Задача формирования портфеля инвестора в инвестиционных фондах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Задача формирования портфеля инвестора в инвестиционных фондах

Богатко О.В.

В статье рассматривается один из аспектов теории инвестиционного портфеля - формирование эффективного портфеля с ограничениями на доли входящих в него активов. В работе приведены основные модели и алгоритмы решения задачи.

Задача формирования инвестиционного портфеля состоит в определении оптимальной структуры портфеля из альтернативных вариантов при наличии данных о доходности активов; степени их рискованности, выраженной средне-квадратическим отклонением или дисперсией распределения доходности; корреляции активов по отношению друг к другу; предпочтений инвестора. Тематика данного исследования обсуждалась ранее в работах нобелевских лауреатов Мар-ковица, Шарпа [1,2,3].

В работе Марковица The Optimization of a Quadratic Function Subject to Linear Constraints в 1956 г. был предложен алгоритм решения задачи - Critical-Line method. Этот алгоритм может быть использован для решения так называемой основной задачи определения эффективного портфеля при условии отсутствия дополнительных ограничений (верхнего и нижнего) на количество актива, входящего в портфель, так и для стандартной задачи при наличии этих ограничений.

Рассмотрение данных задач продолжил Шарп, и в своей работе Portfolio theory and Capital Markets в 1970 г. он подробно описал Critical-Line algorithm и рассмотрел смежные задачи [2].

В представленной работе при решении задачи формирования портфеля была решена одна из проблем, поднимаемая в работах Шарпа [2,3] - проблема вырожденности угловых точек 1 - параметра, определяющего предпочтения инвестора при формировании портфеля, когда несколько активов меняют свой статус в угловых точках. Алгоритм, представленный в данной работе, не исключает их появление, но не сталкивается с трудностями, которые отмечал Шарп при описании алгоритма Critical-line algorithm [2]. Также к решенным алгоритмическим проблемам относятся: проблема поиска первоначальной 1, проблема определения статуса активов при уменьшении 1.

Оригинальность предлагаемого метода также состоит в том, что он позволяет автоматизировать процесс принятия инвестиционного решения. Созданные ранее методы [2,4] были полуаналитические, что затрудняет их практическое использование.

Построим границу эффективности портфеля и семейство прямых, получен-

Богатко О.В. - магистр экономики.

ных из кривых безразличия в результате перехода от системы координат (Е,8) к системе координат (Е,д2), где М - эффективный портфель. Рациональный инвестор стремится сдвинуть прямую влево, минимизируя риск, выраженный дисперсией, - рассеянием доходности (основные обозначения определены ниже) [4]:

Е p

arctg l

граница эффективности множество портфелей

s = V,

Рис.1.

Основной задачей формирования портфеля является следующая задача:

(1) (Vp - ЯЕр) ® min,

М i \ при условии ^х. = 1 Для всех 1> 0 , х. е (-да,+да), так что внутренность допусти-

i=1

мого множества ограничений непуста,

где е =^х Е - ожидаемая доходность портфеля,

i=1

N N

ожидаемый риск (дисперсия) портфеля,

Гр = Х С

С г = рги а - ковариации активов в портфеле,

Хг - доля 1-го актива в портфеле,

ЕI - доходность 1-го актива,

а - СКО 1-го актива,

1 - параметр, определяющий предпочтения инвестора,

Ру - коэффициент корреляции между 1-ым и ^ым активом в портфеле,

г, j £ [1.М],

N - кол-во активов в портфеле.

Отрицательная величина Х^ отражает отношение займа, так ценные бумаги продаются с короткой позиции. Параметр 1 = ¥ означает безразличие инвестора к риску, 1 = 0 означает минимальный риск. Решением данной задачи

является вектор X, определяющий структуру портфеля.

При наложении на величины Х^ ограничений получаем стандартную задачу формирования эффективного портфеля. Чаще всего полагают X^ > 0. То есть предполагается, что инвестор не собирается делать эмиссию или брать в долг. Кроме того, возникают ограничения типа: доля любого актива в портфеле не должна превышать определенной величины.

Обозначим минимальную границу доли актива I в портфеле - и максимальную - V]. Тогда в общем случае Ц < Xi < Vi.

Имеем стандартную задачу поиска эффективного портфеля, т.е.

(2) (Vp - 1Ep) ® min,

'X,. = 1

i=1 1 > 0

Li <Xi < V-, i £ [1..N].

Первым этапом решения данной задачи является определение статуса активов при 1 ® ¥. Если для i-го актива выполняется условие Li < Xi < Vi, он имеет статус in. Если Xi = Vi - статус up, если Xi = Li - статус down.

Сначала всем активам, входящим в портфель, присваивают нижний статус, кроме одного, у которого максимальная доходность. Для этого j-го актива кладут

N

Xj = 1 Li , (i^j). Если полученная величина не превосходит Vj , то решение для

i=1

1®¥ найдено. Если же полученная величина превосходит V■, то выбранному активу присваивают верхний статус Xj = Vj, берут следующий высший по до-

N

ходности актив и подбирают такое X , чтобы ^X t = 1. Это процедура повторяется

i=1

до тех пор, пока для всех активов не будет найден их статус при 1® ¥ [4].

Следующий этап решения задачи включает поиск решения задачи (2), дискретно изменяя параметр 1 от 0 до <х>, пока не получим решение, найденное для 1 ® ¥. Данное решение будет применимо для некоторого 1.

Решение находится методом Фиакко и Мак-Кормика барьерных функций. В результате получаем для каждого Xi непрерывную ломаную линию. В критических точках 1, в которых активы меняют статус, имеем характерные углы - свойство построения портфеля. Каждой критической точке соответствует эффективный портфель, который называется угловым. Число угловых портфелей конечно.

Определяем значения риска и доходности портфеля в критических точках 1. Выбрав цену риска op, соответствующую доходности Ep и X', инвестор получит эффективный портфель, отвечающий его готовности рисковать ради получения дохода.

Задача (2) является задачей квадратичного программирования. Условия существования решения и его единственности определяются необходимыми и достаточными условиями Куна-Таккера [5].

Покажем выпуклость целевой квадратичной функции задачи (2).

Имеем разницу выпуклой и линейной функций, результатом которой является выпуклая функция. Функция ур является выпуклой вследствие положительной определенности матрицы, образованной элементами С у. Положительная определенность матрицы показывается положительной определенностью дисперсии V р '

Задача формулируется в общем виде:

(3) Е0(х) ® т1п,

Ег (х) < 0, г=1,..,М, х - вектор 1хМ,

где Ег - выпуклая функция, г=1,...,М.

N

Для приведения условий задачи (2) к форме (3) полагаем < 1. Так

оптимальное решение находится на границе допустимой области в силу выпуклости целевой функции и наличия линейности в системе ограничений, данное предположение не противоречит условиям задачи.

Суть метода барьерных функций заключается в замене условной оптимизации эквивалентной задачей безусловной минимизации. В этом методе к целевой функции исходной задачи (3) добавляется барьерный член, который не позволяет генерируемым точкам выходить за пределы допустимой области. По своему построению процедура приводит к движению изнутри области к границе, и оптимальное решение оказывается на границе допустимой области. Таким образом строится последовательность допустимых точек, сходящихся к оптимальному решению исходной задачи. На рис. 2 представлено решение для двух переменных.

1=1

Рис.2.

Рассмотрим метод Фиакко и Мак-Кормика барьерных функций. Практически этот метод применим только в задачах выпуклого программирования, что представляет собой наш случай. Допустим исследуется задача, сформулированная выше, - минимизация функции Е0(х), где х - вектор при непрерывных функциях ограничения Ег (х) < 0, г=1,...,М. Предполагаем, что все Е^х) выпуклы и существует такая точка х, что Ег (х*) < 0, г=1,...,М, так что внутренность допустимого множества ограничений непуста. Составим функцию, определенную внутри допустимого множества:

(4) Р(х,г) = Е0(х) - У —— , г>0,

,=1 Рг (X)

Нетрудно проверить, что Р(х,г) выпукла по х внутри допустимого множества [5].

Если обозначить через х(г) точку минимума Р(х,г) в допустимом множестве, то при достаточно общих предположениях можно показать сходимость метода:

(5) Ьгт—-^-= иг,Пг ^ 0,г = 1,...,М,

г®0 ^ (х(г))

где иг - множители Лагранжа задачи минимизации Е0(х), г=1,...,М [5]. Таким образом, приближенное решение задачи с ограничениями свелось к задаче нахождения минимума функции Р(х,г) без ограничений [5].

Для решения задачи без ограничений используется метод с квадратичной скоростью сходимости - метод Ньютона [6]. Приближения будем получать по формуле:

(6) X,+1 = X, -Р^ ,

к Р (Xк, Г)

где производные берутся по Х^.

Таким образом построен алгоритм решения задачи.

Общее количество оцениваемых параметров, включая ожидаемые доходно-

7 N - N 2

сти, дисперсии, вектора ограничений, матрицу корреляций, составляет

2 '

где N - размерность задачи.

Задача формирования оптимального портфеля решена автором программным путем. Приложениями решения данной задачи являются задача формирования и управления портфелем инвестора, состоящего из разнообразных активов: реальных активов, товарных ценностей, вложений в недвижимость, акций, облигаций, производных ценных бумаг, других инвестиционных инструментов; задача формирования и управления портфелем инвестора с фиксированной доходностью.

Составим портфель инвестора, инвестирующего по отраслевому признаку в отрасли: нефтегазовой промышленности, энергетики, телекоммуникации и связи, металлургии и машиностроения. В качестве объектов инвестирования возьмем обыкновенные акции следующих Российских предприятий: нефтегазовая промышленность - «Лукойл», энергетика - «Мосэнерго», телекоммуникация и связь -«Ростелеком», металлургия - «Норильский никель», машиностроение - «КамАЗ».

Пользуясь ежедневными данным котировок РТС на март 1997 г., рассчитаем доходности и СКО акций за единичный период: Е1=0,34%, Е2=1,01%, Е=1,22%, Е4=0,56%, Е5=1,9%, (7=2,76%, а 2=2,07%, а 3=1,16%,а 4=1,98%,а 5=1,79%. Положим ограничение на долю акций одного типа в портфеле не менее 0 и не более 50%.

В результате работы программы, выбрав по данным построенных графиков цену риска (дисперсия - 0,47%, СКО - 0,69%) и значение доходности (ожидаемая доходность - 1,56%), получаем структуру оптимального портфеля - доли предприятий в портфеле для 1 =4: «Лукойл» - 0%, «Мосэнерго» - 0%, «Ростелеком» -50%, «Норильский никель» - 0%, «КамАЗ» - 50%. Значения годовой доходности и

риска составили: годовой доходности - 80,23%, годовой дисперсии - 24%, что согласуется с реальными значениями на тот период.

Подробнее решение задачи наряду с анализом метода с точки зрения применения на Российском фондовом рынке представлено в работе автора [7].

* * *

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Markowitz H.M. Portfolio selection. - Journal of Finance, no. 1, March 1952.

2. Sharpe W.F. Portfolio Theory and Capital Markets. - McGraw-Hill, 1970. С 257-287.

3. Sharpe W.F., Alexander G.J., Bailey J.V. Investments. - Prentice Hall, fifth edition,

1995.

4. Буянова Е.А. Управление портфелем ценных бумаг. - М.: ВШЭ, 1996.

5. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. -М.: Наука, 1975.

6. Сухарев А.Г., Тимохов А.В. Курс методов оптимизации. - М.: Наука, 1986.

7. Богатко О.В. Формирование и управление портфелем инвестора в инвестиционных фондах. - Проблемы экономической теории и практики на современном этапе развития.: Сборник научных трудов. - М.: МГАПИ, 1998. С. 17.