(0)0 ^3(1/2,1/2,1; Ах2 у2) +

2 У СХ г

—J[(t - У)0 F3(3/2,3/2,2;^0)]®1(i )dt

+

СУ

2

2 x

-J [(s - x)0 F (3/2,3/2,2; ю0 ( s)ds,

(20)

где а0=Ах2(1 - у)2, сой=Лу2(з - х)2, А = -с/16.

Подставляя (20) в (8) и учитывая (12) и (13) меняем порядок интегрирования, а затем, вычислив внутренние интегралы, получим

их( x, y) = ^( x) + ft( y) (0)0 F3(a + 1/2,ß + 1/2,2; Ax2 y2) -

cx2yß y

2(2a +1)

J ft (s)sß(y - s) 2 K{2) (ß,1 - ß; a + 3/2,2,3/2;^,^ )ds -

2 -a x

cy x

2(2 ß +1)'

(s)sa(x-s)2K(2)(a,1 -a;ß + 3/2,2,3/2; to2,g2)ds, (21)

ж

0

0

0

0

24

T. 2 №12. 2022

где

С = -( y - s)2/ 4 ys,

Ы=-(с/16) x2( y - s)2

С = -(x - s)2 / 4xs

cr2=-(c/16)y (x — s) , 2K('(a, b; a',b' ; c;a>,c) - вырожденная гипергеометрическая функции,

которая

K3(2)(a, b; a', b '; с;с,ы) = ^

определяется

(a )„ (b)m С Ы

=o(a')я(b ')й(с)и+л m! n!

с помощью ряда

Этот ряд сходится при

С < 1, Ы < да.

Для построения решения уравнения (19), удовлетворяющее условиям u(0, y) = 0, lim x2aux (x, y) = (2(y), 0 < y < h,

x^0

u(x,0) = 0, limy2ßu (x, y) = ^2(x), 0 < x < l,

y^0 y

воспользуемся следующим, легко доказываемым свойством решения уравнения (19): если щ(x,y;1 — a,1 — ß) является решением уравнения Ц_а1_ß(ux) = 0, удовлетворяющее условиям (6) и (7), то функция щ(x,y;a,ß) = x1~2ay1~2ßux(x,y; 1 — a,1 — ß) при 0 < a,ß < 1/2 будет решением

уравнения Lcaß (u2) = 0, удовлетворяющее условиям

u2(0,y) = 0, limx2au2x(x,y) = (1 — 2a)((y), 0 < y < h;

x^0

u2 (x,0) = 0, limy2ßu2 (x, y) = (1 — 2ß)^(x), 0 < x < l.

Учитывая это свойство и заменив (1 — 2a)(( y) и (1 — 2ß)^ (x) соответственно на ( (y) и \у2 (x), из равенства (21) получим

1-2 ß x 1—2a

u2(x, y) = -;—T77 ^2(x) + (2(y) —

1 - 2ß

1 - 2a

cx3~ 2ay-ß ^ ^

jV2 (s)sß( y - s)2 K(2)(ß,1 -ß;(1/2)-а,2,3/2;с,Ы )ds -

x

jV2(s)sa(x - s)2K(2)(a,1 -a;(1/2) -ß,2,3/2;c2)ds ■ (22)

2(3 - 2а)(1 - 2а)' 2(3 - 2^)(1 - 2Р\

В силу принципа линейной суперпозиции решение задачи G представимо в виде и( х, у) = щ (х, у) + Щ (х, у).

Заключение

Применяя оператор преобразования Эрдейи-Кобера, построено точное решение поставленной задачи. Несмотря на развитие современной вычислительной техники, построение точных решений краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных по-прежнему остаётся важной и актуальной задачей. Эти решения позволяют глубже понять качественные особенности описываемых процессов и явлений, свойства математических моделей, а также могут быть использованы в качестве тестовых примеров для асимптотических, приближенных и численных методов.

25

T. 2 №12. 2022

Список использованной литературы:

1. Киприянов И.А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. - М.: Наука -Физматлит, 1997. - 204 с.

2. Weinstein A. Discontinuous integrals and generalized theory of potential// Trans. Am. Math. Soc. - 1948. - 63, № 2. - P. 342-354.

3. Weinstein A. Generalized axially symmetric potential theory// Bull. Am. Math. Soc. - 1953. - 59. - P. 20-38.

4. Волкодавов В.Ф., Николаев Н.Я. Краевые задачи для уравнения Эйлера-Пауссона-Дарбу. - Куйбышев: Изд. Куйбышев. гос. пед. ин-та, 1984.

5. Джаяни Г.В. Уравнение Эйлера-Пауссона-Дарбу. -Тбилиси: Изд-во Тбилис. ун-та, 1984.

6. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. - М.: Мир, 1990.

7. Estrada R., Rubin B. Null spaces Of Radon transforms// arXiv: 1504.03766, V1.

- 2015.

8. Ludwig D. The Radon transform on Euclidean space// Math. Methods Appl. Sci.

- 1966. - C. 49-81.

9. Bers L. On a class of differential equations in mechanics of continua// Quart. Appl. Math. - 1943. No 1. - С. 168-188.

10. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. - М.: Наука, 1979.

11. Бицадзе А.В., Пашковский В.И. К теории уравнений Максвелла-Эйнштейна// Докл. АН СССР. - 1974. - No 2. - С. 9-10.

12. Бицадзе А.В., Пашковский В.И. О некоторых классах решений уравнения Максвелла-Эйнштейна// Тр. МИАН. - 1975. - C. 26-30.

13. Джаяни Г.В. Решение некоторых задач для одного вырождающегося эллиптического уравнения и их приложения к призматическим оболочкам. -Тбилиси: Изд-во Тбилис. ун-та, 1982.

14. Carroll R.W., Showalter R.E. Singular and degenerate Cauchy problems. - N.Y.: Academic Press, 1976.

15. Матшчук М.1. Параболiчнi сингулярш крайовi задачт - Кшв: 1н-т математики НАН Украши, 1999.

16. Катрахов В. В., Ситник С. М. Метод операторов преобразования и краевые задачи для сингулярных эллиптических уравнений. //Современная математика. Фундаментальные направления. -Москва, 2018, -т. 64. -№ 2. -C. 211-426.

17. Ситник С. М., Шишкина Э. Л. Метод операторов преобразования для дифференциальных уравнений с операторами Бесселя. -М.: Физматлит, 2019. -224 c.

18. Салахитдинов М.С., Уринов А.К. Краевые задачи для уравнений смешанного типа со спектральным параметром. -Ташкент: Фан. 1997. -168с.

19. Джураев Т.Д., Сопуев А. К теории дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка.-Тошкент: ФАН, 2000,-144 с.

© ®

26

INTERNATIONAL JOURNAL OF THEORETICAL AND PRACTICAL

ISSN 2181-2357

T. 2 №12. 2022

RESEARCH!____,

ISJIF 2022:5.962

20. Жегалов В. И., Миронов А. Н., Уткина Е. А. Уравнения с доминирующей частной производной. - Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2014. -385 с.

21. Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. -М.: Наука, 2007. -287 с

22. Салахитдинов М.С., Мирсабуров М. Нелокальные задачи для уравнений смешанного типа с сингулярными коэффициентами. -Ташкент: Университет. 2005.-223 с.

23. Салахитдинов М.С., Исломов Б. Уравнения смешанного типа с двумя линями вырождения. - Ташкент: Мumtoz so'z. 2010. -264 с.

24. Маричев О.А., Килбас А.А., Репин О.А. Краевые задачи для уравнений в частных производных с разрывными коэффициентами. -Самара, 2008. -276 с.

25. Уринов А.К. К теории уравнений Эйлера-Пуссона-Дарбу. -Фергана, 2015. -216 с.

26. Уринов А.К., Каримов Ш.Т. Операторы Эрдейи - Кобера и их приложения к дифференциальным уравнениям в частных производных. Монография. - Фергана: Фаргона, 2021. - 202 с.

27. Салахитдинов М.С. Уравнения смешанно - составного типа. - Тошкент: Фан. 1974.-156 с.

28. Смирнов М.М. Модельное уравнение смешанного типа четвертого порядка. - Ленинград: Изд-во ЛГУ. -1972. -123 с.

29. Мередов М.М. О единственности решения краевых задач для уравнения смешанного тип четвертого порядка // Известия АН Туркм. ССР. Серия физ.-техн., хим. и геол. наук. -1967. -№4. -С .11-16.

30. Carroll R. Transmutation and Operator Differential Equations. -North Holland, 1979. - 245 p.

31. Carroll R. Transmutation Theory and Applications. -North Holland, 1986. -351 p.

32. Kiryakova V. Generalized Fractional Calculus and Applications. Long- man Sci. & Technical and J. Wiley & Sons, -Harlow and N. York, 1994. -387 p.

33. Karimov, Sh.T. Multidimensional generalized Erdelyi-Kober operator and its application to solving Cauchy problems for differential equations with singular coefficients. Fract. Calc. Appl. Anal., Vol. 18, No 4 (2015), pp. 845-861.

34. Karimov, Sh.T. An Analog of the Cauchy Problem for the Inhomogeneous Multidimensional Polycaloric Equation Containing the Bessel Operator. Journal of Mathematical Sciences (United States), 2021, 254(6), pp. 703-717.

35. Karimov, Sh.T., Sitnik S. M. On some generalizations of the properties of the multidimensional generalized Erdelyi-Kober operator and their applications. in Transmutation Operators and Applications, Ed. by V. Kravchenko and S. M. Sitnik, Trends in Mathematics (Springer, 2020), 2020. pp. 85-115.

36. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и их приложения. - Минск: Наука и техника, 1987.702 с,

37. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т.1,2. -М.: Наука, 1973. - 296 с.

27