CC BY
34
2013
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА
№ 198
УДК-517.977
ЗАДАЧА БЕСПРИОРИТЕТНОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ САМОЛЁТОВ ПРИ ИХ ПОПАДАНИИ В ТРОМБОН ВО ВРЕМЯ ЗАХОДА НА ПОСАДКУ*
В.Б. МАЛЫГИН, ТИН ПХОН ЧЖО
Рассмотрена многоканальная система бесприоритетного обслуживания самолетов при заходе на посадку в разные аэродромы Московского аэроузла. Показана возможность достижения максимальной безопасности воздушного движения при малых запасах топлива на борту.
Ключевые слова: система массового обслуживания, контроль безопасности, оптимальное управление, летательные аппараты.
Введение
Одна из сложных задач управления комплексом самолетов - внезапная переориентация самолетов, находящихся в зонах ожидания и на круге, на посадку на удаленный запасной аэродром. При возникновении такой необходимости большая группа самолетов должна лететь с сохранением безопасных расстояний между ними, а значит, реконфигурирована в строй для перелета с последующим перестроением в эшелон ожидания посадки.
Схемы прилета в данной задаче имеют по одному стандартному маршруту (STAR) с каждого из 4-х направлений (Юг, Запад, Север, Восток) по каждому аэродрому и содержат в себе элементы «тонкого» регулирования потока типа «тромбон», которые изображены на рис. 1 в виде трех петель.
В данной работе предложена методика расчета вероятных характеристик обслуживания самолетов в тромбоне и оценка максимально допустимого их числа в очереди с использованием критерия максимальной экономичности полетов. При превышении этого числа подлетающий к трассе самолет должен пересечь ее и отправиться на другую трассу, и это должно быть оправдано из соображений экономичности полета всей группы самолетов. Ниже рассмотрен случай -бесприоритеного обслуживания самолетов при перелетах или попадании в один из тромбонов, показанных, в частности, на рис. 1.
Случай бесприоритетного обслуживания самолетов, попавших в очередь
Вначале разберем многоканальную систему бесприоритетного обслуживания с очередью, также число мест в очереди примем равным максимальным числу самолетов, уже летящих в эшелоне.
Пусть на вход системе массового обслуживания (СМО) поступает поток неприоритетных заявок с интенсивностью X; интенсивность обслуживания (для одного канала) ц; число мест n.
Состояние системы будем нумеровать по числу заявок, связанных с системой:
Xo - оба канала свободны, система свободна от заявок;
X1,o - в системе обслуживается одна заявка;
X2,0 - в системе обслуживаются 2 заявки;
Xn,o - в системе обслуживаются n заявок, и все n каналов заняты;
Xn,1 - заняты все n каналов, и одна заявка стоит в очереди;
Xn2 - заняты все n каналов, и 2 заявки стоят в очереди;
Xn,n - заняты все n каналов, и n заявок стоят в очереди, т.е. в очереди мест нет.
Работа выполнена при материальной поддержке РФФИ (грант № 13-08-00182)
Рис. 1. Схема захода на посадку по двум линиям пути с помощью тромбонов
Поток заявок вводится с интенсивностью X, а поток обслуживания с интенсивностью, равной ц, умноженной на число занятых каналов.
Напишем выражения для предельных вероятностей состояний, сразу же обозначая Х/ц = р:
р р2 р3 рп р/п-р/пт+1
= [1 + ^ + ^ + ^
1 1! 2! 3!
+
п!
1-р/п
1
1 = Ер ■ 1!
2 = р-р ■ 2! ^о,
Р-п+1 = рП Ро п*п!
= РП+2 1 п2*п!
Рп+2
рп+п пп*п!
р 1 п+п
0; Ро; Ро.
(1)
Подставляя заданное нам значение коэффициента загрузки, например, равного р=0,7 для п каналов с длиной очереди п, получим:
.2 -3 _п - /.. - ,.т+1\
Ро =
Р Р Р 1+—+—+—+ 1! 2! 3! п\
3 рпр/п — р/п'
-1
Ро =
1 — р/п
-3+1 = 0,495.
1 + 07+ 0И + 0Н + 0,73 0,7/3-0,7/3 ' 2! 3! 3! 1-0,7/3
Подставляя Р0 в формулу (1), можем получить остальные вероятностные состояния п канальной СМО с ожиданием, в том числе интересующую нас вероятность отказа Рп+п в обслуживании
рП+П
Рп+П = Ро. (2)
Теперь можно построить график логарифмической зависимости вероятности отказа в обслуживании тромбоном от допустимого числа самолетов п. Этой зависимости соответствует график на рис. 2.
Задача бесприоритетного обслуживания самолётов при их попадании
39
Рис. 2. Зависимость вероятности отказа от числа каналов в бесприоритетном обслуживании в логарифмическом масштабе
Выражения (1) и (2) для бесприоритетного обслуживания известны как формулы Эрланга [1], но они приведены для методического анализа и получения новых соотношений, приведенных ниже, для расчета оптимальной длины очереди самолётов в тромбоне.
Расчет оптимального числа самолётов в очереди в тромбоне
Как уже отмечалось выше, длина очереди самолетов в тромбоне обычно ограничена как по экологическим причинам при его расположении над крупным населенным пунктом, так и по экономическим соображениям. Рассмотрим последнее обстоятельство более подробно при следующей постановке задачи.
Пусть при попадании самолетов в очередь, существующую в тромбоне, самолет должен дополнительно пролетать некоторый путь до выхода на трассу, пропорциональный имеющемуся числу (к) впереди летящих самолетов. Пусть безопасное расстояние (I) между ними задано и примерно равно 20 км. Это означает, что при скорости 400 км/ч эти самолеты будут приземляться друг за другом в аэропорту через время = 200 с, т.е. примерно через три минуты.
Этому времени соответствуют лишние затраты топлива К, а общие затраты в тромбоне при очереди длиной к будут равны кК1.
Пусть у самолета есть другая возможность перелетать на соседнюю трассу, минуя тромбон, преодолев другой путь, длина которого равна в среднем расстоянию между соседними трассами. При имеющейся конфигурации Московского аэроузла с кругом радиуса 100 км примерная оценка длины этого пути 80 км, что определяет дополнительные затраты К2 топлива
К2 = кЯ1, где к = 4 .
Ставится задача выбора такой оптимальной величины (п) допустимого числа самолетов в тромбоне, при котором затраты топлива К0 для всех самолетов будут минимальны.
С учетом вероятностного состояния (п) - канальной системы обслуживания можно записать следующий параметрический критерий оптимальности
R = RZR + = + + + R+R) = R
+ R( n + £)
mm
. (3)
Выражение в квадратных скобках дает возможность выбрать нужное значение (п), если для определения вероятностей р., г = 1...п воспользоваться формулами Эрланга для бесприоритетного обслуживания. Так как средняя скорость обслуживания самолетов в тромбоне выше скорости их поступления, т.е. р < 1, зададимся значением р = 0,7 . Расчеты показали, что при к = 4 минимум Я00 обеспечивается при п = 5, т.е. расчетная длина тромбона не превышает 100 км.
Заключение
На основании проведенных исследований можно сделать следующие выводы:
1. Показано, что при бесприоритетном обсуживании самолётов без учета оставшегося на борту топлива, малая вероятность отказа при заходе в заданный эшелон требует использования тромбона значительного размера, который ограничен другими факторами.
2. Показана возможность выбора оптимального числа самолетов в очереди в тромбоне, при котором в среднем обеспечивается максимальная экономичность полетов группы подлетающих к Москве самолетов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Вентцель Е.С. Исследование операций. - М.: Сов. радио, 1972.
2. Клейрок Л. Вычислительные системы с очередями. - М.: Мир, 1979.
3. Лебедев Г.Н., Тин Пхон Чжо Оценка эффективности организации взаимопомощи в многоканальных компьютерных и человеко-машинных системах массового обслуживания // Повышение эффективности средств обработки информации на базе математического моделирования: труды IX всеросс. науч.-техн. конф. - Тамбов, 2009.
PROBLEM OF WITHOUT PRIORITY SERVICE OF PASSENGER AIRCRAFT WHEN THEY ENTER TO THE TROMBONE DURING ARRIVAL
Malygin V.B., Tin Phone Kyaw
Considered multichannel system without priority maintenance of aircraft during landing in different airfields of Moscow air complex. Demonstrated the possibility of achieving maximum security who-stuffy movement with small reserves of fuel on Board.
Key words: queuing system, security control, optimal control, aircraft.
Сведения об авторах
Малыгин Вячеслав Борисович, 1960 г.р., окончил УВАУ ГА (1988), доцент кафедры УВД МГТУ ГА, автор 7 научных работ, область научных интересов - аэронавигационное обслуживание и использование воздушного пространства.
Тин Пхон Чжо, 1978 г.р., окончил МАИ (2007), кандидат технических наук, докторант МАИ, автор 18 научных работ, область научных интересов - методы оптимального управления.
