CC BY
25
4/2010 М1 ВЕСТНИК
COBCTBEHHblE ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННОЙ ОРТОТРОПНОЙ
ПЛАСТИНЫ
OWN TRANSVERSE VIBRATIONS OF A PRESTRESSED ORTHOTROPIC PLATE
O.A. Егорычев, B.B. Брендэ
O.A. Egorichev, V.V. Brende
ГОУ ВПО МГСУ
Рассмотрены возможные деформации плоских элементов конструкций. Получены собственные колебания предварительно напряженной ортотропной пластины постоянной длины, закрепленной с двух противоположных сторон жестко и шарнирно.
The possible deformation of plane structural elements. Get your own variations of the homogeneous prestressed orthotropic plate of constant length clamped on two opposite sides firmly and articulately.
Рассмотрим ортотроииую предварительно напряженную ортотропную пластину, срединная плоскость которой в недеформированном состоянии совпадает с координатной плоскостью XOY, ось Z направлена вертикально вверх. Пластина занимает следующую область: (y е (—да;+да), х е [— l; l], z е [— h; h])
При решении задачи будем пользоваться уравнением в частных производных четвертого порядка, в виде [1]:
д2W А д4W А д4W А д4W п —^ + A—-— A2—-—- + A3-— = 0 (1)
dt2 1 dt4 2 dt2 dx2 3 dx4
h2
где: Ai =—p (l + c2 )_1 A,",1 + 3(l + aо )_1 A',1 6
A2 = "6" t2^1 + c2 )(1 + a0 ) _ 2 A13 A33 + 3A33 A55 (A11A33 _ A13 ). A3 = h i2!1 + c2 )A33 (A11A33 _ A13 ) 1
6P
Где p — плотность, Aj — константы материала, a0, c2 — начальные перемещения,
W(x, t) — поперечный прогиб пластины. b - скорость поперечной волны
ВЕСТНИК 4/2010
Решение уравнения (1) будем искать в виде:
( Ь
Ж (х, г ) = Ж0 (х )ехр —г
I к
(2)
Используя решение (2), уравнение (1) преобразуется в обыкновенное дифференциальное решение уравнение:
д 4Ж д 2Ж
^ + В1 + в2Ж0 = 0
дх4
дх2
(3)
' ^2
ГДе В1 = А Н ^2, В2 ^
3 V / V
Т
Г т Л 2
А
3 V
Ьр
А3 к2
(4)
Для решения уравнения (3) запишем характеристическое уравнение: т4 + В1т2 + В2 = 0
(5)
Его решение представим в виде: т1
2,3,4 _ —
В, В,2
В Чт - В0(6)
Использую соотношение (4), равенство (6) будет иметь вид:
^1,2,3,4 _ —
Ь ] 1
к\
- А2 ±
А^^ 4А1А3 ^ 4А3
г и\-2
(7)
Р
Отметим характерное значение при котором выражение под корнем (7), обращается в ноль.
1
=±2
к Л 1
Ь
А
4 А1А3 А2
А,
4 А1А3 А2
■> 0
(8)
Из анализа корней выражения (7), возможны 2 варианта. Вариант 1. £ < <Ц0, тогда к1 < к
=±к
Ь
1
- А2 ±
(А22 - 4 А А311.
Г к >2
V к1 У
(9)
Здесь 0 <(а22 - 4А1А311 мало. Значит: ^ 2 = ±Д; 4 = .
' к > 2 < А2, т.к. 1 - ' к Л 2
V к1 ) V к1 )
< 0 и сколь угодно (10)
2
1,2,3,4
к
4/2010
ВЕСТНИК
_МГСУ
А b} D
D = Dx - А
№:ата т.
D2 =ylDi - А,
Di =
- 4 Ai A3 И-
/ А 1
V hi J
Для данного варианта общее решение уравнения (3) имеет вид: W01 = С1 cos(/?jх) + С2 sin(Дх) + С3 cos(/?2х) + С4 sin(у?2х) (11)
Вариант 2. ¿f > ¿f0, тогда h1 > А
6,2,3,4 =±1 ^
b \ 1
л/2АГ ]
" A, ±
(4 " 4 Ai A3 И-
' h ^2
V hi У
(12)
Здесь
1 -
' Ал 2
V hi У
> 0, 0 >(aí22 - 4 A1A3 П-
' h ^2 V hi J
следовательно: т1 2 3 4 = ±
b \ 1
h Jy[2A2
:[- A2 + iD4 ]
(13)
D4 =
- 4 A1 A3 H-
Г а >2
V h1 У
Обозначим: a3 = -I -¡L=, Д ^ D4
h J V2A7
Тогда равенство (13) примет вид;
г i1 1"
^1 2 3 4 = ±[- «3 + ifí3 J2 = ±R2 cos
h J 42a2
(p + 2m 2
± i sin
(p + 2rn 2
(14)
П-Г f
Где: R = + Д3 , (p- arctg —
\a3 J
Введем новые обозначения для равенства (14);
2 fР + 2тЛ 1 . ((р + 2тл
ал - R2 cosí --I р4 = R2 sin1
2
2
Окончательно получим корни характеристического уравнения (5) в виде:
Г1,2,3,4 =±[-«4 + ^4 ] (15)
Для данного варианта общее решение уравнения (3) представляется в виде:
ВЕСТНИК МГСУ
4/2010
W02 = x [с1 cos(Ax) + С2 sin(/?!x)] + x [сз cos(/?2x) + С4 sin(/?2x)] (16) Следует заметить, что если пластинка при x — +1 имеет по каждому краю равные граничные условия, то задача становится симметричной относительно x=0, а функция W0 (x) - четной.
Тогда выражение (11) принимает вид:
W01 = C1 cos Д x + С2 cos Д x (17)
А выражение (16) будет представлено в виде:
W02(x) = C]ch[a4 x j cos [fi4 x j + C2sh[a4 x j sin (Д4 x j (18)
п. 1Пусть пластина шарнирно оперта при x — +1, в этом случае граничные
условия имеют вид: W0 = -
д 2Wo
dx2
= 0 при х = ± 1;
Решение уравнения (3) будем искать в виде Ж(х,г) = ЁЖп )ехр^ /ф
Получим частотное уравнение:
(19)
(20)
Al
Аз v h J
ъ
v h J
A, (2тл2
V
A3 ^ 1 J
+ -
A
Г +
4
' тт ^
= 0
(21)
V 1 J
Его решение представим в виде:
(
4 = ±
А,
2тг
+1
2т
л2
+1
п. 2. Пластина жестко закреплена dW
W =-= 0 прих = ± 1;
dx
- 4 А А3
(22)
2яи
Вариант 1. Решение будем искать в виде (17), тогда используя граничные условия (22) получим:
ÍC1cospj + С2 cosp21 = 0 {- Схрх sin px1 - C2p2 sin p21 = 0
Для определения частотного уравнения из системы (33) получим трансцендентное уравнение:
- Д cospj sin Д 1 + Д cos р21 sin /311 - 0 Используя ряды, получим:
(Л1 )2" Yxv IV- te 1 Г1'
-Д
+ Д
Z(-1)'
(2n
Oi1)
(2и +1)!
!(-1)-
J
2n+1 Л
(
Z(-1)-
(2- +1)!
ш (2-x
У 2-
(24)
(25)
= 0
2
1
2
2
2
4
1
I
I
n=0
m-0
n=0
m=0
4/2010
ВЕСТНИК .МГСУ
Возьмем первые три числа, получим уравнение четвертого порядка:
- 20
A3 Fl Г + 3 F
A
\и J
2 120 ,_4
F
l-4 = 0
(26)
Где: F1 = A22 + (j22 - A1A2 И-
' h ^2 V h1 У
F2 = 2 A24 +(a2 - A1A211-
^ 2 V h1 У
2(^2 A1 A2
1 -
^ 2 V h1 У
откуда
h )2 F "1 л 1
^1,2,3,4 = ±, I A3 ^ l- ± A3 F l
F
F
]' A32120 lr4 (27)
Вариант 2. Решение будем искать в виде (18), тогда получим трансцендентное уравнение вида:
«4 8Ш(2Д,/1) + Д,зк(2а411) = 0 (28)
Которое можно представить в виде:
i - / „ . \2и+1 Л i
ал
К-1)'
(Л11 )2
(2n +1)!
+ Л
(«411 )
2m+1 Л
(2m +1)!
= 0
(29)
Если взять первые три числа в рядах (39), то получим частотное уравнение:
«44 + Д4 + 5(«42 - Д2 )г2 + 15lr4 = 0
(30)
Литература
1. Филиппов И.Г., Чебан В.П., Математическая теория колебаний упругих и вязко-упругих пластин и стержней. Кишинев: «Штиница», 1988. 190 с.
2. Егорычев О.О. Колебания плоских элементов конструкций. М.: Издательство ассоциации строительных вузов, 2005.
3. Егорычев О.А., Егорычев О.О. Влияние формулировки граничных условий при определении собственных частот колебаний пластин // ПГС. 2004, № 9.
Referenses
1. Filippov IG, Cheban VP, Mathimatical theory of vibrations of elastic and viscoelastic plates and rods. Chisinau: "Shtinitsa", 1988.
2. Egorichev OO, Vibrations of planar structural elements. Publiching of Building Universities,
2005.
3. Egorichev OO, Investigation of transverse vibrations of plates based on various approximate theories. "CBS", 9, 2004.
Ключевые слова: механика деформируемого тела, упругость, анизотропия, ортотропная пластина, собственные колебания
Key words: solid mechanics, elasticity, anisotropy, orthotropic plate, the natural oscillations
МГСУ, 129337 Ярославское ш. 26. Тел. 8(499)161-2157. brende@mail.ru.
Рецензент: Демьянов А.Ю., к.ф.-м.н., МГУ им. М.В. Ломоносова
2
2
2
и=0
m=0
