CC BY
20
Овализация поперечных сечений наиболее опасна для конструкций с параметром I ~ 3. При этом напряжения могут превышать напряжение 0"1Отах в ТРИ раза. Учет тонкостенности оболочки обязателен при параметре А>0.6.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1 .Акселърад Э. Л., Ильин В. П. Расчет трубопроводов. Л, : Машиностроение, 1972. 240 с.
2, Кан С. Н. несущая способность круговых цилидрических оболочек при изгибе // Изв. вузов. Сер, Авиационная техника, 1963, № 4, С, 18-21,
3, Антоненко Э. В. Учет искривления оси в расчете на прочность круговой цилиндрической оболочки // Прикладная механика, 1981, Т. XVII, № 5, С, 83-88,
4, Кан С. Н. Строительная механика оболочек, М, : Машиностроение, 1966, 508 с.
УДК 531.383:532.516
А. Ю. Блинкова
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ С ВЯЗКО-УПРУГИМИ СТЕНКАМИ ТРУБЫ КРУГОВОГО СЕЧЕНИЯ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ВОЛНЫ
ДЕФОРМАЦИИ
Волновые процессы в вязкоупругих и нелинейных вязкоупругих оболочках, не взаимодействующих с вязкой жидкостью, рассмотрены в [1-3].
Рассмотрим бесконечно длинную вязкоупругую цилиндрическую оболочку, внутри которой находится вязкая несжимаемая жидкость.
Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости и уравнение неразрывности в цилиндрической системе координат r, x записываются в случае осесимметричного течения в виде
dV 1 2 - - 1 -
~—b grad-V + rotV х V +—grad • p = —vrotrotV-, ,. ч
dt 2 p (1)
divV = 0.
p — плотность; p — давление; v - кинематический коэффициент вязкости. На границах с оболочками выполняются условия прилипания жидкости
dW dU
Vr = --ftf, Vx = —при r = Ri — W. (2)
Здесь Vr, Vx — проекции вектора скорости жидкости па оси цилиндри-
tW U
чек по оси x; R1 — внутренний радиус оболочки.
Связь между компонентами напряжений а"х, ау и деформаций зададим уравнениями квадратичной теории вязкоупругости [4], учитывающей линейную упругость объёмных деформаций
Е Е
= --2 (¿х + До£y) - —-а e-в(t-т}(1 + ае2и)ех(1т, (3)
1 — д0 1 + Д0
ЕЕ
—то
°у = 1-Т2(£у + №х) — ~т—а е ^ Т)(1 + а£и)еу(4)
1 — Д0 1 + До
—оо
Здесь Е — модуль Юнга, д0 — коэффициент Пуассона материала оболочек (считая их одинаковыми), £ — время; а, в ~ параметры вязкоупругости; ¿и — квадрат интенсивности деформаций, ех,еу — компоненты девиатора деформаций:
4( 2 2_ = 2 _ 1 =2 _ 1
3( ¿х + ¿у £х£у); ех = 3 ¿х 3 ¿у, еу = 3 ¿у 3
Связь между компонентами деформации ех, еу и перемещеныями
...................... стандартная.
Разлагая функции (1 + а £ Ц1)ех, (1 + а £ и)еу в ряд Тейлора по степеням (£ — т), при условии в£ ^ 1 сохраняем два члена разложения их формул (3), получим приближенные уравнения состояния (см. [1-3
Е , 2 1
2
ах = "1-2 (¿х + До£у) + рЬ¿х — ^¿у + а(еиех)],
1 До 3 3
Е 2 1 2
ау = 1 — Д2 (¿у + Д0£х) + Р^у — 3¿х + а(£иеу\
где введен оператор р такой, что
(6)
Еад}а Р1 = ТТД0(в2 Ж — в1(7)
Вычисляя с использованием (6) усилия и моменты по формулам
/10 Г10 /* 10 Г10
ах(х, N = ау(х, Мх = охх(х, Му = / ау(8)
/ 1 о / 1 о I н0
и 20 ^ 20 ^ 20
и подставим (8) в систему уравнений динамики оболочек дКх , д2и д2Мх 1 д Ш л , д2Ж
"Ж" —Р0^ = — ^ +дХ(= — ^ ®
Здесь ^о — толщина обол очки; — напряжения, действующие со стороны жидкости на поверхность оболочки, снесенные на невозмущаемую поверхность оболочки (Ж ^ Я), Я — радиус срединной поверхности оболочки.
Ях = ^(— + —)]г=Д, Яп = [-р +
За характерную длину примем длину волны деформации /, перейдем к безразмерным переменным
ЛИТ ТТ -(-* С0, * Х I Е
Ж = ^ТОМ30, и = МТОМ10, Ь = — Ь, ж = -, Со =
I ' I' V ро (1 - м0)
где с0 — скорость звука в материале оболочки. Применяя методы возмущений, найдем связь
wm ит дмю + I(1 - М0)
и30 = М1~--,М1 = --2"
Я 30 ^ I д£ ' 1 - 2(1 - М0)^
определим безразмерную скорость волны
С2 = [1 - 2(1 - М0)а ](1 - М12)
и уравнение
д 2ию + ит сдию д 2ию + 1 (Я )2 2 с д4ию д£дт + ¿е 2 д£ д£2 + £( I ) М1 2 д£4 2а .ит\2М 1 + М14 + (1 + Мг)4/дию 2д2ию
-о(1 - М0^---
3 ек I ' У ' ' в с 1дГ д£2
1 ас0/1 \(л , , ^д3ию оп /о ^ Р1^ дию п
- з в^ ¿е(1 - М0)(1+М1+М1 ^ - 2[1 - (2М1) ] = °
Здесь
£ = ж*- сЬ*, т = еЬ*, ит = е = о(1), е
(р = °)
уравнение превращается в модифицированное уравнение Кортевега - де Вриза - Бюргерса для -Щ0, пмееющее точное частное решение.
В зависимости от физичеких параметров величина М1 может быть больше 1, меньше 2 или равна 1 Последний случай эквивалентен отсутствию жидкости, но означает, что жидкость не влияет на волну деформации.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента (проект МД-1025.2012.8).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Нелинейные волны в цилиндрических оболочках: еолитоны, симметрии, эволюция, Саратов : Сарат, гос. техн. ун-т, 1999, 132 с,
2.Аршинов Г. А.,Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Двумерные уединенные волны в нелинейной вязкоупругой деформируемой среде // РАН, Акустический журнал, 2000. Т. 46, № 1. С. 116-117
3.Аршинов Г. А., Могилевич Л. И. Статические и динамические задачи вязко-упругоети, Саратов : Сарат. гос. агр. ун-т, 2000. 152 с
4. Москвитин В. В. Сопротивление вызко-упругих материалов. М, : Наука, 1972. 328 с.
УДК 539.3
Г. М. Иванов
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА РАСТЯЖЕНИЯ ИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНКИ С ПОДКРЕПЛЕННЫМ И СВОБОДНЫМ
ОТВЕРСТИЯМИ
В статьях [1-4] разработаны приближенные методы решения обратных задач плоской теории упругости и изгиба тонких изотропных плит для многосвязных областей с неизвестной границей. В данной статье приводится решение задачи по определению равнопрочных контуров двух отверстий в растягиваемой изотропной пластинке при условии, что одно из них подкреплено жестким кольцом, а другое свободно от внешних усилий.
Рассмотрим всестороннее растяжение усилиями р тонкой изотропной пластинки, ослабленной двумя криволинейными отверстиями, причем размер одного из них значительно превышает размер другого. На первом равнопрочном контуре, подкрепленным жестким кольцом, должны выполняться граничные условия
аг = Р; ав = уР ; тг0 = 0, (1)
а на втором равнопрочном контуре, свободном от внешних усилий, — условия:
аг = 0; ае = Я; Тгв = 0. (2)
Здесь V — коэффициент Пуассона, Р7 Я постоянные подлежащие определению.
