Вывод конечно-разностных уравнений равновесия для изгибаемой пластины на контуре, свободном от закрепления Текст научной статьи по специальности «Физика»

Секция «Механика конструкций ракетно-космической техники»

УДК 539.3

ВЫВОД КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ ДЛЯ ИЗГИБАЕМОЙ ПЛАСТИНЫ НА КОНТУРЕ, СВОБОДНОМ ОТ ЗАКРЕПЛЕНИЯ

М. А. Большаков, П. Е. Ерошенко Научный руководитель - Р. А. Сабиров

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

Е-mail: rashidsab@mail.ru

Составлены конечно-разностные аналоги дифференциального уравнения равновесия изгибаемой пластины для свободного от закрепления контура.

Ключевые слова: изгиб пластины, уравнения равновесия, метод сеток.

CONCLUSION OF THE FINAL AND DIFFERENTIAL EQUATIONS OF BALANCE FOR THE BENT PLATE ON A CONTOUR, FREE FROM FIXING

M. А. Bolshakov, P. Е. Eroshenko Scientific supervisor - R. A. Sabirov

Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation Е-mail: rashidsab@mail.ru

Final and differential analogs of the differential equation of balance of the bent plate for a contour, free from fixing, are made.

Keywords: bend of a plate, balance equation, method of grids.

В теории изгиба тонких пластин [1], изгибающие и крутящие моменты вычисляются в зависимости от функции прогиба w = w( x, y):

Mx (x,y) = -D (d2w / dx2 + цд2w / dy2), (1)

My (x,y) = -D(d2w / dy2 + цд2w / dx2) , (2)

Hyx(x,y) = Hy (x,y) = -(1 - ц)Dd2w / . (3)

Здесь D = Eh3 /1^12(1 - ц2)J - цилиндрическая жесткость. Поперечные силы

Qx = dMx /dx + dHyX /dy, Qy =dMy /dy + dHyx /dx (4)

зависят от третьих производных функции прогиба, соответственно:

Qx =-D (d3w / dx3 + d3w / dxdy2 ), Qy =-D (d3w / dy3 + d3w / dx2cy) . (5)

Дифференциальная формулировка задачи дает уравнение С. Жермен

54w / dx4 + 254w /dx2dx2 +d4w /cy4 = q /D, (6)

1) которое подчинено граничным условиям, зависящим от способа закрепления краев. Нас интересует контур свободный от закреплений;

2) известно, что в свое время Пуассон ошибся, формулируя граничные условия для свободного края, обращая в нуль порознь изгибающие моменты, поперечные силы и крутящие моменты, то есть:

3) Mx = 0, Qx = 0, Hxy = 0, - на краю x = const;.

Актуальные проблемы авиации и космонавтики - 2015. Том 1

4) Кирхгоф доказал [2], что следует записывать два граничных условия на свободном краю. Для края x = const;.

5) Mx = 0, (7)

6) Rx = Qx + dHxy / dy. (8)

7) соответственно, на смежном контуре (y = const): My = 0 , Ry = Qy + dHxy / dx.

Рассмотрим аппроксимацию задачи методом сеток. Конечно-разностный аналог уравнения (6) для равномерной квадратной сетки с шагом X, имеет вид

20w,, j - 8 (, j + W,j + W,, j +1 + Wu j) + 2 (W,+1, j+1 + W,+1, j+ W,-!,}+ W-^j+1) +

+W,+2,j + W,-2,j + W,, j+ 2 + W,, j-2 = j X4 / D . (9)

Запишем уравнение (9) в узле i, j контура x = const. Естественно возникает два ряда законтурных узлов. Для исключения прогибов в узлах первого ряда i +1, j добавляем граничные условия (7), которое дает возможность исключать прогибы

W,+1, j = 2(1+p>w,j - W,-1, j - pw,, j+1- Pw,, j-1 + (Mx),,j x2 / D. (10)

Для исключения прогибов w,+2j- второго ряда законтурных узлов i + 2, j используем уравнение (8), из которого получаем

W, + 2,j = (6 - 2P)w,+1,j - (6 - 2P)w,-1,j + W,-2,j - (11)

-(2-p)(w,+1,j+1 + w,+1,j-1 - w,-1,j+1 -w,-1,j-1)-(Rx).,j 2X3 /D . (12)

К (11) присоединяем (10) и следующие неизвестные прогибы законтурного ряда:

W,+1,j+1 = 2(1 + P)w,,j+1 - W,-1,j+1 - PWi,j+2 - PW,,j - (Mx ),,j+1 X2 / D , (13)

W,+1,j-1 = 2(1 + P)wi,j-1 - W,-1,j-1 - PWi,j - PWi,j-2 - (Mx ),,j-1 X2 / D , (14)

Теперь (11) становится равным

w,+2,j = (12 +12p - 6p2)w,,j + w,_2,j + (4p-12)w,-1,j + (4p2 -8p- 4)w,,j+1 +

+(4p2 - 8p- 4)w,,j-1 + (4 - 2p)w,-1,j+1 + (4 - 2p)w,j_1 + (2p - p2)w,,j+2 + (2p - p2)w,,j_2 +

-(6 - 2p) (Mx).,. X2 + (2-p) (Mx),, j+1X2 + (2-p) (Mx),, j-1X2 -(Rx) 2X3 +'

/D . (15)

Подставляя (12)-(14) и (15) в (9), получаем уравнение равновесия контурных узлов (16 - 8p - 6p 2)w,, j + (4p2 + 4p - 8)w,, j+1 + (4p2 + 4p - 8)w,, j- + (4p - 12) w^ j +

+(4 - 2p)w,-1, j+1 + (4 - 2p)w,-1, j-1 + (1 - p2)w,, j+2 + (1 - p2)w,, j _2 + 2w,-2, j =

q,jX4 + (Rx),,j 2X3 -2(1 + p)(Mx).,j X2 + p(Mx).,j+1 X2 + p(Mx),,j-1 X2

/ D. (16)

Это уравнение равновесия для узлов контура с заданными обобщенной реакцией Ях, моментами Мх и нагрузкой q , можно трансформировать, соответственно, на смежные контуры. Однако оно не может быть записано для угловых точек свободного от закрепления контура - для них составляются особые уравнения.

Библиографические ссылки

1. Лейбензон Л. С. Курс теории упругости. М. ; Л. : ОГИЗ, 1947. 465 с.

2. Пановко Я. Г. Механика деформируемого твердого тела: Современные концепции, ошибки и парадоксы. М. : Наука, 1985. 288 с.

© Большаков М. А., Ерошенко П. Е., 2015