Устойчивость ядер кооперативной игры в форме характеристической функции Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.8

устойчивость ядер кооперативном игры в форме характеристической функции

© 2014 г. А.Б. Зинченко

Зинченко Александра Борисовна - кандидат физико- Zinchenko Alexandra Borisovna - Candidate of Physical and

математических наук, доцент, кафедра высшей математики Mathematical Science, Associate Professor, Department of

и исследования операций, факультет математики, механики и the Higher Mathematics and Operation Research, Faculty of

компьютерных наук, Южный федеральный университет, Mathematicians, Mechanics and Computer Sciences,

ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-

[email protected]. Don, 344090, Russia, e-mail: [email protected].

Рассматриваются кооперативные игры с трансферабельной полезностью (ТП-игры) и игры с целочисленными побочными платежами (дискретные). Решение-множество таких игр устойчиво, если оно состоит из недоминируемых дележей, но доминирует все остальные дележи. Доказана устойчивость (относительно стандартного доминирования) D-ядра дискретной игры с выпуклой характеристической функцией. Описан подкласс 1-выпуклых ТП-игр с устойчивым С-ядром. Показано, что симметричное ядро любой ТП-игры содержит решение Лоренса и доминирует по Лоренсу над всеми остальными элементами С-ядра.

Ключевые слова: кооперативная ТП-игра, дискретная игра, С-ядро, D-ядро, симметричное ядро, устойчивость.

The cooperative transferable utility games (TU games) and games with integer side payments (discrete) are considered. Set-valued solution of such games is stable if it consists of undominated imputations, but dominates all other imputations. It is proved the stability (with respect to standard domination relation) ofD-core of discrete game with convex characteristic function. The subclass of 1- convex TU games with stable core is described. It is shown that the symmetric core of any TU game contains the Lorenz solution and Lorenz dominates all other core allocations.

Keywords: cooperative TU game, discrete game, С-core, D-core, symmetric core, stability.

Кооперативную игру От = (Ы, V), где N = {1,...п},

п > 2, V: 2Ы ^ Я , v(0) = 0, называют игрой в форме характеристической функции, ТП-игрой или игрой с побочными платежами. Дискретная кооперативная игра О^ также однозначно определяется множеством участников N и характеристической функцией, но значения V и исходы х = (х1 игры должны быть

целочисленными: V :2Ы ^ 2, х е 2п . Пусть 6[П и &Т - семейства дискретных и ТП-игр с п участниками, 6п = 6^ ^ 6Т. Большинство прикладных игр

О е 6п неотрицательны: v(^) > 0, 5 с N. При фиксированном N будем отождествлять игру с ее характеристической функцией, а также использовать стандартные сокращения: К \ i вместо К \{}, v(i) вместо v({i}), х(К) = ^еКХ и т.д. Для любого х е Яп обозначим через X вектор, полученный из х упорядочением координат по неубыванию. Оператор Т: &П ^ 6Т, где Т(Оп) - целочисленная ТП-игра, соответствующая дискретной игре , нужен для описания решений игры . Агенты i, ] е N сим-

метричны в игре G е Gn, если v(K ^ i) = v(K ^ j),

K с N \{i, j} .

Основной концепцией решения кооперативной игры является С-ядро (core). Для ТП-игры оно имеет вид N(GT) = {x е I(GT) |x(K) > v(K),K efi}, где I(GT ) = {x е X(GT ) | Xj > v(i), i е N} и

X(Gt ) = {x е Rn | x(N) = v(N)} - множества дележей и преддележей игры Gt , Q = 2N \ {N, 0}. Для дискретной игры ro(S) + 2 i е n \ Smi (ra) = ro(N): N(Gd ) = N(Y(Gd )) n Zn, I (Gd ) = I Q¥(GD )) n Zn, X (Gd ) = X (Y(GD )) n Zn.

Игра G е Gn с непустым С-ядром называется сбалансированной. При выполнении условия

v(K) + v(i) <v(N), K с N, (1)

С-ядро игры Gt совпадает с D-ядром (dominance core) DN(Gt), т.е. внутренне устойчиво относительно стандартного доминирования (x ^ y, если xi > yi, i е K, и x(K) < v(K) для некоторой коалиции

(2)

K еО.). Решение ty(G) с I(G) игры G е Gn внешне

устойчиво, если для любого y е I(G) \ q(G) найдется такой дележ x е q(G), что x у y . Внешне и внутренне устойчивое решение называется устойчивым, или NM-решением (vN-M stable set). Необходимое и достаточное условие устойчивости С-ядра произвольной

игры GT е GT пока не получено. Наиболее известным достаточным условием устойчивости С-ядра и D-ядра ТП-игры является выпуклость характеристической функции

v(K ^ i) + v(K ^ j) < v(K ^ {i, j}) + v(K),) i,j e N, i * j, K с N\{i, j}. J

Проблема устойчивости С-ядра дискретной игры решается просто: N(GD) устойчиво тогда и только тогда, когда N(GD) = I(GD) [1].

Свойства решений ТП-игры и соотношения между ними могут существенно измениться при дополнительном требовании целочисленности выигрышей [1]. Тем не менее достаточное условие устойчивости D-ядра игры GT остается верным и для дискретной игры gd .

Теорема 1. Если v - выпуклая функция, то DN(Gd) *0 и устойчиво.

Доказательство. Игра Gd с выпуклой функцией v имеет непустое D-ядро [1]. Для n = 2 теорема очевидна. Предположим n >3 . Тогда Q*0. D-ядро внутренне устойчиво по определению, поэтому достаточно доказать, что DN(Gd ) доминирует все остальные дележи игры Gd . Это верно, если DC (Gd ) = I (Gd ). Пусть DC (Gd ) * I (GD) и y e I (Gd )\ DC (Gd ), тогда существуют такие

* e I (Gd )

X > Уг + 1 : v(S) - y(S) > |S| и v(S) - y(S)

и S eQ = {K e 1N\ 2 < |K| < n-1} , что i e S, и x(S) < v(S). Получаем, что

IS

-As > 1, (3)

v(S) - y(S) _ где As - дробная часть числа --. Опреде-

S

лим

H = argm^^y»-AL} . LeQ |L|

(4)

Из у е I(Ов), (3) и (4) следует Н еО . N -ядро выпуклой целочисленной ТП-игры ^(Ор) является целочисленным многогранником. Известно, что каждая грань такого многогранника содержит целочисленную точку. Из (4) вытекает, что ¥Н = {г е С(^(Ор )| г(Н) =у(Н)} - собственная грань С(*¥(О_р)). Значит существует

геC(Gd)nFH *0 . (5)

Зафиксируем l е N \ H и определим вектор x е Zn , где

X =

v(H) - y(H) А Уг + i„i -A H

|H|

i e (N\H)\l, i e H,

+ А Н |Н |, г = I.

Получаем хг > уг > \(г), г е Н, хг > 21 > \(г), г е N \ Н , х(Н) =\(Н)-АН \ Н \<\(Н) ,

х(И) = \(Щ, так как х^) = г(Щ - 2(Н) + \(Н). Значит х е I(Ор) и х ^ у. Возможны случаи:

1. АН = 0. Тогда х е С(^(вв)) [2, с. 36]. Следовательно, х е N(GD ) с DN(GD ) .

2. 0 < Ан < 1. Тогда для всех Т Н Ф0 справедливо

x(T ъ H) = y(T n, H)+1T ъ H |

v(H) - y(H) \H\

- \ Т п Н\Ат ГН >ЛТ П Н )-\Т п Н\Ат гН > > \(Т г Н)- \ Т г Н \.

Если I &Т, то, учитывая (5) и выпуклость функции V, имеем

х(Т) = х(Т Г Н) + 2(Т ^ Н) - 2(Н) > >v(T г Н)- \ Т г Н \ +v(T ^ Н) ^(Н) > ^(Т)- \ Т г Н |>v(T)- \ Т \. Если I еТ, то

х(Т) = х(Т г Н) + 2(Т \ Н) + А Н \ Н |>v(T)- \ Т \. Далее, для Т гН = 0 и Т еО. справедливо: х(Т) = 2(Т) > v(T), если I Т, или

х(Т) = 2(Т) + АН \ Н |>v(T), если I еТ. Дележ х е I(О^), удовлетворяющий условию

х(Т) > v(T) - \ Т \, Т сО, не может доминироваться другими дележами. Следовательно, х е ).

В литературе описаны более слабые, чем (2), достаточные условия устойчивости С-ядра игры

От е &Т [3, 4], а также классы ТП-игр, в которых С-ядро является единственным МИ-решением [5-7]. Однако, насколько известно автору, устойчивость С-ядра 1-выпуклых игр > v(N),

v(K) + \ К) ^(Ы), где 1 <К \ < п - 2, т = ^(Ы) - v(N \ ¡)) геЫ, не исследовалась.

Если v(i) =v(N) , то Б-ядро игры О е бп

совпадает с С-ядром и множеством дележей. Такие игры не представляют практического интереса. С-ядро и Б-ядро ТП-игры инвариантны относительно (0-1)-нормализации, поэтому в дальнейшем будем рассматривать семейство неотрицательных игр РТ с &П , удовлетворяющих условиям: v(i) < v(N),

z

у(^) = 1, у(7) = 0, 1 е N . (6)

Если С-ядро (или D-ядро) некоторой игры От е Ру устойчиво, то оно устойчиво также для всех

игр От е б" , (0-1)-форма которых совпадает с От . При (0-1)-нормализации конусы выпуклых и 1-выпуклых неотрицательных существенных ТП-игр

преобразуются в полиэдры СРТ и 1СР". Все игры,

принадлежащие 1СР^ ^ СРТ , сбалансированы.

Покажем, что С-ядро 1 -выпуклой игры может быть неустойчивым. Рассмотрим ТП-игру трех лиц: N = {1, 2, 3}, у(1) = 0, 1 е N, у(1,2) = у(1,3) = v(N) = 1, у(2,3) = 0.

Эта невыпуклая игра принадлежит 1СРТ3 и имеет одноэлементное С-ядро Й(ОТ) = {(1,0,0)}. Нетрудно проверить, что Й(От) не доминирует ни один из дележей х е I (От) \ ЩОт).

Теорема 2. Пусть От = ^, ю), где

|К|-1

1 <| К |< n,

(й(К) = <j n-1

I 0, К = 0.

GH = (N, vH ) ,

где

H e 2

N

(7)

2 <| H |< n - 2,

vH (K) = ro(K) для K ^ H , vH (K) = 0 для K с H .

Тогда GT, GH <e1CP" , N(Gt) устойчиво, а N(GTH) неустойчиво.

Доказательство. Игры От , ОТ удовлетворяют (6) и справедливо

тг , 1 е N, т^) > 1, т(Я \ Н) < 1.

п-1

Обе игры 1-выпуклы, так как 1*|-1

n -1

■ + m(N \ К) < 1, 1 <|К |< n -1.

Игра GT выпукла, так как для

i, j е N, i * j, K с N \{i,j} :

ю(К ^ /) + ю(К ^ j) = 2

|К| n -1

^ f- ^ ^ | К | +1 | К | -1 = ю(К j}) + ю(К) =J—1— + 1

n-1

n-1

С-ядро любой выпуклой игры устойчиво. Игра ОтН удовлетворяет (1), значит, ее С-ядро совпадает с

D-ядром. Положим р = -—\Н) > 0. Рассмотрим

п-1Н I

вектор у е Я+ с компонентами уг- = 0 для 1 е Н и у1 = т1 + р для 1 г Н. Очевидно, у(^) = 1. Следован

тельно, у е I(От ). Дележ у не принадлежит С-ядру

Н Н

С(От ), так как для любого х е С(От ) должно выполняться х1 < т1, 1 е N. Дележ у не может доми-

нироваться элементами С-ядра по коалициям K с H ,

н

так как v (K) = 0. Известно, что доминирование невозможно по одноэлементным и максимальной коалициям. Если 2 <| K |< n -1 и K ^ H , то yi > mi по крайней мере для одного i е K. Следовательно,

H

C(GT ) не доминирует y .

Представляет интерес соотношение между множествами CPT и \С?П . Следующая теорема показывает,

что единственная игра из PT может быть одновременно выпуклой и 1 -выпуклой.

Теорема 3. CPTn о lCPTn = {GT }, где GT = (N, ю) -игра с характеристической функцией, определенной (7).

Доказательство. Известно [8], что 1-выпуклая ТП-игра (N, v) выпукла тогда и только тогда, когда

v(K) + SieN\K m (v) = v(N) , 0 * K С N . (8) Для (n -1) -элементных коалиций K = N \ i, i e N, уравнения (8) становятся тождествами. Их можно исключить из рассмотрения. Тогда система (8)

будет содержать 2n - n - 2 линейно независимых уравнений и столько же значений v(K). Определенная (7) функция ю является единственным решением этой системы.

Многие кооперативные игры, моделирующие экономические ситуации, содержат симметричных участников. Однако С-ядро, обобщения С-ядра, решения по Нейману-Моргенштерну и переговорное множество могут содержать дележи с сильно отличающимися выигрышами симметричных агентов.

Пример 1. Пусть е - малое положительное число; M - очень большое число. В ТП-игре трех лиц с характеристической функцией

v(i) = 0 , i е N = {1,2,3} , v(N) = M , v(1,2) = v(1,3) = е, v(2,3) = 0, игроки 2 и 3 симметричны. С-ядро этой игры содержит дележи (е, M - е, 0) и (е, 0, M - е), которые противоречат интуитивному представлению о справедливости. Симметричное ядро исключает такие исходы.

Пусть 3(G) - множество коалиций K (| K |> 2) игры G е Gn , каждая из которых состоит из симметричных игроков. Игру G е Gn будем называть полусимметричной, если 3(G) * 0 и 3(G) * {N} . Симметричное ядро SN(G) = {x е C(G) | xt = x} , i, j е K е 3(G)}

полусимметричной игры G е Gn удовлетворяет известной аксиоме равноправия (equal treatment), согласно которой выигрыши симметричных агентов должны быть одинаковыми. Этой аксиоме удовлетворяют некоторые другие решения-множества, в частности, решение Лоренса L(G) [9], использующее доминирование по Лоренсу

(x >Ly, если x, y е X(G), 2?=^ >Sk=1yi,

к е {1,..., п-1}, и одно из неравенств - строгое). Следующая теорема показывает, что симметричное ядро ТП-игры содержит решение Лоренса и является внешне устойчивым (относительно доминирования у^) подмножеством С-ядра.

Теорема 4. Пусть От е &Т - полусимметричная сбалансированная игра. Тогда:

1. Ь(ОТ) с БС(ОТ).

2. БС(От) доминирует по Лоренсу остальные элементы С-ядра.

Доказательство. 1. Решение Лоренса содержится в С-ядре Ь(От ) с С (От ) и удовлетворяет аксиоме равноправия. Следовательно, Ь(От) с БС(От). Покажем, что включение может быть строгим. В ТП-игре четырех лиц От е б4 с характеристической функцией

Г 1, (К = {1,2})V(К = {1,3}), V(K) = ¡12, К = {1,2,3,4},

[ 0 а тоаёшиб пёо^ауб,

симметричны игроки 2 и 3. Симметричное ядро определяется системой х1 + х2 > 1, хз = х2 , х1 + 2х2 + х4 = 12, х е Я+4; БС(ОТ) имеет три крайние точки БС(ОТ) = со{(2,5,5,0), (1,0,0,5), (12,0,0,0)} . Решение по Лоренсу Ь(От) имеет вид Ь(ОТ ) = со{(3.5,3.5,3.5,1.5), (4.5,2.5,2.5,2.5)} [10].

Очевидно, Ь(От) с БС(От).

2. Утверждение справедливо, если БС(От) = С (От). В противном случае возьмем

х0 е

С (От )\ БС(От). Тогда существуют симметричные игроки г,р е N, г Ф р, для которых х° > х0 . Известно, что после перестановки выигрышей симметричных игроков уг = х0 , Ур = х0 , Ук = х°,

к е N \{г,р, новое распределение у е Яп величины v( N) также будет принадлежать С (От). С-ядро -выпуклое множество. Значит оно содержит

x1 = (x0 + y)/2 . Из соотношений x1 = x1 = x0 -8 =

= х0 +8, х\ = х°, к еN\{г,р}, 8>0 , следует, что дележ х1 доминирует по Лоренсу х , х у ^ х . Если х1 е БС(От), то, рассуждая аналогично, можно

2 2 1 получить такой вектор х е С (От), что х у ь х и

х2р = хг2 для большего количества пар г, р симметричных игроков. В результате получаем последовательность х0,х1,...,хр элементов из С-ядра, где х1 уь х1 -1 для всех I е{\,...,р}, х0 е БС(ОТ),

xp е SC(GT). Доказываемое утверждение вытекает из транзитивности бинарного отношения « уL ».

Заметим, что, обладая привлекательным свойством равноправия, симметричное ядро игры G е Gn не

удовлетворяет свойству согласованности (редуцированной игры), использующемуся при аксиоматическом обосновании С-ядра. Кроме того, как показывает следующий пример, структура симметричного ядра

игры G е Gn может существенно измениться после ее

0-нормализации.

Пример 2. Рассмотрим ТП-игру четырех лиц, N = {1,2,3,4}, с характеристической функцией v(N) = 284, v(1) = 88 , v(2) = 66, v(3) =v(4) = 55, v(1,2) = 159 , v(1,3) = v(1,4) = 148 , v(2,3) = v(2,4) = 126 , v(3,4) = 115 , v(1,2,3) = v(1,2,4) = 214 , v(1,3,4) = 203, v(2,3,4) = 181. Эта игра моделирует ситуацию с четырьмя инвесторами (стартовые капиталы 80, 60, 50, 50 денежных единиц (д.е.)) и тремя инвестиционными проектами: кратный 100 д.е. вклад со ставкой 15 %, кратный 200 д.е. вклад со ставкой 20 % , а также 10%-й банковский депозит. Инвесторы с капиталом 50 -симметричные игроки. С-ядро имеет 16 крайних точек, а симметричное ядро - только четыре,

SC(GT) = co{x1, x2, x3, x4}, где

x1 = (100,5, 68,5, 57,5, 57,5), x2 = (90,5, 78,5, 57,5, 57,5), x3 = (98, 66, 60, 60), x4 = (88, 76, 60, 60). После 0-нормализации получаем игру G0 = (N, v°),

\5, | K |е {2,3}, v0(K) =<20, K = N,

[0 a inoaeurno neo^ayo,

симметричное ядро которой имеет вид SC(G0) = {(5,5,5,5)} . В игре G° = (N, v0) симметричное ядро совпадает с С-ядром. Оно устойчиво относительно стандартного доминирования и доминирования по Лоренсу, в то время как симметричное ядро исходной игры не является одновременно внешне и внутренне устойчивым.

Литература

1. Зинченко А.Б. Свойства ядер дискретной кооперативной

игры // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2009. № 2. С. 5-7.

2. Branzei R., Dimitrov D., Tijs S. Models in cooperative game

theory: crisp, fuzzy and multi-choice games. Leipzig, Germany, 2005. 135 p.

3. Biswas A.K., Parthasarathy T., Ravindran G. Stability and

largeness of the core // Games and Economic Behavior. 2001. Vol. 34, № 2. P. 227-237.

4. Shellshear E., Sudholter P. On core stability, vital coalitions

and extendability // Games and Economic Behavior. 2009. Vol. 67, № 2. P. 633-644.

5. Bietenhader T., Okamoto Y. Core stability of minimum col-

oring games // Mathematics of Operations Research. 2006. Vol. 31, № 2. P. 418-431.

6. Solymosi T., Raghavan T.E.S. Assignment games with stable

core // International J. of Game Theory. 2001. Vol. 30, № 2. P. 177-185.

7. Fang Q., Fleischer R., Li J., Sun X. Algorithms for core

stability, core largeness, exactness and extendability of flow games // Front. Math. China. 2010. Vol. 5, № 1. P. 47-63.

Поступила в редакцию

8. Driessen T.S.H., Fragnelli V., KatsevI.V., KhmelnitskayaA.B.

A game theoretic approach to co-insurance situations // Contributions to Game Theory and Management. 2010. Vol. 3. P. 49-66.

9. Hougaard J.L., PelegB., Thorlund-Petersen L. On the set of

Lorenz-maximal imputations in the core of a balanced game // International J. of Game Theory. 2001. Vol. 30, № 2. P. 147-165.

10. Arin J., Kuipers J., Vermeulen D. An axiomatic approach to

egalitarianism in TU-games // International J. of Game Theory. 2008. Vol. 37, № 7. P. 565-580.

6 мая 2014 г.