CC BY
57
УДК 531.383:532.516
С.В. Иванов, Л.И. Могилевич, В.С. Попов МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ И ВОЛН В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКЕ С ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТЬЮ ВНУТРИ НЕЕ
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 10-01-00177а
Настоящая работа посвящена исследованию двух задач. Первая задача посвящена моделированию колебаний цилиндрической оболочки конечных размеров с ламинарным пульсирующим потоком жидкости внутри нее с учетом краевых эффектов в оболочке. Вторая - моделированию взаимодействия вязкой несжимаемой жидкости с цилиндрической оболочкой, по которой распространяются волны деформации.
Цилиндрическая оболочка, колебания, волны деформации, гидроупругость, вязкая несжимаемая жидкость, солитон
S.V. Ivanov, L.I. Mogilevich, V.S. Popov
MODELLING OF OSCILLATIONS AND WAVES IN CYLINDER SHELL INCLUDING VISCOUS INCOMPRESSIBLE LIQUID
The purpose of the paper is to analyze two issues. The first issue concerns modeling of cylinder finite length shell oscillations with laminar pulsing liquid flow with regard for edges effect. The second covers modeling of viscous incompressible liquid interaction with cylinder shell characterized for deformation waves propagation.
Cylinder shell, oscillations, deformation waves, hydroelasticity, viscous incompressible liquid, solitary wave
1. В [1] проведено исследование ламинарного движения вязкой несжимаемой жидкости под действием гармонического по времени перепада давления в абсолютно жесткой трубе с круговым сечением. Для упругой цилиндрической оболочки аналогичное исследование проведено в [2] без учета краевых эффектов в оболочке. Исследованию проблем гидроупругих колебаний стенок щелевых каналов, образованных прямоугольными и круглыми пластинами с учетом краевых эффектов, посвящены работы [3-5].
Рассмотрим гидроупругие колебания трубы-оболочки с ламинарным пульсирующим потоком вязкой несжимаемой жидкости с учетом краевых эффектов радиуса R1 и длиной l >> Rl, представляющей собой упругую цилиндрическую оболочку конечной длины. Течение происходит под действием заданного на торцах гармонически изменяющегося по времени перепада давления. Оболочка свободно оперта на торцах, радиус ее срединной поверхности R, толщина h0 = 2(R - Rt) << R . Рассмотрим оссесимметричную задачу. Для описания динамики оболочки воспользуемся уравнениями оболочки типа Кирхгофа - Лява [2, 6].
Введем безразмерные переменные
^= r , Z= , T = Mt , u3 = WmU3, u1 = umU1 , Vr = wm™Ut , ^ = << ^
Rj l Rj
У = w ю—и, р = Р0 + р™™т Р , у = ^ << 1, Ие = ^. (1)
31 т 2Я1 с у 0 Я1 (2Я1/£)2 ^ I -Здесь ю - частота (рад/с); wm - характерный прогиб; ит - характерное продольное перемещение оболочки; и3 - прогиб оболочки, положительный в сторону противоположную центру кривизны;
и1 - продольное перемещение оболочки; Уг, Уу - компоненты вектора скорости жидкости в цилиндрической системе координат; р - давление жидкости; р - плотность жидкости; V - кинематический коэффициент вязкости; у - продольная координата вдоль оси оболочки-трубы; г - расстояние от оси трубы-оболочки; t - время.
Параметры у, X - малые, они характеризуют факт того, что радиус трубы значительно меньше ее длины и прогиб оболочки значительно меньше радиуса трубы. Последний факт очевиден, так как в рамках линейной теории оболочек прогиб считается значительно меньше толщины оболочки, а последняя - меньше радиуса срединной поверхности оболочки.
Подставляя безразмерные переменные (1) в уравнения динамики вязкой несжимаемой жидкости (уравнения Навье - Стокса и уравнение неразрывности), уравнения динамики оболочки с учетом условий прилипания жидкости и условия свободного опирания, а затем представляя решение в виде асимптотического разложения по степеням малых параметров у и X, оставляя главные члены разложения, получим уравнения динамики жидкости
1=0.
ди с
Йе—^
дР д Ц 1 ди с дЦ 1
дт
=---- + -
■ + —-
+ 1 и 1+'
ди г
дС
= 0,
с граничными условиями
ди,
щ=-
и с=-
Ит¥ ди1
дт
г дЦ г ди г
при 1 = 1, £—1 = 0, 1—^ = 0 при 1 = 0,
д1 д1
дт
Р = Р + при ^ = 1,
Р = Р~ при ^ = —1, (где Р+ и Р - гармонические функции времени т), и уравнения динамики оболочки
(2)
(3)
д 2ц д^2
,0
Я2ю2
22 с V2
ди г
дт2 Р0Й0 Йе Ит^ д1
(4)
д£ Я Ит¥
д 4и 3 д^4
М2 Я ^т
СV Я UmV
V2
д2Ц
+
Р^1
дт р0й0 Йе
Р +
V2
ру^ю
с граничными условиями
и.
= д 2и з = 0 Ц = 0 дС2 , дС
при ^ = ±1,
(5)
здесь с2 = Е/[(1 -,2)р0] - квадрат скорости звука в оболочке; ,0 - коэффициент Пуассона материала оболочки; Е - модуль Юнга материала оболочки; р0 - плотность материала оболочки.
Уравнения динамики оболочки (4) без подчеркнутого члена (старшей производной по ^ от прогиба) представляют собой уравнения для безмоментного состояния. Данный член удержан в уравнениях для учета краевого эффекта. Другими словами, далее рассматриваются составные уравнения с учетом старших производных (отвечающих за краевой эффект). Рассматривая данные уравнения, можно не производить сращивания решения безмоментного состояния с решением уравнений краевого эффекта. При этом решение составных уравнений не является более сложной задачей, чем решение уравнений для безмоментного состояния.
Полагая гармоническую зависимость от времени давления в жидкости, компонент скорости жидкости и упругих перемещений оболочки и проводя решение системы (2) с учетом граничных условий (з) найдено выражение для давления и его градиента
1 г 1 1 1 ? 1 с с 11 с
Р = -[р+ (£ +1)-Р (£-1)]--С1^1QdZ + -1^|QdZ--14164,
2 2 -10 2 -10 2 с, 0
дР 1 г т 1 1 ^ ^
47 = т[р - Р ]-41^ 1+1,
д^ 2 2 -10 0
^ д2Р . д 6 =—:г = 1бу— дС2 дт
16у = -
1 ИтУ дЦ1
2 ^т дС
аи з - 1(а-1)ИтУ ^
2 ^ дС
Йе р0 - 4л/Кед0 + 4^0 д0 = Ъе^л/ЙеЪ е1 ^л/Йе - Ьег^л/кёЬе^л/кё, ^0 = Ъег/2 л/Ке + ЪеГ2 л/Ке,
а=
Ие р0 - 2л/кед0
Ие р0 - 4л/кёд0 + 4^0 г0 = Ьег^/ИсЬе/л/кё + Ъei^/RёЪei/л/Rё, р0 = Ъег^л/Ке + Ъе^л/Ке,
0
при этом
ди? Г Э Т 1 дР , ытутт"
“ЧГ =---Но - Го— 1—^7
где Ьег и Ье1 - функции Кельвина нулевого порядка. Штрих означает производную функции Кельвина по аргументу.
Подставляя гидродинамические параметры Р и дипри ^ = 1 в (4), получим
Уравнения (7) могут быть решены аналитически, для этого, учитывая краевые условия (5), представим их решение в виде
Верхний индекс 0 в (8) означает решение, соответствующее постоянному уровню давления, не зависящему от т.
Подставляя (8) в уравнения (7) и проводя разложения по тригонометрическим функциям членов правых частей данных уравнений, получим систему алгебраических уравнений для определения и°, и обыкновенных линейных дифференциальных уравнений по безразмерному времени для
определения и0(т), иь (т), икс (т), ^кс (т), Wь (т). Для исследуемого режима установившихся гармонических колебаний данная система обыкновенных линейных дифференциальных уравнений превращается в систему линейных алгебраических уравнений и может быть легко решена, т.е. аналитически определены законы упругих перемещений оболочки и законы изменения гидродинамических параметров потока вязкой жидкости в оболочке. Это позволяет аналитически определить напряженно-деформированное состояние в исследуемой механической системе и оценить прочностные характеристики оболочки, по которой движется пульсирующий поток вязкой несжимаемой жидкости.
2. Исследование распространения волн деформации в цилиндрической оболочке проведено в [7]. Многие задачи гидроупругости сводятся к задачам для дифференциальных уравнений в частных производных высших порядков. Одним из распространенных методов их решения является метод конечных объемов (МКО). Для систем уравнений первого порядка из интегральных законов сохранения, не содержащих производные искомых функций, непосредственно получаются консервативные разностные схемы МКО. Стандартным способом построения разностных схем МКО для интегральных законов сохранения, содержащих производные от искомых функций, является интегро-интерполяционный метод. Однако введение численного дифференцирования внутри законов сохранения может нарушить свойство аддитивности интегралов по контурам, охватывающих несколько базовых конечных объемов. В этом случае разностная схема становится неконсервативной.
В [8-10] развит подход к построению разностных схем, основанный на построении переопределенной системы разностных уравнений, получаемой из апроксимации интегральных законов
(8)
сохранения и интегральных соотношений, связывающих искомые функции и их производные. В результате разностная схема определяется как условие совместности для данной системы. Таким образом, получается разностная схема МКО, автоматически обеспечивающая выполнение интегральных законов сохранения по областям, составленным из базовых конечных объемов.
В [11] построена математическая модель для описания распространения волн деформации в осесимметричной упругой оболочке с учетом влияния содержащейся в оболочке вязкой несжимаемой жидкости. Показано, что в случае неорганического материала облочки распространение волн деформации описывается уравнением
Э
(9)
Здесь г, х, ф - нормирмированные значения времени, бегущей пространственной координаты и прогиба оболочки, положительного к центру кривизны. Последний член уравнения (9) отражает влияние жидкости. Если оболочка жидкости не содержит, то уравнение (9) переходит в уравнение Кортевега де Вриза [7].
Запишем уравнение (9) в интегральной форме
^ — (3ф2 + ф хх) & + ф&х — Л фdtdx — 0
эа а
(10)
для любого замкнутого контура а. Для перехода к дискретной формулировке сопоставим ип — ф(гп, х]) и выберем в качестве базового объема контур, показанный на рис. 1.
Рис. 1. Базовый контур для уравнения (10)
Добавим интегральные соотношения
гп+1
х]+1
| и&г — и (гп+1, х) — и (гп, х), | их&х — и (г, х.+1) - и (г, х]), | ихх&х — их (г, х.+1) - их (г, х]).
(11)
Используя для интегрирования по времени и по четным производным по х формулу трапеций, а по нечетным производным по х формулу среднего значения и полагая гп+1 - гп = т, х]+1 - х] — к,
перепишем соотношения в виде
/о 2 «о 2 п+1 о 2п о 2 п+А п , п+1 п п+1 ч Т
- (3и ] + 3и ] - 3и j+2 - 3и ]+2 + ихх1 + ихх} - ихх]+2 - и.хх]+2 ) ' 2 +
+ (ип+1 - и”+1)' 2к - (ип+! + ипм)' кт — 0,
>1 ' "7+1.
(12)
/ п . И \ к п п
(их1+1 + их1) ' 2 — и1+1 - и] ,
п ГУ1 п п
ихх]+1 ' 2к — их+2 - иху
Вводя сеточные операторы сдвига 0г, 0х по переменным г, х соотвественно, запишем уравнение в операторной форме:
-(1 + 0г-02-0г02) о (3и2 + ихх)'- + (0х0г-0х) о и' 2к- (0х0г +0х) о и - кт — 0,
г х г х хх 2 х г х х г х
к
(0х +1) о их ' 2 —(0х -1) о и,
(13)
0х о ихх' 2к — (0х -1) о их.
Выбирая допустимое лексикографическое упорядочение сначала по функциям их У их У иг У и, затем по переменным 0х У 0г, можно построить базис Грёбнера или инволютивный
п
базис [8]. В результате получим следующую разностную схему для уравнения (9), аналогичную схеме Кранка - Николсона для уравнения теплопроводности
иі + з (и }+\ - и ]-\) + (и }+\ - и ]-\) +
т
п+1
4Н
+
/ п+1 /*\ п+1 , /*\ п+1 п+1 \ / п г\ п , г\ п п \ л
(иІ+2 - 2иі+1 + 2иі-1 - иі-2) + (иі+2 - 2иі+1 + 2иі-1 - иі-2 ) - 1(ип+1 + ип ) = 0
(14)
4к 2
В качестве начального условия выберем точное солитоное решение уравнения Кортевега де Вриза:
и (0, х) = / (0, х + 30;0.2),
,2 и .7 2 /|„3^ (15)
/ (ґ, х; к) = 2к2 (1 - Ж2 (кх - 4к3г)).
Рис. 2. Г рафик численного решения уравнения (9), (15) для і = 0...3,0
Рис. 3. Г рафик численного решения уравнения (9), (15) для і = 0.4.50
Результаты проведенного математического моделирования представлены на рис. 2, 3. Расчеты позволяют сделать следующие выводы. Наличие жидкости в оболочке приводит к существенному изменению характера распространения в ней продольных волн деформаций. Если в оболочке нет жидкости, уединенная волна (солитон) движется, сохраняя свою первоначальную форму и скорость. Наличие жидкости в оболочке ведет к росту амплитуды волны на малых временах (см. рис. 2), а затем к формированию на заднем фронте волны второго солитона. С увеличением времени (см. рис. 3) на заднем фронте второго солитона, с ростом его амплитуды, формируется третий и т.д.
и
В результате в оболочке возникает ряд дополнительных солитонов, при этом амплитуда начального солитона продолжает расти и все последующие не обгоняют его. Амплитуда (и скорость) вновь генерируемых солитонов также растет, причем все последующее солитоны (после первого) не опережают предыдущие. Таким образом, можно утверждать, что жидкость способствует постоянной дополнительной «подпитке» энергией (из источника первоначального возбуждения), обеспечивающей рост амплитуды первого солитона и генерации серии новых солитонов на заднем фронте. Если энергия первоначального источника возбуждения достаточно велика, можно ожидать значительного роста амплитуды первого и последующих за ним солитонов, что может приводить к разрушению оболочки.
ЛИТЕРАТУРА
1. Громека И.С. К теории движения жидкости в узких цилиндрических трубках / И.С. Громека. М.: Изд-во АН СССР, 1952. С. 149-171.
2. Могилевич Л.И. Динамика взаимодействия упругой цилиндрической оболочки с ламинарным потоком жидкости внутри нее применительно к трубопроводному транспорту / Л.И. Могилевич, А.А. Попова, В.С. Попов // Наука и техника транспорта. 2007. №2. С. 64-72.
3. Могилевич Л.И. Исследование взаимодействия слоя вязкой несжимаемой жидкости со стенками канала, образованного соосными вибрирующими дисками / Л.И. Могилевич, В.С. Попов // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2011. №3. С.55-68.
4. Могилевич Л.И. Динамика взаимодействия упругих элементов вибромашины со сдавливаемым слоем жидкости, находящимся между ними / Л.И. Могилевич, В.С. Попов, А.А. Попова // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2010. №4. С.23-32.
5. Попов В.С. Математическое моделирование динамики взаимодействия пульсирующего слоя вязкой жидкости с упругими стенками канала, образованного двумя параллельными пластинами / М.И. Волов, В.С. Попов // Вестник СГТУ. 2011. Т. 2. № 1. С. 34-38.
6. Горшков А.Г. Аэрогидроупругость конструкций / А.Г. Горшков, В.И. Морозов, А.Т. Пономарев, Ф.Н. Шклярчук. М.: Физматлит, 2000. 591 с.
7. Могилевич Л.И. Нелинейные волны в цилиндрических оболочках: солитоны, симметрии, эволюция / А.И. Землянухин, Л.И. Могилевич. Саратов: СГТУ, 1999. 132 с.
8. Блинков Ю.А. Генерация разностных схем для уравнения Бюргерса построением базисов Грёбнера / Ю.А. Блинков, В. В. Мозжилкин // Программирование. 2006. Т. 32, № 2. С. 71-74.
9. Gerdt V.P. Grobner bases and generation of difference schemes for partial differential equations / V.P. Gerdt, Yu.A. Blinkov, V.V. Mozzhilkin // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. 2006. Vol. 2. P. 26. http://www.emis.de/journals/SIGMA/2006/Paper051/index.html.
10. Gerdt V.P. Involution and difference schemes for the Navier-Stokes equations / V.P. Gerdt, Yu.A. Blinkov // In Computer Algebra in Scientific Computing, volume 5743 of Lecture Notes in Computer Science, pages 94-105. Springer Berlin / Heidelberg, 2009.
11. Могилевич Л.И. Нелинейные волны деформаций в упругих цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость / Л.И. Могилевич, A^. Блинкова, С.В. Иванов // Магистраль: межвуз. сб. науч. статей. Вып. 3. Саратов: Изд. центр «Наука», 2011. С. 3-11.
Иванов Сергей Викторович -
аспирант кафедры «Теплогазоснабжение, вентиляция, водообеспечение и прикладная гидрогазодинамика» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Могилевич Лев Ильич -
доктор технических наук, профессор кафедры «Теплогазоснабжение, вентиляция, водообеспечение и прикладная гидрогазодинамика» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Попов Виктор Сергеевич -
доктор технических наук, заведующий кафедрой «Теплогазоснабжение, вентиляция,
Sergey V. Ivanov -
Postgraduate
Department of Heat, Gas & Water Supply, Ventilation, and Applied Hydrogasdynamics,
Yu. Gagarin Saratov State Technical University
Lev I. Mogilevich -
Dr. Sc., Professor
Department of Heat, Gas & Water Supply, Ventilation, and Applied Hydrogasdynamics,
Yu. Saratov State Technical University
Viktor S. Popov -
Dr. Sc., Head: Department of Heat, Gas & Water Supply, Ventilation,
водообеспечение и прикладная and Applied Hydrogasdynamics,
гидрогазодинамика» Саратовского Yu. Gagarin Saratov State Technical University
государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Статья поступила в редакцию 24.10.11, принята к опубликованию 15.11.11
