CC BY
23
to solve partial-Boolean linear programming problems, the use of CCCB to correct the estimates of the model parameters together with the minimization of the loss function corresponding to the least modulus method is associated with a linear programming problem.
Key words: regression model, criterion of consistency of behavior, calculated and actual values of the dependent variable, criteria of adequacy.
Noskov Sergey Ivanovich, doctor of technical sciences, professor, ser-gey.noskov.57@mail.ru, Russia, Irkutsk, Irkutsk State Railway University
УДК 620.17 DOI: 10.24412/2071-6168-2021-6-78-83
ВЫЯВЛЕНИЕ ОПАСНЫХ СБЛИЖЕНИЙ КОСМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ С ПРИМЕНЕНИЕМ АППАРАТА КВАТЕРНИОНОВ
Л.П.Зозуля, М.Ю. Булекбаева, П.С.Гончаров
Представлен методический подход оценивания расстояния между двумя космическими объектам на длительном интервале времени с применением математического аппарата кватернионов.
Ключевые слова: космический объект, кватернион, математическое моделирование, прогнозирование, линейное расстояние.
К настоящему времени сформировался ряд подходов выявления опасных сближений космических объектов (КО) в околоземном космическом пространстве (ОКП). Под потенциально опасным сближением понимается сближение двух КО на расстояние менее заданного с последующим возможным столкновением [1]. В данной статье предлагается методический подход к выявлению потенциально опасных сближений путем определения функции р(^) зависимости расстояния от времени между двумя КО. Определение данной функции осуществляется с применением математического аппарата кватернионов для КО, находящихся на произвольных орбитах. Определение такой функции вызвано необходимостью прогнозирования опасных сближений в ОКП.
Исходными данными для определения искомой функции р(^) являются:
- кеплеровские элементы двух КО - КОд и КОв ;
- гд и Гв радиус-векторы КОд и КОв ;
- моменты х д и Тв прохождения перигея.
На рис.1 представлены трассы двух космических объектов КОА иКОв, с соответствующими элементами орбит: КОд(^д, iА,юА ) и КОв (^В, ¡В, ®В ). Точки А1 и В1 являются подспутниковыми точками на сфере, с радиусом равным среднему радиусу Земли. М - подспутниковая точка встречи космических объектов КОд и КОв . Функцию р(() предлагается находить, используя скалярную часть кватерниона, который однозначным образом представлен дугой большого круга, длина которой определяется углом 9 . Введем векторы, направленные по радиус-векторам гд (() и Гв () КО и равные по величине земному радиусу:
- Г4 (() - направляющий вектор радиус-вектора гд (^);
- % () - направляющий вектор радиус-вектора ?в (^).
Рис. 1. Представление искомого кватерниона на сфере
Концы радиус-векторов (t)и r^ (t) точки и лежат на сфере, с радиусом равным среднему радиусу Земли, с центром в начале системы координат. За единицу измерения линейного расстояния принимается средний радиус Земли. Кватернион A\Bi(t) представлен дугой большого круга. Следовательно, кватернион ) - нор-
мированный:
AlBl(() = cos0(t) + OC • sin0(t). Произведение кватернионов определяет нормированный кватернион согласно [2]:
A1B1(t ) = OB1(t) ° OA1(t )-1, где OBi(() и OAi(t) - нормированные кватернионы с нулевой скалярной частью.
Следовательно:
A1B1(t) = -OB1(t )• OA1(t )-1 + OB1(t )x OA1(t )-1. где - OB1(t )• OA1(t )-1 = cos 0(t) - скалярная часть кватерниона A1B1(t); OB1(t)x OA1(t)-1 = OC • sin 0(t) - векторная часть кватерниона A^^í).
В связи с этим, плоскость кватерниона A^(t) определяется вектором OC. Сам кватернион определяется дугой большого круга. Дуга является скользящей, т.е. с произвольным началом отсчета.
OA = Щ; OB1 = М; OA 1(1 )-1 = -OAl(,)
ГА1 (( ) % (')
Используя скалярную часть кватерниона можно определить 0(() следующим образом:
0() = arccos(- ОБ1(г )• ОА1(г )-1). Для определения расстояния между двумя КО необходимо перейти к размерным единицам:
4(0=МО-гА (0; Гв (0=% (0-гв (t).
Радиус-векторы Га(() и Гв(t) меняются по направлению и по модулю. Через эксцентричную аномалию величины га (t) и гв (t) определяются по следующим формулам:
rA (t) = aA ■(1 - eA ■cos EA (t)); rB (t) = aB ■(1 - eB ■cos EB (t)). где a - большая полуось соответствующих орбит; e - эксцентриситет соответствующих орбит; Е - эксцентрическая аномалия.
Для нахождения cosE(t) используется трансцендентное уравнение Кеплера[3]:
E - e ■ sin E = M,
где М - средняя аномалия.
Значение средней аномалии определяется по следующей формуле:
m = J¥ ■((-т),
V a
где ^q - гравитационный параметр Земли; т - момент прохождения КОа через перигей.
При разложении в ряд Лагранжа приближенное выражение для cos E (t) с точностью до квадрата эксцентриситета имеет вид [3]
e 3 ■ e2
cos E(t) = cosM(t) + e ■ (cos 2M(t) -1) + —■ (cos 3M(t) - cosM(t)) +...
2 8
Окончательно в выражении для определения га (t) ограничимся первыми тремя членами разложения
í í e 3 ■ e 2 г (t ) = a 1 - e ■ cos M (t) + e ^(cos2M (t)-1) + ^^ ■(cos^^ (t)- cos M (t)) .
2 8
V V УУ
Расстояние между двумя космическими объектами определяется по теореме косинусов:
p(t) = Vга(t)2 + гв(t)2 -2 ■ га(t)■ rB(t)■ cos9 .
В качестве примера применения разработанного методического подхода приведены результаты моделирования сближения двух космических объектов. Моделирование проводилось при следующих условиях: - орбита КОа - эллиптическая;
- орбита КОв - круговая. Причем орбита КОв пересекает орбиту КОа в некоторой точке, положение которой определено радиус-вектором Га ^пересеч );
- положение КОв в точке пересечения орбит задается радиус-вектором
% ^пересеч ) = rA ^пересеч ).
Значения г а ^пересеч ), гв (tпересеч ) и их проекций на оси абсолютной геоцентрической экваториальной системы координат (АГЭСК) представлены в табл. 1.
Расчетные данные для определения проекций Га ^пересеч) и г ^пересеч) в точке пересечения орбит представлены в табл. 2.
Для проверки правильности p(t) предложен следующий подход: предлагается поместить КО в точки, положение которых определяются радиус-векторами Г)А и Г)в . Положение точек определено таким образом, что из этих начальных точек объекты КОа и КОв прибывают в точку пересечения орбит одновременно, следовательно p(t) = Q. Для расчета Г)А и Г)в необходимо определить начальные аргументы широты КОА и КОВ:
(
иА (г) = и0 А + ю КОА (() • (г - гпересеч ); ю КОА (г) =
иБ(г) = и0Б + аКОБ ((^ (г - гпересеч); ®КОБ (г) =
^0 •
ГА
1
аА
Л
ГА (()
ио_
ГВ (()
1пересе^ ^КОБ\Ч~ В (() '
где а КО (()- угловая скорость гА (г); аКОв (г) - угловая скорость гВ (г).
Начальные аргументы широты КО для определения проекций т^а и т^в приведены в табл.3.
Значения радиус-векторов и их проекций
Таблица 1
Наименование Значения (м)
ГА (гпересеч ) = ГВ (гпересеч ) 7,871 -106
ГАх (гпересеч ) = ^Вх (г пересеч ) - 3,4286413-106
ГАу (гпересеч ) = ГБу (гпересеч ) 2,0970281 406
ГА2 (гпересеч ) = ГБ2 (гпересеч ) 6,7675352 -106
2
Расчетные данные для определения проекций гА (гпересеч)
и г (гпересеч)
Таблица 2
Наименование Космический объект КОА Космический объект КОВ
и - аргумент широты КО в точке пересечения орбит (град) 85,4443924 66,20384
/ - наклонение орбит КО (град) 59,6019916 70
О - прямое восхождение восходящего узла орбит КО (град) 67,4978305 110,751
9 - истинная аномалия (град) -127,2911728 —
Время прохождения точки пересечения орбит объектами (гпересеч (с)) 2,0145754 103 2,0145754 103
Таблица 3
Начальные аргументы широты КО_
Наименование Космический объект КОА Космический объект КОВ
и0 - аргумент широты КО в точке пересечения орбит (град) 95,0949944 76,5642399
г0 х (м) 3,9006947 106 -1,2932216 106
г0 у (м) 3,0078997 106 6,9559314 -106
Г0z (м) -4,1805808106 - 3,4489474 •Ю6
График зависимости расстояния от времени, вычисленный по формуле для определения р((), представлен на рис 2.
На графике представлена зависимость р^), из которой следует, что при t пересеч расстояние р(пересеч) = 0. В момент прохождения перигея КОд время т = 0.
2-107
1,51с7
1107
5 -106
p(t )(м )
/(сек )
1104
2 -104
3 104
Рис. 2. График зависимости расстояния между КО от времени
Таким образом, предлагаемый методический подход позволяет выполнять прогнозирование линейного расстояния, определяемого по прямой линии, между двумя космическими объектами на длительном интервале времени. Получаемая в результате использования предлагаемого методического подхода зависимость изменения расстояния от времени между космическими объектами позволяет выявлять и предотвращать опасные ситуации, вызванные сближением и последующим возможным соударением космических объектов, в околоземном космическом пространстве.
Список литературы
1. Павлова Е.А., Стрельцов А.И., Еленин Л.В., Степаньянц В.А., Захваткин М.В. Формирование единого классификатора опасных ситуаций в околоземном космическом пространстве // Электронная библиотека ИПМ имени М.В. Келдыша: препринт. 2020. № 23.
2. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М.: Наука, 1973. 320 с.
3. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука, 1968. 800 с.
Зозуля Людмила Петровна, канд. техн. наук, старший научный сотрудник, vka@mil.ru, Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А. Ф. Можайского,
Булекбаева Марина Юрьевна, младший научный сотрудник, vka@mil.ru, Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А. Ф.Можайского,
Гончаров Павел Сергеевич, канд. техн. наук, доцент, начальник отдела, vka@mil.ru, Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А. Ф. Можайского
IDENTIFICATION OF DANGEROUS-TRACKING-S PACE-OBJECTS WITH THE APPLIED-APPARATUS-LP QUATERNIONS
0
L.P. Zozulya, M.J. Bulekbaeva, P.S. Goncharov
82
A methodological approach is proposed for estimating the distance between two space objects on a long time interval with application of the mathematical apparatus quaternions.
Key words: space object, quaternions.
Zozulya Ludmila Petrovna, candidate of technical sciences, senior researcher, vka@ mil.ru, Russia, Saint-Petersburg, Military Space Academy,
Bulekbaeva Marina Jurievna, senior researcher, vka@mil.ru, Russia, Saint-Petersburg, Military Space Academy,
Goncharov Pavel Sergeevich, candidate of technical sciences, head of department, vka@mil.ru, Russia, Saint-Petersburg, Military Space Academy
УДК 535.243 DOI: 10.24412/2071-6168-2021-6-83-88
ФОТОМЕТРИЯ АВТОМОБИЛЬНЫХ МОТОРНЫХ МАСЕЛ
С.В. Колисниченко, А.А. Константинова, А.Ч. Машек, Е.Е. Майоров, Е.А. Писарева, Г.А. Цыганкова
Приведен спектральный прибор для количественного и качественного анализа различных жидкофазных веществ. Показаны актуальность и перспективность фотометрии для измерения оптических свойств моторных масел. Измерения проводились на автоматизированном спектральном приборе «Флюорат-02-Панорама». Даны технические характеристики и описана оптическая схема прибора. Определены объекты исследования - моторные масла марки «Shell Helix Ultra 5w-30» приобретенные в разных странах: Китай, Финляндия, Россия. Получены спектральные зависимости коэффициента поглощения моторных масел, где кривые распределения были отличны друг от друга. Проведенный анализ показал, что для всех моторных масел «Shell Helix Ultra 5w-30» максимальное поглощение, находится в диапазоне длин волн 250...290 нм.
Ключевые слова: спектральный прибор, монохроматор, фотометрический метод, длина волны излучения, кювета, фотоприёмное устройство, дифракционная решетка.
На сегодняшний день во всем мире, в частности и в России, бурно развивается автомобилестроение [1]. В данной промышленной отрасли огромное внимание уделяют двигателям внутреннего сгорания (ДВС). Парк ДВС с каждым годом обновляется и расширяется на рынках в России и за рубежом [2]. Любители автомобилисты прекрасно знают, что основной механический узел в автомобили - ДВС [3].
Для качественной работоспособности ДВС хорошо очищенного бензина недостаточно. Важную роль в работе ДВС играет моторное масло [4]. От того какого качества моторное масло зависит срок эксплуатации ДВС, а также в каком количестве выбрасываются в окружающую среду выхлопные газы.
Поэтому определение каких - либо примесей в моторных маслах является важной задачей современного научно-технического комплекса [5]. Для исследования моторных масел актуальным и перспективным направлением является использование автоматизированных оптико-электронных методов и средств [6]. К этим методам можно отнести фотометрический метод измерений. Данный метод современный, высокоточный и экономически выгоден [7]. Фотометрический метод позволяет проводить количественный и качественный анализ исследуемых веществ. Благодаря этому методу можно получать достоверную и полноценную информацию об электронных и молекулярных структурах исследуемых веществ [8].
83
