CC BY
70
Удк 336.648
выбор портфеля инвестиций с учетом асимметрии распределения доходности и транзакционных издержек
С. С. СТУДНИКОВ, старший преподаватель кафедры финансов и кредита E-mail: serge@econ msu. ru Московский государственный университет
им. М. В. Ломоносова
Д. М. МИХАЙЛОВ, студент экономического факультета E-mail: danilamiha91@gmail. com Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации
В статье отмечается, что классическая модель Г. Марковица для выбора инвестиционного портфеля не учитывает транзакционных издержек и предпочтений инвестора касательно положительной асимметрии доходности портфеля. Предлагается математическая модель, включающая эти факторы и не приводящая к сложным вычислениям. Показана применимость модели к фондовому рынку России.
Ключевые слова: выбор портфеля, транзакци-онные издержки, асимметрия распределения доходности, алгоритм роя частиц.
В 1952 г. Г. Марковиц в своей работе [8] сформулировал идеи, составившие основу классической портфельной теории. Предложенный им подход «доходность - стандартное отклонение» служит основанием для развития финансовой теории до настоящего времени. Однако многие исследователи предлагают изменить исходную модель Марковица за счет снятия части предпосылок или ввода в нее новых факторов. Например, С. Джиови, С. Фунари и К. Нардели в своем исследовании [4] вводят функцию полезности, основанную на поведенческих факторах. Исследователь М. Ида предлагает постановку задачи Марковица для случая, когда точные
значения параметров не могут быть получены, но возможно получить интервал для их значений [5].
Существует множество работ, в которых утверждается, что при постановке задачи Марковица должны быть учтены высокие моменты распределения доходностей [1, 9, 10]. Как показал Ф. Ардитти, инвесторы предпочитают активы с положительной асимметрией, так как высокие значения коэффициента скошенности (skewness) распределения означают низкую вероятность крупных отрицательных норм прибыли [1]. Исследователь Т. Лай продемонстрировал, что предпочтения инвестора относительно асимметричности распределения могут быть включены в модель выбора портфеля в явном виде, превращая исходную задачу Марковица в полиноминальную задачу [7]. Для нахождения решения этой полиноминальной задачи была разработана процедура многокритериальной оптимизации, анализирующая такие свойства портфеля, как доходность, дисперсия и асимметрия распределения доходности. Решением этой задачи являются значения весов активов в инвестиционном портфеле, составленном из некоторого заранее отобранного множества активов.
Транзакционные издержки являются одной из главных проблем инвестиционных менеджеров,
так как они влияют на стоимость ребалансировки портфеля и частоту, с которой она происходит. Исследователи Р. Арнотт и В. Вангер выявили, что игнорирование транзакционных издержек приводит к формированию и владению неэффективным портфелем [2]. Позже экспериментальный анализ, проведенный А. Йошимото [14], также подтвердил эти выводы. Учет транзакционных издержек необходим при тестировании методик активного управления портфелем, поскольку именно этот фактор часто сводит на нет все преимущества активного управления. Более того, брокерские компании откровенно заинтересованы в «расторговке» инвестора, который к ним обратился за открытием счета, так как они получают комиссионные с его сделок. Следовательно, с точки зрения инвестора возникает необходимость определения частоты пересмотра портфеля или условий, при которых надо переформировывать портфель, чтобы не совершать лишних операций.
Многие исследователи отмечают, что снятие любой предпосылки исходной модели Марко-вица, например про отсутствие транзакционных издержек, про минимальное количество актива, участвующего в сделке, про нормальное распределение доходностей активов, делает задачу выбора портфеля сложной математической проблемой. При этом использование традиционных алгоритмов оптимизации для решения модифицированной задачи Марковица часто не приводит к получению оптимального решения в явном виде или связано с вычислительными сложностями.
Поэтому большинство исследователей для решения расширенной задачи выбора портфеля прибегают к помощи эвристических алгоритмов. Например, Й. Ся предлагает использовать генетический алгоритм для выбора портфеля [13]. Исследователь Т. Чанг предлагает использовать алгоритмы нечеткой логики, основанные на генетических алгоритмах [3]. Исследователь М. Сперанза предлагает использовать аппарат линейного программирования, базирующийся на нечеткой логике, для оптимизации портфеля с учетом транзакционных издержек и минимального размера сделки [11].
Существуют исследования, например [15], использующие для нахождения решения проблемы выбора портфеля алгоритм оптимизации роя частицы (particle swarm optimization, PSO). В силу относительной молодости этого алгоритма, потенциал его применения в финансовых исследованиях еще
полностью не использован. Данный алгоритм отличается низкой алгоритмической сложностью, высокой скоростью схождения и, за счет варьирования параметров, приемлемой точностью результатов.
В представленном исследовании авторами рассматривается задача формирования инвестиционного портфеля с учетом: асимметричности распределения доходностей активов, транзакционных издержек и отсутствия бесконечной делимости активов. Надо отметить, что такое сочетание факторов в одной модели не было использовано ранее ни одним исследователем, однако, на взгляд авторов, именно эти факторы в первую очередь определяют окончательное решение относительно формируемого портфеля.
Представленное исследование построено следующим образом: сначала представлена математическая постановка задачи выбора портфеля с учетом ранее перечисленных факторов, затем описывается модификация метода роя частиц, предлагаемая для решения поставленной задачи. В завершение показывается применение предложенной модели для формирования портфеля из акций фондового рынка России и приводятся выводы относительно использования предложенной модели с обсуждением вариантов ее дальнейшего улучшения.
Исследователь Т. Лай предложил использовать двухэтапную задачу выбора портфеля, чтобы учесть асимметрию распределения [7]. Это предложение оказалось плодотворным, поэтому авторы также предлагают разбить нахождение решения задачи на два этапа, характеристики которых коротко представлены в табл. 1.
В предлагаемой модели на первом этапе решается задача выбора портфеля на основе подхода «доходность — стандартное отклонение» с транзакционными издержками. Рассматриваемая
Таблица 1
Этапы нахождения решения расширенной задачи выбора портфеля
Этап содержание
1-й этап Отдельно решаются две задачи: задача максимизации доходности портфеля (целевая функция 01(х) и задача максимизации коэффициента асимметрии доходности портфеля (целевая функция 02(х))
2-й этап На основе решений, полученных на первом этапе, строится и минимизируется новая целевая функция, учитывающая предпочтения инвестора к доходности и асимметрии (целевая функция О(х))
Источник: составлено авторами на основе работы [7].
модель включает n рисковых активов. Пусть r будет фактической доходностью актива j, а x. будет долей капитала, которую инвестируют в актив j, j = 1,2,..., n. Введем следующие обозначения: вектор весов отдельных активов, из которых формируется портфель, обозначим через x = (xl, x2,..., xn)', вектор фактических доходностей этих активов обозначим через r = (rp r2,..., rn)', а единичный вектор обозначим через e = (1,1,..., 1)'. Обратим внимание, что вектор x фактически может использоваться как обозначение портфеля, так как не может быть двух разных портфелей с одинаковыми весами активов. Штрихом обозначена операция транспонирования. Тогда ожидаемая доходность E (r) и дисперсия D(r) портфеля x получаются: E(r) = r'x и D(r) = x 'Cx соответственно, где C = (öj.)nxn является ковариационной матрицей ожидаемых доходностей.
Чтобы применить подобную модель в инвестиционной практике, нужно оценить r и C = (о..)ихп. Пусть имеются данные о наблюдениях доходнос-тей активов за m периодов. Дискретный момент времени задается через порядковое значение k, k = 1,2,., m, доходности n активов в момент k обозначены вектором r = (rkl, rk2,..., rkn)'. Координаты вектора ожидаемых доходностей отдельных активов Y = (/"", r2,.., r )' и элементы ковариационной матрицы C рассчитываются следующим образом:
^ _ YlJhfkj) у m h
Luk_i '
rj _
-, j _ 1,2,...,n,
(1)
cj _-
портфеля х = (х01, х02,..., х0п). Другими словами, тран-закционные издержки, полученные от изменения доли /-го актива в портфеле, могут быть рассчитаны как с. = 9.|х. - х0\, где 9..- это коэффициент, отражающий процент от совершенной сделки, выплачиваемый брокеру. Величина транзакционных издержек, необходимых для перехода от старого портфеля
п п
к новому, рассчитывается как I с 1 = 1б1-|х1. - х0/1.
1=1 1=1
Таким образом, общая доходность операции перехода от старого к новому портфелю, очищенная от транзакционных издержек, рассчитывается как
- У 9,.\xi - x0i |. Обозначим эту доходность че-
I иг, - ^- о ж =!, п, (2)
к =л
где Нк - веса, предназначенные для расчета средневзвешенной доходности, отражают степень значимости наблюдений доходности разных временных периодов.
Как правило, значения Нк определяются исследователем, который должен стремиться к тому, чтобы веса недавних наблюдений были существенно выше весов старых наблюдений. Также отметим, что в предлагаемой модели учитывается дискретность сделок на рынке, т. е. доля у-го актива х. может меняться только с определенным шагом, а не непрерывно.
Ввод в модель транзакционных издержек осуществляется с помощью У-образной функции. Фактически, эта функция представляет собой модуль разницы между стоимостью нового портфеля. х = (ху х2,..., хп) и стоимостью уже существующего
Г х-
i=i '
рез Oj(x) = r'х-^9i|xi. -x0i|. Тогда задача выбора
i=i
портфеля с учетом транзакционных издержек может быть сформулирована в следующем виде: max х O1 (х),
х' Cx < var0,
<
e' x = 1,
l < x < u, (3)
где l = (l1, l2,..., ln)', u = (u1, u2,..., uj', и l и u есть минимум и максимум долей вложения капитала в актив i, i = (1, 2,..., n);
var0 - целевой уровень риска портфеля (его дисперсия), задаваемый инвестором. Также на первом этапе решается задача максимизации положительной асимметрии распределения доходности портфеля. Введем матрицу S-размера n х n2, где элементами матрицы {si(Jp)} являются значения третьих центральных моментов, оцененные по формуле
si( jp) _ "
У mk=1(rk,- r Щ - r )(rkp- rp )hk
(4)
Xm h ¿—¡k=ik
i, j,P =1, 2,..., n. Введем целевую функцию O2(x) = x'S (x®x), где символ ® обозначает тензорное произведение. Целевая функция O2(x) отражает третий центральный момент распределения доходности портфеля, т. е. учитывает асимметричность распределения. Сама задача похожа на задачу (3), только с другой целевой функцией:
max x O2 (x),
x' Cx < var0 e' x _ 1, l < x < u.
(5)
Задачи (3) и (5) решаются независимо друг от друга на первом этапе получения решения. В результате раздельной максимизации O1(x) и O2(x) находим глобальные экстремумы задач (3) и (5). Значения соответствующих целевых функций в точках глобальных экстремумов обозначим через O* и O* соответственно. Так как маловероятно, что любое единственное решение многоцелевой задачи может одновременно максимизировать O1(x) и O2(x), то требуется провести следующий этап поиска решения.
Найденные значения глобальных максимумов целевых функций задач (3) и (5) используются как входные параметры для решения задачи (6) на втором этапе.
На втором этапе минимизируется новая целевая функция O(x) = (1 + d1 (x))p + (1 + d2 (x))P2, где d1(x) и d2(x) представляют собой отклонения от максимальных значений портфелей при учете только одного из факторов: транзакционных издержек или асимметрии распределения. Эта целевая функция содержит две модификации, относительно целевой функции Т. Лайа [7], предложившего использовать целевую функцию вида: O(x) = (d1 (x))Pl + (d2 (x))p.
Первая модификация заключается в изменении вспомогательных переменных d1(x) и d2(x). Как уже отмечалось, эти переменные представляют разницу между глобальными экстремумами целевых функций (01 * и O2*) и теми значениями, которые эти функции принимают для конкретных портфелей. Эти переменные можно рассчитать по следующей формуле: d,(x) = (O* - O,(x))/ O*, i = 1,2.
Важно то, что эти переменные «нормализованы» относительно O *, что позволяет различные порядки величин доходности и асимметрии распределений привести к сопоставимому виду.
Согласно исследованию Сана и Яна [12], функция, предлагаемая Т. Лайем в работе [7], не позволяет учесть возможную ситуацию, когда d1 < 1 и d2 < 1. Введение единиц перед переменными d. < 1 позволяет это сделать. Кроме того, предполагается, что известны предпочтения инвестора между доходностью и асимметрией, представленные (неотрицательными) параметрами P1 и P2
Таким образом, на втором шаге решается следующая задача:
min x O( x),
x'Cx < var0 e' x = 1, l < x < u
(6)
Решением задачи (6) является вектор x* = (x*, x*,..., x*), показывающий структуру оптимального при заданных условиях портфеля для инвестора.
В 1995 г. Джеймс Кеннеди (James Kennedy) и Рассел Эберхарт (Russel Eberhart) предложили алгоритм для оптимизации непрерывных нелинейных функций, названный ими алгоритмом роя частиц [6]. Разработанный ими алгоритм довольно прост в применении и может быть реализован буквально в нескольких десятках строчек кода на любом высокоуровневом языке программирования. Он моделирует многоагентную систему, где агенты-частицы двигаются к оптимальным решениям, обмениваясь при этом информацией с соседями. С помощью этого алгоритма авторы и предлагают решать задачи (3), (5) и (6).
Текущее состояние частицы характеризуется координатами в пространстве решений (т. е., собственно, связанным с ним решением), а также вектором скорости перемещения. На этапе инициализации оба параметра выбираются случайным образом. Кроме того, каждая частица хранит координаты лучшего из найденных для нее решений, а также лучшее из пройденных всеми частицами решений - этим имитируется мгновенный обмен информацией между частицами.
Предположим, что область поиска имеет размерность n, тогда d-я частица роя может быть представлена вектором Xd = (xdv xd2,., xdn)' размерности n. Скорость частицы представлена вектором Vd = (vd1, vd2,., vdt)' размерности n. Лучшее ранее посещенное положение частицы d обозначим Pd = (Pdv Pd2,., Pdn)'. Определим g как индекс лучшей частицы в рое (частица роя с наилучшим значением целевой функции) и обозначим итерационное число через k как верхний индекс. На каждой итерации алгоритма направление и длина вектора скорости каждой из частиц изменяются в соответствии со сведениями о найденных оптимумах:
vd:1 = wvd,+c$ (pd, - xd,)+С2Ф2 (pg, - xd, x где k - номер текущей итерации;
d = 1, 2,..., D — число частиц в рое, устанавливаемое исследователем; i = 1, 2,., n;
w - коэффициент инерции; c1 и c2 - две положительные константы, называемые когнитивными и социальными параметрами соответственно;
ф1 и ф2 - две случайные величины, равномерно распределенные на отрезке [0, 1].
Новые координаты каждой частицы определяются по формуле
хк+1 = хк + ук+1
Так как задача нахождения портфеля имеет большую размерность и множество ограничений, то наиболее удобно воспользоваться модификацией алгоритма PSO, которая подразумевает самостоятельную настройку параметров и имеет механизмы, улучшающие сходимость алгоритма. В работе [11] предложена модификация алгоритма PSO, учитывающая возможность изменения параметров во времени. В этой работе также было учтено изменение всех параметров во времени, а не только инерции. Предварительная настройка параметров алгоритма PSO значительно улучшает сходимость алгоритма, т. е. быстроту нахождения решения и его точность.
Изменение скорости частицы на каждой итерации состоит из трех слагаемых: предыдущая скорость под воздействием инерции, когнитивная часть, социальная часть. Первая компонента служит памятью о предыдущей скорости (на предыдущей итерации) частицы. Эту компоненту можно интерпретировать как импульс, который предотвращает резкое изменение направления движения частицы и способствует движению в старом направлении. Вторая компонента - когнитивная часть, которая притягивает частицы к их собственным лучшим положениям. Третья компонента - социальная часть, которая «тянет» каждую частицу к самому лучшему положению из всех, что «нашли» все частицы. Поэтому в начале способность роя к исследованию пространства поиска должна быть усилена. Каждая частица исследует окрестности своего положения. В конце должна быть увеличена коммуникационная связь среди частиц. Если решение получено всего за несколько итераций, то существует большая вероятность того, что частицы «нащупали» локальные максимумы и не «хотят» от них отходить, что затрудняет поиск глобального максимума. Однако «социальное сотрудничество» помогает частицам «обнаружить» хорошие решения уже за несколько итераций. Большие значения коэффициента с2 заставляют частицы застаиваться на локальных лучших решениях и не сходиться в глобальном лучшем решении. Как только новый лучший g найден, о нем немедленно «узнают» все частицы, и, таким образом, все частицы притягиваются к этому положению в последующих итерациях, пока другое лучшее решение не найдено. Поэтому необходимо дина-
мически изменять вес инерции ^ и коэффициенты ускорений с1 и с2, чтобы улучшить способность к глобальному и локальному поиску.
Кроме того, некоторые исследования показывают, что лучшее решение будет получено быстрее, если некоторые частицы полетят в противоположном направлении от поиска оптимального решения. Учитывая этот факт, предложим, что самая худшая частица (в задачах (3) и (5) это такая частица, у которой значение целевой функции минимально, а для задачи (6) - максимально) летит в противоположную сторону при каждой итерации. Изменение ее положения описывается следующим образом:
к+1
к+1
Чтобы не иметь дело с многочисленными ограничениями, воспользуемся методикой, предложенной У. Ченом и У. Чангом [15]. Согласно их исследованию все ограничения можно свести в одну штрафную функцию. Использование штрафной функции позволяет свести задачу с несколькими ограничениями к задаче с одной модифицированной целевой функцией. Это было доказано в работе [15], а штрафная функция определяется следующим образом:
^ (х) = / (х)^(к) Н (х), где /(х) - целевая функция;
£(к) - значимость штрафной функции; k - текущая итерация; Н(х) - фактор штрафа.
Таким образом, использование модифицированного алгоритма PSO для решения задач (3) - (5) может быть разбито на несколько стандартных шагов:
шаг 1-й: задается начальная популяция частиц;
шаг 2-й: вычисляются значения целевой функции для каждой частицы;
шаг 3-й: обновляются лучшее значение для каждой частицы и ее лучшее положение;
шаг 4-й: обновляются лучшее значение для роя и глобальное лучшее положение;
шаг 5-й: обновляются скорость каждой частицы и их положение в соответствии с итерационными формулами;
шаг 6-й: если условие остановки соблюдено (лучшее положение каждой частицы совпадает с лучшим положением роя), то выводятся результаты (иначе происходит возвращение на шаг 2-й);
Так как для получения решения систем (3), (5) и (6) используются итерационные преобразо-
к
вания, то невозможно получить явную формулу для вычисления весов активов в портфеле. Продемонстрируем на данных с фондового рынка России практическое применение предложенной модели и ее возможности.
В качестве базы для формирования портфелей были выбраны бумаги из состава индекса ММВБ. Индекс ММВБ представляет собой ценовой, взвешенный по рыночной капитализации (free-float) композитный индекс российского фондового рынка, включающий 30 наиболее ликвидных акций крупнейших и динамично развивающихся российских эмитентов. Этот индекс был выбран потому, что он рассчитывается в рублях, как и транзакционные издержки, что делает ненужным при расчетах учитывать курсовые валютные колебания. При расчетах
Характеристики
использовались ежемесячные котировки с июля 2008 г. по апрель 2012 г., что позволило обеспечить равенство размеров выборок для каждой бумаги - 45 наблюдений. Рассчитанные первоначальные данные по всем бумагам представлены в табл. 2.
Эти данные содержат средневзвешенную месячную доходность, рассчитанную по формуле (1), средневзвешенную дисперсию, рассчитанную по формуле (2), коэффициент Шарпа, средневзвешенный коэффициент асимметрии (skewness) и средневзвешенный коэффициент эксцесса (kurtosis). Р-значения для статистики Харке-Бера, рассчитанные для всех ценных бумаг в выборке, показывают, что в половине случаев можно говорить о асимметричном распределении, и чем меньше ликвидность бумаги, тем больше вероятность скошенности рас-
Таблица 2
ценных бумаг
Актив доходность, доли за месяц дисперсия, доли за месяц коэффициент Шарпа коэффициент асимметрии коэффициент эксцесса P-значе-ние
Северсталь 0,0162 0,0211 0,1112 0,0114 3,9553 0,0000
ФСК ЕЭС 0,0108 0,0218 0,0732 -0,1678 2,7814 0,0008
Норильский Никель 0,0110 0,0128 0,0978 -0,1267 1,2255 0,0298
ИНТЕР РАО ЕЭС 0,0052 0,0359 0,0274 0,6929 3,3332 0,0139
Лукойл 0,0035 0,0052 0,0489 -1,2369 5,6283 0,0000
Магнит 0,0343 0,0139 0,2907 0,4526 1,8609 0,0114
Холдинг МРСК 0,0110 0,0244 0,0706 0,6248 0,8413 0,4336
Мобильные телесистемы 0,0039 0,0053 0,0530 -1,1062 4,3722 0,0000
НОВАТЭК 0,0286 0,0104 0,2808 0,0842 2,9593 0,0004
ОГК-3 0,0094 0,0405 0,0468 2,0517 7,5342 0,0000
Распадская 0,0065 0,0271 0,0397 -0,1853 0,5186 0,3393
НК Роснефть» 0,0031 0,0074 0,0357 -0,6949 4,4702 0,0000
Сбербанк России 0,0200 0,0155 0,1607 0,5627 0,6006 0,8954
Сбербанк России (привилегированные акции) 0,0317 0,0235 0,2067 1,3535 3,3648 0,0004
Газпром нефть 0,0105 0,0102 0,1040 -0,6685 3,9374 0,0000
Сургутнефтегаз 0,0090 0,0072 0,1061 0,6115 0,8754 0,3609
Сургутнефтегаз (привилегированные акции) 0,0216 0,0075 0,2490 0,4090 0,3757 0,5303
Татнефть 0,0180 0,0119 0,1646 -0,5934 5,2816 0,0000
Транснефть 0,0360 0,0211 0,2482 0,8356 0,7689 0,5442
Уралкалий 0,0164 0,0211 0,1160 0,6683 4,2287 0,0000
Банк ВТБ 0,0054 0,0218 0,0493 -0,2645 0,7217 0,7311
Аэрофлот -0,0020 0,0094 -0,2139 -0,4181 -1,7584 0,0134
Газпром -0,0006 0,0008 -0,6819 -0,9769 3,3267 0,0000
РусГидро -0,0007 0,0113 -0,0616 -0,6215 6,4437 0,0000
ММК -0,0052 0,0182 -0,2873 -0,4988 3,0955 0,0000
Мосэнерго -0,0030 0,0165 -0,1817 0,7723 3,6342 0,0003
Мечел -0,0007 0,0219 -0,0306 0,6165 -0,0183 0,1799
НЛМК -0,0021 0,0172 -0,1240 -0,4956 3,1718 0,0000
Ростелеком -0,0060 0,0108 -0,5533 -0,2136 0,3516 0,8442
РУСАЛ (ДШАЪ Р1с) -0,0236 0,0055 -4,2943 0,3866 -0,1413 0,6011
Источник: рассчитано авторами на основе данных ФИНАМ (URL: http: http://www. finam. га).
пределения ее доходности. Некоторые доходности получились отрицательными, и такие бумаги были убраны из рассмотрения, так как их включение в портфель приведет к уменьшению одной целевой функции (см. табл. 2).
Для разных комбинаций параметров р1 и р2, отвечающих за предпочтения инвестора к доходности р1 и асимметрии р2, с помощью предложенной модели были рассчитаны оптимальные портфели. Стоит отметить, что для окончательной сходимости к точному решению авторам потребовалось перезапускать алгоритм самообучения алгоритма PSO несколько раз, запоминая предыдущие решения. Это было вызвано большой размерностью пространства и необходимостью рассчитывать матрицы третьих моментов для каждой частицы в рое и на каждой итерации.
Следует отметить, что инвесторы с разными предпочтениями к риску и к асимметрии распределения доходности сформируют совершенно разные портфели. Например, в табл. 3 представлены оптимальные портфели, которые сформирует инвестор для заданного уровня риска портфеля, равного 0,005, а в табл. 4 показаны портфели, сформированные инвестором при условии риска портфеля, равного 0,0015. В обеих таблицах показаны портфели, формируемые инвесторами при различных предпочтениях относительно доходности и асимметрии распределения в условиях отсутствия коротких продаж.
В табл. 3 и 4 представлены только те активы, которые имеют ненулевые доли хотя бы в одном из полученных портфелей. Добавление асимметрии к предпочтениям инвестора, как можно наблюдать, ведет к существенному изменению весов. Как это может ожидаться, самый большой вес в портфеле (р1 = 1; р2 = 0) соответствует ОАО «Магнит» (46 %) с са-
мым высоким коэффициентом Шарпа (см. табл. 2). Другими двумя доминирующими активами являются акции Транснефти и Банка ВТБ с весами 22 и 21 % соответственно. В то время как первая ценная бумага имеет 1 -е место и 4-е по уровню доходности и коэффициенту Шарпа соответственно, Банк ВТБ имеет 17-е и 16-е места по уровню доходности и коэффициенту Шарпа. Существенный вес этой бумаги в портфеле объясняется отрицательными значениями ковариаций между бумагами Банка ВТБ и всеми остальными бумагами. Вообще, структура этого портфеля отражает превосходство по коэффициенту Шарпа акций ОАО «Магнит», в то время как другие компоненты портфеля отобраны, чтобы дать компенсацию низким доходностям бумаг ОАО «Магнит» в определенные периоды. Полная ожидаемая доходность, достигнутая этим портфелем, соответствует 2,7 % (в силу значений параметров эта комбинация активов дает максимальную доходность среди всех полученных портфелей).
Все портфели, сформированные с учетом асимметрии (р2 > 0), кардинально отличаются от портфеля (р1 = 1; р2 = 0) по структуре и имеют много различий между собой. Ожидаемые доходности этих портфелей ниже, чем ожидаемая доходность портфеля (р1 = 1; р2 = 0), тогда как для этих портфелей значения коэффициента асимметрии намного выше. Это означает, что потенциальная выгода увеличения асимметрии портфеля искажена уменьшением ожидаемой доходности. Наиважнейший компонент в портфеле (р1 = 0; р2 =1) - это акции ОГК-3, которые имеют самое высокое значение положительной асимметрии и занимают только 14-е место по уровню доходности. Их вес в портфеле составляет 39 %. Акции Банка ВТБ с невысокими
Характеристики оптимальных портфелей для заданного уровня риска ^аг0
Таблица 3 ■ 0,005)
Актив, показатель Р1 = 1 Pг = 0 Р1 = 0 Рг =! Р1 = 1 Рг = 1 Р1 = 2 Рг = 1
ФСК ЕЭС 0,00 0,06 0,00 0,00
Норильский Никель 0,00 0,12 0,00 0,00
Магнит 0,46 0,00 0,01 0,17
Холдинг МРСК 0,00 0,02 0,00 0,00
НОВАТЭК 0,11 0,00 0,00 0,01
ОГК-3 0,00 0,39 0,01 0,00
Транснефть 0,22 0,00 0,62 0,52
Банк ВТБ 0,21 0,41 0,36 0,30
Ожидаемый уровень доходности портфеля, % 2,70 0,76 2,37 2,55
Асимметрия, 10-4 -1,970 8,26 5,37 4,25
Коэффициент Шарпа 0,3814 0,1075 0,3352 0,3606
Источник: рассчитано авторами.
значениями асимметрии и ожидаемой доходности имеют высокую долю в каждом портфеле, так как имеют отрицательную ковариацию с большинством рассматриваемых бумаг.
В двух портфелях (р1 = 1; р2 = 1) и (р1 = 2; р2 = 1) доминирующее положение занимают бумаги Транснефти с весами 62 и 52 % соответственно. Это может быть вызвано тем, что Транснефть имеет относительно высокие показатели как ожидаемой доходности, так и положительной асимметрии.
Далее в табл. 4 приведены портфели, аналогичные портфелям из табл. 3, но сформированные с уровнем риска в несколько раз меньшим. Сразу заметны существенные изменения в составе сформированных портфелей (из-за того, что в новых портфелях низкие значения дисперсий и ковариаций становятся значительно важнее, чем высокие уровни доходности и положительной асимметрии).
Можно наблюдать, что доли акций Банка ВТБ стали еще больше, так как допустимый риск для данных портфелей стал ниже. Однако в отличие от предыдущих портфелей тут доминирующие доли имеют другие бумаги. Например, в портфеле (р1= 1; р2 = 0) большие веса имеют обыкновенные и привилегированные акции Сургутнефтегаза (23 и 14 % соответственно). Эти бумаги имеют средний уровень положительной асимметрии, но в то же время обладают крайне низкими дисперсиями, что очень важно при заданном уровне риска портфеля. Привилегированные акции Сургутнефтегаза обладают относительно высоким уровнем доходности: 5-е место по доходности и 3-е по значениям коэффициента Шарпа, поэтому они имеют значительные доли в портфелях (р1 = 1; р2 = 1) и (р1 =2; р2 = 1).
При уменьшении уровня риска портфель (р1 = 1; р2 = 0) стал состоять из большего количества цен-
Характеристики оптимальных портфелей
ных бумаг, т. е. стал более диверсифицированным. Сюда вошли привилегированные акции Сбербанка России, имеющие высокий уровень доходности и высокую дисперсию.
Вообще, портфели с низким целевым уровнем риска сильнее диверсифицированы по сравнению с портфелями со средним целевым уровнем риска. Только портфель (р1 = 0; р2=1) с риском 0,0015 имеет более высокую доходность по сравнению с портфелем (р1 = 0; р2 = 1) с риском 0,005, но это объясняется тем, что доходность не учитывается при таких предпочтениях инвестора.
Транзакционные издержки неявно влияли на расчет оптимальных портфелей, так как в каждом случае имелся некий стартовый портфель, относительно которого считались транзакционные издержки, напрямую уменьшающие доходность портфелей.
Чтобы понять, как влияют транзакционные издержки и ограничения на минимальный размер сделки, рассмотрим устойчивость портфелей семейства (р1 = 1; р2 = 0) к изменению доходности отдельного актива, участвующего в образовании портфеля. Сначала проверим на устойчивость портфель с низким уровнем риска (допустим, что дисперсия портфеля равна 0,001). Результаты расчетов того, насколько должна измениться доходность актива, чтобы его доля в портфеле начала меняться, представлены в табл. 5.
Необходимо отметить, что сильно выделяется устойчивость портфеля к изменению доходности актива банка ВТБ. Его доходность вносит относительно малую долю в доходность портфеля. Также можно заметить, что значения абсолютных изменений доходности, после которых целесообразно пересобрать портфель, примерно одинаковы. Портфель
Таблица 4
для заданного уровня риска (уаг0 = 0,0015)
Актив, показатель Рх = 1 Рг = 0 Рх = 0 Рг =1 Рх = 1 Рг = 1 Рх = 2 Рг = 1
Северсталь 0,00 0,08 0,00 0,00
Магнит 0,20 0,00 0,06 0,14
НОВАТЭК 0,09 0,18 0,25 0,24
Сбербанк России (привилегированные акции) 0,11 0,00 0,00 0,00
Сургутнефтегаз 0,00 0,23 0,07 0,03
Сургутнефтегаз (привилегированные акции) 0,05 0,14 0,26 0,18
Транснефть 0,13 0,00 0,00 0,04
Банк ВТБ 0,42 0,37 0,36 0,37
Ожидаемый уровень доходности портфеля 0,0199 0,0126 0,0164 0,0182
Асимметрия, 10-4 -1990 2,23 1,92 1,60
Коэффициент Шарпа 0,5146 0,3253 0,4229 0,4710
Источник: рассчитано авторами.
Таблица 5
Результаты анализа на устойчивость портфеля Р = 1; Рг = 0) (уаг0 = 0,001)
Актив Вес в исходном портфеле АГ; + Г г Дг. 1 Доходность исходного портфеля Доходность нового портфеля
Норильский Никель 0,03 1,18 0,00199 0,01781 0,01784
Магнит 0,13 1,02 0,00069 0,01784 0,01786
НОВАТЭК» 0,04 1,06 0,00172 0,01782 0,01787
Сбербанк России 0,05 1,06 0,00120 0,01781 0,01782
Сбербанк России 0,11 1,05 0,00159 0,01792 0,01793
(привилегированные акции)
Сургутнефтегаз 0,04 1,18 0,00162 0,01781 0,01783
Сургутнефтегаз 0,08 1,04 0,00086 0,01782 0,01783
(привилегированные акции)
Транснефть 0,08 1,02 0,00072 0,01781 0,01785
Банк ВТБ 0,44 1,8 0,00429 0,01967 0,01968
Источник: рассчитано авторами
наименее устойчив по отношению к изменению доходностей активов ОАО «Магнит» и Транснефти. Это можно объяснить высокими значениями коэффициентов Шарпа для данных бумаг и их большой долей в портфеле. Если построить похожую таблицу, только для портфеля со средним риском (дисперсия равна 0,003), можно заметить существенное увеличение необходимого изменения доходности и, как следствие, устойчивости портфеля. Результаты проверки портфеля на устойчивость представлены в табл. 6. Высокую чувствительность портфеля с низким риском можно попробовать объяснить малой волатильностью доходностей, как следствие, в среднем малыми границами, в которых не вполне эффективно проводить сделку.
В данном случае низкую устойчивость портфеля к привилегированным бумагам Сбербанка России можно объяснить неоправданно их низкой долей в портфеле при очень хороших характеристиках доходности. На основе эмпирического анализа можно выдвинуть гипотезу о высокой устойчивости к изменению доходности более рисковых портфелей по сравнению с низкорисковыми портфелями.
Результаты анализа на устойчивость
Подводя итоги исследования, отметим следующие моменты. Авторами была предложена усовершенствованная полиномиальная задача многокритериального математического программирования, представляющая собой расширенную математическую постановку классической задачи Марковица. Помимо целевой функции доходности в модель была добавлена дополнительная целевая функция асимметрии распределения доходности портфеля. Целевая функция доходности портфеля была также скорректирована, включая в явном виде транзакционные издержки. Таким образом, впервые предложена модификация модели выбора портфеля, одновременно учитывающая различные предпочтения инвестора к положительной асимметрии доходности, транзакционные издержки и дискретность сделок на фондовом рынке.
Апробация предложенной модели показала, что при разных предпочтениях инвестора относительно асимметрии формируемые портфели состоят из разных наборов активов, а не из одного набора активов с разными весами. А это означает существенное влияние асимметрии распределения
Таблица 6
портфеля Р = 1; Рг = 0) (уаг0= 0,003)
Актив Вес в исходном Аг; + Г Дг. 1 Доходность старого Доходность нового
портфеле Г портфеля портфеля
Магнит 0,31 1,039 0,00134 0,01781 0,01784
НОВАТЭК 0,2 1,098 0,00280 0,01784 0,01786
Сбербанк России 0,01 1,06 0,00190 0,01782 0,01787
(привилегированные акции)
Транснефть 0,19 1,07 0,00252 0,01781 0,01782
Банк ВТБ 0,29 2,5 0,00805 0,01792 0,01793
Источник: рассчитано авторами.
доходности портфеля на выбор весов и активов для формирования портфеля.
Алгоритм поиска решения предложенной модели позволяет получить границы изменения доходности отдельного актива, при которых не требуется ребалансировать состав портфеля, так как прибыль портфеля от этого будет нивелироваться транзакционными издержками. Отмечено, что чем больший риск портфеля допускает инвестор, тем шире становятся эти границы, т. е. тем реже будет происходить изменение портфеля.
Развитие предложенной модели авторы видят в переходе от статического случая к динамическому. Таким образом, были выведены границы во времени, в которых цены активов могли бы находиться без изменения портфеля в силу транзакционных издержек.
Список литературы
1. Portfolio efficiency analysis in three moments: the multi-period case / Arditti F. D., Levy H. // The Journal of Finance. 1971. № 30. P. 797-809.
2. The measurement and control of trading costs / Arnott R. D., Wagner W. H. // Financial Analysts Journal. 1990. № 11, 12. P. 73-80.
3. Heuristics for cardinality constrained portfolio optimization / Chang T. J., Meade N., Beasley J. E., Sharaiha Y. M. // Comput. Oper. Res. 2000. № 27. P. 1271-1302.
4. An interval portfolio selection problems based on regret function / Giove S., Funari S., Nardelli C. // European J. Oper. Res. 2006. № 170. P. 253-264.
5. Portfolio selection problem with interval coefficients / Ida M. // Appl. Math. Lett. 2003. № 16. P. 709-713.
6. Particle swarm optimization / Kennedy J., Eberhart R. C. // In Proceedings of IEEE International Conference on Neural Networks. 1995. P. 1942-1948.
7. Portfolio selection with skewness: A multiple-objective approach / Lai T. Y. // Review of Quantitative Finance and Accounting. 1991. № 1 (3). P. 293-305.
8. The fundamental theorem of parameter -preference security valuation / Rubinstein M. E. // Journal of Financial and Quantitative Analysis. 1973. № 8(1). P. 61-69.
9. The fundamental approximation of theorem of portfolio analysis in terms of mean, variances and higher moments / Samuelson Paul // Review of Economic Studies. 1970. № 37. P. 537-542.
10. Empirical study of particle swarm optimization / Shi Y., Eberhart R. // Proceedings of the 1999 IEEE Congress on Evolutionary Computation. 1999. P. 1945-1950.
11. A heuristic algorithm for a portfolio optimization model applied to the Milan stock market / Speranza M. G. // Comput. Oper. Res. 1996. № 23. P. 433-441.
12. Skewness persistence with optimal portfolio selection / Sun, Qian, Yan, Yuxing // Journal of Banking and Finance. 2003. № 27. P. 1111-1121.
13. A model for portfolio selection with order of expected returns / Xia Y. S., Liu B., Wang S. Y., Lai K. K. // Comput. Oper. Res. 2000. № 27. P. 409-422.
14. The mean-variance approach to portfolio optimization subject to transaction costs / Yoshimoto A. // Journal of the Operations Research. 1996. № 39(1).
15. The admissible portfolio selection problem with transaction costs and an improved PSO algorithm / Chen W., Zhang W. // Physica A. 2010. № 389. P. 2070-2076.
dilib
Вы всегда можете приобрести последние номера и отдельные статьи всех журналов Издательского дома «Финансы и Кредит» в формате PDF на сайте электронной библиотеки dilib.ru. Также доступен электронный архив журналов с 2006 года.
www.dilib.ru
