CC BY
24
УДК 534.321.9:537.312.5
ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕЖДУ ТЕОРИЕЙ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ И НЕКОТОРЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ
Т. Сулейменов, В.ГТ. Малышев, Н.С. Бектурганов
Химико-металлургический институт им. Ж. Абишева, г. Караганда
Меллиннщ интегралдъщ mypiBudipyi арцылы табылган, жай сандар теориясы мен кванттьщ физиканыц Keùôip мэселелер1 арасындагы байланыстыльщтыц бар екендт аньщталды.
Установлена взаимосвязь между теорией простых чисел и некоторыми положениями квантовой физики через интегральное преобразование Меллина.
The interrelation between the theory of prime numbers and some positions of quantum physics is established, through integrated transformation of Mellin.
Анализ экспериментальных данных по распространению высокочастотных ультразвуковых волн в простых металлических расплавах на основе применения периодического закона Д.И. Менделеева позволяет получить соотношение, связывающее квадрат скорости распространения упругих волн с энергией электронной подсистемы расплавов в следующем виде:
V5
W
мА
где у = 108, МА- атомная масса, а
1 Щ Ftr
W= 1 2
^ а
4л_ г
*2 ~>
z е~ а-
(1)
(2)
- энергия электронной подсистемы.
С другой стороны, можно привести соотношения для сжимаемости расплавленных металлов в5 из теории жидкостей Я.И. Френкеля [1].
44? V г
где г - межионное расстояние, А - постоянная Маделунга,
г* - число электронов, приходящееся на один атом, е - заряд электрона, V - ионный объем. Переходя от формулы (1) к так называемому фактору связи [2], можем записать
1 1 11а
0 т?1г
2 а2
471 2 2 1
— г,2е -а-г г п
(4)
Из соотношения (3) с учётом формулы Лапласа из работы [2] имеем
А 4л
V' 432 г
±2 2 г* е
(5)
Предполагая мультипликативность множителей оператора Р'[] и приравнивая обе части выражений (4) и (5), получим
О Т71г
1
А V,
(6)
а п" _| 216 V' " Простота выражения (6), связывающего атомные объемы с ионными объемами, наталкивает на построение экспериментальных графиков по Vи УА, которые представлены в таблице 1 и на рисунке 1, полученных из работы [3]. Как видно из рисунка 1, зависимость между VА и V почти линейна.
Таблица 1
Экспериментальные ионные и атомные объемы простых металлических расплавов
Г,Е3 Ул, &
А1+++ 0,185193 2,924221
0,226981 2,685619
и+ 0,314432 3,869893
Мё++ 0,405224 4,096
1п+++ 0,778688 4,574296
Т1+-Н- 0,857375 5,000021
Ыа+ 0,941192 6,751269
Са++ 1,124864 7,301384
Бг++ 1,728 9,938375
К+ 2,352637 13,14426
яь+ 3,307949 15,25299
Сб+ 4,492125 17,98473
Слабое отклонение, возможно, связано с характером постоянной Ма-делунга, которая может изменяться от одного металла к другому.
Для согласования экспериментальных данных с теорией нужно предположить некоторые допущения относительно оператора ], который, возможно, действует только на главное квантовое число п.
Для наглядности хода рассуждения представим оболочки ряда лития следующим образом:
1л 1
0,25=1 /и.
№ 152з2рЗз
К 152з2р353р45
ЯЬ 1з282рЗБЗр4з4р555р
0,398089172=—2 л
0,25=1¡п-Лр
0,111111111 = 1/и32л.
0,433474876= —Е к
1=1 К
0,25=1/п^
0,111111111=1/и3^
0,0625= 1/иД
0,453379335= —£ л
1=1К
0,25=1/п2\.2р
0,111111111=1/и4,
0,0625= 1/п;„р
0,04=1¡п1$р
0,466118188=—£ л
Сб 15282рЗзЗр4з4р555рб8бр 1=1/«2
•]2.Л р
0,25=1¡пг2 0,111111111 = 1/ и323;) 0,0625=1\п1<р 0,04=1/«52л5/) 0,027777778= \/п62,6р
0,474964614=—Е л
Знак означает следующее: !_!_ 1 1
*п1+*п2ъ -ДЛЯлития,
1 1 1
--Г+--2
71 пи л п
1 I
п „2 -для натрия и т.д.
2.12 р пЪх
Причем этот ряд может быть представлен следующей предполагаемой суммой:
~ 1
р*
п
или более конкретно р'г
1
п
1
2 + 2 пг. п
П:
1 1
+ —Г-
(7)
п.
2б2р 3$3р
Компьютерный поиск коэффициента X в выражении (7) приводит к сле-
дующей формуле:
р*
1
п"
Пшах
я-к
(8.
г.е.
де
л- к
к - число оторванных электронов, итах _ максимальное квантовое число, при этом для ряда 1л к = 1, М; к = 2,А\к = 3.
В таблице 2 и на рисунке 2 представлены графики VА и К'с учетом соот-юшения (6). Как видно из таблицы 2 и рисунка 2, близость данных дс-юльно тесная, поскольку угловые коэффициенты в уравнении у =кх о?-шчаются друг от друга всего на 2-3%.
Таким образом, далее используя дедуктивный метод из математши, южно установить природу самого оператора Рг[ ]. Это может быть сделаю следующим образом: <^(2) функцию Римана представим в интеграль-юй форме, т.е.
°°р хёх
Рис. 1. Экспериментальная зависимость V -V'
Рис. 2. Теоретическая зависимость V -V
Таблица 2
Теоретический расчёт для ионов ряда лития, магния и алюминия со снятыми с 1,2 и 3 электронами соответственно
Р, А3 гА,к3
А1+++ 0,185193 2,439
Оа+++ 0,226981 3,827
1л+ 0,314432 3,3611
м§++ 0,4052 3,6598
1п+++ 0,778688 5,247
Т1+++ 0,857375 6,683
Ыа+ 0,941192 7,3197
Са++ 1,124864 5,74189
Бг++ 1,728 7,87097
К+ 2,352637 11,483
кь+ 3,307949 15,7419
4,492125 20,05
или в общем виде
гхМх
В нашем случае 5=1. С учетом (9) формула (8) запишется как
1
я-к * ех -1
(10)
Тем самым осуществился переход к интегральному преобразованию Меллина [4]. Как видно из (9)-(10), ядро функций фактически представляет собой распределение Бозе-Эйнштейна, если учесть, что ■
Таким образом, можно предположить, что оператор 1'"г уг является преобразователем представления фермионов в бозоны. Действительно, когда оторваны внешние электроны, то они фактически имеют полностью замкнутую оболочку, подобную инертным газам. Тем самым, прослеживается связь между теорией простых чисел и основными положениями квантэвой физики.
В заключение можно сказать, что таблица квантовых чисел Слэтера, представленная ниже в таблице 3, введена в квантовую химию формально [5].
Таблица 3
Правило Слэтера
п 1 2 ' 3 4 5 6
п* 1,0 2,0 3,0 3,7 4,0 4,2
При этом п - истинные, а п* - предполагаемые главные квантовые числа.
На наш взгляд, именно через теорию простых чисел можно объяснить поведение слэтеровских коэффициентов. Но для этого необходимо вникнуть в теорию простых чисел и найти ее связь с квантованностью веществ. В истории физики было немало фактов, когда ещё до экспериментального обнаружения соответствующих эффектов уже существовал математический аппарат, например преобразования Лоренца или Римановская геометрия в теории относительности.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гитис М.Б., Михайлов И.Г. Распространение звука в жидких металлах. // Акустический журнал- 1966,-Т. 12.-№2,-С. 145.
2. Регелъ А.Р., Глазов В. М., Ким С.Г. Акустические исследования структурных изменений при нагреве расплавов полупроводников и полуметаллов (обзор) // ФТП,- Т.20- В.20 - С. 1353-1376.
3. Физическая энциклопедия. В 5 т. // Под ред. Б.А. Веденского, Б.М. Бул.- М.: Советская энциклопедия, 1965.
4. Арфкен Г. Математические методы в физике - М.: Атомиздат, 1970.— 712 с.
5. Фудзинага С. Метод молекулярных орбиталей- М.: Мир, 1983 - 461 с. I
