Особенности конечно-разностных уравнений равновесия в свободных от закреплений углах изгибаемой пластины Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3

ОСОБЕННОСТИ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ В СВОБОДНЫХ ОТ ЗАКРЕПЛЕНИЙ УГЛАХ ИЗГИБАЕМОЙ ПЛАСТИНЫ

З. А. Юдина Научный руководитель - Р. А. Сабиров

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

Е-mail: rashidsab@mail.ru

Составлен конечно-разностный аналог дифференциального уравнения равновесия для углов изгибаемой пластины свободных от закреплений.

Ключевые слова: изгиб пластины, уравнения равновесия, метод сеток.

FEATURES OF THE FINAL AND DIFFERENTIAL EQUATIONS OF BALANCE IN CORNERS, FREE FROM FIXING, OF THE BENT PLATE

Z. А. Yudina Scientific supervisor - R. A. Sabirov

Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation Е-mail: rashidsab@mail.ru

The final and differential analog of the differential equation of balance for corners of the bent plate free from fixing is made.

Keywords: bend of a plate, balance equation, method of grids.

В теории изгиба тонких пластин [1], изгибающие, крутящие моменты вычисляются в зависимости от функции прогиба w = w(x, y):

Mx(x,y) = -D(d2w / dx2 + цд2w / dy2), (1)

My (x,y) = -D (d2w / dy2 + цд2w / dx2 ), (2)

Hyx (x, y) = Hxy (x, y) = -(1 - ц) (d2 w / dxdy). (3)

Qx = -D(d3w / dx3 + d3w / dxdy2), Qy = -D (d3w / dy3 + d3w / dx2dy). (4)

Здесь цилиндрическая жесткость D = Eh3 /1^12(1 - ц2)J . Дифференциальная формулировка задачи дает уравнение С. Жермен:

д4w / Cx4 + 2д4w / dx2dy2 + д4w / Су4 = q / D , (5)

решение которого зависит от способа закрепления краев. На контуре свободном от закреплений:

Mx = ^ Rx = Qx +dHxy / dy -на краю x = const. (6)

My = 0, Ry = Qy + dHxy / dx - на краю y = const. (7)

Пусть угловая точка пластины является пересечением линий i, j, тогда в конечно-разностный аналог уравнения (5) в узле i, j

Секция «Механика конструкций ракетно-космической техники»

20Ж,, - 8 К,, + Ж-1,, + <,+1 + Ж,,-1) + 2(+ ,_1 + Ж-1,,-1 + ) +

+Ж

\ + wi 2 , + Ж „ + ж, , 2 = а, ,Я4 / В

г+2, , '_2, г, ,+2 г,,_2 ,,

(8)

войдут прогибы семи законтурных узлов (обозначим их (*)). Для исключения законтурных узлов добавим к (8) семь контурных уравнений на основе зависимостей (1)-(4) в центральных разностях:

ж,+1,, = 2(1+)К,_ ж-1,,_ )Ж,,+1- )Ж,,-1- (мх),,, я2 / В,

Ж,,,+1 = 2(1 + V)™,,, _ ,-1 - )Ж,+1,, _ )Ж_1,, - (Му ), / В ,

Ж+1,,+1 = Ж-1,, + 1 - Ж-1,,-1 + Ж-1,, + 1 - (Нху ),,, 4Я2 / (1 _ )) В , Ж-1,,+1 = 2(1 + ))ж,-1,, - Ж-1,,-1 - )Ж,, - )Ж-2,, - (Мх ),-1,, ^ / В , Ж+1,,-1 = 2(1 + )К,,-1 - Ж-1,,-1 - )Ж,, - )Ж,,-2 - (Мх ),,^ / В ,

Ж,,+2 = (6 - 2)М,,+1 - (6 - 2)К,,-1 + Ж,, + 2 -

-(2 - )) ( + 1,;+1 + Ж-1,, + 1 - Ж + 1,,-1 - Ж-1,,-1) - (Яу ),,] 2^3 / В ,

+2,, = (6 - 2)К+1,, - (6 - 2)К-1,, + -2,, _

-(2 - )) (Ж+1,,+1 + Ж+1,,-1 - Ж-1,,+1 - Ж-1,,-1) - (),,, 2Я3 / В .

(9) (10) (11) (12)

(13)

(14)

(15)

Особенностью уравнений является, что при подстановке (9) и (10) в (8) образуется рекурсия за счет подчеркнутых членов в (9) и (10), вызывающих друг друга. Поэтому вместо уравнений (9) и (10) составим специальные уравнения:

+1,, = (2 + )К,, _ 2)Жг,,-1 - Ж-1,, + )Ж,,-2 + (М ),,,-1 Я2 - (Мх )с 2Я

/ О,

(16)

которое и применим вместо (9). Аналогичным образом вместо (10) применим

Ж

г,, + 1

"(Му) 2Я2 +(МУ),-1,, Я

/ В _ 2)Ж,-1,, + (2 + )), _ ,1 +

} ,, 1

Уравнение (11) заменим зависимостью

Ж +1,,+1 = 2(1 + ))(ж,-1,, + Ж,,-1) - 3Ж,-1,,-1 - 2)жг,, - )(ж-2,, + жг,,-2) -

-(яху),,, 4я2 / (! - ))в - (му ),-1,, я2 / в - (м),,,-1я2 / в . Для вычисления прогиба ж+2 , во втором законтурном ряду, взамен (15) составим

Ж

,+2,, =-(Я)с 4Я3 / В - Ж+2,,-1 - (4) -10)Ж+1,, - 2(1 - ))ж+1,,-1 +

(17)

(18)

+(4) - 10)-1,, - (4 - 2))Ж*+1,,+1 - (4 - 2))Ж*-1,,+1 + (2 - 2))-1,,-1 + -2,, + -2,,-1 ,

в которое войдут

Ж

г+2, ,

л = (4)2 - 4) - 4 - )>,,, + (12 +10) - 5)2)Ж,,-1 + Ж,-2,,-1 + (4) - 12)Ж,-1,,-1 + +(4)2 - 8) - 4)ж, ,-2 - (2)3 - 4)2 - 2) + 4)Ж,-1, , + (4 - 2))Ж_, ,-2 +

+(2)2 _)3)жг_2,, + (4)2 -4)3 +)4)ж,,,_3 -+(2)- )2)Г-(6 - 2))(Мх),, _1 Я2 + (2 - ))(Мх),, Я2 /В + (2 - ))(Мх),, _2 Я2 /В -

(Ях),J-2Я3 /И + (Му ) ^ J X2/И ~(Ыу \ 2Я2 /И], (19)

и прогибы: } из (16); у_1 из (13); у+1 из (17); го (12). Здесь (Мх)с, (Ях)с - м°-

мент и реакция между узлами сетки (/, J) - (/, J -1); (Му- момент между узлами (/, ^ - (/ -1, ^ .

Несмотря на существенную громоздкость полученных зависимостей на свободных краях пластины при дифференциальном подходе, их можно применять для расчетов, задавая на краях изгибающие моменты, крутящие моменты и поперечные силы.

Библиографические ссылки

1. Лейбензон Л. С. Курс теории упругости. М.-Л. : ОГИЗ, 1947. 465 с.

2. Пановко Я. Г. Механика деформируемого твердого тела: Современные концепции, ошибки и парадоксы. М. : Наука, 1985. 288 с.

© Юдина З. А., 2015