Решение задачи о термоупругом колебании пластины при граничных условиях специального вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3 + 624.073

О.А. Егорычев, О.О. Егорычев, А.Н. Федосова

ФГБОУ ВПО «МГСУ»

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ТЕРМОУПРУГОМ КОЛЕБАНИИ ПЛАСТИНЫ ПРИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

Приведен метод решения задачи об отыскании собственных частот колебаний прямоугольной пластины с учетом теплового фактора, когда граничные условия имеют специальный вид (два противоположных края пластины шарнирно оперты, на этих краях поддерживается нулевая температура, а два других могут иметь произвольный тип закрепления и произвольный температурный режим). На основе математического подхода показано, что данный метод позволяет получать трансцендентные тригонометрические уравнения, сводимые впоследствии к алгебраическим уравнениям относительно искомой частоты колебания. На примере задачи, имеющей известное аналитическое решение, показана эффективность данного метода.

Ключевые слова: термоупругое колебание пластины, колебание пластины, частоты колебания.

Конструкции атомных и ядерных электростанций работают в условиях неравномерного нестационарного нагрева, что может привести к изменению физико-механических свойств материалов.

Знание величины и характера действия тепловых напряжений необходимо для всестороннего анализа прочности конструкции.

1. Уравнение колебания термоупругой пластины

Рассмотрим однородную изотропную прямоугольную пластину, срединная плоскость которой в недеформируемом состоянии совпадает с плоскостью ХОУ, а ось 2 направлена вертикально вверх. Пластина в недеформируемом состоянии занимает следующую область:

{0 < х < 11,0 < у < 12, -h < z < к}.

При решении задач рассматривается приближенное уравнение четвертого порядка колебания пластины под действием теплового фактора [1]

р.4 р.2 р.2 р.2

А —г Щ - 2А2 — ДW + А — Щ + Д2Щ - В —- 0 + В2Д0 = 0, (1)

1 дt4 2 дt2 3 дt2 1 дt2 2

где Щ(х, у, 0 — прогиб; 0(х, у, 0 — температура;

= ; А2 = ^; Аз = ^; ^ = ; В2 = 2(1 + ао

1 8Ь4 2 2Ь 3 2к2Ь2 1 12Ъ к 2 3к Уравнение несвязной теории термоупругости, описывающее внешнее температурное действие на систему [2],

4 0 - 2^2 ^

дt2 йГ

где коэффициенты равны

с = 1 . с = 1 . с = 2. С 2 = к ; с 2 = к С1 = ; с2 = 2 ; С3 = ~2 ; С0 = ; с = , С2 2с2 к2 Ср С1

где с — скорость распространения температуры; ср — теплоемкость при постоянном давлении; с1 — параметр термоупругой среды; к — коэффициент теплопроводности. Подстановка (2) в (1) дает уравнение колебания термоупругой пластины [3]

AQ-q-2ß - 2C2-Q - C3Q = 0, (2)

ВЕСТНИК 7/2012

д4 д2 д2

4 — Г - 2 A2— AW + A3—— W + A2W + dt dt dt

д2 д

+ (B2Ci -B>i)—— Q + 2B2C2-Q + B2C3Q = 0. (3)

dt2 dt

2. Постановка начальных и граничных условий

2.1. Граничные условия для функции прогиба. Граничные условия для прогиба отражают условия закрепления пластины, так, например, для шарнирно опертого края [4]:

д2

W = —- W = 0 при X = const. (4)

dx2

д 2

W =—- W = 0 при y = const. (5)

ду 2

2.2. Граничные условия для функции температуры. Граничные условия для функции температуры отражают тепловой режим на краях пластины, например, если на крае пластины поддерживается нулевая температура:

Q = 0 при X = const; (6)

Q = 0 при у = const. (7)

2.3. Начальные условия уравнения (3). Общие начальные условия для пластины полагаются нулевыми [4]:

д д2 д3 W = — W = — W = — W = 0 при т = 0; дт дт2 дт3

д

Q =— Q = 0 при т = 0. (8)

дт

3. Вывод алгебраического частотного уравнения для шарнирно опертой по контуру пластинки

пусть пластинка шарнирно закреплена по всем четырем граням и на всех краях пластины поддерживается нулевая температура.

Тогда краевые условия для уравнений (3) примут вид (4), (5), (6), (7), (8). Решение уравнения (3) при данных краевых условиях допускает представление в виде [5]

тт,, ч ттг 'т^ ^ • nn . nm W(x, y, t) = W0e h ^ sin—x sin—y;

n ,m=1 ll l2

b ю

ч ^ 'jfi ^ • nn . nm Q(x,y,t) = Qeh ^ sin — xsin — y, (9)

n,m=1 ll l2

где W(), Q0 — константы; — искомая частота собственных колебаний пластины.

Подстановка (9) в уравнение (3) даст алгебраическое частотное уравнение четвертого порядка:

+ d£2 + d£i + d3 = 0, (10)

где di, d2 , d3 — действительные числа.

4. Вывод общего решения уравнения (3) в случае граничных условий специального

вида

Пусть край X = const шарнирно оперт и на нем поддерживается нулевая температура. тогда требуется отыскать решение дифференциального уравнения (3) при граничных условиях (4), (6).

Начальные условия для уравнения (3) при этом полагаются нулевыми (8).

В силу краевых условий (6) и (8) функция 0(х, уД) представима в виде

Q(x, y, t) = Q0eh ^ Qm (У) sin—x,

(11)

где 0т (у) в зависимости от теплового режима на гранях у = 0, у = ¡2. Если на краях

у = 0, у = ¡2 поддерживается нулевая температура:

2

Qm (y) = , 4 m =

Ч 2 у

, m = 1,2,____

В силу краевых условий (4) и (8) функцию прогиба будем искать в виде

W(x,У,t) = eh £ Wm(y)sin—x,

m, n=1 4

(12)

(13)

где Wm (y) — неизвестная функция [5].

Подстановка (11) и (13) в уравнение колебания (3) даст уравнение четвертого порядка относительно Wm (y)

Wm (y) + D Wm (y) + Dw Wm (y) = D,Qm (y), (14)

dy dy

где коэффициенты Do, Dj и D3 есть некие функции от £ , а Qm (y) определяется (12). Общее решение неоднородного уравнения (14) представляется в виде

Wm (y) = W00 + W,

где Щ — любое частное решение уравнения (14); а Ж00 — общее решение соответствующего (14) однородного уравнения.

Характеристическое уравнение для однородного уравнения имеет вид

X4 + D X2 + D = 0

2

o

(15)

заметим, что для всех проверенных материалов корни (15) представимы в виде

Я-12 = ±00', ^з 4 = ±«1,

где

а0 =

Do

2\

Do 2

- Di ; aw =

'I

Dn

2 1

- Di

(16)

Тогда общее решение однородного уравнения представляется в виде [5]

cos ао y cos aj y

Woo( y) = E'

cos аоy + cos ajy

a 0

af

+ E3

sin aoy + sin ajy

+ E2

+ E4

a o

af

sin ao y sin aj y

(17)

при этом целые числа ^ р в формуле (17) выбираются при удовлетворении граничных условий на краю у = 0, а условия на краю у = ¡2 приводят к трансцендентным уравнениям для определения собственных частот колебания пластины [5].

Поскольку 0т (у) — функция специального вида, то частное решение для первой краевой задачи теплопроводности

W = -D2sin ^fq^y,

где £>2 есть некоторая функция от .

Таким образом, общее решение уравнения (14) для первой краевой задачи теплопроводности имеет вид

2

2

o

сх

a

a

a

ВЕСТНИК

7/2012

(y) = E

cos a0 y + cos ai y

a0

.k

+ E2

a1

sin a0y sin aiy

cos a0y cos aiy

a0

ak sina1y

+ ■-.... ^у^ + р sln а0 У sln а1У п • /Т (18)

+ Е3 -р---— + Е4 -р---р--ЧтУ . (18)

^о а| ао а|

Варьируя условия закрепления на остальных краях пластинки, из общего решения (18) можно получить частотные уравнения пластин для различных граничных условий.

4.1. Апробация метода. Рассмотрим задачу о термоупругом колебании шарнирно опертой по контуру пластины, на всех гранях которой поддерживается нулевая температура. Данная задача была решена в п. 3. Покажем, что предложенный выше приближенный метод приводит к точному аналитическому решению.

Граничные условия относительно искомой функции (у) имеют вид (5).

1. При Wm (0) = 0:

Ei

1 1 + E2 1 1

~k + — ~k k

a0 a1 a0 a1

= 0,

(19)

откуда при k = 0 Ei = 0.

ду 11

2. При — (0) = 0:

E,

ak-2 a0

ak-2

+ E2

ak-2 a0

ak-2

=0,

(20)

откуда при к = 0 и Е = 0 Е2 = 0.

Заметим, что основной определитель системы из уравнений (19) и (20) отличен от нуля, значит, решение Е1 = Е2 = 0 единственное, а коэффициент к может быть выбран произвольно.

д 2

3. Из условий Wm (12) = 0и —^-Wm (12) = 0 при р = 0 с учетом дт (12) получим

ду2

систему для нахождения неизвестных коэффициентов Е3 и Е4:

E3 [sina0l2 + sin a,l2 ] + E4 [sina012 - sin a,l2 ] = 0; lE3 [-a0 sina0l2 -a2 sina,l2 J + E4 [-a0 sina0l2 +af sina,l2 J = 0.

(21)

Система (21) является однородной, значит, коэффициент D2 в решении (18) может быть выбран произвольно. Будем искать нетривиальные решения системы (21), что приводит к трансцендентному тригонометрическому уравнению

(a2-a2) sin a0l2sin a1l2 = 0.

1) Условие a 02 - a12 = 0 при подстановке коэффициентов приводит к уравнению

(

7-8v + (2 -v)

2 A

I4 + 2 (1 -v)|2 = 0,

v У

которое не имеет положительных действительных корней; 2) рассмотрим уравнение

sina0l2 sina1l2 = 0. (22)

Разложим в уравнении (22) тригонометрические функции в степенные ряды, ограничившись в разложении двумя первыми членами, (22) примет вид

(

1 l22 +...

3! 2

v a2 1 l22 +.

3! 2 У v

= 0;

а) из условия a0a1 = 0, эквивалентного с учетом (16) D1 = 0, перейдем к уравнению

+

1

1

"7 0 1 ПП

__vç4 - —[3(1 -V) + 2y(2 -v)]Ç2 +Y2 = 0 , Y = -2

Решением уравнения (23) при Ç > О являются действительные частоты

V ll У

(23)

Çl,2 = 2\

3 Y(2-v) + 2 (1 -v) ^ Y2(2 + v2) + 3y(1 -v)( 2-v)+ 4 (1 -v)2

7 - Sv 7 - Sv

(24)

b) рассмотрим выражение

= О,

í ™ 2 V a 2 Л 1 +...

1 -аО l22 +. 3! 2

3! 2 У

У V У

что при подстановке (16) эквивалентно

Д + 6Д0/-2 + 36/-4 = 0. (25)

Если в уравнении (25) ограничиться только первым слагаемым, получим решение (24). Если рассмотреть все три слагаемых, получим ^ 4, отличающиеся от ^ 2

не более, чем на

^ 2 12

2

Покажем, что такой подход позволяет получить точное аналитическое решение.

Для данной задачи функция Q(x, y, t) (11) соответствует известному аналитическому решению.

Найдем W (x, y, t). Согласно выбранному методу, решение уравнения (3) W(x, y, t) определяется формулой (13), в которой Wm (y) определяется формулой (18). Подставим в формулу (18) найденные константы El = E2 = О, а также решения трансцендентного уравнения аО = О и al = О. Напомним, что коэффициент D2 может определяться произвольно. Примем D2 = Wo ^ О . Тогда W(x, y, t) примет вид (9).

Таким образом, данный метод не только позволил получить аналитическое решение, совпадающее с точным решением, полученным ранее, но и позволил получить частотное уравнение, разрешимое в радикалах.

Библиографический список

1. Hetnarski Richard B., Eslami M. Reza. Thermal Stresses - Advanced Theory and Applications. Series: Solid Mechanics and Its Applications, Vol. 158 // Springer Science + Business Media, B.V. 2ОО9.

2. ПодстригачЯ.С., КоляноЮ.М. Обобщенная термомеханика. Киев : Наукова думка, 1976.

3. Егорычев O.A., Егорычев О.О., Федосова А.Н. Влияние граничных условий на решение задачи о термоупругом колебании пластины // Вестник гражданских инженеров. 2О11. № 4. С. 26—3О.

4. Егорычев O.A., Егорычев О.О. Краевые задачи колебания пластин. М. : МГСУ, 2О1О.

5. Егорычев О.О. Исследования колебаний плоских элементов конструкций. М. : Архитектура-С, 2ОО9.

Поступила в редакцию в мае 2012 г.

Об авторах: Егорычев Олег Александрович — доктор технических наук, профессор, профессор кафедры теоретической механики и аэродинамики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, S (495) 739-33-63, [email protected];

Егорычев Олег Олегович — доктор технических наук, профессор, первый проректор, заведующий кафедрой теоретической механики и аэродинамики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, S (495) 739-33-63, [email protected];

Федосова Анастасия Николаевна — старший преподаватель кафедры высшей математики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, S ^^З-ЗО^, [email protected].

ВЕСТНИК 7/2012

Для цитирования: Егорычев О.А., Егорычев О.О., Федосова А.Н. Решение задачи о термоупругом колебании пластины при граничных условиях специального вида // Вестник МГСУ. 2012. № 7. С. 31—36.

O.A. Egorychev, O.O. Egorychev, A.N. Fedosova

SOLUTION TO THE PROBLEM OF THERMOELASTIC VIBRATION OF A PLATE IN SPECIAL

BOUNDARY CONDITIONS

Operating conditions of uneven non-stationary heating can cause changes in physical and mechanical properties of materials. The awareness of the value and nature of thermal stresses is needed to perform a comprehensive analysis of structural strength.

The authors provide their solution to the problem of identification of natural frequencies of vibrations of rectangular plates, whenever a thermal factor is taken into account.

In the introductory section of the paper, the authors provide the equation describing the ther-moelastic vibration of a plate and set the initial and boundary conditions. Furthermore, the authors provide a frequency equation derivation for the problem that has an analytical solution available (if all edges are simply supported at zero temperature). The equation derived by the authors has no analytical solution and can be solved only numerically.

In the middle of the paper, the authors describe a method of frequency equation derivation for plates exposed to special boundary conditions, if the two opposite edges are simply supported at zero temperature, while the two other edges have arbitrary types of fixation and arbitrary thermal modes.

For this boundary condition derived as a general solution, varying fixation of the two edges makes it possible to obtain transcendental trigonometric equations reducible to algebraic frequency equations by using expending in series. Thus, the obtaining frequency equations different from the general solution becomes possible for different types of boundary conditions.

The final section of the paper covers the practical testing of the described method for the problem that has an analytical solution (all edges are simply supported at zero temperature) as solved above. An approximate equation provided in the research leads to the analytical solution that is already available.

Key words: thermoelastic plate vibration, plate vibration, vibration frequency.

References

1. Hetnarski Richard B., Eslami M. Reza. Thermal Stresses - Advanced Theory and Applications. Series: Solid Mechanics and Its Applications. Springer Science + Business Media, 2009, Vol. 158.

2. Podstrigach Ya.S., Kolyano Yu.M. Obobshchennaya termomekhanika [Generalized Thermal Mechanics]. Kiev, Naukova Dumka Publ., 1976.

3. Egorychev O.A., Egorychev O.O., Fedosova A.N. Vliyanie granichnykh usloviy na reshenie zada-chi o termouprugom kolebanii plastiny [Influence of Boundary Conditions on the Solution of the Problem of Thermoelastic Vibrations of a Plate]. Vestnik grazhdanskikh inzhenerov [Bulletin of Civil Engineers]. 2011, no. 4, pp. 26—30.

4. Egorychev O.A., Egorychev O.O. Kraevye zadachi kolebaniya plastin [Boundary Value Problems of Plate Vibrations]. Moscow, Moscow State University of Civil Engineering, 2010.

5. Egorychev O.O. Issledovaniya kolebaniy ploskikh elementov konstruktsiy [Research of Two-dimensional Vibrations of Flat Elements of Structures]. Moscow, Arkhitektura-S Publ., 2009.

About the authors: Egorychev Oleg Aleksandrovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation;

Egorychev Oleg Olegovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Chair, Department of Theoretical Mechanics and Thermodynamics, First Vice-Chancellor, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation;

Fedosova Anastasia Nikolaeva — Senior Lecturer, Department of Higher Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected].

For citation: Egorychev O.A., Egorychev O.O., Fedosova A.N. Reshenie zadachi o termouprugom kolebanii plastiny pri granichnykh usloviyakh spetsial'nogo vida [Solution to the Problem of Thermoelastic Vibration of a Plate in Special Boundary Conditions]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 7, pp. 31—36.