Явления старения и нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы в неравновесном критическом поведении трехмерной неупорядоченной модели Изинга Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2015. № 1. С. 28-32.

УДК 539.2

В.В. Прудников, П.В. Прудников, А.Н. Пуртов

ЯВЛЕНИЯ СТАРЕНИЯ И НАРУШЕНИЯ ФЛУКТУАЦИОННО-ДИССИПАТИВНОЙ ТЕОРЕМЫ В НЕРАВНОВЕСНОМ КРИТИЧЕСКОМ ПОВЕДЕНИИ ТРЕХМЕРНОЙ НЕУПОРЯДОЧЕННОЙ МОДЕЛИ ИЗИНГА*

Рассмотрены результаты численного описания методом Монте-Карло особенностей неравновесного критического поведения в трехмерной неупорядоченной модели Изинга. Исследования двухвременной зависимости автокорреляционных функций и динамической восприимчивости для систем со спиновыми концентрациями p = 0.95 и p = 0.5 позволили выявить эффекты старения, характеризующиеся замедлением релаксации системы с ростом времени ожидания, и нарушение флуктуационно-диссипативной теоремы.

Ключевые слова: метод Монте-Карло, неравновесное критическое поведение, неупорядоченная модель Изинга, эффекты старения.

Исследование макроскопических статистических систем, характеризующихся медленной динамикой, в настоящее время вызывает значительный интерес как с теоретической, так и с экспериментальной точки зрения. При медленной эволюции данных систем из неравновесного начального состояния в них наблюдаются свойства старения и нарушение флуктуационно-диссипативной теоремы [1]. Примерами подобных систем с медленной динамикой и эффектами старения являются комплексные неупорядоченные системы: дипольные, металлические и спиновые стекла [2]. Однако подобные особенности неравновесного поведения, как показали различные исследования [3; 4], могут наблюдаться и в системах, испытывающих фазовые переходы второго рода. Это обусловлено тем, что их поведение вблизи критических температур характеризуется аномально большими временами релаксации.

В окрестности температуры Tc фазового перехода второго рода время релаксации системы является расходящейся величиной trei ~ | T- Tc | -zv. В результате системы в критической точке не достигают равновесия в течение всего релаксационного процесса. Именно на этапе t<< trei проявляются эффекты старения. Они выражаются в осуществлении двухвременных зависимостей для корреляционной функции

C(t, tw) = — f ddx[ < S(x, t)S(0, tw) > - < S(x, t) >< S(0, tw) >] (1)

w VJ w w

и функции отклика на малое поле h, приложенное в момент времени tw,

R(t, tw) = 4 f ddx S< S (xt > > I h0 w Vf Sh(x,tw)

(2)

от времени ожидания tw и времени наблюдения t-tw. Время ожидания характеризует время, прошедшее с момента приготовления образца до начала измерения его характеристик. В течение t-tw << trei во временном поведении системы проявляется влияние начальных состояний системы.

Отметим также, что введенное ранее для спиновых стекол флуктуа-ционно-диссипативное отношение X(t,tw), связывающее функцию отклика и корреляционную функцию и обобщающее флуктуационно-диссипатив-

* Работа поддержана грантом Российского научного фонда, проект № 14-12-00562. Исследования были проведены с привлечением вычислительных ресурсов СКИФ МГУ «Чебышев».

© В.В. Прудников, П.В. Прудников, А.Н. Пуртов, 2015

Явления старения и нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы...

29

ную теорему на случай неравновесного поведения,

R(t,tw)

X(t,tw) dC(t,tw)

ikr dtw

(3)

оказывается в пределе больших t и tw

X ” = limlim X (t, t) (4)

tw t W

новой универсальной характеристикой для критического поведения различных систем. В равновесном состоянии X(t > tw >> trei) = 1.

В данной статье решается задача численного Монте-Карло исследования с применением алгоритма тепловой бани особенностей влияния дефектов структуры на характеристики неравновесного критического поведения анизотропных спиновых систем, описываемых трехмерной моделью Изинга, при их эволюции из высокотемпературного начального состояния с Т0>>Тс. С одной стороны, проводить изучение релаксационной динамики подобных систем значительно легче, чем изучение таких сложных неупорядоченных систем, как спиновые стекла, а с другой стороны, эти системы на неравновесном этапе критической эволюции демонстрируют аналогичные спиновым стеклам эффекты старения и отклонение предельной величины флуктуационно-диссипативного отношения от единицы как показателя неравновесности системы.

С целью выявления влияния дефектов структуры на характеристики неравновесного критического поведения нами рассматривалась также трехмерная разбавленная немагнитными атомами примеси модель Изинга, характеризуемая гамильтонианом

H = -J X P,PJSlSJ-й£ pS, (5)

<i,j > i

где J > 0 - короткодействующее обменное взаимодействие между спинами Si = ±1, закрепленными в узлах решетки, pi - числа заполнения, равные 1, если в узле находится спин, и 0 - в случае его отсутствия (магнитный атом замещен немагнитным атомом примеси). Дефекты структуры равномерно распределяются по всей системе, и при моделировании их положение фиксируется для отдельной примесной конфигурации (случай замороженных дефектов структуры).

Моделирование эволюции макроскопической решеточной системы из Ns спинов осуществлялось в рамках статистического метода Монте-Карло. Был реализован динамический процесс односпиновых переворотов с применением алгоритма тепловой бани [5], задающим вероятность перехода спина системы в новое состояние Si ^ Si посредством формулы

Wsp (Si ^ S')

exp^H^)]

XSj exp[-^H(Sj)] ’

(6)

где fi = 1/T, а суммирование по Sj в знаменателе проводится по всем возможным состояниям спина узла после переворота при условии фиксации спинов остальных узлов в состоянии до переворота. В качестве единицы времени динамического процесса выбирается шаг Монте-Карло на спин (MCs/s), который обозначает Ns последовательных переворотов спинов в узлах решетки. Для модели Изинга с двумя возможными состояниями Sj = ±1 указанную вероятность переворота можно записать в виде

exp[-^H (S l)]

Wsp S ^ S') =

exp[eH (Si)] + exp[-eH (Si)]

(7)

с реализацией так называемой глауберов-ской динамики.

Моделирование системы проводилось на кубической решётке спинов с линейным размером L = 128 при спиновых концентрациях p = 0.95 и p = 0.5 и соответствующих критических температурах Тс = 4.26267(4) и Тс = 1.84509(6) [6]. Формировалось высокотемпературное (при Т0>>Тс) начальное состояние системы с малым значением намагниченности M0<<1 (Mo = 0.01 для p = 0.95 и Mo = 0.005 для p = 0.5), которое для исследуемого (при Т = Тс) критического режима являлось существенно неравновесным. Поведение системы исследовалось на временах до 10000 шагов Монте-Карло на спин (MCS/s) для времён ожидания tw = 10, 25, 30, 50, 100 и 150 MCS/s.

В работе осуществлялось вычисление намагниченности:

M (t) =

~рё X р*(> )

(8)

и автокорреляционной функции:

C(t,tw)

i pL

-77т X P.S, (t)Si (tw)

pL 7=1

(9)

Вычисление функции отклика R(t,tw) и флуктуационно-диссипативного отношения проводилось в отсутствие магнитного поля на временах, превышающих время ожидания (t > tw), на основе соотношениий [7; 8]:

R(t, tw)

1

—3 х TpL

pL

хХК PS (t)(Si (tw +1) - SW (tw +1)))],

(10)

X(t,tw)

TR(t,tw) d, C(t, tw)

= X i [< p.S.m (tw+1) - sw (tw +1)) >]

Xi[< PS(t)(si(tw +1) -st(tw)) >] , ( )

где SW = th(JXm*PmSm 1 T) , треугольные

скобки означают статистическое усреднение по реализации начального состояния, квадратные - по различным распределениям немагнитных примесей на решётке. Получен-

30

В.В. Прудников, П.В. Прудников, А.Н. Пуртов

ные в результате моделирования величины были усреднены по 6000 статистическим реализациям распределения дефектов в решетке и 15 дополнительными реализациями начального состояния для каждой примесной конфигурации.

На рис. 1 продемонстрировано проявление свойств старения в двухвременной зависимости для автокорреляционной функции и функции отклика, представленных на графиках в двойном логарифмическом масштабе для различных времён ожидания tw для слабо неупорядоченной системы (с p = 0.95) и сильно неупорядоченной системы (р = 0.5). Наглядно показано, что с ростом времени ожидания («возраста» системы) релаксационные свойства систем замедляются и отклик на внешнее возмущение становится меньше.

Анализ поведения C(t,tw) и R(t,tw) показывает, что в их неравновесной критической эволюции можно выделить три этапа: первый квазиравновесный этап наблюдается для малых времен наблюдения t-tw<<tw при tw>>1, когда эффекты старения еще не возникают и динамика системы характеризуется C = C(t-tw) и R = R(t-tw); на втором этапе для времен t-tw~tw>>1 реализуется режим старения, на котором поведение автокорреляционной функции и функции отклика описывается соотношениями [3]:

C(t, tw)~ tw-ipvFc (t / tw), (12)

R(t, tw)~ tw-ip/vz-1 Fr (t / tw), (13)

и поэтому зависимости C(t-tw) и R(t-tw) характеризуются различными наклонами для каждого tw; на долговременном этапе с t-tw>>tw>>1 скейлинговые функции в (12)-(13) уменьшаются со временем по степенному закону

Fc (t / tw )~(t / tw )-CA, (14)

Fr (t / tw )~(t / tw )-CR , (15)

где показатель ca является тем же самым, который описывает поведение автокорреляционной функции в коротко-временном режиме неравновесного критического поведения [9]. Скейлинговый анализ функции отклика R(t-tw) предсказывает [3], что на этом коротко-временном режиме cr = ca.

Для проверки выполнения соотношений (12)-(13) были построены зависимости

tw2fiVC(t, tw) и t,

2fi/vz+\

R(t,tw) от t/tw,

занные на рис. 2 и демонстрирующие «коллапс» полученных данных для различных tw на соответствующих спиновым концентрациям p = 0.95 и p = 0.5 универсальных кривых, характеризуемых скейлинговыми

функциями Fc(t/tw) и FR(t/tw).

Рис. 1. Временная зависимость автокорреляционной функции (а) и функции отклика (б) для различных времён ожидания tw и спиновых концентраций p = 0.95 и p = 0.5

а б

Рис. 2. Временная зависимость функций tw2eVzC (t, tw) (a) и t2li!vz+1R(t, tw) (б) от t/tw для различных времён ожидания tw и спиновых концентраций p = 0.95 и p = 0.5

Явления старения и нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы...

31

Анализ полученных графиков для Fc(t/tw) и FR(t/tw), проведенный в соответствии с соотношениями (14)-(15), позволил получить значения показателей ел и cr для соответствующих спиновых концентраций: ел = 1.230(28), cr = 1.264(40) для p = 0.95 и ел = 0.896(64), cr = 0.955(33) для p = 0.5. Для каждой спиновой концентрации полученные значения показателей подтверждают в пределах погрешностей выполнение ренорм-группового предсказания, что cr = ел. Однако различия в значениях показателей для разных спиновых концентраций значительно превышают их погрешности. Это указывает, что неравновесное критическое поведение для слабо неупорядоченной системы с p = 0.95 и сильно неупорядоченной системы с p = 0.5 принадлежит различным классам универсальности. Действительно, полученные в данной работе для p = 0.95 значения ел и cr в пределах погрешностей хорошо согласуются со значениями ел = 1.237(22) и cr = 1.251(22) для p = 0.8 [8; 10], а для p = 0.5 - со значениями ел = 0.982(30) и cr = 0.950(8), вычисленными для p = 0.6 [8; 10]. Кроме того, отметим, что в случае слабо неупорядоченной системы с p = 0.95 значение показателя са в пределах погрешности также согласуется с вычисленным в работе [9] методом коротко-временной динамики значением ел = 1.242(10) для p = 0.8.

На основе соотношения (11) для систем со спиновыми концентрациями p = 0.95 и p = 0.5 нами был проведен расчет флуктуа-ционно-диссипативного отношения в виде функциональной зависимости X(t,tw) от tw/(t-tw) при t-tw>>tw. Результаты вычислений представлены на рис. 3. К зависимости X(t,tw) мы применили линейную аппроксимацию при tw/(t-tw)^-0, что позволило получить значения X“(tw) для различных времён ожидания tw, а затем при осуществлении экстраполяции X°° (tw ^<х>) были определены значения предельного флуктуационно-диссипативного отношения X “ = 0.413(7) для p = 0.95 и X “ = 0.441(13) для p = 0.5. На рис. 4 приведены зависимости X°° (1/ tw) и их экстраполяция для tw ^ да. Отличие данных значений от единицы указывает на нарушение флуктуа-ционно-диссипативной теоремы для рассмотренного неравновесного критического поведения неупорядоченных систем. В то же время различия этих значений для слабо неупорядоченной системы с p = 0.95 и сильно неупорядоченной системы с p = 0.5 и хорошее согласие со значениями X °° = 0.413(11) для p = 0.8 и X ~ = 0.446(8) для p = 0.6 [8] существенно укрепляет сделанный выше вывод о том, что неравновесное критическое поведение для слабо и сильно неупорядоченных систем соответствует различным классам универсальности.

флуктуационно-диссипативного отношения X(t, tw) от tw/(t-tw) для систем со спиновыми концентрациями p = 0.95 и p = 0.5

флуктуационно-диссипативного отношения X(tw,p) от 1/tw для систем со спиновыми концентрациями p = 0.95 и p = 0.5. Значения X“(р) получаются в пределе 1/tw—>0 в результате линейной аппроксимации

В заключение сделаем основные выводы проведённого исследования. На основе анализа двухвременной зависимости автокорреляционной функции и функции отклика показано, что в критическом поведении неупорядоченной модели Изинга, эволюционирующей из высокотемпературного начального состояния, проявляются эффекты старения, а именно: с увеличением времени ожидания релаксация системы замедляется.

Численно доказано нарушение флуктуа-ционно-диссипативной теоремы в неравновесном критическом поведении структурно неупорядоченной модели Изинга, характеризуемое значениями флуктуационно-

диссипативного отношения X"= 0.413(7) и X" = 0.441(13) для систем со спиновыми концентрациями p = 0.95 и p = 0.5 соответственно.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Vincent E., Hammann J., Ocio M., Bouchaud J. P., Cugliandolo L.F. Slow Dynamics and Aging in

32

В.В. Прудников, П.В. Прудников, А.Н. Пуртов

Spin Glasses // Lect. Notes Phys. 1997. Vol. 492. Р. 184.

[2] Bouchaud J. P., Cugliandolo L. F., Kurchan J., M'ezard M. Out of equilibrium dynamics in spin-glasses and other glassy systems // Spin Glasses and Random Fields, Directions in Condensed Matter Physics / ed. A. P. Young. Singapore : World Scientific, 1998. Vol. 12.

[3] Calabrese P., Gambassi A. Ageing properties of critical systems // J. Phys. A. 2005. Vol. 38. Р. R133.

[4] Berthier L., Holdsworth P. C. W, Sellitto M. Nonequlibrium critical dynamics of the twodimensional XY model // J. Phys. A. 2001. Vol. 34. Р. 1805.

[5] Janke W. Monte Carlo methods in classical statistical physics // Lecture Notes in Physics. Berlin : Springer. 2008. Vol. 739. P. 79-140.

[6] Прудников В. В., Прудников П. В., Вакилов А. Н., Криницин А. С. Компьютерное моделирование критического поведения трехмерной неупоря-

доченной модели Изинга // ЖЭТФ. 2007. Т. 132. № . С. 417-425.

[7] Chatelain C. On universality in ageing ferromag-nets // J. Stat. Mech. 2004. P. P06006.

[8] Прудников П. В., Прудников В. В., Поспелов Е. А. Расчет флуктуационно-диссипативного соотношения для для неравновесного критического поведения неупорядоченных систем // Письма в ЖЭТФ. 2013. Т. 98. № 10. С. 693-699.

[9] Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Krinitsyn A. S, Vakilov A. N., Pospelov E. A., Rychkov M. V. Short-time dynamics and critical behavior of the three-dimensional site-diluted Ising model // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 81. Р. 011130.

[10] Прудников П. В., Прудников В. В., Поспелов Е. А. Численные исследования влияния дефектов структуры на эффекты старения и нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы в неравновесном критическом поведении трехмерной модели Изинга // ЖЭТФ. 2014. Т. 145. № 3. С. 462-471.