CC BY
10
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АНИЗОТРОПНОЙ ПОЛОСЫ ИЖЕСТКОГО ОСНОВАНИЯ
С.Г. КУДРЯВЦЕВ, канд. техн. наук, доцент Ю.М. БУЛДАКОВА, аспирант
Марийский государственный технический университет, 424000, г. Йошкар-Ола, пл. Ленина, дом 3.
Приводятся результаты анализа напряженного состояния в анизотропной полосе при смешанных граничных условиях. Решение задачи проводится операторным методом в сочетании с интегральным преобразованием Фурье.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: полоса, перемещения, напряжения, анизотропия.
Задача о распределении напряжений и перемещений в упругой однородной анизотропной полосе постоянной высоты h, при действии уравновешенных нагрузок и малых деформациях, решалась в ряде работ, например [1].
Рассмотрим полосу из ортотропного материала бесконечной длины. Направления осей ортотропии совпадают с координатными осями. Направим ось х вдоль нижней плоскости полосы, ось у -перпендикулярно к границе. Положительные направления нормальных ох, оу и касательного тху напряжений, перемещений и и и, совпадают с обозначениями [2].
Исходя из дифференциальных уравнений равновесия, кинематических соотношений Коши, обобщенного закона Гука получим разрешающие уравнения относительно перемещений:
+ sf —— —— + s2 —— и = 0,
'а2
f а2
8x¿
ay
8xz
ay
+ si
8
2 V a 2
8x2
8y2
- + S22
8
2 ^
(1)
8x2
v- 0,
где
s 2 2Pi2 +P66 si,2 - ■
2Pi
1
^2Pi2 +P 6^2 2Pll
P22 Pl1
В случае обобщенного плоского напряженного состояния Py=a¿/, для плоской деформации eiJ=aiJ-ai3aj3/a33, где a¡j - коэффициенты деформации. Доказано [2], что коэффициенты s1, s2 не могут быть чисто мнимыми числами. Возможны следующие три варианта: а) s1^s2; б) s1=s2=s; в) s1, s2 - комплексные числа.
Используя операторный метод [3], проинтегрируем уравнения (1), например, для варианта s1^s2, тогда
u - cos si y8 ■ Ci (x) + sin si y8 ■ C2 (x) + cos s2 y8 ■ C3 (x) + sin s2 y8 ■ C4 (x),
v - cos siy8 ■ Bi (x) + sin siy8 ■ B2 (x) + cos s2y8 ■ B3 (x) + sin s2y8 ■ B4 (x),
(2)
где Сг(х), В(х)- произвольные функции интегрирования, а производная по х обозначена через д(д=д/дх).
Точки в (2) и последующих выражениях отделяют дифференциальные операторы от функций, к которым они применяются.
Функции перемещений при интегрировании уравнений (1) для двух других вариантов параметров s1,s2 записываются в аналогичной форме.
Обозначим на нижней плоскости полосы функции перемещений
i
и(х,у=0)=и0(х), и(х,у=0)=и0(х), функции напряжений оу(х,у=0)=^0(х), тху(х,у=0)=т0(х). Используя указанные обозначения, определим произвольные функции интегрирования и составим выражения для перемещений:
ци
= cos si уд - ц2 cos S2 уд) •
иЛ +
f ц1 ■ ц2 • О
— sin sj уд--sin S2 уд
s1
s2
+
+ ц1ц 2 (cos si уд-cos S2 уд)-1 qo +
д
f.. 2
цг • ц2 •
— sin si уд--sin S2 уд
s1 s2
\
11o,(3)
д
ци = (s^ 2 sin si уд - s2Mi sin s2 уд)- uo + (ц 2 cos si уд - Ц1 cos s2 уд) - и o -{gip?2 sin si уд-s2H-i sin s2 уд)-i qo + ^1^2 (cos si уд-cos s2 уд)-1 т
д
и напряжении:
цст x = (s2 cos si уд - s\ cos s2 уд)-диС1 - (si sin si уд - s2 sin s2 уд) - ди o -(s i2 ц 2 cos si уд-s^i cos s2 уд)-qo -(s^i sin si уд-S2Ц2 sin s2 уд)-тс>,
f i i
=-(cos si уд-cos s2 yд)-дuo + — sin si уд--sin s2 уд -диo + (4)
l si s2 ) f,,. ^
Xo,
Л
+ (ц 2 cos si уд-ц1 cos S2yд)-qo + — sin si уд- — sin S2yд
l s1 s2
цх ^ = -(si sin si уд- s2 sin s2 уд) - дuo - (cos si уд- cos s2 уд) - дvo + + (s^ 2 sin si уд-s2^ sin s 2 уд) - qo - (ц1 cos si уд-ц2 cos s 2уд)-xo
где
ц1 =1
2 2 i 2 2 i P12 -Pii - s1 , ц 2 =Pi2 -Pii - s2 , ц = ц2 -ц1 =Pii - \S1 - s2 ).
На каждой из двух плоскостей полосы могут быть заданы или поверхностные нагрузки, или перемещения, или одна составляющая напряжения и одна проекция перемещения. Данных условий достаточно для определения функций перемещений и0(х), и0(х)и напряжений q0(x), т0(х).
Выражения для перемещений и напряжений в полосе из изотропного материала [4] получим, принимая в уравнениях (3) и (4) значения^;=52=1.
Определим, используя уравнения (3) и (4), напряжения и перемещения в полосе, скрепленной с жестким основанием.
Пусть на верхней плоскости полосы действуют поверхностные нагрузки
q(x) и т(х).Считаем, что интегралы х)|dx и х)|dx ограничены. Пола-
гая в выражениях (4) для оу и тху значение у=Ь функции и0(х)=и0(х)=0, получим систему двух уравнений относительно неизвестных q0(x) и т0(х). Выполнив преобразования, найдем
qo(x) =
2ms2
D
(ц1 coss^-ц2 coss2hд)-q(x) + — sins^д-^2-sins2hд
s1
s2
x(x)
xo(x) = ^^У2 [(s^2 sinsih3-S2Цl sinS2hд)-q(x)+(ц2 coss\кд-ц1 cosS2hcд)-х(x)\
где 30
o
D = 4|i|2sis2 +(si - S2 )(si|2 - s2|2 )cos(si + S2 )hd -
"(si + S2)(sil2 + S2^2)cos(si -S2)hô.
Предполагаем, что существуют интегральные преобразования Фурье от функций q(x) и т(х). Разделим функции q(x), т(х)на симметричные qs(x), rs(x) и кососимметричные qa(x), Ta(x) составляющие [5]. Тогда
q(x) = ^L (y)+ iqa (y)]• е-ikxdy, V2^ -œ
Xx (x) = -L J [y )+ i~a )]• е-iXxd~, v2^
(6)
где
~s (~ )=~т^ I qs (х)ш5(~х]йХ, (к)=-^ | ^ (х)8Ш (кх)йХ, V2" V2"
~ (~)= |х5 (х)ео8(^х)йХ, ~а (~)= |ха (x)sin(~х)йХ,
V2" л/2"
X - любое положительное вещественное число.
Подставим соотношения(5),(6) в выражения (3) и (4). Воздействуем дифференциальными операторами на функции д(х), т(х) и, учитывая, что перемещения и напряжения являются действительными величинами, получим формулы для определения перемещений и напряжений.
Рассмотрим случай, когда на верхней плоскости в сечении х=0 действует сила перпендикулярно границе. Сила равномерно распределена вдоль прямой параллельной оси г, а ее интенсивность равна При симметричной нагрузке #а(х)=0. Трансформанта Фурье от сосредоточенной силы
1 J ~ F
k)= _ J ô(x)(-F)cos kxdx = —-=, (7)
здесь S(x) - дельта-функция Дирака.
Используя выражения (4), (5), (6) и (7), найдем
= J (s)(s2-s2^ichs2Ày)-A2(s)(si^ishsiÀy -s2i2shs2ky) COs(^x)dÀ,.
0
J
a
y =-J
0
Ai (s)(|^2chsiA~ - ^ichs2^y) - A2(s) — shsiXy - — shs^ky
\ si s2
D
coSk?) _ Л dk, (8) D
j
y
=J
"xy
0
где
Ai(s)(sii2 shsiky - s2iishs2ky )-A2(s)(|ichsiky -|2chs2ky )]-
av%h y a y%h y Xxy%h
y _x..„ y y y ^xy'"1 y x y y
a x =-, a y =-, хэт; =-, x = —, y = —, k = kh,
x F y F x F h h
Ai(s) = lichsik -12°hs2k, A2(s) = sii2shsik - s2iishs2k,
D = -
2s1s2
+ - S2)(Slц2 - S2Ц2)cA(Sl + S2)l - (Sl + £2)(£1Н-2 + S2Цl2)cA(Sl - S2)l
Формулы (8) при 5;=52=1 совпадают с выражениями напряжений, приведенными в [6] для полосы из изотропного материала.
На рисунках 1 и 2 представлены результаты численного расчета изменения безразмерного параметра напряжения о у в зависимости от характеристик материала и величины у . Количественная и качественная картина показана для полосы в условиях обобщенного плоского напряженного состояния (ширина полосы 6 = 1). Кривая 1 соответствует изотропному материалу (коэффициент Пуассона у=0,25). Кривые 2 и 3 построены для слоистого стеклопластика ортогонального армирования при значениях упругих постоянных Е;=3,68^104МПа, Е2=2,68^104МПа, С;2=5-103МПа, у;=0,105приведенных в [2]. Цифрой 2 отмечены кривые, когда наибольшее значение модуля упругости направлено по оси х, цифрой 3 - по у.
-3,0 0,0■
-2,0
-1,0
0,0
1.0
2,0
3.0
-1,0
■2,0 -3,0
У
-4,0 -5,0 -6,0 -7,0
V-\ч\ ' '/ .У/ 7/
\ч V" к V. /<
V ,1/
л А
4 V / * 1г Ь
¥
■М
Рис. 1. Изменение параметра напряжения о у по длине полосы (у =0,5)
-3,0 0,0 ■
-1,0
-2,0 У
-3,0 -4,0 -5,0
-2,0
-1.0
0.0
1.0
2,0
3,0
N. Ч'. X Ч • X V. ''У'
\ V XV- V ,7/ у
--- / Г
'.V *, V • V /к
\1
Рис. 2. Изменение параметра напряжения о у по длине полосы (у =0)
Видно, что значения а у для стеклопластика в сеченииу =0 больше, чем
для изотропного материала. Зона распространения Оу по длине полосы для
стеклопластика меньше. С увеличением параметра у величина а у при у =0
возрастает для обоих материалов, а область распространения по оси х уменьша-32
1
ется. Из сравнения кривых 2 и 3 следует, что значения параметра о у получаются меньше, если направление наибольшего значения модуля упругости перпендикулярно приложенной к полосе нагрузке.
На рисунке 3, в увеличенном масштабе, показан график изменения параметра напряжения о у при ~ =0,5. При значениях, указанных на рисунке, параметр о у =0, а далее сжатие сменяется растяжением.
0.1 0,0 '-0,1 -0,2
х = 0.987 \ 1,0 2,0
3 У'/ \ ** ' / / \х = 1.164
/ \ / / 2 * /
3,0 х
Рис. 3. Изменение параметра напряжения о у по длине полосы (у =0,5)
Графики изменения параметра напряжения о х по высоте полосы и разных значениях ~ представлены на рис. 4. При ~ =1 в области, примыкающей к линии действия силы, параметр °х имеет отрицательные значения, которые, при определенном значении ~, меняются на положительные. Для изотропного материала (кривая 1) параметр °х = 0 при значении ~ = 0,278 .Параметр <гх для анизотропного материала (кривые 2 и 3) принимает на верхней плоскости полосы значения равные нулю при~ = 0,268 и~ = 0,263, соответственно.
1.0 0,9 0,8 0.7 0,6 У 0,5 0,4 0.3 0.2 0,1 0,0
-2 О
2-2 0
4-2 0
3 г
1 ЛЛ
—' V;
1
I ]
! )
/ ■
II
4 \ * 1
Д'
• 1
Ь 1«
! 1 >
1 г <
1 ! )
I 1 >
Я
2
\3
1
1
и 2 /
1
= 0,1
0,25
= 0,5
Рис.4. Изменение параметра напряжения ох по высоте полосы и разных значениях параметра х
На рисунках 5 ибпоказаны результаты расчета изменения параметра касательного напряжения хху по длине полосы. Нумерация кривых соответствует обозначениям на предыдущих графиках. Сравнивая кривые, заключаем, что значения параметра тду и область его распространения по оси х для стеклопла-
стика меньше, чем у изотропного материала. Максимальное значение т^ для стеклопластика смещается к линии приложения силы.
-2,0 -1,6 -1,2 -0,8 -0,4 0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 1,2 Г
0,8 0,4
?ху0,0-
-0.4 -0,8 -1.2 :
N I
- Ч^ V \
3 г~
< > V *
Рис. 5. Изменение параметра напряжения тху по длине полосы (у =0,5)
X
-2,0 -1,6 -1,2 -0,8 -0,4 0.0 0.4 0.8 1,2 1,6 2,0
0,8 0,4
?хУ0,0
-0,4
1
3 г~ —
Рис. 6. Изменение параметра напряжения тху по длине полосы (у =0)
Графики изменения параметра касательного напряжения тху по высоте полосы и разных значениях~ представлены на рисунке 7.
1.0 0,9 0,8 0,7 0,6 У 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0
ьху
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 0,0 0,5 1,0 1.5 2,0 2,5 -0,5 0,0 0,5 1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0
2
и :: / ,
1' / 1
> / г /
1 >!
1 1
!
2
А/ •
' /
// /
Г
:'! /
» / г/
I г
1 1 г !
1 <
2
-
¡и
/21
>1 :
х = 0,1
* = 0,5
л: = 1
х = 0,25
Рис. 7. Изменение параметра напряжения тху по высоте полосы и разных
значениях параметра х
Используя предложенный метод, можно проанализировать характер напряженного и деформированного состояния при других вариантах поверхностной нагрузки. Например, на рисунках 8 и 9 представлен характер изменения параметров нормального о у и касательного тху напряжений по длине полосы
при ~y =0,5, когда в сечении x =0 приложена, в положительном направлении оси х, сосредоточенная сила Т, касательная к границе верхней плоскости. Графики построены в безразмерных параметрах:
х Gynh х тxynh ~ x х y
G y =-~-, T -n, =-—-, x = — y = — .
y T xy T h ' h
X
-3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 1,5
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0
-1,5
Рис. 8. Изменение параметра напряжения Gy по длине полосы (~ =0,5)
X
-5,0 -4.0 -3.0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4.0 5.0
1,5
1,0 ?ху0.5 0,0 -0,5
Рис. 9. Изменение параметра напряжения Txy по длине полосы (y =0,5)
Учитывая формулы [2], для преобразования упругих постоянных при повороте координатных осей, несложно получить решение при несовпадении осей ортотропии материала с выбранной системой координат.
Литература
1. Лехницкий, С.Г. К задаче об упругом равновесии анизотропной полосы // Прикладная математика и механика. - 1963. - вып. 1. - С. 142-149.
2. Лехницкий, С.Г. Теория упругости анизотропного тела / С.Г. Лехницкий. - М.: Наука, 1977. - 416 с.
3. Лурье, А.И. Теория упругости / А.И. Лурье. - М.: Наука, 1970. - 940 с.
4. Власов, В.З., Леонтьев Н.Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании / В.З. Власов, Н.Н. Леонтьев. - М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1960. - 492 с.
5. Новацкий, В. Теория упругости / В.Новацкий. - М.: изд-во «Мир», 1975. - 872 с.
6. Уфлянд, Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости / Я.С. Уфлянд. - М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1963. - 368 с.
INTERACTION OF ANISOTROPICBAND AND RIGID BASE
Kudryavtsev S.G., BuldakovaYu.M.
The results of the analysis of the stress state in an anisotropic band with mixed boundary conditions are given. Problem solution is carried out by an operational method in combination with the integral Fourier transform.
KEY WORDS: band, displacements, stresses, anisotropy.
/*\ 3
Л '* A / ' *
1 \1
