Явный вид решения линеаризованного трехмерного уравнения Линя-Рейсснера-Цзяна с постоянными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

'Въотпьк, ЯАТ£\Оу£\А

Уфа : УГАТУ. 2011________________________________^¿______________________________Т. 15, №5(45). С. 113-119

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ...

УДК 517.95+517.986.7

Х. Г. Умаров

ЯВНЫЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕАРИЗОВАННОГО ТРЕХМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЛИНЯ-РЕЙССНЕРА-ЦЗЯНА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Для линейного дифференциального уравнения в частных производных, моделирующего нестационарные малые возмущения в трансзвуковом пространственном потоке газа, получен явный вид решения задачи Коши и начально-краевых задач в полупространстве и пространственном слое сведением их к решению соответствующих абстрактных задач в банаховом пространстве. Уравнение Линя-Рейсснера-Цзяна; сильно непрерывные полугруппы операторов

Рассмотрим в области (х, у, z) е R , 0 < t <

< Т< +да, дифференциальное уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами, являющееся линеаризацией уравнения Линя-Рейсснера-Цзяна [1, 2], моделирующего нестационарные малые возмущения в трансзвуковом пространственном потоке газа,

uxt + Ыхх + aux = иуу + игг + ./ , (1)

в котором k, a - числовые параметры; искомая функция u = u(x, у, г, 0 - потенциал поля скоростей, а заданная функция f = Дх, у, г, У) - представляет внешние массовые силы.

Наша цель - получить для уравнения (1) явный вид решения задачи Коши и начальнокраевых задач в полупространстве г > 0 и пространственном слое 0 < г < I < +да.

1. ЗАДАЧА КОШИ

Будем предполагать, что начальное данное

ф:

If=0

= j(X, У, z),

(2)

искомое классическое решение и и свободный член f уравнения (1), для всех значений «параметров» - (y, z, t) е R3 х [0, T], по «пространственной» переменной х е R принадлежат банахову пространству С[-да, +да] непрерывных функций у = у(х), для которых существуют пределы при х ^ ±да и норма которого определяется по формуле

1И х)|| c[-¥+¥] = supу(х) Ф(х)11 С ■

xeR1

В пространстве С[-да, +да] дифференциальный оператор -d/dx с областью определения D(dfdx) = {y(х) е С[-¥,+¥]: y'(х) е С[ —¥,+¥>]} является ([3], с. 670) производящим оператором

сжимающей сильно непрерывной полугруппы и(Р; -d/dx) класса С0 правых сдвигов

и (У;-d/dx)y( х) = у( х -1). (3)

Представим уравнение (1) в виде

Э (Эи , Эи Л Э 2ы Э 2ы

— + к — + au | = —- +—-

Эу2 dz2

Эх I df Эх

+f . (4)

Введем в рассмотрение два линейных замкнутых оператора: А = а1 + МШх, где I - тождественный оператор, и В = dldx, с областями определения 0( А) = -О(В) = .О^ІаХ). Тогда уравнение (4) запишется в пространстве С[-да, +<»] в виде абстрактного дифференциального уравнения

В(и{ + А~) = иуу + и22 + / , (5)

где и : (у, г, ґ) ® и(х, у, z, ґ) - искомая,

а / : (у, г, ґ) ® /(х, у, г, ґ) - заданная функции,

определенные в области (у, г, ґ) є В2 х [0, Т] и со значениями в С[-да, +<»]. Для уравнения (5) начальное условие (2) перепишется в виде

If=0

= j( У, z),

(6)

Контактная информация: umarov50@mail.ru

здесь ф: (у, г) ® ф(х, у, г) - заданная функция,

определенная для (у, г) е R2 и со значениями в пространстве С[-да, +*].

Оператор -В является производящим оператором сильно непрерывной полугруппы и(У; -В) класса С0 с нулевым типом ([4], с. 58): ||и(У;

-В)|| = ||и(У; -d/dx)|| = 1, У > 0, а оператор -А порождает сильно непрерывную полугруппу

и(У;-А)у(х) = е~а1 у(х - кУ) (7)

класса С0, для нормы которой справедлива оценка ||и(У; -А)|| < е-аУ, У > 0. Очевидно, что полугруппы и(У; -А) и и(У; -В) коммутируют между собой.

Решение в банаховом пространстве Е абстрактной задачи Коши (5), (6), в которой опера-

торы -В, -А являются производящими операторами коммутирующих сильно непрерывных полугрупп класса С0, типы которых соответственно равны -в < 0, а и, значит, для норм справедливы оценки ||и (';-В)|| £ Ые-',

и (';-лЦ < Ыеш, где Ы, N - некоторые положительные постоянные, найденные в [5].

Чтобы упростить формулировку условий разрешимости рассматриваемых в статье абстрактных задач, обозначим через Е„, V > 0, подмножество банахова пространства Е, для элементов е которого справедлива оценка

\\и (х;-В)е||Е <юе (т), е е Еп, у> 0, т> 0,

где непрерывная функция - мажоранта юе(т) принадлежит* Х^. Введем еще одно обозначение: для функции у(5, ') со значениями в банаховом пространстве Е будем писать у(5, ') е е СЕ,,, если у(5, ') непрерывна в области задания и удовлетворяет оценке

ир|р(т;-В)у(5, ')\\е £ £(')с(т) ,

вир

■ї

где Ф('), о(т) - непрерывные функции, причем о(т) е Ь1у-\. Если у(5, ') не зависит от переменной ', то полагаем Ф(') ° 1. Если функция у(5, ') постоянная, т. е. у(5, '), то принадлежность ее СЕ, означает, что е е Е„.

Возвращаясь к рассмотрению абстрактной задачи Коши (5), (6), имеем: если начальное данное ф(у, г) и свободный член f (у, г,') удовлетворяют условиям

(а!) значения функции ф принадлежат множеству Е = Б(А) п Б(ВА) п Б(В3), значения функции f - множеству Б(А) п О(В), а значения частных производных /у, /г - множеству ДВ);

(б!) справедливы соотношения ф, Вф, АВфе СЕ1; В2ф, Вф е СЕ2; /, Лл/ е СЕ1; В/ , /у, / , В/у, В/2 е СЕ32;

то, согласно [5], решение задачи Коши (5), (6) дается формулой

* Ьур - пространство функций, абсолютно интегрируемых на полуоси ,К+ = [0,+¥ с весом Хр :

~(у, г, ґ) = -— и (ґ;-А) X 4рґ

X Л и Г (у-^) + (г -0 ; В ^

В 2

4ґ

Вф(^, Z)dhdZ +

1 1

+ — \и(ґ -х;-А) 4р 0

dх ґ-х

(8)

-X

(у -Л)2 + (г -О2 .

х\\и—4(ґ-х) ~ ;-В/ (л,с,х)аМС

и для него справедлива оценка нормы ||и(у, г, ґ)||Е <

ґ

®110 +11101 У(х)е_а^х

< N

(9)

в которой функции ю = ю(т), к = к(т), т > 0; у = = ї(ґ), ґ > 0, определяются из неравенств

||и(х;-В)Вф(у, г)||Е <ю(х);

вир

(У, г)єВ 2

вир

(У, г)єВ 2

и (х;-В)/(у, г, ґ) <у(ґ )1(х).

Е

Ставя цель переформулировать это утверждение для задачи Коши (1), (2), заметим, что типы полугрупп, порождаемых операторами -А, -В, удовлетворяют равенствам а = -а, в = 0, причем для постоянных N, М из оценок этих полугрупп выполняются равенства N = М = = 1;

для выполнения условий (а1) достаточно, чтобы начальное данное ф имело непрерывные частные производные по переменной х до третьего порядка включительно, а свободный член / - непрерывные частные производные по переменным х, у, г и непрерывные смешанные частные производные по переменным х, у и х, г, принадлежащие пространству С[-да; +*];

для выполнения условий (б1) достаточно, чтобы выполнялись оценки

{ф( х -х, у, г )|| с,

(10)

вир (|ТЧ„ J,-,¡¡C,

(y, г)єВ 2

||ф х (х -х, у, г)|| с }<ю(х);

§иР ||фхх (х -х, У, г)||с ,

(У, г)єВ 2

||ф ххх(х -х, y, г)\\с }<^(х);

где непрерывные функции ю(т), ОД из пространств Ь1,0, Ь1,1 соответственно; и

= | хр|юе (х^х|<+°

0

р

sup {f (х — t, y, z, t )|| C }< g(t )1(t);

(y, z )eR 2 sup {fx (х — t, y, z, t )|| C,

(y, z )eR 2

||fy (х — t, У, z, 0|| C , I \fz (х — t, У, Z, t ^1C , (11)

Ify (х — t, У, z 0|| C,

< g(t )A(t)|| fxz (х — t, y, z, t)|| C }<

< g(t )A(t);

в которых y(t), t e [0, T]; k(x) e L1,0, Л(т) e L11/2, т > 0 - непрерывные функции.

С учетом формул (3), (7), решение (8) задачи Коши (5), (6) в пространстве C[-*, +*] запишется в явном виде

и(х, y, z, t) = -р— e~at И(рх (х — kt —

(y — h)2 + (z — Z)2 4t

-, h, Z)dhdZ +

+ \e~at dt if f (х — kt —

(12)

(y — h)2 + (z — Z)2 4t

-, h, Z, t — t)dhdZ.

Для решения (12), используя неравенство (9) и значения a, N, выводим оценку

sup \и (х, y, z, t )| <

(х, y, z)eR

Ml 0 +

llll 0 f g(t)eatdt

(13)

Таким образом, имеет место теорема. Теорема 1. Пусть в задаче Коши (1), (2) начальное данное ф(х, у, г) удовлетворяет условиям (10), а свободный член /(х, у, г, ') - условиям

(11), тогда единственное решение этой задачи в пространстве С[-<х>; +ж] дается формулой

(12) и для него справедлива оценка (13).

2. НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

Рассмотрим трансзвуковой поток газа вблизи одной из горизонтальных границ среды -плоскости г = 0, полагая, что влияние других границ еще не сказалось или же несущественно, т.е. для уравнения в частных производных (1), которое рассматривается в этом случае в области (х,у,г,') е R+x]0,Т], R+ = R2 XR+,

R+ =]0,+¥[, кроме начального данного (2), оп-

ределенного в области (х, у, г) е В+ = R 2 X R+, задано и краевое условие

и|г=0 =т(х,у,'), (х,у,')е R2 X[0,Т], (14)

для которых выполняется естественное условие согласования

ф(х, у,0) = т(х, у,0), (х, у) е R2 .

Предположим, что начальное данное ф, граничное значение ц, свободный член / уравнения (1) и классическое решение и начально-краевой задачи (1), (2), (14) для всех точек

(у, г,') е В+2 X [0, Т], В+ = R1 X R+, по переменной х е В1 принадлежат пространству С[-да, +да].

Начально-краевая задача (1), (2), (14) является частным случаем абстрактной смешанной задачи в банаховом пространстве Е для уравнения (5) в области (у, г,') е R+x]0,Т],

В+ = В1 X В+ . Для этого уравнения в банаховом пространстве Е задаются начальное данное (6) в области (у, г) е В+ и краевое условие

lz=0

= ~(y, t), (y, t) e R1 x [0, T], (15)

где |~: (у,') ® т(х, у,') - заданная функция, определенная в области (у, ') е В1 х [0, Т] и со значениями в С[-да, +*], для которых выполняется условие согласования ф(у,0) = р(у,0).

~ —2

Пусть начальное данное ф(у, г), (у, г) е В+ ,

краевое условие р(у,'), (у, ') е В1 х [0, Т],

и свободный член / (у, г,') удовлетворяют следующим требованиям:

(а2) значения функций ф, / - такие же, как и в условии (а0, а значения р принадлежат

множеству Е ;

(б2) справедливы соотношения ф,

АВфе СЕ1; В2ф, В3фе СЕ2 ; р, АВре СЕ1;

Вре СЕ5; В2р, В3ре СЕ3; / , Аре СЕ1; В/ ,

/у , /г , В/у , В/г е СЕ32 ;

тогда, согласно [6], единственное решение смешанной задачи (5), (6), (15) дается формулой

р( у, г,') = и (';-А) В X 4р'

x

Я

U

(y — h)2 + (z — Z)2 .

4t

B

2

R

R

—at

e

0

R

■U

(y -h)2 + (z + Z)2 .

4t

B

j(h, QdhdZ, +

+4— BiU (t-t;-A):

dt

x

4— J„ ' (t -t)

(y -h)2 + z 2.

x

i и I

4(t -t)

B

~(h, t)dh +

+ -1— iU(t -t;-A)—x 4— ^ t -1

(16)

x

ii

U

(y -h)2 + (z -Z)2 .

U

4(t - t)

(y -h)2 + (z + Z)2 . 4(t -t) ;

B

B

f (h, Z, t)dhdZ

v /_

и для его нормы справедлива оценка

\\и (y,z,t)||E < (1 + M)Nmaxjl,eat }x

x

+

t

111 0 i g(t)e _at dt

max %(t) +

(17)

в которой функции ю = ю(т), р = р(т), к = к(т), т > 0; X = x(t), Y = Y(t), t > 0, определяются из неравенств

sup ||U(t;-B)B~(y, z)||E < ro(t);

(y, z)eR+

sup ||U(t;-B)B|i(y, t)||E < %(t)p(t);

(y, z)eR+ sup

U(t;-B) f (y, z, t) < g(t)1(t).

E

(у, г )еВ+

Для выполнения в пространстве С[-да, +да] условия (а2) достаточно, чтобы начальное данное ф и граничное условие ц имели непрерывные частные производные по переменной х до третьего порядка включительно, а свободный член / - непрерывные частные производные по переменным х, у, г и непрерывные смешанные частные производные по переменным х, у и х, г, принадлежащие пространству С[-да, +да].

Для выполнения условий (б2) достаточно, чтобы выполнялись оценки

вир {ф(х -т,у, г)||С;

(y, г)еВ+2

||ф х(х -т, y, г)\С }<ш(т);

IIC

sup |фxx(x -t,y, z)||

(y, z)eR+2 ||ф «х(x -t, y, z)|| C }<W(t);

(18)

где непрерывные функции ю(т), Q(t) из пространств L1,0, L1,1 соответственно;

sup ||m(х — t,y, t)||C <c(t)p(t);

yeR1

sup imх(х -t,y,t)||C <c(t)p(t);

yeR1

sup ||mxx(X -t,y, t)||C ,

yeR1

(19)

im (x -ty, t )ii с £c(t) P(ty,

здесь непрерывные функции р(т), p(t), Р(т) из пространств Zio, Lij4, L1,2 соответственно;

sup ||/(x -t,y, z,t)||с <g(t)1(t);

(y, z )eR+2

SuP I fx (x -t У, z, tс,

(У, z )eR+2

\/y (x -1, y, z, t )|| с, I\/z (x -1, y, z, t)|| с, (20)

||/xy (x -t У, z,t^с ,

Uxz(x -t y, z, 0|| с }< g(t )L(t);

в которых у(ґ), ґ є [0, Т]; к(т) є Ь10, Л(т) є Ь11І2, т > 0; - непрерывные функции.

Теперь решение (16) смешанной задачи (5), (6), (15) запишется, в силу представлений полугрупп (3), (7), в пространстве С[-да, +да] в явном виде

и(х, у, г, ґ) = —^-е~аа X 4рґ

x ii

R+

-j X

X - kt -

(y-h)2 + (z -Z)

4t

x - kt - (y-h)2 +(z + Z)2, h, Z'

4t

dqdZ +

z t -at dt+r + 7T і Є at ~2 і

m xx

4—

t2 -ix

^ (y-h)2 + z2

x - kt-—— ------, h, t -t

dh +

4t

1 t dt

+7-ie^II[f (x - kt -4— 0

t R+ 22

(y-h) + (z -Z)

4t

, h, Z, t-t) -

/V 7 (y-h)2 + (z + Z)2 S- \

f (x - kt-^v v, h, Z, t-t)

4t

dqdZ.

(21)

2

R

0

x

0

Для решения (21), используя неравенство (17) и значения а, N, Ы, выводим оценку

;(х, у, г,' )| < 2шах{1,

вир

(х, у, г )еВ+

1 11-11 + — ||р||0 шах '

-а'

“II0 +

2

те[0,' ]

I

С(т) + Ц 0{ y(т)eaтdт

(22)

Таким образом, имеет место теорема.

Теорема 2. Пусть в начально-краевой задаче (1), (2), (14) начальное данное ф(х, у, г), краевое условие р.(х, у, ') и свободный член/(х, у, г, ') удовлетворяют соответственно условиям (18)-(20), тогда единственное решение этой задачи в пространстве С[-<х>, +ж] дается формулой (21) и для него справедлива оценка (22).

3. НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ПРОСТРАНСТВЕННОМ СЛОЕ

Рассмотрим трансзвуковой поток газа в пространственном слое, границами которого являются две горизонтальные плоскости, удаленные друг от друга на расстояние I.

Пусть задан потенциал поля скоростей Цо(х, у, ') и ц;(х, у, ') на этих плоскостях г = 0 и г = 1 соответственно, т.е. для уравнения в частных производных (1), которое рассматривается в этом случае в области (х, у, г, ') е В2 х]0,/[х]0,Т], кроме начального данного (2), определенного в области (х, у, г) е В2х[0, /] заданы и краевые условия

и|г=0 =т 0 (х, у,'), и|г=; = тг (х, у,'),

, (23) (х,у,') е В2 X [0,Т],

подчиняющиеся требованиям согласования ф( х, у,0) = |10( х, у,0),

2

ф(х, у, I) = |1; (х, у,0), (х, у) е В .

Будем предполагать, что начальное данное ф, краевые значения ц0, ц;, свободный член / и классическое решение и уравнения (1) в этом случае, для всех (у, г, ') е В1 х [0, /]х]0,Т] по переменной х е В принадлежат банахову пространству С[-да, +да].

В [7] найдено решение смешанной задачи в банаховом пространстве Е для абстрактного уравнения (5) в области (у, г, ') е В1 х]0, /[х]0,Т]. Для этого уравнения в пространстве Е задаются начальное данное (6) в области (у, г) е В1 х [0, /] и краевые условия

и\ г=0 =р0( у, '), р| 2=г = Д/( у, '), (24)

(у,')е В1 X[0,Т],

р0 : ( у, ') ®^0(х, у,'), р;: (у,') ®|1; (х, у, ')-

заданные функции, определенные в области (у, ') е В1 х [0, Т] и со значениями в С[-да, +*], для которых справедливы требования согласования

ф(у,0) = р0 (у,0) , ф(у, I) = р; (у,0), у е В1.

Пусть начальное данное ф(у, г),

(у, г) е В1 X [0,1], граничные условия р0(у, '), р; (у,'), (у,') е В1 X [0, Т], и свободный член

/(у, г,'), (у, г,') е В1 X [0,1] X [0,Т], удовлетворяют следующим требованиям:

(а3) значения функций ф, / - такие же, как и в условии (а^, а значения р0, /; принадлежат

множеству Е ;

(б3) справедливы соотношения ф,

АВф е СЕ1; В2ф, В3фе СЕ2 ; /, АВ/ е СЕ3/2 ;

Врг е СЕ5; В2/, В3рг е СЕ3; г = 0,1; / ,

А/ е СЕХ ; / , В/ , /у, / , В/у, В/г е СЕ^;

тогда, согласно [7], единственное решение смешанной задачи (5), (6), (24) дается формулой

и( у, г,') =

+~ (, --\2 \

+¥ ( 2

- и (';-А)В 1 и I (у-Л) ;

р •'I 4'

-¥ \

+ ¥

И

4р'

I +¥

X 0 k=-

- и

В

dцx

(г -£ + 2/k)2 _

(г + С + Ж)2 , 4'

-В

ф(Л, М +

1 '

+4Р В1и ('-т’-а)

dт

(' -т)'

-X | и{(у Л) ;-В^

(г + Ж )и

В

4(' -т)

Мл, т) +

X

4(' -т) ’

+ ¥

X I

k = -¥_

+4Р1и ('-т;-А) ^и 1—;-В '

0 -¥

I +¥

XI I

0 k = -¥

-и

dцx

(

и

(г -£ + Ж)2 .

4(' -т)

-В

(г + С + Ж)2 , 4(' -т)

-В

/ (Л, С, т)^

(25)

и для его нормы справедлива оценка

где

0

|м(у,z,f)||E < (1 + M)Nmax{l,eat }x

x

{llHI 0 + 7+

max X(t)||p||0 +

+ M te[o,f] 0

(26)

+

l

llPll 72

t

+

INI0Jg(t)eatdx\,

в которой функции ю = ю(т), р = р(т), к = к(т), т > 0; х = x(t), Y = y(t), t > 0, определяются из неравенств

sup ||U(t;—B)Bj(y, z)\\E < w(t);

(y,z )eR*x[0,/]

sup ||U(t;—B)Bj~ (y, z)\\E <%(t)p(t), i = 0,l;

(y,z)eRl x[0,l]

sup

(y,z)eR7 x[0,l]

U (t;-B)f (y, z, f) <g(f )N(t).

E

(27)

Для выполнения в пространстве C[-a>, +*] условия (а3) достаточно, чтобы начальное данное ф и граничные условия цг-, i = 0, l, имели непрерывные частные производные по переменной х до третьего порядка включительно, а свободный член f - непрерывные частные производные по переменным х, y, z и непрерывные смешанные частные производные по переменным х, y и х, z, принадлежащие пространству C[-w, +да].

Для выполнения условий (б3) достаточно, чтобы выполнялись оценки

sup {j( х — t, y, z)|| C,

(y, z )eR‘ x[0,l ]

jх (х — t, y, z)||C < w(t);

sup ||фхх (х — t У, z)||C,

(y, z )eR‘ x[0,l ]

||ф ххх(х —1, y, z)|| C }<W(t);

где непрерывные функции ю(т), Q(t) из пространств L1,0, L1,1 соответственно;

sup ||mi (х — t,y, t)||C <c(t)p(t);

yeR1

sup ||(m,)х(х — t,y,t)||C < c(t)p(t);

yeR1 (28)

sup||(m) хх(х—1, y, t C,

yeR1

||(m) ххх(х —1, y, t C }< c(t )p(t)i =0, l, здесь непрерывные функции p(t), p(t), P(t) , из пространств L1,1/2, L1,4, L1,2 соответственно;

sup {f (х — t, y, z, t)|| C,

(y, z )eR1 x[0,1 ] (29)

life (х — t, y, z, t )|| C, I \fy (х — t, y, z, t )|| C,

llfz (X -t,y, z, f)||C , \fxz (X -Ъ У, z, f ^1C

fxy (X -t, y, z, f )||^,

< g(f )N(t);

в которых у('), ' е [0, Т]; к(т) е Ьц/2, т > 0 - непрерывные функции.

Теперь решение (25) смешанной задачи (5), (6), (24) запишется, в силу представлений полугрупп (3), (7), в пространстве С[-да, +*], в явном виде

1 +¥ / +¥ и(х,у,г,') = — е_а |dпx | 1[фх(х - кУ -

(y -h)2 + (z -Z + 2lk )2

4f

0 к=-<*

, h, Z) -

j x

X - kt - (y -h)2 + (z + z + 2lK)2 ,h,z

1 f 1 +¥ +■ 1 Г - at dt

+ - J e З

0 1 -¥ к

4p

4f

J £[(z + 2lk)>

dZ +

x (m 0) x

( , (y-h)2 + (z + 2lk )2 Л

x- kt- —-------------------—,h,f -t

4t

+(2ik +1 - z)(mi) x(x - kt-(y -h)2 + (2lk +1 - z)2

+ 4PJe"atdT J dhJ (x-kt"

4p0 0 к=-¥

4t

+ ¥ l

,h,f - t)

dh +

(y-h)2 + (z-Z + 2lk)

4t

2

-, h, Z, f -t) -

„ , (y-h)2 + (z + Z + 2lk )2 . '

- f (x-kt- —----------------5------—,h,Z,f -t)

4t

dZ. (30)

Для решения (30), используя неравенство (26) и значения а, N, Ы, выводим оценку

\и(х,у,г,')| < 2шах{1,е~а' }x

sup

(x, y, z )eR 2 x[0,l ]

x ^1WL + 7 max c(t)

1,0 2 te[0,f ]

P 0 +■

4ft ii-ii

llpl 72

+ (31)

+

IN 0 J y(t)eatdt[.

Таким образом, имеет место теорема.

Теорема 3. Пусть в начально-краевой задаче (1), (2), (23) начальное данное ф(х, у, г), граничные условия Ці(х, у, ґ), і = 0, I, и свободный член /(х, у, г, ґ) удовлетворяют соответственно условиям (27)-(29), тогда единственное решение этой задачи в пространстве С[-<х>, +ж] дается формулой (30) и для него справедлива оценка (31).

0

l

0

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Глазатов С. Н. Задача с данными на характеристике для линеаризованного уравнения трансзвуковой газовой динамики // Сиб. матем. журн. 1996. Т. 37, № 5. С. 1019-1029.

2. Глазатов С. Н. О разрешимости пространственно-периодической задачи для уравнения Линя-Рейсснера-Цзяна трансзвуковой газовой динамики // Матем. заметки. 2010. Т. 87, № 1. С. 137-140.

3. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ, 1962. 895 с.

4. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. 464 с.

5. Умаров Х. Г. Задача Коши в банаховом пространстве для аналога уравнения диффузии, не разрешенного относительно производной по времени // ДАН СССР, 1990. Т. 314, № 6. С. 13521356.

6. Умаров Х.Г. Смешанная задача в банаховом пространстве для аналога уравнения диффузии, не разрешённого относительно производной по времени ІІ Известия вузов. Математика. № 4. 1992. С. 100-ЮЗ.

7. Умаров Х.Г. Смешанная задача в банаховом пространстве для аналога уравнения диффузии, не разрешенного относительно производной по времени. 2 ІІ Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2010. Т. 12, № 1. С. 79-84.

ОБ АВТОРЕ

Умаров Хасан Галсанович, доц. каф. диф. ур-ий Чеченск. гос. ун-та. Дипл. математик (Ростовск. гос. ун-т, 1973). Канд. физ.-мат. наук по диффе-ренц. уравнениям и уравнениям матем. физики (Ростовск. гос. ун-т, 1982).