CC BY
16
Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы.
Прогиб достигает наибольшего значения в точках внешнего контура
, а максимальный изгибающий момент может возникнуть как на внутреннем краю, так и на любом контуре спая. Так, для просчитанных нами вариантов, в случаях П и V максимальным оказался изгибающий момент
на контуре спая ; в случаях I, III, IV - изгибающий момент Мд3' на внутреннем контуре Ь\3). Величина же его зависит кроме этого и от ширины составляющих колец. Так, например, в круглой плите (а® = 5, 42) = 3, 43) = 1, а{3) = 0.25) для случая V - Мтах = 2.56 • т, если же в этой плите уменьшить а® до 4 , то Мтях =3.39 -т.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки. М.: Гостехиздат, 1957.
2. Копнина В. И. Чистый изгиб составной анизотропной плиты // Механика деформируемых сред. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1985. Вып. 9. С. 45 - 53.
3. Копнина В. И., Меглинский В. В. Квазирегулярность бесконечной системы в задаче об изгибе составной анизотропной плиты // Механика деформируемых сред Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1974. Вып. 1. С. 57 - 64.
УДК 539.3:534:532.5
Л. И. Могилевич
НЕЛИНЕЙНЫЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ПРОДОЛЬНЫЕ ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКЕ
Рассмотрим цилиндрическую оболочку для модели Кирхгофа-Лява, усиленную в двух направлениях взаимно перпендикулярными ребрами, расположенными симметрично по обе стороны срединной поверхности. Считая материал обшивки нелинейно упругим, примем для него кубическую зависимость интенсивности напряжений от интенсивности деформаций [1]
сг, = Ее1 - те] (¡ = х,у), (1)
где Е - модуль Юнга; т - константа материала, определяемая из опытов на растяжение и сжатие; сг - интенсивность напряжений; е,- интенсивность деформаций.
Будем считать, что ребра обладают жесткостью только в отношении изгиба в их плоскостях. Это позволяет в соответствии с методом конструктивной анизотропии записать формулы, связывающие моменты с деформациями, в виде
м.
=^[л (*, + л*,)];", = Т~2"[71 (*, - = = {х* + Я*,)] - = + " (2)
2(1 +у") -"„е,
При этом связи между деформациями и перемещениями имеют стандартный вид
ди дУ IV ди дУ
£х " дх '£у ~ ду
у 'ду ' дх'
дУ_
32Ж ду
д21¥
дУ
>ЛЛЛ' т
(3)
дх* 'лу я ' ду2 ,Лзу 2Я дхду' Здесь и, У, \У - перемещения срединной поверхности вдоль осей х, у и по нормали; Ех,Ег - модули Юнга материалов, из которых изготовлены ребра, параллельные у и х; - моменты инерции сечений этих ребер относительно линий, проходящих через их центры тяжести; с1^с12 - расстояния между ребрами в направлении у их; И - толщина обшивки оболочки; /л -коэффициент Пуассона.
Уравнения движения, записанные в усилиях и моментах, имеют следующий вид:
дЫх ^дТ у д2Ц. дЫу дТ _у нд2У. дх ду g дг2 ду дх g дг2 '
д2Мг
дх2 +2
д2Н
д2му 1 диу д
---У. +---У-+-
ду2 К ду дх
у . д2\У -Л-
дх ду
ду
дх ду
(4)
дхду g 6Г2
здесь у - удельный вес обшивки; g - ускорение свободного падения. Подставляя (1) - (3) в (4), получим уравнения движения в перемещениях Переход к безразмерным переменным (в этих уравнениях)
I
I
у(1-м2)Г
(5)
где А - амплитудный параметр возмущения, / - характерная длина волны, позволяет выявить четыре малых параметра подобия
характеризующих собственно нелинейность волнового процесса, его дисперсию, тонкостенность оболочки и слабую угловую расходимость квазиплоской волны.
Рассмотрим случай, когда
Примехгяя метод возмущений, представим решение в виде
= х* - с?,т = еУ ,т] = е2у ,и* =и0 + +..., IV' = + еЩ + ...У = е(У0 +еУ1 +...) . Учтем осевую симметрию задачи и потребуем выполнения условия
(7)
У,/? _
М,/4
В нулевом приближении получим
(8)
(9)
В следующем приближении будем иметь для компоненты продольной де-
ди0
формации Ф =
эф
дт
а?
1
Э3Ф 35Ф -+ со—г = 0.
д?
(10)
Полученное уравнение (10) ранее в литературе по теории солитонов и в приложениях не упоминалось.
Уравнение (10) имеет точное решение солитонного типа
л/10 асо 5
1 П}е 2 Гр*
-лГЧ +-л —Т т
2\<о 25 V со
\ у
что при переходе к размерным переменным определят скорость волны
^ = Т •
\Её
ЛИТЕРАТУРА
1. Землянухин А. И., Могилевич Л. И Нелинейные волны деформаций в цилиндрических оболочках // Изв. вузов. Сер. Прикладная нелинейная динамика. 1995. Т. 3. № 1. С. 52-58.
УДК 629
А. В. Молоденков, Я. Г. Сапунков
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ИМПУЛЬСНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО РАЗВОРОТА КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА*
Рассматривается задача оптимального разворота сферически симметричного космического аппарата (КА) с ограниченной и импульсной тягой при произвольных граничных условиях по угловому положению и угловой скорости в кватернионной постановке. Функционал, определяющий качество переходного процесса, объединяет два критерия: время и интегральную величину импульсов тяги, затраченных на процесс управления. Постановка задачи имеет вид
2А = А_ою, (1)
ш = М, (2)
(3)
Л(0) = Ло, й(0 ) = ш0> (4)
Л(Т) = Лт, ш(Т) = аГх, (5)
_ з
где Л(Г) = А,0(0 + ' кватернион, описывающий угловое положе-
к=1
з
ние КА, ю(?)= ^G>k(t)ik - вектор угловой скорости КА - являются пере-ы\
менными состояния; M(t) - [Ml(f),M2(t),M3(?)]7 - вектор управляющего момента. Функции A(i), oa(i), Af(f) подчинены требованиям задачи Пон-трягинского типа; о означает кватернионное произведение. Требуется определить оптимальное управление Мот системой (1), (2) при ограничении на модуль управления (3), доставляющее минимум функционалу
г
/ = /(а1 + а2|АфйГ, о
* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 99-01-00192.
