CC BY
13
УДК 531.383:532.516
С. В. Иванов
МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕИСТВИЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ С ФИЗИЧЕСКИ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОЙ СТЕНКОЙ ТРУБЫ КРУГОВОГО СЕЧЕНИЯ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ВОЛНЫ ДЕФОРМАЦИИ
Рассмотрим бесконечно длинную упругую цилиндрическую оболочку, внутри которой находится вязкая несжимаемая жидкость. Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости и уравнение неразрывности в цилиндрической системе координат г, х записываются в случае осе-симметричного течения в виде
дУ 1 2 - - 1 -
——+ гга^У + то1У х У- +— дга<1 • р = —Vго1го1У, ,. ч
дЬ 2 р (1)
йтУ = 0.
Здесь р — давление; р — плотность; V - кинематический коэффициент вязкости. На границе с оболочкой выполняются условия прилипания жидкости и условия на оси
дW ди
Уг = ——, Ух = -7— при г = Я1 — W; Уг,УХ < то при г = 0. (2) дЬ дЬ
Здесь Уг, Ух — проекции вектора скорости жидкости на оси цилиндрической системы координат; Ь — время; W — прогиб, положительный к
и
лочек по оси х; Я1 — внутренний радиус оболочки.
Записывая уравнения движения элемента цилиндрической оболочки в перемещениях для модели Кирхгофа — Ляве, считаем материал нелинейно-упругим с кубической зависимостью интенсивности напряжений о"1 от интенсивности деформаций е1 [1-3]
а1 = Ее1 — ше\. (3)
Здесь Е — модуль Юнга; ш — константа материала, определяемая из опытов на растяжение или сжатие.
Уравнения динамики физически нелинейных оболочек с учетом (3) записываются в виде
ЕЛо д ,,ди 1 .ди 2 1 д\ 2 Н0 д2\¥ 2 V,
+ Й ()2 + + 7Г0 )2 - ]{1 -
1 — мдх дх 2 дх 2 дх 24 дх2 Я
4шг/дил2 ди\ \, д2и — 3Е[( ) — дХЯ + ( Я ) ]}) — РоНо^ = —
ЕНр Но д)2_ (и д2\\ д д\\ ди 1 — м0 12 дх2 дх2 дх дх2 дх дх дх ,1. и )2 +1( )2 + Ло (дЧУ )2 м \ + 2(дх) + 2(3х) + 24) — Мо Я ]{1 —
4 т ди
— з Е[(~зх
ди \ \
1
ди
)2 — ~дх~я +(Я)2]}} — Я {мо[ дх +
+ 1( ди )2 +1( Л2 + Н0 (92\\ )2] \ + 2( ~ах) + 2(Эх) + 24( )] — ¥ }{1 +
4 т ди
+ з Е[(~зх
)2—
ди \ \
дх Я
+ (Я )2]})— Мо
д 2\
= Яп
(4)
Здесь мо ~ коэффициент Пуассона; Я — радиус срединной поверхности оболочки; ро — плотность материала о бол очки; Но — толщина оболочки; Ях,Яп ~ напряжения со стороны жидкости, находящейся внутри кольцевого сечения.
Если снести напряжения на невозмущенную поверхность оболочек (V ^ Я), то можно считать, что поверхностные напряжения со стороны жидкости определяются формулами
Ях =
Р»
'дУх дУг дг дх
Яп =
=я
—р + 2ри
дУг дг
(5)
-Я
За характерную длину примем длину волны /, перейдем к безразмерным переменным для исследования уравнений (4)
Ск * х
V = -штщо, и = птпю, Ь = — Ь, х = со
где со скорость звука в материале оболочки. Применяя методы возмущений, найдем связь
'Шт1 дпю
--пзо = Мо^т—,
птЯ д£
определим безразмерную скорость волны
Е
Ро (1 — Мо)
22
с = 1 — Мо
и уравнение
д2пю 1 птЛ/1 - м0 дм1од2М1о 1/ Д\ 2 М0\/1 - М0 д4пю
110 + 1 Пт V 1 - М0 дП10 д П10 + _ . _
д£дТ + Т~\ 2 д^ д£2 + НТУ 2 д£4
2т /Пт\2 , 2\ Гл дп1Л2д2пю
^ (1 - М0 + М°) у 1 - М0 ' 1
- ж^л ^- М0+1 - Ж-2
1 ^ Р^ дп10 п
1 - (2М0) РлР^= ° (6)
Здесь
£ = х*- с£*,т = еГ, Пт = £ = о(1),
I
а £ _ малый параметр задачи. Легко видеть, что замена
дп10 * + /7^
= ^ п = с1£ £ = С2Т (7)
позволяет записать уравнение (6) в виде
I+6^ + ^ - - ^ = 0. (8)
д£ дп дп3 дп
Здесь а = +1 (пр и м0 < 1/2 — неорганические мате риалы), а = -1 (при М0 > 1/2 — живые организмы) и а = 0 (при м0 = 1/2 — резина), а
2т /пт \2 , оч с2
2т /пт\2 , 2\
а1 = ЕёЫ (1 - М0 + ^
с с1
Ее V I ) с2
с, с1 , с2
и а.
При отсутствии жидкости (р = 0) последнее слагаемое в уравнении (8)выпадает и оно превращается в модифицированное уравнение Кортевеги де Вриза, пмееющее точное частное решение.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Нелинейные волны в цилиндрических оболочках: еолитоны, симметрии, эволюция. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 1999. 132 с.
2.Аршинов Г. А.,Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Двумерные уединенные волны в нелинейной вязкоупругой деформируемой среде// РАН. Акустический журнал. 2000. Т. 46, № 1. С. 116-117
3. Москвитин В. В. Сопротивление вызко-упругих материалов. М, : Наука, 1972. 328 с.
