ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С ОПЕРАТОРОМ ЛАВРЕНТЬЕВА–БИЦАДЗЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА МАТЕМАТИКА, ФИЗИКА, ТЕХНИКА. 2023, №1

УДК 517.95

https://doi.org/10.52754/16948645 2023 1 194

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С ОПЕРАТОРОМ ЛАВРЕНТЬЕВА-БИЦАДЗЕ

Сабитов Камиль Басирович, д.ф.-м.н., профессор, чл.-корр. АН РБ,

sabitov_fmf@mail.ru

Институт математики с вычислительным центром УФИЦ РАН, г. Уфа, Стерлитамакский

филиал Уфимского университета науки и технологий,

г. Стерлитамак, Россия

Аннотация. В работе для уравнения смешанного типа в прямоугольной области исследована на корректность постановки первой граничной задачи. Установлен критерий единственности. Решение задачи Дирихле построено в виде суммы ряда Фурье.

Ключевые слова: уравнение смешанного типа, задача Дирихле, критерий единственности, ряд, существование, малые знаменатели, устойчивость.

THE DIRICHLET PROBLEM FOR MIXED TYPE EQUATION WITH THE LAVRENT'EV-BITSADZE OPERATOR

Sabitov Каmil Basirovich, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Corresponding

Member of the Academy of Sciences of the Republic of Bashkortostan

sabitov_fmf@mail.ru Institute of Mathematics with Computing Center UFITS, UFA, Sterlitamak Branch of the State University of Science and Technology,

Sterlitamak, Russia

Abstract. In this paper, for a mixed-type equation in a rectangular domain, the correctness of the formulation of the first boundary value problem is investigated. A uniqueness criterion is established. The solution of the Dirichlet problem is constructed as the sum of a Fourier series.

Key words: mixed type equation, Dirichlet problem, uniqueness criterion, series, existence, small denominators, stability.

Рассмотрим уравнение смешанного типа с оператором Лаврентьева-Бицадзе

£и = ихх + (sgny)uyy — bu = F(x, у) (1)

в прямоугольной области D ={(х, у)| 0 < х < I, —а < у < где a, ft, I - заданные положительные числа, Ъ - любое действительное число, и поставим следующую краевую задачу.

Задача Дирихле. Найти в области D функцию и(х, у), удовлетворяющую условиям:

u(x,y) 6 C1 (D) П C2(D+U D_); (2)

£u(x,y) = F(x,y), (x,y) 6 D+ U D_; (3)

u(0,y) = u(l,y) = 0, -a<y <p; (4)

u(x, в) = ф^), u(x, -a) = ^(x), 0 < x < l; (5)

где F(x, у), ^(x) и ^(x) - заданные достаточно гладкие функции, причем ^(0) = = 0, ^(0) = ф(1) = 0, D+ = D П {у >0}, D_ = D П {у < 0}.

Интерес к задаче Дирихле для уравнений смешанного типа возникло после опубликования работы Франкля Ф.И. [1], где впервые было отмечено, что задачи трансзвуковой газовой динамики сводятся к этой задаче. Бицадзе А.В. [2] доказал некорректность задачи Дирихле для уравнения Лаврентьева, т.е. для уравнения (1) при Ъ = 0. После этой статьи возникла потребность поиска смешанных областей для которых задача

Дирихле поставлена корректно. В дальнейшем изучением задача Дирихле для уравнения (1) при b = 0 занимались Шабат Б.В. [3], Вахания Н.Н. [4], Cannon J.R.[5], Нахушев А.М. [6], Солдатов А.П. [7], Хачев М.М. [8], Сохадзе Р.С. [9], Сабитов К Б. [10] и его ученики.

В данной работе методом спектрального анализа установлен критерий единственности решения задачи (2) - (5). Решение задачи построено в виде суммы ряда Фурье. При обосновании сходимости ряда возникает проблема малых знаменателей относительно отношения а/1. В связи с чем установлены оценки малых знаменателей с соответствующей асимптотикой. На основании этих оценок накладывая определенные условия на граничные функции ф(х), 'ф(х) и на правую часть F(x,у) доказана теорема существования в классе регулярных решений (2).

Литература

1. Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике [Текст]/ Ф.И. Франкль. - М.: Наука, 1973. - 711 с.

2. Бицадзе А.В. Некорректность задачи Дирихле для уравнений смешанного типа [Текст]/ А.В. Бицадзе // ДАН СССР. 1953. Т. 122. 32. С. 167 - 170.

3. Шабат Б. В. Примеры решения задачи Дирихле для уравнения смешанного типа [Текст]/ Б.В. Шабат // ДАН СССР. 1957. Т. 112. 3. С. 383 - 389.

4. Вахания Н.Н. Об одной особой задаче для уравнения смешанного типа [Текст]/ Н.Н. Вахания // Тр. АН ГрузССР. 1963. Т.3. С. 69 - 80.

5. Cannon J.R. Dirichlet problem for an equation of mixed type with a discontinius coefficient // J.R. Cannon // Ann. Math. pura ed Appl. 1963. V. 62. P. 371 - 377.

6. Нахушев А.М. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области [Текст]/ А.М. Нахушев. // Дифференц. уравнения. 1970. Т. 6. 1. С. 190 - 191.

7. Солдатов А.П. Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. I., II. [Текст]/ А.П. Солдатов. // ДАН. 1993. Т. 332. 6. С. 696 - 698; Т. 333. 1. С. 16 - 18.

8. Хачев М.М. Задача Дирихле для уравнения Трикоми в прямоугольнике[Текст]/ М.М. Хачев // Дифференц. уравнения. 1975. Т.11. 1. С. 151 - 160.

9. Сохадзе Р.С. О первой краевой задаче для уравнения смешанного типа в прямоугольнике [Текст]/ Р.С. Сохадзе // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19. 1. С. 127 -133.

10. Сабитов К. Б. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа в прямоугольной области [Текст]/ К Б. Сабитов // ДАН. 2007. Т.413. 1. С. 23 - 26.