Ядерные решения дискретной кооперативной игры Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.8

ЯДЕРНЫЕ РЕШЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ КООПЕРАТИВНОЙ ИГРЫ © 2009 г. Л.С. Оганян, А.Б. Зинченко, Г.Г. Мермельштейн

Южный федеральный университет, Southern Federal University

г. Ростов-на-Дону Rostov-on-Don

Рассматриваются кооперативные игры с целочисленной характеристической функцией и вещественными дележами, а также игры, характеристические функции которых определены системами с целочисленными переменными. Исследуется влияние условий дискретности на свойства С-ядра, D-ядра, СС-ядра и соотношения между ними.

Ключевые слова: кооперативная ТП-игра; целочисленная кооперативная игра; дискретная кооперативная игра; С-ядро, D-ядро; СС-ядро.

We consider the cooperative games with integer characteristic function and real imputations, games with integer characteristic function and integer imputations, and also the games which characteristic functions are defined by systems with integer variables. Influence of discrete conditions on properties of the core, the D-core, the CC-core and a relations between them is investigated.

Keywords: cooperative TU-game; integer cooperative game; discrete cooperative game; core, D-core; CC-core.

Коалиционные структуры (объединения) возникают при формировании холдингов, картелей, синдикатов, политических альянсов, в творческих коллективах, при использовании телекоммуникационных сетей и т.д. Цель коалиции - максимизировать суммарную прибыль (полезность, выгоду), однако, несмотря на общую цель, каждый участник коалиции имеет свои интересы и, как правило, стремится «получить побольше, а внести поменьше». Конфликтные ситуации с неантагонистическими, но и не совпадающими интересами участников моделируются кооперативными играми, которые позволяют выделить выгодные коалиции и найти способ распределения прибыли, обеспечивающий устойчивость коалиций. В задачах управления организационными системами [1] кооперативная игра помогает координировать действия участников с учетом коалиционного взаимодействия между ними (сотрудничества, соглашений, переговоров), а также согласовывать интересы субъектов управления и управляющего органа (центра). Кооперативные игры могут использоваться при моделировании таких механизмов управления, как стимулирование и распределение ресурсов.

Наиболее хорошо исследованы классические кооперативные игры G = V), где N = {1,...,п} - множество игроков (агентов), п > 2, V : 2N ^R - характеристическая функция, удовлетворяющая условию v(0) = 0. Исходом игры G является вектор x е Rn, компоненты которого интерпретируются как выигрыши агентов. Предполагается бесконечная делимость распределяемой полезности и возможность побочных платежей (премий, взяток, компенсаций). Классические кооперативные игры называют также играми с трансферабельной полезностью, ТП-играми или играми с побочными платежами. Подклассом ТП-

игр является класс кооперативных игр GZ = (N, V 2) с целочисленными характеристическими функциями V Z : 2N ^ Z и вещественными дележами (целочисленные игры). Предположение о трансферабельности является упрощающим, поэтому кроме G и GZ для

приложений полезны игры GZZ с целочисленной характеристической функцией и целочисленными дележами. Игра GZZ называется игрой с ограниченной трансферабельностью [2] или дискретной [3]. Если, например, предприятие-банкрот выпускало продукцию неделимого типа и кредиторы предпочитают получить готовую продукцию (которой не хватает на всех), а не денежную компенсацию, то классическая игра банкротства [4] становится дискретной. Еще Дж. фон Нейман и О. Моргенштерн указывали, что игры с ограниченной трансферабельностью позволяют построить более адекватные модели некоторых реальных ситуаций, но порождают «весьма специфические трудности, которые представляют значительный интерес, но не достаточно изучены» [2].

Обозначим: Q, QZ , QZZ - множества классических, целочисленных и дискретных игр; МП - множество целочисленных многогранников пространства Rn ; х^) = 2 X ; М= {х е Rn\x(N) = v(N)} -

iеS

множество преддележей игры G, I(G) = {х е Мxi > > v(i), I е N1 - множество дележей игры G; v*(S) = v(N) - v(N \ S) - характеристическая функция двойственной игры; I= ^ е Мxi i е Щ - множество двойственных дележей игры G; СС= I п I - СС-ядро игры G ; П (Ы) -множество перестановок л = (ni; S¡l = {л1,...,^} -

определенная % коалиция; т%е Rn - соответствующий % маргинальный вектор, т.е. т%(G) = ч = )W(G) = сот({тп ле П(Ы)}) -множество Вебера игры G.

Так как QZ с Q, то для целочисленной игры GZ справедливы все утверждения, доказанные для ТП-игры G. Целочисленность характеристической функции приводит к дополнительным свойствам множеств, использующихся в кооперативной теории. Утверждение 1. Пусть GZ е QZ, тогда:

(a) W(Gz) Ф0 , W(Gz) еМ" ;

(b) если выполняется условие

XV z (О ¿V z (N), (1)

1еЫ

то I (Gz) Ф0 ; I (Gz) е МП ;

(c) если выполняется условие

XV; (0 > Vz (N), (2)

геЫ

то I ) Ф0 ; I*(Gz) е МП ;

(d) если выполняются (1) - (2) и условие

Vz (0 ^ (I), I е N , (3)

то СС (GZ) Ф0 , СС^2.) е МП .

Доказательство. Множество Вебера любой игры G е Q не пусто и для целочисленной характеристической функции маргинальные векторы (крайние точки множества Вебера) целочисленны, следовательно, справедливо (а). Условие (1) необходимо и достаточно для непустоты множества дележей игры G е Q . Крайние точки этого множества, имеющие вид Г (^ = (Гк , I е N , где Г'к (^ =v(k) для

к ФI, Г = v(N - X v(k), целочисленны при

kеN\1

G = Gz , т.е. выполняется (Ь). Множество двойственных дележей игры G е Q существует тогда и только тогда, когда выполняется (2) Крайние точки ^ (G) = (¿к(G))kеN , I е N , gk(G) =v*(k), к ФI , g¡ (G) = v(N) - X v*(k), этого множества целочис-

kеNУ

ленны при G = Gz , т.е. доказано (с). Условия (1) - (3) необходимы и достаточны для непустоты СС-ядра любой игры G е Q , значит СС(GZ) Ф 0 . Из (Ь) - (с) следует, что СС-ядро игры Gz есть пересечение целочисленных многогранников. В общем случае пересечение целочисленных многогранников может не иметь ни одной целочисленной крайней точки, однако множество СС(GZ) определено линейной системой специального вида. Пусть х - крайняя точка СС(GZ). Соответствующий х базис В = (Ь^)П состоит из строки (1,..., 1) и (п- 1)-й строк, каждая из которых содержит единственный ненулевой элемент

Ьу =+1. Значит, det В = +1. Так как функция Vz це-

лочисленна, то правые части ограничений, определяющих СС(GZ), - целые числа. Следовательно, х -целочисленный вектор, т.е. справедливо

Для кооперативных игр, как и для некоторых других разделов теории принятия решений, центральной концепцией является ядро. С-ядро С(G) = {х е Iх(Б) ), £ с Щ игры G состоит из таких дележей х е К", что ни одна из собственных коалиций не может самостоятельно получить выигрыш, больший, чем х(£). В литературе по кооперативным играм С-ядро игры G иногда определяют как множество недоминируемых дележей (дележ х1 е К" доминирует дележ х2 е К", если существует такая коалиция S с N что х] > х2 , I е £ , и

х1^) )), но эти множества не всегда совпадают [5]. Множество недоминируемых дележей игры G будем называть Д-ядром и обозначать D(G). В [5] доказано, что С-ядро игры G является подмножеством ее Д-ядра, а Д-ядро есть подмножество СС-ядра, т.е. C(G) с D(G) с ССи приведено достаточное условие

v(S) + X v(l) < v(N), £ с N , (4)

iеN \ £

при котором С(G) = Д^) = I(G) \ domI(G). Если С(G) Ф D(G), то С (G) = 0 . Нетрудно подобрать примеры, доказывающие, что все крайние точки непустого С-ядра и непустого Д-ядра целочисленной игры Gz могут быть нецелочисленными.

Дискретную игру Gzz формально можно записать в виде кооперативной игры с нетрансферабель-ной полезностью (НТП-игры) Gzz = (NV), где

V, (£) = {х е Zs | х(£) ^ (£)}, £ с N , 5 = , т.е. Vz - многозначная характеристическая функция, ставящая в соответствие каждой коалиции 0 Ф £ с N непустое множество Vz (£) е К'1, содержащее 5 -мерные векторы выигрышей, допустимые для коалиции £. Результаты, полученные для НТП-игр, не применимы к дискретной игре Gzz из-за требований, налагаемых на характеристическую функцию. Например, из х е Vz (£) , у е К ' и у < х должно следовать у е Vz (£), что не выполняется для дискретных множеств. С другой стороны, возможность количественного сравнения предпочтений агентов в игре Gzz

позволила обобщить на дискретный случай некоторые трансферабельные понятия, не применимые к НТП-играм общего вида [6].

Множества дележей, двойственных дележей, СС-ядро и множество Вебера дискретной игры Gzz есть пересечения соответствующих множеств игры Gz и целочисленной решетки: I (GZZ) = I (GZ) п Т", I *(GZZ) =

= I)п Zn, СС(Gzz) = СС(Gz) п Zn , W^) = = W (GZ) п Zn. С-ядро дискретной игры (как и С-ядро классической игры) определяется в литературе неоднозначно. В работе [3] С-ядром игры Gzz названо

множество недоминируемых дележей игры Gz , что привело к противоречиям, отмеченным в [6, 7]. Будем называть, как в [6, 7], С-ядром дискретной игры Gzz пересечение С-ядра игры Gz и целочисленной решетки С) = С(GZ) п Zn , а множество недоминируемых дележей D(GZZ) = I(GZ )\ёотI(GZ) - D-ядром игры Gzz . Следующие утверждения характеризуют множества, связанные с игрой Gzz , и соотношения между ними.

Утверждение 2. Пусть Gzz е Qzz , тогда:

(a) W (Gzz) Ф0 ;

(b) I (GZZ) Ф0 тогда и только тогда, когда выполняется (1);

(c) I *(GZZ) Ф0 тогда и только тогда, когда выполняется (2);

(ё) СС^^) Ф0 тогда и только тогда, когда выполняются условия (1) - (3);

Доказательство. Непустота множества W(GZZ) для любой дискретной игры, а также критерии существования множеств I(GZZ), I), СС),

приведенные в (Ь)-(ё), следуют из определений и утверждения 1.

Утверждение 3. Пусть Gzz е Qzz , тогда:

(a) С ^) Е D(Gzz);

(b) супераддитивность функции v z не достаточна для равенства

С(^22) = D(Gzz);

(c) если С^^) Ф D(GZZ), то возможно С) Ф 0 ; (ё) существуют игры Gzz, для которых CС(Gzz) с D(Gzz);

(е) D(Gz) п Z пс D(Gzz).

Доказательство. Соотношение (а) доказывается аналогично вложению Сс D(G) [5]. Рассмотрим супераддитивную, т.е. удовлетворяющую условиям

vz(е1)+vz(е2)^(е1 ие2), е1 пе2 =0, е1,е2 с N,

целочисленную характеристическую функцию игры трех лиц: vz (/) = 0, i е N = {1,2,3}, vz (1,2) = 2, v (1,3) = 1, v (2,3) = 1, v (1,2,3) = 2. Множество дележей I) соответствующей дискретной игры состоит из шести точек: (2,0,0), (0,2,0), (0,0,2), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1). D-ядро содержит пять дележей D(GZZ) = I )\ (0,0,2). С-ядро включает единственный дележ ) = {(1,1,0)} . СС-ядро совпадает с С-ядром. Этот пример доказывает (Ь) и (ё). Заметим, что супераддитивность функции v z является

более сильным условием, чем достаточное условие (4) совпадения С-ядра и D-ядра игры Gz . Вложение (е) следует из соотношений

D(G) п Z п = (I(в)\ йот(1 п Zn ;

D(G)пZ пс (I(G)пZn)\йотЦпZn)

и (I^)пZn)\ скт^(Gzz) пZn) = D(Gzz).

Игра, имеющая непустое С-ядро, называется сбалансированной. Вывод условий сбалансированности является важнейшей проблемой кооперативной теории. Для классических игр эти условия известны [5]

2 N); Хе > 0, 2 Хе = 1, i е N . (5)

есN е^ее

Критерий существования С-ядра дискретной игры еще не найден. Из С) с С(GZ) следует, что условие (5) для v = vz является необходимым условием существования С-ядра дискретной игры Gzz . Используя результаты из [3], можно доказать, что необходимым условием непустоты D-ядра дискретной игры является сбалансированность вспомогательной игры (N,Vz), где ^ (N) ^ (N), ^ (е) =Vz (е) - 5 +1, е с N . Приведем достаточные условия непустоты С-ядра дискретной игры.

Утверждение 4. Если выполняется одно из условий:

(a) существует такое i е N , что V z (е) + 2 Vz ^) <

\е

< V z (N , если i е е , и V z (е) < 2 V z ^), если i г е ;

kее

(b) существует такое i е N , что V z (е) + 2 vZ ^) <

kеN\е

< Vz (^ , если i е е , и Vz (е) < 2 vZ ^), если i г е ;

kее

(c) существует такая перестановка ж, что V z (е) <

<2 тЖ (vz), е Ф еж, i е N ;

iее

(ё) игра = (N,vZ), где V;(е) = max{v;(е),юг(е)},

юг(е) = v;(N) - 2 Ь(V;), е с N , Ь(V;) =v;(N) -

iеN \ е

-V г (N \ /') , выпукла; то игра Gzz сбалансирована.

Доказательство. Если выполняется (а), то / (GZ) е С^) и /' (GZ) е Zn, т.е. /' (Gг) е С^), следовательно С(GZZ) Ф 0 . Если выполняется (Ь), то ^ (Gz) е С(Gz) и g' (Gz) е Zn , т.е. ^ (Gг) е С(Gzz), следовательно С (GZZ) Ф0 . По определению

2 т*(GZ) = Vz(е) для е = егя , i е N , следователь-

iее

но, т ж (GZ) е С (GZ). Так как т ж (GZ ) е Zn , то т ж (V z) е С ), следовательно, С) Ф 0 . Если выполняется (ё), то игра G'z сбалансирована и вершинами ее ядра являются (не обязательно все) векторы тж (G'Z) е Zn . С-ядра игр G'z и Gzz совпадают, следовательно, С(^гг) ф 0 .

Рассмотрим некоторые специальные классы целочисленных игр. В Т-симплексных играх С-ядро является (|Т| - 1)-мерным симплексом С(GZ) =

= со^{Г1 (GZ )| I е Т}, 0Ф Т с N . В двойственно Т-симплексных играх С(GZ) = conv{g1 (GZ) 11 е Т} , 0 Ф Т с N . Игра Gz является игрой большого босса с игроком п в качестве большого босса, если выполняются (1) - (3) и Vz (£) ¿XVz (I) для таких £ с N ,

¿е^

что п £ £ , vZ (N \ £) > X v*z (I) для таких £ с N ,

iеN

что п е £ . Обозначим через - множества игр, удовлетворяющих соответственно условиям (а)-^) утверждения 4. Нетрудно проверить, что содержит класс целочисленных Т-симплексных игр и игр большого босса, - класс целочисленных двойственно Г-симплексных игр. Множество Шс содержит

класс игр, обладающих СоМа-свойством [8], в частности, целочисленные выпуклые и ^выпуклые игры. Из утверждения 4 следует, что сбалансированными являются дискретные аналоги холдинговых игр, клановых игр, информационных игр, игр банкротства, игр двухстороннего рынка, а также некоторые другие игры, моделирующие реальные ситуации.

Характеристические функции некоторых игр определяются с помощью оптимизационных задач. Например, в -игре GLP , моделирующей линейный производственный процесс, используются задачи линейного программирования ^Р-задачи). Игра GLP

имеет непустое С-ядро. Введение условий целочис-ленности в оптимизационную задачу, как правило, существенно меняет свойства игры. В частности, игра кооперативного инвестирования [9], получающаяся из

Поступила в редакцию

LP-игры заменой LP-задачи задачей смешанного целочисленного программирования, может иметь пустое С-ядро.

Литература

1. Губко М.В. Управление организационными системами с коалиционным взаимодействием участников. М., 2003. 140 с.

2. Нейман Дж, фон , Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М., 1970. 708 с.

3. AzamkhuzhaevM.Kh. Nonemptiness conditions for cores of

discrete cooperative games // Computational Mathematics and Modeling, 1991. Vol. 2. №. 4. P. 406 - 411.

4. Curiel I. J., Maschler M., Tijs S. Bankruptcy games // Math. Meth. Oper. Res. 1987. Vol. 34. № 5. P. 143 - 159.

5. Branzei R., Dimitrov D., Tijs S. Models in cooperative game theory: crisp, fuzzy and multichoice games. Springer-Verlag, 2005.

6. Зинченко А.Б., Мермельштейн Г.Г. Сбалансированные и двойственно сбалансированные дискретные кооперативные игры // Экономический вестн. РГУ. 2007. Т. 5. №1. Ч. 2. С. 109-115.

7. Oganyan L.S., Zinchenko A.B., Mermelshtejn G.G. The concept of a core of cooperative game with integer imputations // Mathematical modelling of social and economical dynamics: proceedings of the Second Int. conference. Moscow, June 20-22. 2007. M., 2007. P. 199-201.

8. Hamers H.J.M., Klijn F., Solymosi T., Tijs S.H., Pere Villar J. Assignment games satisfy the CoMa-property // Games and Economic Behavior. 2002. Vol. 38. P. 231-239.

9. De Waegenaere A.M.B., Suijs J.P.M., Tijs S.H. Stable profit

sharing in cooperative investments // OR Spectrum. 2005. Vol. 27. № 1. P. 85-93.

8 июля 2009 г.

Оганян Лев Сергеевич - аспирант, Южный федеральный университет. Тел.: 89281142360. Е-mail: [email protected]

Зинченко Александра Борисовна - канд. физ.-мат. наук, доцент, Южный федеральный университет. Тел.: 2975111. E-mail: [email protected]

Мермельштейн Геннадий Гавриилович - канд. техн. наук, доцент, Южный федеральный университет. Тел.: 232-50-21. E-mail: [email protected]

Oganyan Lev Sergeevich - post-graduate student, Southern Federal University. Ph.: 89281142360. E-mail: [email protected]

Zinchenko Alexandra Borisovna - Candidate of Physico-Mathematical Sciences, assistant professor, Southern Federal University. Ph.: 2975111. E-mail: [email protected]

Mermelshtejn Gennady Gavriilovich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, Southern Federal University. Ph.: 232-50-21. E-mail: [email protected]