CC BY
15
3/2008
ВЕСТНИК _МГСУ
ВЫВОД ЧАСТОТНОГО УРАВНЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ УПРУГОЙ ТРЕХСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНКИ, ТРИ КРАЯ КОТОРОЙ ШАРНИРНО ОПЕРТЫ, А ЧЕТВЕРТЫЙ КРАЙ ЖЕСТКО ЗАКРЕПЛЕН
O.A. Егорычев, О.О. Егорычев, А.А.Хрупов, A.B. Богданов
Рассмотрим плоский элемент как изотропную однородную упругую трехслойную пластину.
Будем предполагать, что плоскости раздела слоев находятся в жестком контакте, при этом внешние два слоя состоят из одного материала и имеют одинаковую толщину |Н2 — Н^, а внутренний слой - из другого материала и
его толщина Н1 отлична от толщины внешних слоев. В плоскости ХОУ пластина занимает область {0 < х < 11;0 < у < 12}.
В дальнейшем параметры внутреннего слоя обозначать индексом "1", а внешних слоев - индексом "2".
Частоты собственных колебаний упругой трехслойной пластины будем определять, основываясь на приближенном уравнении поперечных колебаний четвертого порядка [1]:
Э V . Э V . э^
ъ2
л„ —+4
dt2
где
dt4
-л2— AW + А А 2W = 0,
(1)
Эх2 dy2
А = b2 bi
3a,2 + i
V
(h - h )2
Л =
3 a 2 +1
P_ + (h2 - h1 )
P2 h1
2 Л
+
6 6 ч 2 2 Pl (a2 + Ь2 ) , 2P2
P2
2 т 2
a2 b2
+
Pili
hi (h2 - hi )( + bi2)
( - hi )2
4 - ^ ^ - Ь2
Дкк +(2 + Д
Дй2 ( -к )2 +(2 + Д)
(к - к )3
1
+
к
+
м
(1 + С)-1
й2 (к - к) +
Р Р2
4 И £& + Ь
+
Г
1 -
V
4 д Ъ-\ + Р4Л 2 12 „2
ь р 2 «2;
А -
Р 2
2
ак|к -к
I. М «2 Л к (к - к); 2 (к - к)
( Й2 - Й1 )2 +
+ 2И2Ь22 (к2 - к)
рЬ
3к
-2а2ь22 (й2 - к) (зк2 - к) (1+2а1) к (к2 - к);
р2
а — -
1
С —--
1
' 2 ( 1 -V ) 1-2^2'
р - плотность, а1 и Ь - скорости произвольной и поперечной волны, V - коэффициент Пуассона. ( — 1,2 ) .
Так как края пластинки (у — 0,12 ) шарнирно оперты, т.е.
д 2Ж Ж- — = о
дУ
при у — 0,12, то решение уравнения (1) будем искать в виде:
Ж (х, у, ?) — ехр Жк (х) бш (2у).
где
к Ь2 кж
d1 — — + —2—; d2 — —
к й2 - к 12
Подставляя (2) в уравнение (1), для Жк получим уравнение:
d Ж
d Ж
dx dx^
-+ВД — о,
где
Во —
А,
2 d2^2 - 2^
А1
; В —
(2)
(3)
,4 4 7 4 £4 А2 ,2 , 2 £2 А0 7 2 £2
^ +-7dl £ ^ £ ^dl £
Аз А3 А3
Общее решение уравнения (3) запишем в виде:
к—1
3/2008
ВЕСТНИК
_МГСУ
W(a) =C
cos (а0 x) cos (a1 x)
a0 a1
+ C
cos (a0x) cos (ax)
a0 a
+C
sin (a0 x) sin (a x)
a
a
+ C
sin
(a0x) sin (ax)
a
a
+
(4)
где Cj - постоянные интегрирования, а ia - корни характеристического урав-
нения
a4 + B0a2 + B1 = 0
(5)
и равны
a0.
B± ± If B0
-B,
(6)
2 VV 2 y
Целые числа (n, m) выбираются при удовлетворении граничных условий на левом краю пластины при x = 0, а другие граничные условия, на правом краю, при x = £1, приводят к трансцендентному уравнению для определения собственных частот колебаний пластины.
Для нашей задачи при x = 0:
dW,
W =—L = 0,
dx
следовательно m = 1; n = 0; Cl = C3 = 0 , используя второе граничное условие
d W
W = —-- = 0
k ,2
dx
находим частотное уравнение вида:
a0 cos (aüi 1 )sin (a/ 1 )-a1 sin (a/ 1 )cos (a1£1) = 0 (7)
Для анализа частотного уравнения (7) преобразуем его. Представим синусы и косинусы в виде рядов:
sin z
= ¿(-1)' cos z = ± (-1)j j
/=0 (2i +1)! j=0 (2 j)!
Тогда уравнение (7) эквивалентно следующему:
a0a1 ¿ ¿ (-1)+j 0?a4-aan2(i+j) = 0:
i= 0 j=0
(2i +1)!(2 j)!
(8)
где П =
Если принять, что а0а1 = 0, то величина а0, определенная из выражения (6) со знаком плюс под корнем, в 0 никогда не обращается.
Следовательно, в 0 обращается а1, т.е. а1 = 0, откуда получим частотное уравнение:
1
корни которого равны:
А£-—( а 2 + Ао) + Аз
V й1 У
= о
(9)
£,2 =
А
А,
^ а 2 ^
V й1 У
+
АА
А а12
А
^ а ^
А
V й1 у
+
АА
4 а12
Аз
4
2 ^ V й1 у
(10)
Так как ряды, выражающие тригонометрические функции сходящиеся, а уравнение (8) эквивалентное уравнению (7), тоже будет сходящееся, то при исследовании частотного уравнения (8) можно ограничиться конечным числом первых слагаемых. Возьмем первые три слагаемых в рядах (8) в виде:
аа (а2 -ао2 )|)п2 (а2 +а2 )
+
1 ( ^ —(а 840 1
30
4 22 4 \ 1 22
+ аа +а )+—аа
' 360 0 1
(11)
П +.
= 0
Преобразуем соотношение (11) к виду:
( + а04) + у а02а2 - 28 ( + О?) П- + 280^ = 0
В этом случае частотное уравнение представим в виде
а
V Аз У
+
4 А
3 А3
+ 4< \- < + 14п + 280п = 0 :
3 У
(12)
(13)
которое имеет два положительных корня. Аналогично можно взять любое конечное число членов ряда (8).
Следует найти радиус сходимости рядов в уравнении (8) и тем самым вычислить конечность числа рядов.
Применим к рядам (8) достаточный признак Даламбера сходимости рядов, получим:
2 2 2 а2 ал
(21 + 3)(2 ] + 2)
< д2
(14)
где 0 < д < 1.
Откуда следует, что
I 2 2| < 2 2 ( + 3)(2] + 2)
а0 а < д9 = д-2-
II ; л
(15)
Анализ неравенства (14) показывает, что оно справедливо при выполнении неравенства.
2 г>2 ^ / £4 т, ¡-2 , 1-г\ ^ 2 „2
-д.
2Я2 < (¿¡42Р^2 + П)< д2Я2
(16)
3/2008
ВЕСТНИК
МГСУ
где коэффициенты R, P, П равны.
( НН / (^2^1 — Л)
; п =
A. = п
или неравенства
2 4
(P2 — П)< R2
(17)
При заданных параметрах геометрического и механического характера, используя неравенство (16), можно определить необходимое число первых членов в рядах (8) и, следовательно, определить вид частотного уравнения.
Литература
1. Егорычев О.О., Колебания плоских элементов конструкций, АСВ, М, 2005г.
2. Филиппов И.Г., Филиппов С.И., Колебательные и волновые процессы в сплошных сжимаемых средах, М, 2007г.
