Вывод асимптотических констант для вероятности несвязности планарного взвешенного графа Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

2014 Прикладная теория графов №2(24)

УДК 519.248:62-192+519.176 ВЫВОД АСИМПТОТИЧЕСКИХ КОНСТАНТ ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТИ НЕСВЯЗНОСТИ ПЛАНАРНОГО ВЗВЕШЕННОГО ГРАФА1

Г. Ш. Цициашвили, М. А. Осипова, А. С. Лосев

Институт прикладной математики ДВО РАН, ДВФУ, г. Владивосток, Россия Дальневосточный федеральный университет, г. Владивосток, Россия

E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]

Приведено доказательство формул для вычисления асимптотических констант вероятности несвязности планарного взвешенного графа с высоконадёжными рёбрами.

Ключевые слова: вес, грань, цикл, вероятность несвязности.

Введение

В [1] построен алгоритм вычисления вероятности несвязности для планарного взвешенного графа с высоконадёжными рёбрами. Алгоритм имеет кубическую по числу рёбер в двойственном графе сложность. Он основан на доказательстве асимптотического соотношения и на получении формул для вычисления его параметров. Речь идёт

о минимальном объёме разреза и о некотором весовом коэффициенте. В настоящей работе приводится вывод формул для вычисления весового коэффициента.

1. Основной результат

Рассмотрим неориентированный связный граф G без петель и кратных рёбер с конечным множеством вершин U и рёбер W. Пусть каждому ребру графа w Є W соот-

ветствует вес bw. Обозначим L множество разрезов графа, d(L) — число рёбер (объём) разреза L, D — минимальный объём разрезов. Предположим, что рёбра графа G отказывают независимо с вероятностями p(w), w Є W. Для вероятности несвязности P графа G (отсутствия хотя бы между двумя вершинами графа работающего пути) в [2] приведена следующая теорема.

Теорема 1. Если p(w) ~ bwh, h ^ О, w Є W, где bw > О, w Є W, то

P - hDBd , Bd = E П bw, h ^ О.

LeL:d(L)=D weL

Замечание 1. Условие p(w) ~ bwh, h ^ О, w Є W, в отличие от условия p(w) ~ h, h ^ О, w Є W, значительно расширяет область рассматриваемых моделей.

Рассмотрим планарный граф G, каждое ребро которого принадлежит какому-либо простому циклу. Рёбра планарного графа G разбивают плоскость на грани; обозначим n число граней (включая внешнюю), m — число рёбер графа. Графу G сопоставим двойственный граф G*: грани z графа G соответствует вершина z графа G*, ребру w графа G, принадлежащему граням Z1;Z2,—ребро w, соединяющее вершины Zi,Z2 графа G*. Пусть элементы aij, i,j = 1,... , n, матрицы A определяют число рёбер, содержащихся в пересечении граней zi П Zj, i = j, aii = О. Известно [3],

1Работа поддержана грантом РФФИ №14-01-00873 А.

что О = шт(& : 2 ^ к ^ 5,с& > 0), где — число простых циклов длины к в С*, определяемое по формулам, которые приведены в [4].

Обозначим К* множество циклов К * графа С*, ^(К *) —длину цикла К *, О* — минимальную длину цикла. Известно [3], что циклам минимальной длины графа С* соответствуют разрезы минимального объёма графа С, причём О* = О. Тогда

Поэтому для В в предлагается вывести аналоги формул [4], полученные для констант ск. Пусть константы 6^(к) = Ьд(к) = 6адк, к = 1,...,^, определяют веса рёбер и>к, содержащихся в пересечении граней 2 П ^, 1 ^ і = І ^ п, графа С, при этом 6«(к) = 0. В частности, в случае О > 2 имеет место = 1, 1 ^ і = І ^ п.

Теорема 2. Для планарного графа С, каждое ребро которого принадлежит какому-либо циклу, имеют место соотношения

Доказательство. Используем рисунки замкнутых путей с четырьмя и пятью рёбрами, приведённые в [5]. Остановимся сначала на доказательстве формулы для В2:

Доказательство формулы для В4 основано на рис. 1 из [5], в котором приведены всевозможные замкнутые пути, состоящие из четырёх рёбер:

Вв = Е П

Т<г*£^Г'*-гК Т^*\— П

К*ЄК*:^(К*)=В ™єк

(1)

где В = ||6у(1)||”,=1; 6®(1), 1 ^ і,І ^ п, — элементы матрицы В1, I > 1.

г,і=Ь

В2 = Е П = ТЕ Е 6у (*)6у (Ю

К*СГ *-Л(К* ) = 2 ы^К* 4

1

4

Формула для В3 очевидна:

Е П 6ад = 1 Е 6І7-(1)6^(1)6*™(1)6ті(1) =

*-А(1<Г*\ — А гц\С- К * 8 1<г,т,к,т<п:

Е &І/ (1)6^ (1)6йт(1)6тг(1) - 1 Е 6*^ (1)6^^ (1)&ку (1)6^і(1)

Е 6У(1)М1)6*т(1)6т*(1) - 1 Е 6У(1)6Л(1)6У (1)6Л(1).

Достаточно несложные выкладки приводят далее к равенству (3).

Для вычисления В5 используем рис. 3 и 4 из [5], в которых представлены всевозможные замкнутые пути, состоящие из пяти рёбер:

В5 = Е П = ^ Е 6, (1)6,'к (1)6кт(1)6т«(1)Ь«г(1) =

К*еК*:й(К*)=5 ад€К* 10 ыл,з,к,т,з^п:

1=к,1=т^ = т^ = в,к = в

= -1 Е 6,(1)6,к(1)6*т(1)6тв(1)6«(1) - -1- Е 6,(1)6,*(1)6*т(1)6тв(1)6в»(1)-

10 1^г,',к,т,«^га 10 1^г,^,т,в^п:

3 = т,3=2

— 1- Е 6' (1)6,к(1)6кг(1)6г«(1)6«г(1) — — Е 6' (1)6,к(1)6ку (1)6,«(1)6«г(1) —

10 1^г,^’,к,з^п: 10 1^г,^’,к,з^п:

^ = в,к = в 1=к,к = в

— 6г, (1)6,к(1)6кт(1)6т, (1)6,г(1) — 6г, (1)6,к (1)6кт(1)6тк(1)6кг(1)

10 1^г,^’,к,т^п: 10 1^г,^,к,т^п:

г=к,г=т 1=т^ = т

— — Е 6' (1)6,г(1)6г, (1)67«(1)6«(1) — — Е 6' (1)6,к(1)6кг(1)6гк(1)6кг (1) —

10 1^г,',5^п 10 1^г,',к^п

— — Е 6' (1)6,к (1)6ку (1)6,к (1)6кг(1) — — Е 6' (1)6?к(1)6кг(1)6г, (1)6,г(1) —

10 1^г,',к^га 10 1^г,',к^га

— — Е 6'(1)6,г(1)6гт(1)6т, (1)6,г(1).

10 1^г,',т^п

Сравнительно простые выкладки приводят далее к равенству (4). ■

Замечание 2. Число арифметических операций, необходимых для реализации

алгоритма вычисления констант Д, В в с помощью описанного алгоритма, равно

0(птш(3,в)), где п — число вершин в графе С*.

Замечание 3. Прямое использование формулы (1) может привести к увеличению необходимого числа арифметических операций до 0(птах(3,в)), поскольку для определения путей К * Е К* : ^(К *) = Д при реализации формулы (1) необходимо перебирать все замкнутые пути длины Д в графе С*. Однако в широко распространённом случае Д = 2 у алгоритма, основанного на формуле (1), появляются преимущества в точности вычисления в системе с плавающей запятой из-за отсутствия операций вычитания.

2. Вычислительный эксперимент

Сравним результаты вычисления вероятности несвязности Р по асимптотической формуле и методом Монте-Карло Р с числом реализаций 106. Положим к = 0,02, 6(1, 2) = 6(1, 4) = 6(1, 3) = 6(5, 3) = 6(5, 4) = 6(5, 2) = 1, 6(2, 3) = 6(2, 4) = 6(3, 4) = 1,2, тогда

^ -1 Р о,

0,05029.

В результате проведённых вычислений время счёта методом Монте-Карло составило 20 мин, а по асимптотическому соотношению — не более 1 мин, что подтверждает полученную теоретическую оценку сложности вычислений.

Авторы благодарят А. Н. Воропаева за помощь в проверке равенств (3), (4) и рецензента за полезные замечания и рекомендации.

ЛИТЕРАТУРА

1. Tsitsiashvili G. Sh., Osipova M. A., and Losev A. S. Disconnection probability of planar weighted graph // Appl. Math. Sci. 2014. No. 8(10). P. 469-472.

2. Tsitsiashvili G. Sh. Complete calculation of disconnection probability in planar graphs // Reliability: The. Appl. 2012. No. 7(1). P. 154-159.

3. Прасолов В. В. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии. М.: МЦНМО, 2004.

4. Цициашвили Г. Ш., Лосев А. С. Связность планарного графа с высоконадёжными ребрами // Прикладная дискретная математика. 2012. №3(17). С. 102-106.

5. Harary F. and Manvel B. On the number of cycles in a graph // Matematickycasopis. 1971. No. 21(1). P. 55-63.