CC BY
13
16. Kozachek, V.G., Nechaev, N.V., Notenko, S.N., Rimshin, V.I., Roitman, A.G. (2007). Obsledovanie i Ispytanie Zdanii i Sooruzhenii, Moscow: Vysshaya shkola, 655 p.
17. Peresypkin, E.N. (1998). Raschet Sterzhnevykh Zhelezobetonnykh Elementov [Calculation of RC rod elements], Moscow: Stroiizdat, 168 p.
18. Shishkin, I.F. (1990). Metrologiya, Standartizatsiya i Upravlenie Kachestvom [Metrology, standardization and quality management], Moscow: Izd-vo standartov, 342 p.
19. Rzhanitsyn, A.R. (1978). Teoriya Rascheta Stroitel'nykh Konstruktsii na Nadezhnost' [Theory of structure calculation on reliability], Moscow: Stroiizdat, 239 p.
20. Utkin, V.S., Solov'ev, S.A., Kaberova, A.A. (2015). Znachenie urovnya sreza (riska) pri raschete nadezhnosti nesushchikh elementov vozmozhnostnym metodom, Stroitel'naya Mekhanika i Raschet Sooruzhenii [Structure mechanics and calculation of constructions], No. 6, pp. 63-67.
21. Zadeh, L.A. (1965). Fuzzy sets. Information and Control, Vol. 8, No 3, pp. 338-353.
22. Utkin, V.S., Solov'ev, S.A. (2015). Opredelenie nesushchei sposobnosti i nadezhnosti stal'noi balki na stadii ekspluatatsii s ispol'zovaniem teorii svidetel'stv Dempstera-Shefera [Calculation of bearing capacity and reliability of steel beam on the operation stage using evidence theory], Deformatsiya i RazrushenieMaterialov [Deformation and fracture of materials], No 7, pp. 10 - 15.
23. Zhang, Z., Jiang, C, Han, X., Dean, Hu., Yu, S. (2014). A response surface approach for structure reliability analysis using evidence theory, Advanced in Engineering Software, pp. 37-45.
24. Utkin, L.V. (2007). Analiz Riska i Prinyatie Reshenii pri Nepolnoi Informatsii [Risk analysis and decision making with incomplete information], Saint-Petersburg: Nauka, 404 p.
25. Utkin, V.S., Solov'ev, S.A. (2015). Opredelenie nadezhnosti i nesushchei sposobnosti elementov konstruktsii s ispol'zovaniem teorii svidetel'stv Dempstera-Shefera [Calculation of reliability and bearing capacity of structures using evidence theory]. Stroitel'naya Mekhanika i Raschet Sooruzhenii, No 5, pp. 38-45.
CALCULATION OF REINFORCED CONCRETE BEAM RELIABILITY ON
The article describes the methods of calculation of reinforced concrete beams reliability at operation stage by the concrete crack length criterion. The offered methods differ in the fullness of statistical data about controlling parameters in mathematical design model. The numerical examples of reliability calculation are given. The article also illustrates the application of evidence theory for evaluation of mathematical expected value of reliability in the presence of statistical information in the form of a subset of intervals.
Key words: reliability, reinforced concrete beams, crack length, fracture mechanics, evidence theory.
Теория упругости
НАПРЯЖЕННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ДВУХСЛОЙНОГО АНИЗОТРОПНОГО ОСНОВАНИЯ ПРИ ОТСУТСТВИИ ТРЕНИЯ МЕЖДУ СЛОЯМИ
С.Г. КУДРЯВЦЕВ, канд. техн. наук, доцент Ю.М. БУЛДАКОВА, зав. лабораторией
ФГБОУ ВПО «Поволжский государственный технологический университет» 424000, Республика Марий Эл, г. Йошкар-Ола, пл. Ленина, дом 3 KudryavcevSG@volgatech. net
Представлена методика определения перемещений и напряжений в двухслойном анизотропном основании при отсутствии трения между слоями под действием нормальной поверхностной нагрузки. Решение проводится на основе уравнений плоской задачи теории упругости. Представлены графики изменения напряжений в зависимости от характеристик материала слоев.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: перемещение, напряжение, полоса, упругая полуплоскость, анизотропия.
THE CRACK LENGTH CRITERION
V.S. Utkin, S.A. Solovyev
Vologda State University, Department of Civil Engineering
При возведении насыпей с последующим уплотнением слоев возникают отклонения в строении грунтовых массивов от модели изотропного тела. Поэтому задача об определении напряжений и перемещений под действием поверхностных нагрузок в двухслойном анизотропном упругом основании, когда верхний слой имеет конечную толщину, а нижний - бесконечно простирается по всем направлениям, представляет практический интерес. Для изотропного материала с разными характеристиками каждого слоя она рассматривалась во многих работах, например [1-3]. Теоретическое решение задачи о взаимодействии слоя и полупространства из трансверсально-изотропных материалов приведено в [4]. Вариант многослойного основания рассмотрен в [5].
Рассмотрим двухслойное основание (рис.1), которое состоит из полосы постоянной высоты h и полуплоскости, под действием нормальной поверхностной нагрузки q( х). Полагаем, что трение между слоями отсутствует. Материал слоев принимаем ортотропным, но с разными упругими характеристиками. Направления осей анизотропии в частном случае совпадают с координатными осями. Обозначим в полуплоскости перемещения, напряжения, коэффициенты, которые учитывают характеристики материала, чертой сверху.
Введем две системы координат с общим началом отсчета и осью абсцисс. Оси х и х направим вдоль линии контакта полосы и основания. Ось у -
Рис. 1. Схема взаимодействия полосы и упругой полуплоскости
перпендикулярно линии контакта вверх, у - вниз. Координатные оси х их совпадают, поэтому далее используем только координату х .
Для решения задачи выпишем из [6] уравнения для определения в произвольной точке полосы из ортотропного материала перемещений:
fJU
= -(u1 coss1yd-¡u2 coss2yd)u0 л—— (s2¡u1 sins1yd-s1u2 sins2yd)vo +
+ UiU2(coss1yd-cos s2yd) — qo л—— (s2u2 sins1yd-s1u2 sins2yd) — x0,
d s1s2 d
¡uu = (s1u2 sins1yd-s2u1 sins2yd¡)u0 + (u2 coss1yd-u1 coss2yd)u0 --(s1u^ sin s1yd-s2u—2 sin s2yd) — q0 + u1U2(coss1yd-cos s2yd)—
2~ To
d
и напряжении
¡u<Jx = (s—2 coss1yd-s2 coss2yd)du0 -(s— sin s1 yd-s2 sin s2yd)du0 -
-(sju2 coss2yd-s2u2 coss2yd)q0 -(s1u1 sins2yd-s2u2 sins2ydi)r0,
UG = -(coss2yd-coss2yd)dua л—— (s2 sins2yd-s2 sins2yd)dua +
(1)
+ (u2 coss1 yd-u1 coss2yd)q0 л—— (s2¡u1 sins1 yd-s1¡u2 sins2yd)r0.
s1s2
s1s2
UTxy =(sj sins1 уд-s2 sins2yd)duo -(coss1yd-coss2yд)дvo +
+ (su2 sin sjуд-s2u1 sin s2yd)qo -(u cos sjуд-¡u2 coss2уд)тo ,
где uo, vo, qo, xo - функции перемещений и поверхностных усилий на нижней плоскости полосы, которые зависят от переменной x . Производная по x обозначена через д(д / дх) . В уравнениях (1) и (2) введены обозначения:
s 2 = 2Д + Д66
О i о
2Д„ ]
fiPl2 + Д ^
2
66
Д
22
2Рп ) Р„
м = Рп - Ри52, ^2 = Рп - Ал2 , М = М2 - М.
Для плоского напряженного состояния Рц = ац , при плоской деформации Ру = ац - агзауз/ азз, где ац - коэффициенты деформации, связанные с техническими постоянными соотношениями [7].
Из работы [8] запишем уравнения для определения в полуплоскости из ор-тотропного материала перемещений
sv = 1 [s1s 2 (- U2 e уд + U1ey8)iqo + (s 1 U 2 e уд - s 2 Ue^ y8\o ]
д
su =-1 [(s 2Üe-s-Ü2 e+U - U2 e ^K ] и напряжений
s^x = -[^2fee-W-ste+(s?e-s22e], s"^y = [(*2e- ^e~52~уд\о + (e^ - e^K ], sr,y =[?1?2(e-e-^)fqo - fre-í2 e],
(3)
(4)
где л = 52 - 51.
В (3) и (4) обозначения 5, (/ = 1,2), (/ = 1,2) аналогичны ранее введенным коэффициентам , ; qo, та - функции поверхностных усилий на границе полуплоскости. Уравнения (1)-(4) записаны для варианта 51 Ф л2 и 51 Ф 52.
Обозначим контактное давление между слоями д0 = д0 (х) . При условии плотного контакта и отсутствии трения между слоями имеем
Оо (х, у = 0) = -йо (х, у = 0), т ху (х, у = 0) = Тху (х, у = 0) = 0. (5)
Нижний индекс "ноль" в обозначениях перемещений указывает, что они определены при у = у = 0. На верхней плоскости полосы:
Сту(х,у = к) = д(х), Тху(х,у = к) = 0. (6)
Полагая в (3) значение у = 0 , найдем
дй0 = 1 Щ0, дйа = - ^^ iq0 =-диа , (7)
5 5
где к = 52^1 - 51 М2 = 5(р12 + 5152р11 ) .
Подставим до0 в уравнения (2) и, учитывая условия (6), получим систему двух уравнений относительно неизвестных функций д0, ди0, откуда
8u0 = ^ 0 D
qo = 21 (s1 sin s^8 - s2 sin S2hд)q(x),
D . ^ л (8)
q( x),
(s1|o,2 sin s^8 - S2| sin S2hд) - i s1s2^ (cos Slhд - cos S2hд)
Строительная механика инженерных конструкций и сооружений, 2016, № 5
где D = - S2 ) sin(si + S2 )h8 + (si + S2 ) sin(si - S2 )h8\ +
4sis2 - (si + S2 )2 cos(si - S2 )hd + (si - S2 )2 cos(si + S2 )hd
+ i S1S2^
S1S2S
Используя (7) и (8), можно составить выражения 8uo , дйа , 8uo . Полагаем, что существует интегральное преобразование Фурье от функции q(x). Функцию q(x) разделим на симметричную qs (x) и кососимметричную qa (x) составляющие [9]. Тогда
ад
q(x) = -= f[qs (I) + iqa (I)\e~iXxdI,
л]2п
(9)
1 ад i ад
qs (I) = ^= J qs (x) cos(Ix)dx, qa (I) = -= J qa (x) sin(Ix)dx :
где — & ад....................
X - любое положительное вещественное число.
Подставим (9) в выражения qo, duo и 8uo , которые внесем в (1) и (2). Учитывая, что перемещения и напряжения - действительные величины, получим уравнения для вычисления перемещений и напряжений в точке полосы.
При определении функций перемещений и напряжений в полуплоскости найдем функции qo , duo , 8vo , используя (7)-(9), которые подставим в (3) и (4).
Порядок расчета покажем на примере. Пусть в сечении x = 0 перпендикулярно верхней плоскости полосы приложена сила интенсивностью (-F). Сила равномерно распределена вдоль оси перпендикулярной плоскости рисунка 1. При симметричной нагрузке qa (x) = 0 . Трансформанта Фурье
~ 1 ад ~ F qs (X) = -щ J 5(x)(-F) cos Xxdx = -^=, (10)
-ад
5( x) - дельта функция Дирака. Учитывая (7)-(10), найдем:
Я iF ад л 4cos I ,, _ s1 s2/u/uF ад sin
8u0 =---I ^1(I)—— d1, dVo =—— I A2(I)—— dl ■
mi D snh 0 D
VF f . , ncos Ix
"J A2 (I) D dI,
(11)
q° ' TTh JJ 2 v ' D
~ s s ¡Л
где I = Ih , x = x/h, A1(I) = (s1^2shs1I- sshs2I) + ——(chs1I- chs2I),
A2(I) = s1 shs1I - s 2 shs 2I, D = 1 {ju[(s1 - s 2 )sh(s2 + s 2 )I + (sj + s2 )sh(s2 - s 2 ~)I\-
s s 2 (s1 + s2 )2 ch(s1 - s 2 + (s1 - s 2 )2 ch(s1 + s 2 )i]| .
Подставим (11) в (1) и (2). После преобразований получим уравнения для определения в произвольной точке полосы перемещений
ю С
u = N (]i1chsiky - ^2chs2Xy)A1(X) -
(s2mshs1X~ - s1^2shs2Xy) + s1s2 s (12)
+ ЩЦ2 (chs{ky - chs^Xy)\A2(X)}
sin Xx dX pD X ,
s
ю
С
= - И (*1|2shs{ky - S2V■lshs2'ky)Al(X) -
0 ^
+
и напряжений
ю
+
(ущ2shs{ky - s2y.\shs2'ky^(Х^^^ ^
(s1shslXy - 2ХХУ) +
12
(13)
-П - s^2chs2'k}У)Al(k) - - S2shs2Хy)-
0 ^ ^ s
+ - s2v^lchs2Ky)]а2(Я)}С(^—ёХ,
Ю Г г— — —
уу = N (chslХу - ^2Ху)А^Х) -0 ^
+ (^2chslХУ - )]А2(Х)}С°^АХ ёХ,
Ю р _ _ -
т^ = - п shs1Ay - s 2 shs 2Лу)А1(Л) - 1 ^ (chs1^^ - ^ 2Лу) +
о I I- s
+ (*ъ2shs1 Лу - s2¡u1shs2Лу )]А2 (Я)} ^^ ёЛ,
у ил у ил у охлк у у у у
где и =-, и =-, ах =—— , ст =-, т = ——, у = — .
р ^ х Р у р х Р ^
Используя (3), (4), (7), (11), запишем функции для определения в полуплоскости перемещений
■ = -1 Г Ц2Ъе- S^2е)А2 (Л)^^ * 0 D Л
и = -^ Г(Д2е- ^е)А2 (Л)^^ * 0 D Л
и напряжений
ёт:х = ^ Г(*"е^ -*2е)ёЛ: * 0 D
(14)
*у =- Ъ Г (*2е^ -^е^)А2(Л)С(°Я ёЛ, (15)
у * 0 D
т ху =-^ ю (е^ - е ^ ^(Л)^ Л * 0 D
у и ж у ил у а х жк у а у жh - %ху ^ - у
где и = |Р' и = ' ах = -р-, ау = "р", V , у = 1.
Интегралы для параметров перемещений С , С при значениях у = у = 0 расходящиеся. При их вычислении используем прием, предложенный в [9].
Варьируя в (12)-(15) значениями коэффициентов , , |, |, можно провести анализ напряженного и деформированного состояния двухслойного основания при отсутствии трения между слоями в зависимости от упругих характеристик материалов полосы и полуплоскости.
Полагая в (13) *1 = *2 = 0, найдем функции напряжений в полосе из орто-тропного материала, лежащей без трения на жестком основании. Например,
ст
у = \ - сЛя- (ц- ЩсЛя)Й2(Х)]
ё'К.
(16)
где
В1 (Я) = 8у2 яЛЯ^Я- Я 2 у shs 2Я , В 2 (Я) = 81 shs1 А - 8 2 shs 2Я ,
В * = у ^ - Я 2 + 5 2 )Я + (51 + 52 - 5 2 )Я] .
Функции перемещений в полосе выведем аналогично из уравнений (12). Переход к варианту, когда материал полосы изотропный, покажем на примере параметра напряжения ст у. Слагаемые, входящие под знак интеграла в
(16), раскладываем в ряды. Рассмотрим первое слагаемое. Каждый сомножитель отдельно раскладываем в ряд. Тогда
сЛя 1я~ - сЛя 2Я~ =
(*? - 52 )
1 ^ (5 2"2
— + — (51 + 5 2
2! 4! 1 2
2,1 ( 4 , 2 2 , 4
¿Л
+ 6 5 + 81 5 2 + 5 2
+ ...
В, (Я) = 52 - 522 ^Я + -3! \рп ^ + 522 )- ^] \Р12(514 + + 524)-Р^(у2 + *22)]+ ..| ,
(17)
+ — |
В* = - 522)2 Я + А52 + )+ Я54 + 65Х2522 + 8*)+ ...
Сократим числитель и знаменатель на (я12 - 52 ) . Для плоского напряженного состояния Рц = 1/ Е , Р12 = -V / Е . Подставим значения технических постоянных в (17) и, учитывая, что для изотропного материала 81 = 82 = 1, ряды свернем. Выполнив преобразования со вторым слагаемым, получим
I 008 Я*
= 2
| [ЯууйЯу - скЯу(яЛЯ + ЯсйЯ)] 008** ёЯ
(18)
где В** = 2А, + 5Й2Х .
Функции перемещений и двух других напряжений несложно записать, используя предложенный подход. Из формулы (18) следует, что в полосе из изотропного материала при плоском напряженном состоянии и отсутствии трения между слоями напряжения не зависят от коэффициента Пуассона.
В таблице 1 для полосы из изотропного материала, лежащей на жестком основании, приведены значения ст у в сечении ~ = 0 в зависимости от величины параметра ~ и характера взаимодействия полосы и основания. Данные второй строки соответствуют варианту, когда полоса жестко скреплена с основанием [6], данные третьей - вычислены по формуле (18). Наибольшее отличие в значениях наблюдается в области контакта полосы с жестким основанием.
Таблица 1. Значения параметра сту1"* для изотропной полосы, лежащей на жестком основании, в зависимости от у
0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0
жесткое соединение 6,761 5,161 4,233 3,643 3,247 2,967 2,752 2,558
без трения 6,752 5,153 4,229 3,654 3,286 3,056 2,929 2,889
4
Функции напряжений в полуплоскости из ортотропного материала выведем из уравнений (15). Запишем, например, напряжение ох через размерные величины и полагаем к ^ 0. После преобразований, используя [10], найдем
- -V 2 Р
ГО ,
-1е -ХХ - -2 е --2Ху )адз ШХ = -
Р
-1-2 (-1 + -2)X2У
(19)
Л- У ' Л (- 12 У 2 + X ^ )(-2 У 2 + X2)
Формула (19) совпадает с приведенной в [7]. Принимая в (19) -1 = -2 = 1, имеем выражение напряжения ох в полуплоскости из изотропного материала [9]. Формулы для напряжений ох , хху получим аналогично.
Функции перемещений в полуплоскости из ортотропного материала найдем из уравнений (14), в которых полагаем к ^ 0. Тогда
и =-Р [(-2М\е -1Ху - -1^2е
7Я
1(
1т Хх^Х, ' Х
V =
л
а2е - Ц1е
-*2ХУ Хх^Х.
Х
(20)
Интеграл для вычисления и при значении у = 0 расходящийся. После интегрирования уравнений (20), используя [10], получим формулы, которые приведены в [8].
Функции перемещений, напряжений в полосе и основании при других сочетаниях между упругими характеристиками материала слоев: материал полосы изотропный, основания анизотропный; материал полосы анизотропный, основания изотропный; материал каждого слоя изотропный, но с разными упругими характеристиками; найдем, используя уравнения (12)-(15) и зависимости между коэффициентами деформации и техническими постоянными [7].
Численные расчеты проведены для основания, слои которого состоят из разных изотропных материалов, в условиях плоского напряженного состояния.
Коэффициент Пуассона материала слоев у = 0,25. Коэффициент а = Е/Е, где
Е - модуль упругости материала полосы, Е - полуплоскости.
На рис. 2-4 показаны графики распределения параметра напряжения
~У (оу) при отсутствии трения между полосой и основанием в зависимости от коэффициента а, значений ~, ~ (у). В таблицах приведены данные для ст (а у ) в сечении ~ = 0 . Значение а = 0 соответствует случаю, когда полоса
Щ о -1 -2 -3 -4
-------Л*--, 00 --------------
а 0 1 Ш 100 я
-4,229 -3,919 -3,433 -3.134
1. !
юЛ /ча=1
Рис. 2. Изменение параметра о у вдоль горизонтальной оси (~ = 0,5)
---------------- -Чо ч100
а 0 1 10 100 1
орт -2.889 -2,171 -1,109 •0.492
Рис. 3. Изменение параметра о у на линии контакта полосы и основания
-5
-3
а 1 10 100
-1,36 -0,872 -0,451
%0 -1 -2
Рис.4. Изменение параметра а у вдоль горизонтальной оси ( у = 1,0)
лежит без трения на жестком основании. Из сравнения кривых видно, что с увеличением модуля упругости материала верхнего слоя значения параметра сту (ст) уменьшаются, а область его распространения в направлении горизонтальной оси увеличивается. Максимальное отличие в значениях имеет место в области контакта полосы и основания.
На рис. 5 в увеличенном масштабе показаны эпюры изменения с у в полосе при у = 0,5 в зависимости от коэффициента а. Точками обозначены значения х, в которых происходит смена знака у параметра ст у .
о
ж 5
10
Щ а - О3 м- 1
/10
Лч|19 ,58 .... Моо ¿9,7
/ / . - '
25 12,5 о,' 0 -12,5 -25
Рис.5. Изменение параметра а у вдоль горизонтальной оси (у = 0,5)
В таблице 2 приведены данные расчета ст у (ст) в сечении у = 0 для двухслойного основания при разных значениях коэффициента а, параметров у (у) и характера взаимодействия между слоями. Данные для варианта жесткого соединения между слоями вычислены с использованием уравнений [8].
Таблица 2. Значения параметра (ст™* ) в зависимости от а, у (у), характера
взаимодействия между слоями
коэффициент а
жесткое соединение без трения
0 1 10 100 0 1 10 100
0,5 4,233 4,000 3,525 3,166 4,229 3,919 3,433 3,134
у 0,25 3,096 2,667 1,864 1,276 3,156 2,595 1,741 1,229
0,0 2,558 2,000 1,144 0,524 2,889 2,171 1,109 0,492
у 1,0 - 1,000 0,694 0,411 - 1,36 0,872 0,451
2,0 - 0,667 0,508 0,343 - 0,875 0,665 0,399
Характер изменения параметра напряжения Уу (х^у) от значений а, у (у)
при отсутствии трения между слоями показан на рис.6-7. При анализе графиков на рис.7 необходимо учитывать направление оси у. В таблицах приведены
максимальные значения у (т) и положение сечений, параметр х, в котором
они возникают. На рис.6 точками указаны сечения, в которых Уу меняет знак.
Характер изменения параметра напряжения а к в полосе на линии контакта
слоев показан на рис.8. Из анализа кривых видно, что значения ак в сечении
~ = 0 возрастают с увеличением коэффициента а. Точками обозначены сечения, в которых происходит смена знака у параметра 5х . Известно [11], что при отсутствии касательных усилий на границе полуплоскости нормальные напряжения 5х и 5у на границе равны. Поэтому графики изменения параметра 5х в основании при у = 0 совпадают с графиками на рис. 3.
-5
3
2 1
-4
-3
-2
%пР
а 0 1 10 100
т шах 1 1,085 1,328 1,763 2,082
1*1 0,26 0,29 0,35 0,40
Рис. 6. Изменение параметра 1ху вдоль горизонтальной оси (~ = 0,5) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Рис. 7. Изменение параметра хХу вдоль горизонтальной оси (у = 1,0)
-20 18
-16
-12
-4
12
16
20
а 0 1 10 100
о™х 0.781 2.46 7.222 17.431
Рис.8. Изменение параметра 5х в полосе на линии контакта слоев
Формулы (12)-(15) после преобразований можно использовать и для определения перемещений и напряжений в двухслойном основании под действием распределенной поверхностной нормальной нагрузки. Для этого в (12)-(15) полагаем F = 1 и заменяем переменную ~ на ~ - £ , где £ - безразмерная координата точки приложения силы. В результате получим функции влияния, которые позволят записать перемещения, напряжения в полосе и полуплоскости при нагружении двухслойного основания распределенной нормальной нагрузкой интенсивностью q(£) на участке конечной длины.
Л и т е р а т у р а
1. Шехтер, О.Я. Расчет бесконечной фундаментальной плиты, лежащей на упругом основании конечной и бесконечной мощности и нагруженной сосредоточенной силой/ О.Я. Шехтер // Сборник трудов научно-исследовательского сектора треста глубинных работ. - М.: Госстройиздат, 1939. - С. 133-139.
2. Раппопорт, Р.М. Задача Буссинеска для слоистого упругого полупространства/ Р. М. Раппопорт// Труды Ленинградского политехнического института. - Л., 1948, -№5. - С.3-18.
3. Коган, Б.И. Напряжения и деформации многослойных покрытий / Б.И. Коган // Труды ХАДИ. - Харьков, 1953, - вып. 14. - С.33-46.
4. Fabrikant, V.I. Tangential contact problem for a transversely isotropic elastic layer bonded to an elastic foundation / V.I. Fabrikant // Journal of Engineering Mathematics. -2011. - vol. 70, issue 4, Р.363-388.
5. Fabrikant, V.I Tangential contact problems for several transversely isotropic elastic layers bonded to an elastic foundation / V.I. Fabrikant // Journal of Engineering Mathematics. - 2013 - vol. 81, issue 1, Р.93-126.
6. Кудрявцев, С.Г. Взаимодействие анизотропной полосы и жесткого основания / С.Г. Кудрявцев, Ю.М. Булдакова // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2012. - №4. - С.29-35.
7. Лехницкий, С.Г. Анизотропные пластинки / С.Г. Лехницкий. - М.: Государственное изд-во технико-теоретической литературы, 1957. - 464 с.
8. Кудрявцев, С.Г. Напряженное и деформированное состояние двухслойного анизотропного основания / С.Г. Кудрявцев, Ю.М Булдакова // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2015. - №5. - С.9-20.
9. Новацкий, В. Теория упругости / В. Новацкий. - М.: Мир, 1975. - 872 с.
10. Двайт, Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы / Г.Б. Двайт. - М.: Наука. 1978. - 228 с.
11. Лурье, А.И. Теория упругости / А.И. Лурье. - М.: Наука, 1970. - 940 с.
R e f e r e n c e s
1. Shekhter, OJa. (1939). Calculation of infinite foundation slab, lying on the elasticity based on finite and infinite power and loaded with a concentrated force, Proceedings of the Scientific-Research Sector of the Trust Underlying Work, M.: Gosstroiizdat, p.133-139
2. Rappoport, R.M. (1948). The problem for the Boussinesq layered elastic half-space, Proceedings of the Leningrad Polytechnic Institute, L., №5,.p. 3-18.
3. Kogan, B.I. (1953). Stress and deformed multilayer coatings, Proceedings HADI, Kharkiv, Iss. 14, p. 33-46.
4. Fabrikant, V.I. (2011). Tangential contact problem for a transversely isotropic elastic layer bonded to an elastic foundation, Journal of Engineering Mathematics, Vol. 70, Iss. 4, p. 363-388.
5. Fabrikant, V.I (2013). Tangential contact problems for several transversely isotropic elastic layers bonded to an elastic foundation, Journal of Engineering Mathematics, Vol.81, Iss. 1, p. 93-126.
6. Kudryavtsev, S.G., Buldakova, Y.M. (2012). Interaction anisotropic layer and rigid base, Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, № 4, p.29-35.
7. Lehnitsky, S.G. (1957). Anisotropic Plate, M.: The GITTL, 464 p.
8. Kudryavtsev, S.G., Buldakova, Y.M. (2015). Stress and deformed state of the two-layer anisotropic base, Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, №5, p. 9-20.
9. Nowacki, V. (1975). Theory of Elasticity, M.: Mir, 872 p.
10. Dwight, G.B. (1978). Tables of Integrals and Other Mathematical Formulas, M.: Nauka, 228 p.
11. Lurie, A.I. (1970). Theory of Elasticity, M.: Nauka, 940 p.
STRESS AND DEFORMED STATE OF TWO-LAYERED ANISOTROPIC
FOUNDATION IN THE ABSENCE OF FRICTION BETWEEN THE LAYERS
KUDRYAVTSEV S.G., BULDAKOVA J.M.
The technique of determining displacements and stresses in anisotropic two-layer basis, in the absence of friction between the layers, under the influence of normal surface load is given. The solution is based on the equations of the plane problem of elasticity theory. The diagrams of change of stresses plotted on the characteristics of the material layers are presented.
KEYWORDS: displacement, stress, band, elastic half-plane, anisotropy.
