CC BY
20
ВЕСТНИК
МГСУ
4/2007
СОБСТВЕННЫЕ ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ИЗОТРОПНОЙ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ, ТРИ КРАЯ КОТОРОЙ ШАРНИРНО ОПЕРТЫ ПО КОНТУРУ, А ЧЕТВЕРТЫЙ ЖЕСТКО ЗАКРЕПЛЕН
Егорычев О.А., Егорычев О.О., Поддаева О.И., Хрупов А.А.
(МГСУ)
Рассмотрим трансверсально-изотроиную, предварительно напряженную прямоугольную пластину 0 < х < 1a;ü < у < 12 из вязкоупругого материала.
Предположим, что внешние усилия равны 0 и тогда пластина совершает свободные колебания, которые при нулевых внешних усилиях являются чисто поперечными и описываются одним уравнением для W (х, y, t) [1]..
К
100
Л д4W , д2 . . ,2w дW
A —4— А— А W + A3A2W + —- = 0 1 dt4 ^ dt2 3 dt2
(1)
sL
дх2 к2
ду2
A = b p1 +C )-1 N + 3 (1+a0 )-1 M _1
(
A1 = 4
3 - 2MN-1 + 2
C - C 1 + a0
А =—(1 + С1 )(М -М 2И); А
=_р_.
А (1 + а0 )(1 + Ь )(1 + С1)' а0, Ь1, С1- постоянные безразмерные величины, определяющие однородное деформированное состояние.
L d)=x 4(t)-] f0 (t
_ 0 _
m(z)=p z(t)-}f (t-fy(t)dt
р - плотность материала.
Граничные условия для данной постановки задачи имеют вид:
W=
д 2W
~дуг
= 0, при у = 0 и у = 12
дW
W =-= 0, при х = 0
дх
W=
д 2W дх2
= 0, при х = 11
(2)
(3)
Так как края пластины (у = 0, у = 12) шарнирно оперты, то решение уравнения (1)
будет иметь вид:
b - скорость поперечной волны.
W (х, у, t ) = exp \ib-1 Wk (х )sin
кпу
\ 2 j
(4)
4/2007
ВЕСТНИК
Для Wk (k) получим обыкновенное дифференциальное уравнение
dW
dx4
где B0 и B1 равны:
+ B,
dW
dx2
+ BWW,k = 0,
Bo = A ( b
A3 V h
-2
(
l
V 1 2 у
B1=A (h )>-(h 3
A ( kn A3
V 2 у
A3
+
( kn^
V 2 у
Общее решение уравнения (5) запишем в виде [2]:
cos(а0x) cos (aj x)
Wk (x ) = С,
cos(a0x) cos(a, x )
a
a
+ С
a
a
+ С
(5)
sin (a0x) sin (a,x)
a
+C4
sin (a0x) sin (a,x)
a0
a,
a
(6)
где Су 234- постоянные интегрирования, /а0 у - корни характеристического уравнения:
а4 + В0 х2 + Ву = 0 (7)
и равны:
в /А в Л2
(8)
B ±1 f '- *
Целые числа (n, m) из соотношения (6) выбирают при удовлетворении граничных условий на левом краю пластины при x = 0, а другие граничные условия, на правом краю при x = I, , приводят к трансцендентному уравнению для определения собственных частот колебаний пластины.
Для данной задачи они имеют вид:
a0 cos (a01, )sin (a/, )-a, cos (a/, )sin (a0)= 0 (9)
Известно, что sin z и cos z можно представить в виде следующих сходящихся рядов:
sin z = Z(-!)'
^2 j
(2i + i)!'
Тогда уравнение (9) эквивалентно следующему:
cos z = 5(-,У-, ч ' (2j)
aoai 5 5 ^ ^i + ,)!(2 j)!
а^а02j ~alla\ j v2(i+j) = 0
(!0) (Ü)
где Y =
к h
Если принять, что а0ау = 0, то только ау = 0, а а00, определенная из выражения (8) со знаком плюс под корнем и значит, этот корень не обращается в ноль при любых значениях В0 и В у.
Следовательно, положив а у = 0 для £ получаем уравнение:
-
,
A2
( П2
+!
V , у
h ) A kn + —
( пЛ4гh-4
V , у
= 0,
(,2)
корни которого имеют вид:
5 = ~
, 4 г 2 A2 г п 1, 2 2 Г П 1, 4
2 A, +, ±\ + , - 4 A, A3 >
V ! у 1 _ V , у _ V , у
(,3)
z
ВЕСТНИК
МГСУ
tob.
4/2007
Так как ряды, выражающие тригонометрические функции (10) сходящиеся, а ряды в уравнении (11) эквивалентны уравнению (9) также являются сходящимися, то при исследовании частного решения (11) можно ограничиться конечным числом первых слагаемых. Возьмем первые три слагаемых в рядах (11), получаем:
(а2
л1 г -
— (а,2 -а02 V4 + -— (а т V 1 0 г о/m V 1
1
30
840
4 2 2 4 т
+ а0а, +а0 )+
1
360
2 2 а0а1
у6 + ...U 0, (14)
Корни из выражения а0а1 = 0 равны (13), а из выражения (а12 -а2)= 0 получим уравнение:
или
B I - B = 0:
(4^1 A3 - A2I -4A = 0
(15)
решение которого имеет вид:
^=±2 h
A2
(16)
^ 4АД - А
Аналогично можно рассмотреть и следующие слагаемые выражения (14). Найдем область применимости степенных рядов, для чего применим к рядам (11) достаточный принцип Даламбера сходимости рядов, получим:
2 2 2 а0а1У
(2i + 3)(2 j + 2)
< q
(17)
где 0 p q p 1
Из неравенства (17) следует, что
а0а1 < q, = q
= 2 (2i + 3)(2j + 2)
Или неравенства
\ A Г П 2 1 2 A3 Г П 4
\ A l 12 , +A _ 4 l 1 2 ,
< С2
(17)
(19)
где С2 = q
A3
При заданных параметрах геометрического и механического характера из неравенства (19) можно определить необходимое число первых слагаемых в рядах (11) для нахождения частотного уравнения.
Таким образом, представим метод, позволивший сводить уравнения в частных производных к трансцендентным уравнениям, а затем полученные уравнения представить в виде алгебраических уравнений и затем исследовать влияние пограничных условий на вывод частотных уравнений, а так же исследовать влияние параметров геометрического и механического характера на частоты собственных колебаний прямоугольных плоских элементов.
Замечание: Публикуемая статья создана с использованием результатов выполнения работ на средства Гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских ученых МД-1085.2006.8.
Литература
1. Филиппов И.Г., Филиппов С.И., Гелюх П.А. К теории нелинейных колебаний вяз-коупругих пластин. Труды X Международного конгресса по применению математики в технических науках. 1984, №3
2. Егорычев O.A., Егорычев О.О. Анализ решения задач о колебании пластин различными методами. XI польско-российский семинар «Теоретические основы строительства». Варшава, 2002, 173-180
2
У
