CC BY
18
УДК 531.383:532.516
И. А. Ковалева
МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ С ФИЗИЧЕСКИ
И ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫМИ УПРУГИМИ СТЕНКАМИ ТРУБЫ КОЛЬЦЕВОГО
СЕЧЕНИЯ
ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ВОЛНЫ ДЕФОРМАЦИИ
Рассмотрим бесконечно длинные соосные упругие цилиндрические оболочки, между которыми находится вязкая несжимаемая жидкость.
Записывая уравнения движения элемента цилиндрических оболочек в перемещениях для модели Кирхгофа — Ляве, считаем материал нелинейно-упругим с кубической зависимостью интенсивности напряжений о"1 от интенсивности деформаций в\ [1-3]
а1 = Ее1 — те\. (1)
Здесь Е — модуль Юнга; т — константа материала, определяемая из опытов на растяжение или сжатие.
Уравнения динамики физически нелинейных оболочек с учетом (1) записываются в виде
Е(г)к0г) д ди(г) 1,ди1,дW(\2
1 — .(г)2 дх дх 2 дх 2 дх
ЬО0] д^(г) 2 (г) W(г) 4 т(г) ди(г) 2 ди(г) W(г) "дх) — Мо Ж]{1 — 3Е«[(~дХ) — ~дХ~т +
+(л(г)) ш ро До дг2 = '
Е(г) ьО0] Хг)2 д2 (г) + и(г) д^(г^ д ^(г) ^ди(г) +
1 — .(г)2 12 дх2 дх2 дх дх2 дх дх дх
+1 ()2 +1 ()2 + ^ (^ _ ..(г) ^ + 2( дх ) +2( дх ) + 24 ( дх2 ) Мо Я(г)
4т« ди« 2 ди(г) Ж(г) Ж« 2 1 г «гди(г)
3£«[() - + ( Ж) - Я«{М° [~"Х"
1 ди« 2 1 дЖ« 2 д2Ж« 2 Ж«
+ 2() + 2() + ~2°Г()] - Ж
4 т^ ди^ 2 ди(г) Ж(г) Ж« 2
+ 3£«[() - ЖЖ + ( Ж) ш—
(¿ЫОд2Ж, ^¿-1
-Р° ) д12 = ^ (-1)
Здесь ^ ) — коэффициент Пуассона; Я« — радиус срединнои поверхности оболочки; p°¿) — матери ала оболочки; h°¿) — толщины оболочек; ^°1)/2 = Я(1) — Я1, ^°2)/2 = Я2 — Я(2)^; дХ^, — напряжения со стороны жидкости, находящейся внутри кольцевого сечения.
Волновые процессы в упругих оболочках, не взаимодействующих с вязкой жидкостью, рассмотрены в [1, 2].
Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости и уравнения неразрывности в цилиндрической системе координат г, х записываются в случае осесимметричного течения в виде
+ гга^V2 + го^ х V + 1grad • р = — ^гсЛго^, , .
дЬ 2 р (2)
= 0.
Здесь р — плотность; р — давление; V — кинематический коэффициент вязкости. На границах с оболочками выполняются условия прилипания жидкости
дЖ ^ ) ди ^ V = —= ж при г = я — ж0). (3)
Здесь V, Ух — проекции вектора скорости жидкости па оси цилиндрической системы координат; Ь — время; Ж^ — прогиб, положительный к центру кривизны оболочки;
и( )
— продольное упругое перемещение оболочек по оси х; Я1 - внутренний радиус внешней оболочки; Я2 — внешний радиус внутренней оболочки (Я1 = Я2 + 6); 6 — толщина слоя жидкости в кольцевом сечении трубы; % = 1 относится к внешней, а г = 2 — к внутренней оболочке.
Если снести напряжения па невозмущенную поверхность оболочек (Ж( ) ^ Я¿), то можно считать, что поверхностные напряжения со сто-
роны жидкости определяются формулами
(дУх дУг^
Ях
РV
+
дг дх
Ян =
-Я;
—р + 2р^
дУг дг
(4)
-Яг
Принимая за характерную длину длину волны I и считая, что соосные оболочки изготовлены из одного материала, то есть, опуская индекс г у Е,т, ро, .о, перейдем к безразмерным переменным для исследования уравнений (2)
w(г) = и(г) = цт«1о), г* = сог, х* = ^ со
где со- скорость звука в материале оболочки. Применяя методы возмущений, найдем связь
^Шт)1
т1 (г)
ди
(г) 1о
итЖг)Що = М(Г д£ ' определим безразмерную скорость волны
22 с2 = 1 - . 2о
2
Е
Ро (1 — .о)
и уравнение
д2и1о + 1 ит У1 — .о ди 1о) д2и1о) + 1 / Л\2 .о у7! — .о д4и1о) _ д£дт + £ I 2 д£ д£2 + Д I ) 2 д£4
— Ет (Т )2 (1 — .о + ^^ —
—рР1о ¿е (I )2 (¥ — ¥) (—1)г=0. ^
Здесь
£ = х* — сЬ*,г = ег*, ит = £ = о(1),
а £ _ малый параметр задачи.
В случае отсутствия жидкости (р = 0), последние два слагаемых диЮ)/д£ — ди^)/д£ в уравнениях (6) исчезают и система распадается на два независимых уравнения МКдВ (модифицированные уравнения Кортевеги де Вриза), каждое из которых имеет точное частное решение в виде кинк-антикинк для ди1о/д£.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Нелинейные волны в цилиндрических оболочках: еолитоны, симметрии, эволюция, Саратов: Сарат, гос. техн. ун-т, 1999, 132 с,
2.Аршинов Г. А.,Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Двумерные уединенные волны в нелинейной вязкоупругой деформируемой среде// РАН Акустический журнал, 2000. Т. 46, № 1. С. 116-117
3. Москвитин В. В. Сопротивление вызко-упругих материалов. М, : Наука, 1972. 328 с.
УДК 532.5:533.6.011.5
B.C. Кожанов
О ДВУХ РЕЖИМАХ ОХЛОПЫВАНИЯ ОДНОМЕРНОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ
Изучается заключительный (автомодельный) этап схлопывания одномерной сферической полости в идеальной сжимаемой жидкости. Решение строится в предположении, что течение на рассматриваемом этапе не является гомэнтропическим. Проводится сравнение с соответствующими результатами [1], полученными в рамках традиционного подхода, согласно которому течение вплоть до момента фокусировки сохраняет свойство гомэнтропии.
Полная система уравнений, описывающих неустановившиеся одномерные сферически симметричные течения идеального совершенного газа, имеет вид
dp + pdu + 2PU = 0, du + V^ + =0,
dt or r dt 7 \or p r J
d i c2 \ d _d u&
dtVP^V = , dt = dt + "d?
(1)
где p = p(r, t) — плотность, t — время, u = u(r, t) — скорость частицы жидкости, r — координата, 7 — показатель адиабаты, c2 = c2(r, t) — квадрат скорости звука.
Пусть начальная плотность жидкости распределена в пространстве по степенному закону p0 = arw, а,ш = const. Соответствующие автомодельные решения имеют вид (а — показатель автомодельности)
r = С(-tn, u = —аС(—t)a-1F(0, c2 = a2C2(-t)2a~2G(C),
p = аСш(—t)a"R(£), С = const. ( )
