Обратная задача растяжения изотропной пластинки с подкрепленным и свободным отверстиями Текст научной статьи по специальности «Физика»

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента (проект МД-1025.2012.8).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Нелинейные волны в цилиндрических оболочках: еолитоны, симметрии, эволюция, Саратов : Сарат, гос. техн. ун-т, 1999, 132 с,

2.Аршинов Г. А.,Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Двумерные уединенные волны в нелинейной вязкоупругой деформируемой среде // РАН, Акустический журнал, 2000. Т. 46, № 1. С. 116-117

3.Аршинов Г. А., Могилевич Л. И. Статические и динамические задачи вязко-упругоети, Саратов : Сарат, гос. агр, ун-т, 2000, 152 с

4, Москвитин В. В. Сопротивление вызко-упругих материалов, М, : Наука, 1972, 328 с.

УДК 539.3

Г. М. Иванов

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА РАСТЯЖЕНИЯ ИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНКИ С ПОДКРЕПЛЕННЫМ И СВОБОДНЫМ

ОТВЕРСТИЯМИ

В статьях [1-4] разработаны приближенные методы решения обратных задач плоской теории упругости и изгиба тонких изотропных плит для многосвязных областей с неизвестной границей. В данной статье приводится решение задачи по определению равнопрочных контуров двух отверстий в растягиваемой изотропной пластинке при условии, что одно из них подкреплено жестким кольцом, а другое свободно от внешних усилий.

Рассмотрим всестороннее растяжение усилиями р тонкой изотропной пластинки, ослабленной двумя криволинейными отверстиями, причем размер одного из них значительно превышает размер другого. На первом равнопрочном контуре, подкрепленным жестким кольцом, должны выполняться граничные условия

аг = Р; ав = УР ; тге = 0, (1)

а на втором равнопрочном контуре, свободном от внешних усилий, — условия:

аг = 0; ае = Q; т-е = 0. (2)

Здесь V — коэффициент Пуассона, Р, Q — постоянные подлежащие определению.

Пусть формы искомых контуров Ь\ ж Ь2 определяются отображающими функциями

г = (С1), ^ = Я^Й) + I, (3)

где I — расстояние между центрами отверстий, а Я2 > Я1.

Граничные условия (1) и (2) на равнопрочных контурах Ьк(к = 1, 2) можно представить в виде

ЯвФ(гк) = А; (4)

а2 ш'к (а)(ГкФ' (1к) + Ф(*к)) = Вк ш'к (а). (5)

Здесь

А = Р(1+ V)/4; В1 = -Р(1 - V)/2; А = Я/4; В2 = Я/2. (6) Комплексные потенциалы имеют представления [2]

Ф(г )= р/2; Ф(г) = Ф1(г) + Ф2(г). (7)

Каждая функция Фк(г), характеризующая возмущение напряженного состояния возле соответствующего отверстия, является голоморфной вне его контура и имеет па бесконечности порядок 0(1/г2).

Из граничных условий (5) находим величины, определяющие постоянные напряжения в точках каждого из равнопрочных контуров:

2 2V

От = Р = ——р; ае = vP = ——р; Тгв = Она Ь^ (8) 1 + V 1 + V

ат = О; ае = Я = 2р; тте = О на Ь2. (9)

Для оставшихся неопределенными функций выберем представления

то то ,

(С* ) = с* + £ 7?; Фк (г) = ФкССк ) = £ ^ ■ (Ю)

п=1 п=2

При удовлетворении граничного условия на контуре большего отверстия пренебрежем возмущением напряженного состояния, вызванного наличием малого отверстия, полагая Ф1 (£2) = О. Это позволяет достаточно просто найти функции

В #2

<*(С2) = С2; Ф2(г) = ■ (11)

Следовательно, больший равнопрочный контур, свободный от внешних усилий, является окружностью.

Рассмотрим граничное условие на меньшем подкрепленном равнопрочном контурею. Вблизи этого контура представим функцию Ф2(г) разложением по малому параметру е1 = Я1/1. С точностью до квадрата этого параметра имеем

Ф2(*1) = В2^2(1 + 2^1 (а) + 3ф2(а) + ...). (12)

Здесь отношение е2 = Я2/\ также является малым (меньшим 1). Функцию Ф2(г) будем считать определенной вторым выражением (12). Используя приближенное представление (13), из граничного условия на меньшем равнопрочном контуре методов рядов для функции, определяющей форму этого контура, найдем следующее приближенное представление:

( \ I mi1 I mi2 _L mi3 (ЛЪ\

^Ца) = а +---1--у +--3-. (13)

а а2 а3

Здесь

£2 21 + v 2 21 + v

mii = Тл—wTi~~i—Ä—^^; mi2 = —; mi3 = —. (14 (1 — v )/(1 + v) — 3^2 1 — v 1 — v

Следовательно, форма подкрепленного равнопрочного контура от относительных размеров отверстий и расстояния между ними, так и от механических свойств материала пластинки.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Иванов Г. Л/.. Космодамианский А. С. Определение формы равнопрочных отверстий в тонких изотропных плитах // Докл. АН УССР. Сер. «А». 1973, JVS 7, С. 634-636.

2. Иванов Г. Л/.. Космодамианский А. С. Определение формы равнопрочных контуров отверстий, подкрепленных жесткими кольцами // Докл. АН УССР. Сер. «А». 1973. № 10. С. 913-919.

3. Иванов Г. Л/.. Космодамианский А. С. Обратные задачи изгиба тонких изотропных плит // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1974, 5. С. 53-56.

4. Иванов Г. М. Обратная задача изгиба изотропной плиты с подкрепленным и свободным отверстиями // Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела : материалы IV Междунар, науч. конф,, поев, памяти акад. HAH Украины А. С. Космодамианского. Донецк: ООО «Юго-Воеток, Лтд», 2006. С. 61-63.