Распространение волн деформации в двух упругих цилиндрических оболочках, между которыми находится вязкая жидкость Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

УДК 531.383:532.516

А.Ю. Блинкова, И.А. Ковалева, Л.И. Могилевич, В.С. Попов РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН ДЕФОРМАЦИИ В ДВУХ УПРУГИХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧКАХ, МЕЖДУ КОТОРЫМИ НАХОДИТСЯ ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ

Настоящая работа посвящена компьютерному моделированию распространения нелинейных волн деформации в двух бесконечно длинных соосных упругих цилиндрических оболочках, между которыми находится вязкая несжимаемая жидкость.

Цилиндрическая оболочка, нелинейные волны деформации, гидроупругость, вязкая несжимаемая жидкость, солитон

A.Yu. Blinkova, I.A. Kovaleva, L.I. Mogilevich, V.S. Popov DEFORMATION WAVES PROPAGATION IN TWO ELASTIC CYLINDER SHELLS WITH VISCOUS LIQUID IN BETWEEN

The paper considers computer simulation of non-linear deformation waves propagation in two infinitely long coaxial elastic cylinder shells with viscous incompressible liquid between them.

Cylinder shell, non-linear deformation waves, hydroelasticity, viscous incompressible liquid, solitary wave

Исследование взаимодействия упругих стенок канала с находящейся в нем жидкостью представляет теоретический и практический интерес. Гидроупругие колебания стенок щелевых каналов, образованных прямоугольными и круглыми пластинами с учетом краевых эффектов, рассмотрены в [1-3]. В [4] проведено исследование ламинарного движения вязкой несжимаемой жидкости под действием гармонического по времени перепада давления в упругой цилиндрической оболочке без учета краевых эффектов в ней. Волновое движение жидкости в бесконечно длинных упругих трубах при заданной форме упругих перемещений исследовано в [5] или при использовании безмоментной теории оболочек в [6]. В [7] рассмотрено пульсирующее движение жидкости в кольцевом канале конечной длины, образованном двумя цилиндрическими оболочками. Исследование распространения нелинейных волн деформации в цилиндрических оболочках без жидкости проведено в [8, 9].

Рассмотрим распространение нелинейных волн деформации в двух бесконечно длинных соосных упругих цилиндрических оболочках, между которыми находится слой вязкой несжимаемой жидкости. Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости и уравнение неразрывности в цилиндрической системе координат r x записываются в случае осесимметричного течения в виде [10]

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 10-01-00177а и гранта Президента РФ МД - 1025.2012.8

dvr dvr 1 dp

—- + v x—- +------------------—

dr dx p dr

p dr У dr2 r dr dx2 r2 y

dx p dx У dr2 r dr dx2 y

(1)

На границах с оболочками выполняются условия прилипания жидкости

дW(!' ) дU(!') „ .)

при г — Ri - W .

v —----------------,

г дt ’

Vx дt

(2)

Здесь t - время; уг, ух - проекции вектора скорости жидкости на оси цилиндрической системы координат; p - давление; р - плотность; V - кинематический коэффициент вязкости; Ц® - продольное упругое перемещение оболочек по оси х; W () - прогиб, положительный к центру кривизны оболочки; Rl - внутренний радиус внешней оболочки; R2 - внешний радиус внутренней оболочки (Я1 — Я2 + б); 5 -

толщина слоя жидкости в кольцевом сечении трубы; индекс i =1 относится к внешней, а г — 2 - к внутренней оболочке.

Оболочки изготовлены из одного материала. Записывая уравнения движения элемента цилиндрической оболочки в перемещениях для модели Кирхгофа - Лява, считаем материал физически линейно-упругим

С1 — Евх. (3)

Здесь С1 - интенсивность напряжений, Е - модуль Юнга, е1 - интенсивность деформаций.

Учтем конструкционное демпфирование в материале оболочки, характеризуемое величиной, пропорциональной ЭW('l)/дt, добавляемой к Даламберовой силе инерции [8, 9]

г (г )

Ко(!) ЭW

еРо Со ^) э, ; со -

(4)

. К(1) — 2(R(1) - Rl), ко2) — 2(R2 - R(2) )

Ро(1 Мо ) 2 2

Здесь ев - коэффициент демпфирования; ро - плотность материала оболочек; со - скорость звука в материале оболочек; Цо - коэффициент Пуассона; R(!) - радиусы срединной поверхности оболочек; Ко(г) - толщины оболочек.

Уравнения динамики геометрически нелинейных оболочек с учетом (3), (4) для

осесимметричной задачи записываются в виде

ЕКо(г) _Э_ 1 — /Ц Эх

ди(г) 1

+

дх 2

(ДГ Т(') 12 (ЛТД/М V

ди(

дх

+

дW( дх

+ ■

К

(1)2

24

( д 2w (г) 1

дх2

W

(г)

о Я(г)

2тт(‘)

еКР ког')2 д2

1 -Цо2\ 12 дх2

дW(0

дх

дV(г) (. дЦ(г) Л 1 +

дх2

ди(г) 1

----------1---

дх 2

дх

Мо I дЦ(0 1

Я

(г)

+ —

дх 2

(дЦ(г) У (д№(г) 1

дх

дх

, (г) д Ц

-РоК(,)-----------------

(г)2 ( д V(г) 1

дt2

-чх0,

К

( дЦ(г) Т ( дW(г) 1 +

+ роКс)!)

дх

J

+ -

24

V дх J

-Ц

24

ч

№(г)

о Я(г)

дх2

№

(г)

Я

(г)

(5)

дt

2

’ + е о рос\

Кг) дW

(г)

вГо^о „(I)

Я{,) дt

— Чп (- 1)-! 1

Здесь чхг), Чп - напряжения со стороны жидкости, находящейся внутри кольцевого сечения.

Если снести напряжения на невозмущенную поверхность оболочек V(г) << Яг),

то

Ч(х) — I"Ргх 1 г—ЯЧп — I"Ргг 1 г—

гг 1 г—Я-V

д- (д- д- 1 ду

Ргг — - р + 2рv-r-, Р„ — рv(-x + -Ч, Рхх —- Р + 2рv—^ дг V дг дх 1 дх

(6)

В [11] на основе метода сращиваемых асимптотических разложений показано, что решение рассматриваемой задачи (1)-(6) в безразмерных переменнных сводится к решению системы двух уравнений, описывающих динамику геометрически нелинейных оболочек с учетом конструкционного демпфирования и влияния жидкости:

дф'

(1)

дт

дф(2)

дт

+ 6ф

(1)

дф(1) д 3ф(1)

+ ■

+ 6ф

(2)

дп дп

дф(2) д Зф

д 2Ф(1)

^ +ф(1) - ф(2) — о,

^(2)

+ -

дп дп

дп 2

д 2ф(2) дп2

+ ф(2) - — о.

(1)

2

2

2

+

+

+

2

2

Здесь приняты обозначения

72 = Є

я А с

іє 2 с.

я(1)« я

(2)

с2 = 6 а

я, й®

рі V

ґ Я'2

Ро йо &Є I

К, 1

с2є

Ао

І1

Ао

1/3

К(2) й0

л/1

АО

я

1

(і)

сы„

(і)

Ж

(і)

т = с2 є-^-г, п = с]

X

22 Ао сг

(8)

— с—г

і

і

где с* - безразмерная скорость бегущей системы координат; I - характерная длина волны; е - малый параметр разложения упругих перемещений, ит, wm - характерные масшабы продольного перемещения и прогиба соответственно.

Метод конечных объемов сводится к дискретизации исходных уравнений, представленных в интегральной форме, в противоположность методу конечных разностей, который обычно применяется к исходным уравнениям в их дифференциальной форме. При этом если исходная система обладала законами сохранения (массы и т.п.), то построенная разностная схема будет обладать хорошими консервативными свойствами просто по построению. Кроме того, при этом подходе упрощается вывод разностных соотношений на границах вычислительной области.

Если исходные уравнения содержат производные выше первого порядка, то метод конечных объемов нуждается в модификации. Это модификация получила название интегро-интерполяционного метода, недостатком которого является отход от работы только с интегральными соотношениями и прямая замена производных их конечными разностями. Если на этом этапе добавить интегральные соотношения, связывающие искомые функции с их производными, а затем используя алгоритм Бухбергера построения базисов Г рёбнера или инволютивный алгоритм, то можно получить соотношения, связывающие только искомые функции [12, 13].

Применим данный подход к системе уравнений (7) и запишем систему в интегральной форме, переобозначив независимые переменные Т,Ц на t, х соотвественно:

(3ф

^- (з^(

»(1)

,(1)

(9)

+ ру хх - У2РЧ х)йх + р) йх + ^^Р^ ) — Р^ 2^)dtdх — 0, эа а

+ р(2)хх -У2р(2)х)йх + р(2) йх + Ц(р(2) -р(1))йхйх — 0 эа а

для любого замкнутого контура а. Для перехода к дискретной формулировке сопоставим

.(I)

= рк ;(ХП, х ■). Выберем в качестве базового объема контур, показанный на рис. 1

2

с1 =

6

с

с

Рис. 1. Базовый контур для уравнений (9)

Добавим интегральные соотношения, используя для интегрирования по времени и по производным по х четного порядка формулу трапеций, а по нечетным производным по х формулу среднего значения, запишем через сеточные операторы сдвига 0г,вх разностные соотношения в операторной форме:

(1 + в, -вх - в{вх ) о (3ы1 + Ы1ХХ - (71 ы2X) • — + (дхв, - вх) о Ы1 • 2й - (вхв{ +вх) о Ы1 • Нт -

(вх +1) о Ы х • —-(вх -1) о Ы1,

вх о Щ хх • 2Н -(в] -1) о Ы, х,

1х

- (1 + % -&х - ) ° (3и2 + и2 XX и2 X ) ' 2 + (^ ) ° и2 ' 2Н - + &Х ) ° и2 ' Нт = °>

Н

(вх + 1) ° и2х • 2=(^х - 1) ° и2,

вх ° и2хх ' 2Н = (^ - 1) ° и2х■

Выбирая допустимое лексикографическое упорядочение сначала по функциям

и1хх У и2 У и1х У и2 У и1( У и2 У и1 У и2, затем по переменным 0Х У в{ можно построить базис

Грёбнера или инволютивный базис [13]. В результате получим следующую разностную схему для

уравнения (1), аналогичную схеме Кранка - Николсона для уравнения теплопроводности

п+1 п , 2п+1 2И+1Ч , / 2п 2п \ / п+1 Л п+1 п+К , , п ~ п п

и1 ] - и1 і о (и1 ]+1 - и1 ]-1 ) + (и1 ]+1 - и1 ]-1 ) (и1 ]+1 - 2и1 ] + и1 ]-1 ) + (и1 ]+1 - 2и1 ] + и1 ]-1)

------------г 3----------------------------------(Гг,--------------------------------- -----------+

т 4Н 2Н

/ п+1 г\ п + 1 , г\ п + 1 п + 1 \ . / п г\ п , г\ п п \

+ (иу+2 -2-,м + 2щн -иі-2) + (% - 2и11+1 + 2и1 і-1 -и.і-2) +

4Н

1 п + 1 п 1 п + 1 п

+ 2(и1 і + и1 і ) - 2(и2 і + и2 і ) ’ ( )

п+1 п , 2п+1 2, / 2п 2п \ +1 о п +1 п +Ц . , п 0 п п

и2] - М2! ЛН2 }+1 - и2 }-1> + (и2 ;+1 - и2 )-1) (и2 ;+1 - 2и2 ; + и2 ]-1) + (и2;+1 - 2М2) + и2]-1>

-------------г 3------------------------------------(Гг,------------------------т-------------------------+

т 4к 2к2

/ п +1 г\ п+1 , г\ п+1 п +1 \ . / п г\ п , г\ п п \

+ (% ,+2 - 2и2 ,+1 + 2и2 ,-1 - и ,-2> + О*2,>+2 - 2и2;+1 + 2-3,-, - и2 ;) +

4к

1 п +1 п 1 п +1 п

+2(и2 ] + и2 ]) - 2(и1 ] + и1 ] )-°-

В качестве начального условия для и1 выберем солитонное решение уравнения Кортевега -де Вриза, а и2 и с2 положим равными нулю (см.рис. 2):

м1(0, х) = f (0,х + 480;0.2), м2(0, х) = 0,

/ (г, х;к) = 2к2 (1 - гк2 (кх - 4къг))[ (12)

Далее рассмотрим в качестве начального условия для и1 точное решение уравнения Кортевега де Вриза - Бюргерса, полагая с2 равным 1, а и2 равным нулю (см. рис. 3):

м1(0, х) = f (0,х + 320;0.1), и2(0, х) = 0, (13)

f (г, х;к) = 4к2(1 - гк(кх - 24к3г))+ 2К2(1 - гк2 (кх - 24Кг ))|

Результаты проведенных расчетов для первого случая начальных условий (12) позволяют сделать следующие выводы. Наличие жидкости между оболочками приводит к возникновению уединенной волны деформации (солитона) и во внутренней оболочке (см. рис. 2). Это процесс происходит за счет «перекачки» энергии (через слой жидкости) от солитона во внешней оболочке и сопровождается падением амплитуды солитона во внешней оболочке и, как следствие, снижением скорости его распространения. На заднем фронте солитонов в оболочках образуются затухающие осциллирующие волновые пакеты.

С течением времени амплитуда и скорость движения солитонов во внешней и внутренней оболочках стабилизируются.

Вычислительный эксперимент для второго варианта начальных условий (13) позволяет прийти к следующим заключениям. Как и в первом случае, наличие жидкости между оболочками приводит к возникновению волны деформации во внутренней оболочке (см. рис. 3). Данный процесс происходит за счет «перекачки» энергии через слой жидкости от возбуждающей волны во внешней оболочке и сопровождается снижением ее амплитуды и скорости распространения. При этом волновые пакеты за волной не образуются, что объясняется наличием диссипации (с2 отлично от нуля в отличие от первого случая). В результате, как и в первом случае, во внешней и внутренней оболочках устанавливается волна деформации постоянной амплитуды и скорости распространения.

Рис. 2. Численное решение (7), (12) для ? = 0...960.16

Рис. 3. Численное решение (7), (13) для ? = 0.960.16

Проведенное моделирование позволяет сделать вывод, что рассматриваемая механическая система начинает вести себя как единый трехслойный пакет с двумя несущими слоями (внешняя и внутренняя оболочки), по которым распространяются волны деформации, и заполнителем - слоем вязкой несжимаемой жидкости.

ЛИТЕРАТУРА

1. Могилевич Л.И. Исследование взаимодействия слоя вязкой несжимаемой жидкости со стенками канала, образованного соосными вибрирующими дисками / Л.И. Могилевич, В.С. Попов // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2011. № 3. С.55-68.

2. Могилевич Л.И. Динамика взаимодействия упругих элементов вибромашины со сдавливаемым слоем жидкости, находящимся между ними I Л.И. Могилевич, В.С. Попов, А.А. Попова II Проблемы машиностроения и надежности машин. 2010. № 4. С.2З-З2.

3. Попов В.С. Математическое моделирование динамики взаимодействия пульсирующего слоя вязкой жидкости с упругими стенками канала, образованного двумя параллельными пластинами I М.И. Волов, В.С. Попов II Вестник СГТУ. 2011. Т. 2. № 1. С. З4-З8

4. Могилевич Л.И. Динамика взаимодействия упругой цилиндрической оболочки с ламинарным потоком жидкости внутри нее применительно к трубопроводному транспорту I Л.И. Могилевич, А.А. Попова, В.С. Попов II Наука и техника транспорта. 2007. № 2. С. 64-72.

5. Ильгамов М. А. Введение в нелинейную гидроупругость I М. А. Ильгамов. М.: Наука, 1991.

200 с.

6. Womersley J.R. Oscillatory motion of a viscous liquid in a thin-walled elastic tube - I: The linear approximation for long waves I J.R. Womersley II Phil. Mag. 1955. V. 46. № З7З. P. 199-221.

7. Mogilevich L.I. Oscillating laminar fluid flow in a cylindrical elastic pipe of annular cross-section I D.V. Kondratov, Yu.N. Kondratova and L.I. Mogilevich II Fluid Dynamics. Vol. 44. № 4. Р. 528-5З9, © Pleiades Publishing, Ltd., 2009

8. Могилевич Л.И. Нелинейные волны деформаций в цилиндрических оболочках I А.И. Землянухин, Л.И. Могилевич II Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1995. Т. З, № 1. С. 52-58.

9. Могилевич Л.И. Нелинейные волны в цилиндрических оболочках: солитоны, симметрии, эволюция I А.И. Землянухин, Л.И. Могилевич. Саратов: СГТУ, 1999. 1З2 с.

10. Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.: Гостехиздат, 1955. 520 с.

11. Могилевич Л.И. Нелинейные волны в соосных упругих цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость между ними I Л.И. Могилевич, И.А. Ковалева II Магистраль: межвуз. сб. науч. ст. Вып. З. Саратов: Изд. центр «Наука», 2011. С. 11-19.

12. Блинков Ю.А. Генерация разностных схем для уравнения Бюргерса построением базисов Грёбнера I Ю.А. Блинков, В.В. Мозжилкин II Программирование. 2006. Т. З2, № 2. С. 71-74.

13. Gerdt V.P. Involution and difference schemes for the Navier-Stokes equations I V.P. Gerdt, Yu.A. Blinkov II In Computer Algebra in Scientific Computing, volume 574З of Lecture Notes in Computer Science, pages 94-105. Springer Berlin I Heidelberg, 2009.

Блинкова Анастасия Юрьевна -

студентка 5 курса Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского

Ковалева Ирина Александровна -

студентка 5 курса Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского

Могилевич Лев Ильич -

доктор технических наук, профессор кафедры «Теплогазоснабжение, вентиляция, водообеспечение и прикладная гидрогазодинамика» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Попов Виктор Сергеевич -

доктор технических наук, заведующий кафедрой «Теплогазоснабжение, вентиляция, водообеспечение и прикладная гидрогазодинамика» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Статья пост

Anastasia Yu. Blinkova -

Undergraduate,

Chernyshevsky Saratov State University

Irina A. Kovaleva -Undergraduate,

Chernyshevsky Saratov State University

Lev I. Mogilevich -

Dr. Sc., Professor Department of Heat,

Gas & Water Supply, Ventilation, and Applied Hydrogasdynamics,

Yu. Gagarin Saratov State Technical University

Viktor S. Popov -

Dr. Sc., Head: Department of Heat,

Gas & Water Supply, Ventilation, and Applied Hydrogasdynamics,

Yu. Gagarin Saratov State Technical University

в редакцию 18.10.11, принята к опубликованию 15.11.11