Ймовірнісні характеристики та імітація циклічного випадкового процесу, утвореного на базі адитивної моделі Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 519.218 Викл. Н.Р. Дем 'янчук; доц. С.А. Лупенко, д-р техн. наук;

доц. А.М. Луцтв, канд. техн. наук; доц. Г.М. Ocyxiecbm, канд. техн. наук - ТернопЫьський НТУ м. 1вана Пулюя

ЙМОВ1РШСШ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТА 1М1ТАЦ1Я ЦИКЛ1ЧНОГО ВИПАДКОВОГО ПРОЦЕСУ, УТВОРЕНОГО НА БАЗ1 АДИТИВНО1 МОДЕЛ1

Дослщжено ймовiрнiснi характеристики пiдкласу цикшчних випадкових проце-ciB, що утвореш шляхом адитивного поеднання детермшовано'1 цикд1чно'1 функцп та стацiонарного випадкового процесу, зокрема встановлено, у яких саме ймовiрнiсних характеристиках цих випадкових процеав е цикшчна структура. Обгрунтовано метод 1м1тацп таких циклiчних випадкових процеав на ЕОМ.

Ключов1 слова: цикшчний випадковий процес, адитивна модель, ймовiрнiснi характеристики, iмiтацiйне моделювання.

Вступ. Функцюнування багатьох сучасних техшчних, ф1зичних, 6i-олопчних, економiчних систем супроводжуеться вщбуванням у них випадкових процеЫв, що мають циклiчну ймовiрнiсну структуру. Дослiдження цих процесiв та розроблення шформацшних систем !х автоматизованого анашзу, прогнозу переважно грунтуються на !х математичнiй моделi у виглядi перь одичного випадкового процесу, зокрема перюдично корельованого випадкового процесу [1-3], лшшного перiодичного випадкового процесу [4, 5]. Однак таю моделi часто е неадекватними цикшчним сигналам зi змiнним ритмом. У разi необхiдностi враховувати мiнливiсть ритму цикшчних сигналiв, у роботi [6] обгрунтовано використовувати клас цикшчних випадкових процешв, який, як пiдклас, охоплюе перюдичш випадковi процеси.

Одним iз найпростших пiдкласiв циклiчних випадкових процесiв е випадковi процеси, що утворенi шляхом адитивного поеднання детермшова-но! числово! циклiчноi функцii та стацiонарного випадкового процесу, зокрема бшого шуму. У цьому контекст^ важливим завданням е дослщження ймо-вiрнiсноi структури адитивноi моделi з метою встановлення, в яких саме ймо-вiрнiсних характеристиках цiеi стохастично1' моделi е цикшчшсть.

Цю роботу присвячено дослщженню особливостей структури ймовiр-нiсних характеристик цикшчних випадкових процесiв, якi утвореш шляхом адитивного поеднання детермшовано1" цикшчно1" функцii та стацiонарного випадкового процесу, а також питанню iмiтацiйного моделювання цього тд-класу цикшчних випадкових процеЫв на ЕОМ.

Основна частина. На вiдмiну вiд единого способу адитивного поеднання

Zt (a, t) = fT (t) + £ (a, t), ®е П, t е R (1)

детермiнованоi T - перiодичноi функцii fT (t) та стацюнарного у вузькому

(чи широкому) розумшт випадкового процесу Z (a, t), яке е добре вщомим

найпростшим представником перiодичних випадкових процесiв, для цикшчних випадкових процеЫв, можливi два варiанти адитивного поеднання детер-мiнованоi та випадково1' компонент, а саме:

Z(a, t) = f (t) + Zi (a, t) = f2n(y (t)) + Zi (a, t), (2)

!(a, t ) = !(a, y (t )) = f (t ) + ! (a, y (t )) = fn( У (t )) + ! (a, y (t)), (3) де f (t) - детермшована числова цикшчна функцiя i3 функдаю ритму T (t, n),

яка утворена шляхом ди оператора перетворення шкали i3 функцию перетво-рення шкали y (t) на 2п-перюдичну детермiновану функщю fп( t), а саме:

f (t) = f2n(y (t)) . (4)

Функцiя y (t) e зростаючою числовою функдаю.

Встановимо, у яких саме ймовiрнiсних характеристиках математичних конструкцiй (2) та (3) e циклiчна структура. Математичне сподiвання випад-кового процесу (2) визначаеться так:

t) = M { f (t) + !(a, t)} = f (() + M {!(a, t)} = f (t) + m5, a e i, t e R, (5)

де m^i - математичне сподiвання стацiонарного випадкового процесу ! (a, t). Математичнi сподiвання випадкового процесу (3) визначаються так:

mz(t) = M{f (t) + !(a,y(t))} = f (t) + M{!(a,y (t))} = f (() + mfi, ae i, t e R . (6)

Тобто математичнi сподiвання випадкових процесiв (2) та (3) e рiвни-ми i, за рахунок цикичност детермшовано! складово! f (t), е циклiчними

числовими функцiями, а саме:

m^(t) = f (t) + m^i = f (t + T(t,n)) + m^ = m^(t + T(t,n)), t e R, (7)

де функщя T (t, n) зпдно з роботою [6], e функщею ритму, яка задовольняе таким умовам.

1. а) T (t, n) > 0, якщо n > 0 (t (t,i)<w);

b) T (t, n) = 0, якщо n = 0;

c) T(t,n) < 0, якщо n <0, t e R . (8)

2. Для будь-яких ti e R та t2 e R, для яких ti < t2, для функци T (t, n) ви-конуеться строга нерiвнiсть:

T (ti, n) + ti < T (t2, n) +12, Vn e Z . (9)

3. Функщя T (t, n) e найменшою за модулем (|t (t, n) < |ty(t, n)) серед усiх таких функцiй {TY (t, n), у e г}, як задовольняють умови (8) та (9).

ДисперЫя випадкового процесу (2) описуeться залежнiстю:

Dz(t) = M{[f (t) + !(a,t)-f (t)-m^i]2} = M{[!(a,t)-щ]2} = D = const ,(i0)

де D^ - дисперсiя стацiонарного випадкового процесу ! (a, t). Тобто, дис-

персiя адитивно! моделi (2) не враховуe цикшчтсть, оскiльки e константою. Те саме стосуeться i дисперсп випадкового процесу (3).

Початкова моментна функщя випадкового процесу (2) визначаeться зпдно з виразом:

a! (t ) = M {(a, t )} = M {((a, t) + f (t)) }= M {£ C[ ((a, t ))-/ • fl (t )= 5. 1нформацшш технологi■i галузi 323

2 С{ • /1 (г ) • м{(; (а, г))_/) = 2 С[ • /1 (г )• а;-1, а е я, г е я, (11)

/=0 1 ' /=0

де а; 1 - початковий момент порядку к - / стацiонарного випадкового проце-

к!

су ;(а, г), а Скк = -

к / !(к - /)!

Аналопчним чином можна записати початкову моментну функцда i для процесу (3). Початковi моментнi функци процесiв (2) та (3) е циклiчними числовими функцiями. Так, наприклад, для початково! моментно! функци випадкового процесу (2), е рiвнiсть:

а|(г) = 2Ск• / (г)• а!;1 = 2С' • / (г + Т(г,п))• а^1-/ = а|(г + Т(г,п)).(12) /=0 /=0 Одновимiрнi функцiя розподшу х, г) та щшьтсть розподiлу Р;( X, г)

випадкових процеЫв (2) та (3) е цикшчними за аргументом г функцiями, а саме:

X,г) = Р;(X + /(г)) = Р;(х + /(г+т(г,п))) = X,г+т(г,п)),х,гея, (13)

Р;(х,г) = р;(х + /(г)) = р;(х + /(г + Т(г,п))) = р;(х,г + т(г,п)),х,гея. (14)

Коварiацiйна функцiя випадкового процесу (2) дорiвнюе: С;( гь г2 ) = М {;(а, г1 );(а, г2 )} = м {(; (а, г1) + / (г1 ))•(; (а, г2) + / (г2 ))} = = м {; (а, г1) • ; (а, г2) + ; (а, г1) • / (г2) + ; (а, г2) • / (г1) + / (г1) • / (г2)} = = С;1 (г2-г1) + т; • /(г2) + т; • /(г1) + /(г1 )• /(г2). С; (г1, г2) = ; - г1) + т; • /(г2) + т; • /(г1) + /г)/(г2) * * С; (г2 + Т (г-2, п) - г1 - Т (гъ п)) + т; • /(г2 + Т (г2, п)) + т; • /(га + Т (гъ п)) + +/(г1 + Т (г-1, п)) • / (г2 + Т (г2, п)) = С; (г1 + Т (гъ п), г2 + Т (г7, п)), гь г2 е я. (15)

Тобто ковaрiaцiя випадкового процесу (2) не е цикшчною за сукупшс-тю aргументiв, оскiльки у загальному випадку

С; (г2 - г1) * С; (г2 + Т (г7, п) - г1 - Т (гъ п)), гь г2 е я. Ковaрiaцiйнa функцiя випадкового процесу (3):

С;(М2 ) = М {;(а,г1 );(а,г2)} = М {(; (а, у (г1)) + / (г1 ))•(; (а, у (г2)) + / (г2 ))} =

= м {; (а, у (г1 ))•; (а, у (г2 )) + ; (а, у (г1 ))• / (г2 ) + ; (а, у (г2 ))• / (г1) + / (г1 )• / (г2 )} = = С;1 (у (г2)-у (г1)) + т; • / (г2) + т; • / (г1) + / (г1 )• / (г2). С;(г1,г2) = С; (у(г2)-у(г1)) + т; • /(г2) + т;1 • /(г1) + /(/2) = = С; (у(г2)+Т(у(г2),п)-у(г1)-Т(у(г1),п)) + т; • /& + Т(/2,п)) +

т; • /(г1 + Т (г-1, п)) + /(г1 + Т (г-ь п)) • /(г2 + Т (г2, п)) = (1

= С; (1 + Т (-1, п), г2 + Т (-2, п)), /1, ¿2 е я.

Тобто коварiацiя випадкового процесу (3), на вщмшу вщ коварiаци процесу (2), е циклiчною за сукупнiстю аргументiв, оскiльки

С$ (У(Ь2)-у(Ь)) = (У(12) + Т(у(12),п)-у(Ьх)-Т(у(Ьх),п)), к Ь2 е Я.

Кореляцшна функцiя випадкового процесу (2): Щ(К Ь2) = Ь2) - т^х) • т^2) =

= С$ (Ь2 - Ьх) + т^ • (/(Ь2) + ЛЮ) + /(Ь)/(Ь2) - (/(Ьх) + т^х) (/(Ь2) + т^) = = (Ь2 - Ьх) + т^х • (/(Ь2) + /(Ьх)) + /(Ьх)/(Ь2) - (/&)/&) + т^/(Ьх) + т^х/(Ь2) + т\ ) =

= С$ (Ь2 - Ьх) - т\ = Щх (Ь2 - Ьх), Ьх, Ь2 е Я . (И)

Тобто кореляцiйна функцiя випадкового процесу (2) не залежить вiд цикшчно! числово! функци /(), а по-сут^ е кореляцiйною функцiею стащ-онарного процесу %х(а>, Ь). Аналопчно i для випадкового процесу (3), його кореляцшна функщя не залежить вщ цикшчно1 числово! функци /().

Таким чином, цикшчна структура адитивно! моделi (2) мае мiсце для и початкових моментних функцiй, одновимiрних функци та щiльностi розподь лу, а цикшчшсть коварiацiйноl та кореляцшно1 функцш випадкового процесу не може бути врахована на основi використання конструкци (2). На вiдмiну вiд результуючого процесу конструкци (2), випадковий процес (3) мае цик-лiчну структуру не лише в одновимiрнiй ймовiрнiснiй структурi, але й в бага-товимiрнiй, що вiдображено у цикшчносп його коварiацiйноl функци.

У табл. шдсумовано отриманi вище результати, а саме показано, в яких ймовiрнiсних характеристиках випадкових процеЫв, представлених у виглядi конструкцiй (х), (2) та (3), е цикшчна структура.

Табл. Наявшсть циклiчно'i структури в ймовiрнiсних характеристиках

ци^чних випадкових проц еЫв

Ймов1ртсна характеристика Випадковий процес Ь (а, ь), пода- ний у вигляд конструкци (1) Випадковий процес Ь (а, ь), пода- ний у вигляд1 конструкци (2) Випадковий процес Ь (а, ь), пода- ний у вигляд конструкци (3)

Математичне спод1вання + + +

Диспершя Б^О - - -

Початкова моментна функщя а| (ь) + + +

Одновитрна функцк розподдлу Ь) + + +

Щшьтсть розподшу р%(х, Ь) + + +

Ковар1ацшна функщя С^(Ьх, Ь2) - - +

Кореляцшна функщя Щ(Ьх, Ь2) - - -

"+" - наявшсть дикшчио! структури; "-" - вщсутшсть дикшчио! структури.

Представленi у виглядi конструкцш (2) та (3) моделi е розширенням пiдкласу перiодичних випадкових процеЫв, що описуються конструкцiею (х). На основi конструкцiй (2) та (3) можна безпосередньо здшснювати iмiтацiю цикшчних випадкових процесiв, що дае змогу використовувати !х для форму -

вання стохастичних сигнал1в цикшчно! структури для задач тестування 1н-формацшних систем р1зного призначення.

Як приклад, розглянемо 1м1тащю цикшчних випадкових процеЫв Í3 використанням конструкци (3), що доповнюе результати роботи [7]. На рис. 1 подано графжи реашзацш 2п -перюдичних випадкових процеЫв:

t ) = sin (t ) + Zi(®, t), (18)

|2n(ф t) = sin(t) + 0.7 ■ cos(2 ■ t) + Z(®, t), 0£ ñ, t e R, (19)

де Z1(p, t) - бший шум 1з р1вном1рним на швштерваш (математичне спод1вання m^ = 0, дисперЫя D^ = ^2).

1 1

'2,2

розпод1лом

.1.44.

sr(t) 0

ь 1.45,

J.361.,

fr(t)

-1

- 2

ь- 2.171.,

10

20

-3

10

20

Tc

0

Tc

Рис. 1. Графши реалiзацiй перюдичних випадкових процеыв ¿¡2ж(а>, t)та ¿%2n(a>, t)

Математичш спод1вання процеЫв (16) та (17) вщповщно дор1внюють:

m^2n (t ) = sin (t), (20)

m

(t ) = sin (t) + 0.7 ■ cos (2 ■ t)

(21)

На рис. 2 подано графжи математичних спод1вань перюдичних випадкових процеЫв £2п (ф, t) та (ф, t).

1.2 1

Msr(t) 0

- 1.2 - 1

.0.878.

Mfr(t)

ь- 1.7,

10

20

10

20

Tc

Tc

Рис. 2. Графши математичних cnodieaHb перюдичних випадкових процеЫв

t) та £%2п(ф, t)

Дисперсп процеЫв (16) та (17) е константами i вщповщно дор1вню-

ють:

) = DL^ )= ^

(22)

2

2

1

0

1

2

0

0

0

t

t

0

2

0

.0

На рис. 3 подано графж дисперси випадкових процеЫв ¿;2ж(а>, t) та

Íln(o>, t) .

0.2

0.2

0.15

Dsr(t) 0.1

0.05

10

20

Tc

Рис. 3. Графк дисперси випадкових процеЫв ¿;2ж (а>, t)та ¡%2ж (а>, t)

Функцк щiльностi розподiлу процеЫв (16) та (11) е 2п- перiодичними i вiдповiдно дорiвнюють:

Ptn (Xt) = PZ (x + sin (t))> Xt e R' (23)

р^2л(x, t) = pC1 (x + sin (t) + 0.1 • cos (2 • t)), x, t e R . (24)

На рис. 4 зображено графжи одновимiрних функцiй шдльностей роз-подiлу випадкових процесiв %2ж (а>, t) та %2ж (а>, t).

Рис. 4. Графти одновимЬрних функцШ щтьностей розподту випадкових процеЫв

t)та t)

На рис. 5 подано графж функци перетворення шкали y(t) = t2 +1, t e(0,да) випадкових процесiв ¿;2ж(а>,t)та ¿%2ж(а>,t).

60

60

40

y(t)

20

.0.

Рис. 5. Графж функци перетворення шкали

0

0

0

0

t

0

0

0

2

4

6

1

На рис. 6 зображено графши реашзацш цикшчних ритмiчно пов'яза-них випадкових процеЫв £ (ф, t) та £ (ф, t), як отриманi шляхом дп оператора

перетворення шкали iз функцiею перетворення шкали y (t ) = t2 +1, t e( 0, да) на

процеси £2п(ф, t) та £2п(ф, t), а саме:

£ (ф, t) = £2п (ф, t2 +1) = sin (t2 +1) + £(ф, t2 +1), t e (0, да), (25)

£ (ф, t) = £2п (ф, t2 +1) = sin (t2 +1) + 0.7 ■ cos (2 ■ t2 + 2 ■ t) + 12 +1). (26)

1.1.496.,

J.378,

(+1)

L 1.471

fr!

L 2.159,

0 0

2 4

t

- 1 - 2

l

- 3

liiL J. d Hi 1 1 ..111

ло/жм

и и fit

V пг

•

0

A

2 4

t

Рис. 6. Графши реалiзацiй ци^чнихритмiчно пов 'язаних випадкових процеЫв

£(ф, t) та £ (ф, t)

На рис. 7 подано графш функци ритму T (t,1)=— —Л2 +4t+4п+1, t e(0, да)

4

та миттево'' кутово'' частоти ф(t) = (t2 +1) = 2 ■ t +1, t e(0, да) циклiчних ритмiч-но пов'язаних випадкових процесiв £ (ф, t) та £ (ф, t).

.0.035

0.2 0.4 0.6 0.8 t

Рис. 7. Графш функци ритму T (t,1) та миттево'1 кутово'1 частоти ф(t) ци^чнихритмiчно пов 'язаних випадкових процеЫв £ (ф, t) та £ (ф, t)

Математичнi сподiвання процеЫв (23) та (24) вщповщно дорiвнюють:

m£ (t ) = sin (t2 +1), (27)

m

= ( t ) = sin (t2 +1) + 0.7 ■ cos (2 ■ t2 + 2 ■ t).

(28)

На рис. 8 подано графши математичних сподiвань ршшчно пов'язаних випадкових процеЫв £ (ф, t) та £ (ф, t).

2

sr

6

6

6

6

х.2 х

Мег (2+ г) о

х.2 - х

,0.879,

М&

((2+ г)

- х

ь- х.7,

- 2

V

О г 6 о г 6

Рис. 8. Графши математичних сподiвань ци^чнихритмiчно пов'язаних випадкових процеЫв 0 (а, Ь) та 0% (а, Ь)

Дисперси циклiчних рштчно пов'язаних випадкових процесiв 0 (а, ь) та 0% (а, ь) е константами (рис. 9) i вiдповiдно дорiвнюють:

Б (ь ) = Б% (ь )=тт

У2

(29)

0.2

0.2

0.х5

Dsг(t2+ () 0.х

0.05

хо

20

0

0 г Тс

Рис. 9. Графш дисперси ци^чнихритмiчно пов Язаних випадкових процеЫв

0(а, Ь) та 0%(а, Ь)

ють:

Функци шдльност розподiлу процеЫв (23) та (24) вщповщно дорiвню-

Ро (х, Ь) = р^х (х + зш (Ь2 + Ь)), х, Ь е Я, (30)

р0 (х, Ь) = рх (х + зш(Ь2 + Ь) + 0.7 • соз (2 • Ь2 + 2 • Ь)), х, Ь е Я . (3х)

Графжи перерiзiв функцiй щiльностi розподiлу процеЫв (25) та (26) зображено на рис. !0-!3.

х.5

х.5

р(х, 0)

0.5

0

х.5

х.5

Р(х, х)

0.5

0

0

- 2 - х 0 х 2

- 2 х 2

х.5

х.5

Р(х, 7)

0.5

0

- 2 - х 0 х 2

- 2 х 2

0

-2 -х 0 х 2

-2 х 2

Рис. 10. Графши перерЫв по змтнш х функци щтьност!розподту р%(х, Ь) ци^чного випадкового процесу 00(а, Ь)

х

0

0

2

4

6

0

2

4

6

0

х

1.5

Р(1, t)

0.5

0

Р(0, t)

0

О

0

Л

Рис. 11. Графши перерЫв по змтнш t функци w(inbHocmiрозподту p;(x, t) ци^чного випадкового процесу ¿;(а>, t)

1.5

1.5

p2(x, 0)

0.5

О

1.5

1.5

Р2(х,1)

0.5

0

1.5

1.5

p2(x,7)

0.5

- 2 - 1 0 1 2 - 2 x 2

- 2 - 1 0 1 2

- 2 - 1 0 1 2

Рис. 12. Графши перерЫв по змтнш x функци щiльностiрозподту p; (x, t) ци^чного випадкового процесу ; (а>, t)

1.5

p2(1, t)

0.5

0

p2(0, t)

0 1 2 3 4 5

Л t 5

0 1 2 3 4 5

Л t 5

Рис. 13. Графши перерЫв по змтнш t функци щiльностiрозподту p; (x, t) ци^чного випадкового процесу ; (а>, t)

Висновки:

1. У робот! до^джено ймовiрmсm характеристики тдкласу циклiчних випадкових процеЫв, що утворет шляхом адитивного поеднання детермь новано1 циктчно1 функци та стащонарного випадкового процесу, зокре-ма встановлено, у яких саме ймовiрнiсних характеристиках цих випадкових процеЫв е цикшчна структура.

2. Обгрунтовано метод iмiтацiйного моделювання пiдкласу циклiчних випадкових процеЫв, що утворет шляхом адитивного поеднання детермь новано1 функци та стащонарного випадкового процесу. Це дае змогу ви-користовувати ïx для формування циклiчних сигналiв для задач тесту-вання iнформацiйниx систем рiзного призначення (системи радюпереда-ч^ медичнi та теxнiчнi дiагностичнi комплекси тощо).

3. Наведено приклади цикшчних випадкових процесiв, що утворенi шляхом адитивного поеднання детермшовано!" циклiчноï функци та стащонарного бшого шуму.

2

4

6

2

4

6

7

7

t

t

1

0

2

2

2

2

x

х

1

Лггература

1. Gardner W.A. Cyclostationarity: Half a century of research / W.A. Gardner, A. Napolitano, L. Paura // Signal Processing. - 2005. - № 86 (2006). - P. 639-691.

2. Hurd H.L. Periodically Correlated Random Sequences: Spectral Theory and Practice / H.L. Hurd, A G. Miamee. - Wiley, New York, 2006.

3. Драган Я.П. Енергетична теорiя лшшних моделей стохастичних сигналiв / ЯП. Дра-ган. - Л^в : Центр стратег. дослщжень еко-бютехшчних систем, 1991. - 361 с.

4. Марченко Б.Г. Лшшш перюдичш процеси / Б.Г. Марченко // Пр. 1н. - ту електроди-намши НАН Украши. Електротехнiка. - 1999. - С. 165-182.

5. Лупенко С.А. Моделювання лшшних перюдичних випадкових процеав / С. А. Лу-пенко, М.В. Приймак, Л.М. Щербак // Вюник Тернопшьського державного технiчного ушвер-ситету. - Тернопiль, 2000. - Т. 5, № 2. - С. 91-103.

6. Лупенко С.А. Детерминированные и случайные циклические функции как модели колебательных явлений и сигналов: определение и классификация / С. А. Лупенко // Электронное моделирование / Ин-т проблем моделирования в энергетике им. Г.Е. Пухова НАН Украины. - К. : Вид-во "Прогрес", 2006. - Т. 28, № 4. - С. 29-45.

7. Лупенко С.А. Мтацшне моделювання цикшчних випадкових процеав на ЕОМ / С. А. Лупенко, А.М. Луцюв // Науковий вюник НЛТУ Украши : зб. наук.-техн. праць. - Львiв : РВВ НЛТУ Украши. - 2006. - Вип. 16.6. - С. 110-119.

Демьянчук Н.Р., Лупенко С.А., Луцкив А.М., Осухивская Г.М. Вероятностные характеристики и имитация циклического случайного процесса, образованного на базе аддитивной модели

Исследованы вероятностные характеристики подкласса циклических случайных процессов, образованные путем аддитивного сочетания детерминированной циклической функции и стационарного случайного процесса, в частности установлено, в каких именно вероятностных характеристиках этих случайных процессов имеет место циклическая структура. Обоснован метод имитации таких циклических случайных процессов на ЭВМ.

Ключевые слова: циклический случайный процесс, аддитивная модель, вероятностные характеристики, имитационное моделирование.

Demyanchuk N.R., Lupenko S.A., Lutskiv A.M., Osukhivska G.M. Probabilistic characteristics and imitation on the computer of the cyclical casual process organised on the basis of additive model

In work probabilistic characteristics of a subclass of the cyclical casual processes, organized by an additive combination of the determined cyclical function and stationary casual process are investigated, in particular, is established in which probabilistic characteristics of these casual processes the cyclical structure takes place. The method of imitation of such cyclical casual processes on the computer is justified.

Keywords: cyclic stochastic process, additive model, probability characteristics, simulation modelling. _

УДК004.02+614.86 Доц. О.Б. Зачко, канд. техн. наук;

курсант Н. €. Бурак; курсант 1.М. Вовчук - ЛьвЬвський ДУБЖД

РОЗРОБЛЕННЯ МОДЕЛЕЙ ПРОГНОЗУВАННЯ К1ЛЬКОСТ1 ДОРОЖНЬО-ТРАНСПОРТНИХ ПРИГОД ЗАСОБАМИ СИСТЕМИ STATISTICA

Розглянуто науково-практичну задачу розробки моделей прогнозування кшькосп дорожньо-транспортних пригод у регюнах Украши. Побудовано лшшну та не-лшшну моделi залежност кшькосп дорожньо-транспортних пригод у региош вщ чи-сельносп населення та кшькосп автомобшв. Проаналiзовано моделi на адекватшсть