CC BY
12
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
нелинейные уравнения пологих железобетонных
ОБОЛОЧЕК В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ Токмуратов А.М.1, Мусабаев Т.Т.2 Email: [email protected]
1Токмуратов Абдухалык Маженович - кандидат технических наук, доцент, кафедра механики и машиностроения, Южно-Казахстанский государственный университет, г. Шымкент; 2Мусабаев Турлыбек Туркпенович - доктор технических наук, профессор, директор, Евразийский технологический институт, Евразийский национальный университет им. Н. Гумилева, г. Астана, Республика Казахстан
Аннотация: в статье приводятся уравнения гибких пологих железобетонных оболочек с учетом нелинейных деформаций, записанные в конечных разностях. Все жесткостные характеристики оболочки принимаются переменными как по поверхности, так и по толщине оболочки. Разрешающие дифференциальные уравнения с помощью разностных операторов приводятся к системе алгебраических уравнений.
Для случая шарнирного опирания оболочки при сетке 8х8 выведена система из 98 уравнений, которая решается методом приближений нелинейной теории пластичности. Ключевые слова: железобетонные оболочки, дифференциальные уравнения, нелинейные деформации, конечные разности.
NONLINEAR EQUATIONS OF LOW CONCRETE HELLS IN SMALL DIFFERENCES Tokmuratov A.M.1, Musabaev T.T.2
Tokmuratov Abdukhalyk Mazhenovich - PhD, Associate Professor, DEPARTMENT OF MECHANICS AND MECHANICAL ENGINEERING, SOUTH KAZAKHSTAN STATE UNIVERSITY, SHYMKENT; Musabaev Turlybek Turkpenevich - Doctor of Technical Sciences, Professor, Director, EURASIAN INSTITUTE OF TECHNOLOGY, EURASIAN NATIONAL UNIVERSITY, ASTANA,
REPUBLIC OF KAZAKHSTAN
Abstract: the paper presents the equations of flexible shallow reinforced concrete shells with allowance for nonlinear deformations recorded in finite differences. All the stiffness characteristics of the shell are assumed to be variable both over the surface and the thickness of the shell. Solving differential equations with the aid of difference operators are reduced to a system of algebraic equations. For the case ofpivot bearing shells under the grid 8x8, a system of 98 equations is calculated by the approximation method of non-linear theory ofplasticity. Keywords: ferroconcrete shells, differential equations, nonlinear deformations, small differences.
УДК 69.04
В работе [1] выведены разрешающие уравнения пологих гладких железобетонных оболочек с учетом физической и геометрической нелинейности. Приведем эти уравнения в развернутом виде:
_ d4 F ^ d4 F ^ d4 F d2D4 d2D8 , d2F d2D5 d2 D9 , d2 F dD4
D4-7 + Dp-7 + D14 ■ —-7 + (-7- + -7- )--7 + (-- + --)--7 +--
dx4 dy4 dxzdyz dxz dyz dxz dxz dyz dyz dx
d3 F dD9 d3 F dD812 d3 F dD512 d3 F d4 W d4 W
-7 +----7 +---- +---- + D6 •-— + D11 •-— +
dxs dy dys dy dydxz dx dxdyz dx4 dy4
_ d4W d2 D6 d2 D10, d2W d2 D7 d2Dll, d2W „ d2 D13 d2W
D15 • —;—т + Г —7" + -)---+ ( —T- + -T- )--г +2 • (----
dxzdyz dxz dyz dxz dxz dyz dyz dxdy dxdy
dD6 d3W dD 11 d3W dD 1013 d3W dD713 d3W ,+d2W d2 F
dx d x3 dy dy3 dy dy dx2 dx dxdy2 dx2 dy2 , ,d2W d2 F d2W d2 F
( k2 +--t" ) —г - 2-----ь q(x,y) = 0 ;
12 dy2 7 d x2 d xdy dxdy „ d4 F _ d4 F _ d4 F d2 B5 d2Bl . d2 F d2 В9 d2 B2 . d2 F d2 В8 B5 -T+ -T + B14 ■—--- +(-— + -— )• -- +(-— + -— )• -- +---
5 d x4 2 dy4 14 dx 2dy2 1 dx2 dy2 7 d x2 1 dx2 dy2 7 dy2 dxdy
d2 F + dB5 d3 F + dB2 d3 F + dB98 d3 F + dB18 d3 F d4 W +
dxdy dx dx3 dy dy3 dy dydx2 dx dxdy2 dx4
_ d4W _ d4W d2 В6 d2 В3 , d2W d2 B7 d2 B4 , d2 W
B4--— + B15 • ——- + (—- + —-)--- + (—- + —-)--- -
4 dy4 15 dx 2dy2 1 d x2 dy2 7 d x2 1 dx2 dy2 7 dy 2 d2W d2B10+J dB6 d3W + dB3 d3 F + dB310 d3W + dB710 d3 W dxdy dxdy dx dx3 dy dy3 dy dydx2 dx dxdy2
d2 — d2 — . d2 W ,2 . 1 d2 — , d2 W
+ —----- - (-)2 + ki--- + k2--- = 0. (1)
dx2 dy2 1 dxdyy 1 dy2 2 dx2 v '
Здесь, Dj , Bj - жесткостные характеристики, имеющие сложную структуру и подробно описаны в [1]. Решения этих уравнений в работе [1] выполнены с помощью тригонометрических аппроксимирующих функций усилий F(x,y) и прогибов W(x,y).
В данной работе предлагается разрешение вышеназванных уравнений с помощью метода конечных разностей (метод сеток) [3].
Рассматривается пологая оболочка (рис. 1) прямоугольная в плане с размерами 2a x 2b, на которую по всей поверхности действует вертикальная равномерная нагрузка интенсивности q (кн/м2). Условия опирания по контуру оболочки - шарнирно-подвижные. Поверхность оболочки разбивается на сетку размером 8х8 (рис. 2). Как видно из уравнений (1), по поверхности оболочки (х,у) переменными параметрами являются не только основные неизвестные функции F и W, но и жесткостные характеристики D,, Bt . Ценность и сложность предлагаемых уравнений (1) и заключается в том, что конечно-разностной аппроксимации подвергаются все параметры: F, W, D, и B,.
Рис. 1. Пологая оболочка
Рис. 2. Поверхность оболочки, разбитая на сетку размером 8х8
В предлагаемой задаче используются разностные операторы [3] от 1-го до 4 -го порядков, включая и смешанного типа:
ЛБ ЛБ а2Б а2Б а4Б а4Б а2Б а4 Б а3 Б а3 Б
йх ' йу ' йX2 ' йу2 ' йх3' йу3 ' йх4 ' йу4 ' йхйу ' йх2йу2 ' йх2йу ' йхйу2
Для центральной точки поверхности оболочки - О(у) (рис. 2) производные любой функции 8(х,у) запишутся следующими разностными операторами:
£ = [8а+ш - 8(1-Ш ]/ Ах ; ^ = [81,(]+1) - Б^-!)]/ А у ;
г/2с - л2с -
У = [80+ш - 2^ + 8(1-1] / (АХ)2 ; Ц = [8^) - 2^ + 8^)] / (Ау)2 ; а2Б
йху = [Б(1+1),(]+1) - Б(1+1),(] -1) - Б(1-1),(]+1) + Б(1-1),(] -1)] / (АуАх) ;
0 = [8(1+2),] - 4^1+ш + 6•SlJ - 4^(1-Ш + 8(1-2] / (Ах)4 ; ^ = [8]) - 4- $1Л+1)+ 6•SlJ - 4^1Л-1) + 8])] / (Ау)4 ;
йх2йу2 = Б(1+1),(]+1) - 2Л1+Ш + Б(1+1),(]-1) - 2 ^ [S1=(j+1) - + Б1,(]-1)] + 8(1-1),(]+1) - 2 • S(l-l),j + 8(1-ад-1) / [(АХ)2(Ау)2] ;
& 5 3
= [8(1+2),] - 2^(1+1),] +2^(1-1)0 - 8(1-2),]] / (АХ) ;
с235 3
йуз = [Б1,(]+2) - 2 • ^+1) + 2- - Б1,(]-2)] / (Ау) ;
с235 ?
; = [Б(1+1),(]-1) - (И) +2• 81,(]+2) - 8(1-1), (]-1)] /[(Ах)2Ау] ;
с1х2с1у
<й35 2
■ = [8(1-1),(]+1) - 2^(1-1), j +2^8(1+2),] - 8(1+1), (]+1)] /[(Ау) Ах] (2),
йхйу2
где Ах = а /4 ; Ау = Ь /4 .
Применяя разностные операторы (2) к уравнениям (1) для центральной точки О(у), получим систему 2-х алгебраических уравнений :
С1 ^(1-2) + 02^(1-1) + Cз•Fl + С4- Б(1+1) + C5•F(l+2) + + C6•W(l-2) + c7•W(l-l) + С8^1 + С9^ W(l+l) + С10^(1+2) = - q(x,y) ; е1 •F(l-2) + e2•F(l-l) + ез^ + е4^ ^+1) + e5•F(l+2) + + e6•W(l-2) + е7^(Ь1) + e8•Wl + е9- W(l+l) + elo•W(l+2) = 0 (3) .
Здесь, коэффициенты ^ содержат жесткостные и геометрические параметры оболочки.
Уравнения, подобные системе (3) записываются для всех 49 точек сетки (рис. 2). Таким образом, получается система 98 алгебраических уравнений относительно функций F и W. Значения этих функций в контурных и законтурных точках
й2Р й2Р
определяются из условий опирания кромок оболочки: W = 0 ; —- = 0; = 0.
Значения жесткостных параметров Б, , В, в контурных и законтурных точках сетки принимаются равными нулю.
Как и любая физически нелинейная задача теории пластичности данная задача не имеет прямого решения. Для ее решения применяется метод переменных параметров упругости [4], с пересчетом на каждом шаге приближений жесткостных характеристик Б,, В, и решения системы из 98 алгебраических уравнений
Предлагаемый алгоритм решения изгиба пологой железобетонной оболочки заключается в следующем: В линейной постановке решается система алгебраических уравнений 98-го порядка и определяются значения функций Б и W для каждой точки сетки. Используя жесткостные коэффициенты упругой болочки, вычисляются величины деформаций, напряжений и их интенсивности Г„ "1; в каждо й заданной точке по толщине и поверхности оболочки.
1. По известной диаграмме мгновенного деформирования бетона Г! ~ Г! исправляются значения полученных величин Г!, секущего модуляЕ с и по этим новым значениям параметров деформаций вычисляются жесткостные коэффициенты Б,, В,.
2. Получив, таким образом, новое поле жесткостей снова решается система 98 уравнений и по полученным значениям F и W процесс переходит на следующий шаг.
Процесс последовательных приближений продолжается до достижения заданной точности (по прогибам, напряжениям или другим параметрам).
Необходимо отметить, что для расчета в конечных разностях оболочек с жестко заделанными кромками лучше использовать разрешающие уравнения теории гибких пологих оболочек в перемещениях U, V, W. Только в этом случае будут наиболее корректно учтены граничные условия по кромкам оболочки. Эта задача будет представлена авторами в последующих публикациях.
Список литературы /References
1. Токмуратов А.М. Расчет пологих железобетонных оболочек с учетом нелинейной ползучести материала // Расчет строительных конструкций на статические и динамические нагрузки: межвуз. темат. сб. тр. Ленинград: Изд-во ЛИСИ, 1985. С. 59-68 .
2. Мусабаев Т.Т., Эм Э.В. Нелинейная модель расчета неупругих железобетонных балок // 1-й международный Джолдасбековский симпозиум: тезисы докладов (Алматы, 24 июня-25июня 2011). Алматы: Изд-во КазНУ, 2011. С. 75-80.
3. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию). М.: Наука, 1977. 440 с.
4. Биргер И.А. Некоторые общие методы решения задач теории пластичности // Прикладная механика, 1951. Т. 15. Вып. 6. С. 765-770.
АНАЛИЗ СИСТЕМЫ ЗАЩИТЫ ОТ СКАТЫВАНИЯ ПОД УКЛОН ПОДВИЖНОГО СОСТАВА КАНАТНОЙ ОТКАТКИ ПРИ ДУБЛИРОВАНИИ ЕЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ УСТРОЙСТВАМИ
12 3
Петров А.Г. , Авершин А.А. , Степанов Е.И.
Email: [email protected]
1Петров Александр Геннадиевич - кандидат технических наук, доцент; 2Авершин Андрей Александрович - кандидат психологических наук, доцент;
3Степанов Евгений Иванович - кандидат технических наук, доцент, кафедра горной электромеханики и транспортных систем, Стахановский учебно-научный институт горных и образовательных технологий Луганский национальный университет им. Владимира Даля, г. Стаханов, Украина
Аннотация: в работе предложены дополнительные удерживающие механизмы защиты от скатывания под уклон, кинематически не связанные с системой защиты отдельного транспортного средства и подвижного состава в целом, не взаимодействующие с головками рельс пути на зажимание, и со шпалами пути на жесткое стопорение. Представлен конструктивный принцип дублирования системы защиты от скатывания под уклон подвижного состава вагонеток одноконцевой канатной откатки. Используемые дополнительные удерживающие механизмы устанавливаются на платформы вагонеток подвижного состава. Ключевые слова: удерживающий механизм; защита; скатывание под уклон; транспортное средство; подвижный состав; рельсовый путь.
