Задача Гильберта для бианалитических функций в случае контура, определяемого случайной функцией Гёльдера, сходящейся в среднем квадратическом Текст научной статьи по специальности «Математика»

---------------------------------------- © А.Э. Адигамов, О.А Изотова,

2011

УДК 51

А.Э. Адигамов, О.А. Изотова

ЗАДА ЧА ГИЛЬБЕРТА ДЛЯ БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СЛУЧАЕ КОНТУРА, ОПРЕДЕЛЯЕМОГО СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИЕЙГЁЛЬДЕРА, СХОДЯЩЕЙСЯ В СРЕДНЕМ КВАДРАТИЧЕСКОМ

Рассмотрен вопрос о влиянии на решение краевых задач для бианалитических функций формы контура, определяемого случайной функцией.

Ключевые слова: задачи теории упругости, бианалитические функции, краевые задачи.

».известно, что основные задачи теории упругости, а также краевые задачи для -жЛ. аналитических функций и их обобщений, рассматриваются на пространстве функций, удовлетворяющих условию Гельдера [2], то есть функций, для которых на контуре L выполняются условия:

|Ф(^)-Ф(^)| < А|?2 - ^ Г , ?1, ¿2 £ Ь

где А - определенная константа, 0 < Г < 1.

Однако на практике приходится работать с нагрузками и контурами, заданными случайным образом. Поэтому возникает необходимость в расширении пространства функций Гельдера на пространство случайных функций.

В работе рассмотрим вопрос о влиянии на решение краевых задач для бианали-тических функций формы контура, определяемого случайной функцией.

Напомним, что в классической теории краевых задач гладким замкнутым контуром L называют линию, которую можно представить параметрически следующим образом:

X = х(У), у = у^),

где s - параметр (длина дуги, отсчитываемая от произвольной точки s0 против часовой стрелки), х^), у^) - непрерывные, дифференцируемые функции, причем

И^)]2 +[у'(^]2 * °.

Под касательной к линии L называют положительную касательную, проведенную в сторону возрастания s; 6 - угол составляемый касательной в точке I £ Ь с осью Ох рассчитывается по формулам: cos6 = х'^), sin6 = у'^).

Если функция 6(^) удовлетворяет условию Гельдера [1], то контур L называется кривой Ляпунова.

Все основные краевые задачи для аналитических функций и их обобщений рассматриваются на контуре Ляпунова.

Для кривых Ляпунова справедливо следующее утверждение.

Утверждение. Пусть г = б(£), £ = х(2) - соотношения (каждое из которых является обращением другого), осуществляющие конформные отображения области D+, ограниченной контуром L, на круг у(|£| < 1) плоскости £ . Тогда бк(£) и

%к (г) (к = 0,1) непрерывно продолжимы на единичную окружность Г и контур L соответственно.

При решении практических задач чаще используется не параметрическое уравнение контура, а конформно отображающая функция б (г).

Рассмотрим контуры, для которых функция б(£) представляет собой случайную аналитическую функцию, удовлетворяющую на контуре L условию Г ельдера в среднем квадратическом вместе со своей производной [5]. Назовем такие контуры случайными.

Решим, для примера, задачу Гильберта для бианалитических функций в случае контура, определяемого случайной функцией Гельдера, сходящейся в среднем квадратическом.

П. 1. Постановка задачи.

Дан случайный контур L и на нем даны функции комплексного переменного t = х^) +1у ^) : ак (^), Ьк (^) , удовлетворяющие условию Гельдера, ск (^), удовлетворяющие условию Гельдера в среднем квадратическом. Кроме того на L выполняются равенства:

[ак о)]2 + [ьк(t)]2 = 1 к = 1 2. (1)

Требуется найти дифференцируемую в среднем квадратическом в области D+ и непрерывную в среднем квадратическом на контуре L случайную бианалитическую функцию F(г) = и(X, у) + /у(X, у), предельные значения действительной и мнимой части которой удовлетворяют на контуре L соотношениям:

, ч ди 7 , . ду ,.

al(t ^ + bl(t ^ = cl(t(2) дх дх

, ч ди 7 ,. ду , .

a2(t ^ + b2(t ^ = С2^). (3)

ду ду

П. 2. Решение задачи.

Рассмотрим случайную аналитическую функцию б(£), отображающую область D на внутренность единичного круга у, ограниченного контуром Г, причем б(£) на Г удовлетворяет условию Гельдера в среднем квадратическом вместе со своей производной включительно (см. рисунок).

Продолжим по симмет-рии заданную в области у+ (единичном круге) случайную функцию Ф+ (г) в область у (внешность единичного круга), считая, что в точках, симметричных относительно контура, случайные функции принимают сопряженные значения, т.е.

Ф (г) = Ф + (!) = Ф + (-). (4)

г г

Определенная таким образом функция Ф—(г) будет случайной аналитической в области у —, дифференцируемая в среднем квадратическом в области

У".

Совокупность случайных функций Ф+(г) и

Ф— (г) можно рассматривать как одну кусочно случайную аналитическую функцию.

Когда точка z из области у + стремится к точке 1 контура, симметричная ей точка в у — стремится к той же точке 1 Поэтому

(5)

дФ - (I) = дФ+ (г); дФ - (I) = дФ + (I) дх дх ’ ду ду

Краевые условия (2) и (3) задачи Гильберта запишем так:

, г ч дФ + (t^ .и лдФ+ (t) _

(а1 — .)----------------+ (а1 + .)--------------------= 2с

дх

дх

ги • ч дФ + (t) , , . лдФ + (t) _ .

(Ь2+ш2) —-—+ (—.¿2 + а) —-— = 2с2?.

ду

ду

(6)

(7)

(8)

дФ+^) дФ — (t) дФ+^)

Заменяя, на основании изложенного выше, ------- на -------- и -------- на

дх

дх

ду

, из (7) и (8) получим:

ду

дФ+^) а1 + ¡Ь1 дФ— (t) 2с1

дх

дх

■ + ■

дФ+ (t) Ь2 — 1а2 дФ ^) . 2с

ду Ь2 + 1а7

Или

ду

+1 •

(9)

(1°)

дФ+ (V) дФ (V)

—^ = ^), (11)

дх дх

дФ+ (V) дФ~ (V) .

—;------= ^)—г— + ^) , (12)

ду ду

_ .. а, + ¡К . Ь2 - ¡а2 .. 2с, . . 2с2

где Gl (V) = -G2 (V) = 7^^, gl (V) =-----------------g2 (V) = Т--------—,

а, -¡Ь, Ь2 + /а2 а, -¡Ь, Ь2 + /а2

причем ),G2(t) - детерминированные функции, g1(t), g2(t) - случайные

функции, удовлетворяющие условию Г ельдера.

Краевые условия (11) и (12) представляют собой краевую задачу Римана для случайных бианалитических функций с заданными детерминированными функциями Gk (V) и случайными функциями gк (V) (к = 1,2).

Будем искать решение задачи в виде:

Ф+ (2) = Ро+ (2) + Р+ (^), ^ е у+, (13)

Ф (2) = (Р0(2) + р-(2), 2 еу~, (14)

удовлетворяющие краевым условиям (11) и (12).

1) Пусть G1 (V) = G2 (V) = 1. Тогда краевые условия (11) и (12) примут вид:

дФ + (V) дФ~ (V) дх дх

дФ + (V) дФ~ (V)

ду ду

В этом случае решение задачи сводится к последовательному решению двух обычных задач Римана:

Г+ ^) = ГГ (t) + ^), (17)

+ gl(t), (15)

+ ¡g2(t). (16)

и

К(t) = К ()+Чо('), (18)

о V/ * о У*/ 1 4.0 где

Fо±(2) = аро (2), (t) = 1 [gl (t) - g2(t)]5

а2 2

. - ар- (V) - ар1+ (V) 1 1

^) = - + 2 ^) + 2 g 2(').

2) Пусть Gl(t) = 1, G2(t) = -1. Тогда краевые условия (11) и (12) примут вид:

дФ + (V) дФ~ (V)

дх дх

дФ + (V) дФ - (V)

+ gl(t), (19)

+ Щ2 (t), (2о)

ду ду

где gk (V) (к = 1,2) принадлежат классу случайных функций, удовлетворяющих

условию Гельдера в среднем квадратическом.

Используя соотношения

д = д д д = / д д ^

дх д2 д 2 ’ ду ^ д2 д 2/

перепишем краевые условия (19), (2о) в следующем виде

Го+ '(t)+Р+ '(t) + Р+(t) = ро- '(t)+Г ) + Гр(t)]+gl(t), (21)

Го+ '(t)+Р+ '(t) - р+(t) = - [го- )+Г '(t) - Гр(t)]+g2(t). (22)

Введем обозначения:

F± (2) = р£> + р± (Г)>

а2

Q0 (t) = Щ '(t) + -'р+ '(t) + & (t), (23)

где Q0(t) принадлежит классу случайных функций, удовлетворяющих условию

Гельдера в среднем квадратическом.

С учетом обозначений (23) краевое условие (21) можно записать так:

(V) = F- (V) + Qо(t). (24)

Предположим временно, что Q0(t) - известная функция. Тогда (24) есть краевое

условие обычной задачи Римана относительно кусочно аналитической случайной

функции F0± (г) .

Так как %1 = 1паС1 (V) = 1па(1) = 0, то решение задачи (24) будет выражаться формулой:

^±(2) = х±(«¿7!Щ <25)

Так как на окружности Г выполняется соотношение

' = У,, (2б)

то, с учетом (26), обозначений (23), из (25) получим

^ (2)^ (2)+хи. | м! *_, (27)

2 2%1 Г Х1 (г) Т - 2

где

(27а>

р1±(2)\

2)|(1) = аР1 (2)

Далее, подставив в краевое условие (22) вместо F(± (V) граничные значения случайных функций ^± (2) , определенных по формулам (27) и (27а), будем иметь:

(t) + & (t) + p(t) JЩг^т = Qx(t),

где

Qi(t) =

A1(t) f g1(T) dT 1

4ni /X1+ (т) т - z 2

7g2 (tX

A 1( t) = - X1- (t) - X1+ (t),

P(t) =

4ni

X1- (t) X+(t)

tX1- (0) tX\ (0)

(28)

(29)

(30)

Равенство (28) есть краевое условие обобщенной задачи Римана с вырожденными ядрами.

Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема. Задача Гильберта для бианалитических функций на случайном контуре L равносильна двум краевым задачам Римана для бианалитических функций на единичной окружности.

1

1. Гахов Ф.Д. Краевые задачи - М: Наука, 1977. - 640 с.

2. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука, 1966. - 707 с.

3. Пугачев В.С., Синицын И.Н. Теория стохастических систем. - М.: Логос, 2004. -1000 с.

4. Юденков А.В. Краевые задачи со сдвигом для полианалитических функций и

--------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

их приложения к вопросам статической теории упругости. Смоленск. «Смядынь». 2002 г. - 268 с.

5. Юденков А.В., Адигамов А.Э., Изотова О.А., Володченков А.М. Математические модели задач теории упругости для анизотропного тела на классе случайных функций // Горный информационно-аналитический бюллетень. -Москва: Изд-во МГГУ, 2010. - №1. liim

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ -------------------------------------------------------

Адигамов А.Э. - кандидат технических наук, Московский государственный горный университет, Moscow State Mining University, Russia, [email protected]

Изотова О.А. - ст. преподаватель кафедры информационных технологий и высшей математики, Смоленская государственная сельскохозяйственная академия, [email protected]

А